生存関数における
信頼区間算出法の比較
佐藤 聖士，浜田 知久馬 東京理科大学 工学研究科
Comparison of confidence
intervals for survival rate
Masashi Sato, Chikuma Hamada
Graduate school of Engineering, Tokyo University of Science
要旨：
生存割合の信頼区間算出の際に用いられる各変換関数 の性能について 被覆確率を評価指標として比較した． キーワード：生存関数，信頼区間，被覆確率， LIFETEST procedure 2生存時間解析
[1]
• ある基準の時刻からある目的の反応がおきるまでの時間の
解析
• 打切りを考慮
A ・・・ 通常のデータ B ・・・ 脱落データ C ・・・ 観察打切り 生存時間 ：死亡 ＝ イベント ：生存 A B C 患者 観察終了時点 時間 0 3 背景生存関数・ハザード関数
[1]
• 生存関数:
時点 t までイベントが起きない確率• ハザード関数:
時点 t の瞬間でのイベントの発生率)
(t
h
)
(t
S
時間（t） ハザード関数 （指数分布） 0 h(t) 生存関数 （指数分布） 時間（t） 0 S(t) ) exp( ) (t t S = −λ h( t) = λ a = λ b = λ a b 1 4 背景カプラン・マイヤー（積極限）推定量
[1]
• 生存関数の推定量
• 生存関数：
( ) (
=
−
) (
×
−
)
×
=
∏
<(
−
)
t tid
in
in
d
n
d
t
S
ˆ
1
1 11
2 2L
1
の大きさ における全リスク集合 時点 におけるイベント総数 時点i n i di : , i : ( )t S 0 1 時間 (1−d1 n1) (1−d1 n1) (⋅ 1−d2 n2) (1−d1 n1) (⋅ 1−d2 n2) (⋅ 1−d3 n3) t ：打切り ：イベント 5 背景信頼区間の算出
• 得られた生存割合
を関数
で変換
（以下， を変換関数と 呼ぶ）• 変換後に区間を計算し，逆変換
( )
( )
( )
( )
t
S
g
t
S
ˆ
⎯
g⎯→
⎯
xˆ
( )
( )
S
t
[
g
( )
S
( )
t
]
n
g
ˆ
±
1
.
96
var
ˆ
( )
( )
[
( )
( )
]
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±
−n
t
S
g
t
S
g
g
1ˆ
1
.
96
var
ˆ
g-1(x)( )
t
Sˆ
g( )
x g( )
x 6 背景LIFETEST procedure で計算可能な5種類の変換
[2][3]名称
変換関数
変換無し
（以下，NONTRANS）対数変換
（以下，LOG）二重対数変換
（以下，LOGLOG）逆正弦変換
（以下，ASINSQRT）ロジット変換
（以下，LOGIT）( )
x
( )
x
g
=
sin
−1( )
x
(
( )
x
)
g
=
log
−
log
( )
x
x
g
=
( )
x
( )
x
g
=
log
( )
x
(
x
(
x
)
)
g
=
log
1
−
7 背景信頼区間の性能
• 被覆確率：
– 信頼区間が真値を含む確率( )
n( )
x(
)
n x xx
n
x
I
t
C
− =−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
=
∑
,
π
π
1
π
0( )
t
C
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
ない
信頼区間が真値を含ま
信頼区間が真値を含む
,
0
,
1
,
π
x
I
8 背景背景の整理と本研究の目的
• 背景の整理
– 複数ある被覆確率の定量的な評価は不十分 • どの信頼区間を用いればよいか不明確¾被覆確率による，各信頼区間の定量的な評価
¾どの変換関数が好ましいかの考察
目的
9 目的正確（exact）な被覆確率の評価
• 生存時間データにおける生存割合の信頼区間につ
いて算出
• 条件
– 信頼区間：両側95%水準 – 症例数：50, 100, 200, 400例 – 生存割合の真値：0.0 ~ 1.0 by 0.01 10 方法正確な被覆確率の計算
ある時刻 t で生存している人数 x は成 功確率 S(t) の二項分布に従う[
]
( )
(
( )
)
( )
(
n
S
t
)
t
S
t
S
x
n
x
X
x n x,
Bin
1
Pr
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
− 生存関数 ：S(t) 時間（t） 0 S(t) S(t)t
症例数 ： n 1 生存割合 打切りがない場合 11 方法正確な被覆確率の計算例
x 二項分布の確率 p(x) 95%信頼区間 I(x, S(t)) I(x, S(t)) p(x) 下側 上側 0 0.006 0 0 0 0 1 0.040 0 0.286 0 0 2 0.120 0 0.448 1 0.121 3 0.214 0.015 0.584 1 0.215 4 0.250 0.096 0.704 1 0.251 5 0.200 0.190 0.810 1 0.201 6 0.111 0.296 0.904 1 0.111 7 0.042 0.416 0.984 0 0 8 0.010 0.552 1 0 0 9 0.002 0.714 1 0 0 10 0.0001 1 1 0 0 合計C(t)
= 0.899
n = 10, S(t)=0.4 12 方法プログラム
13 方法 data data; do n = 50 to 400 by 50; do trues = 0.0001 to 0.9999 by 0.0001; over=0; do x = 0.000001,1 to n-1,n-0.000001; prob = pdf('binomial',x,trues,n); se = sqrt(x*(n-x)/(n**3)); l0 = (x/n)-1.96*se; u0 = (x/n)+1.96*se;if l0<trues<u0 then cover= linear+prob; end;
output; end; end; run;
proc gplot data=data_detail uniform; plot (linear log loglog asinsqrt logit) * trues /vref=0.95;
by n;
symbol1 i=spline w=4 h=4 c=blue v=none; where 0.05<trues<0.95;
正確な被覆確率の評価
• 各症例数，
S(t)の真値で被覆確率を評価
– 被覆確率が95%により近い場合に『性能が良い』とする
• 正確な信頼区間では打切りの考慮が困難
打切りがある場合について シミュレーションを行い，評価する その為 被覆確率が 95%を上回る 信頼区間の幅が 広い 保守的な 信頼区間 被覆確率が 95%を下回る 信頼区間の幅が 狭い 革新的な 信頼区間 14 方法シミュレーションによる評価
¾ 生存時間分布に指数分布を仮定
¾ 観察打切り，脱落の発生
¾ NONTRANS, LOG, LOGLOG, ASINSQRT, LOGIT の
95%信頼区間を構成
¾ 各信頼区間の被覆確率から性能評価
打切りを含む生存時間データにおける
シミュレーション実験による，信頼区間算出法の評価
シミュレーション目的 15 方法シミュレーション設定
• 条件
– 指数分布のパラメータ： – 症例数：50, 100, 200, 400例 – 観察期間：5年 – シミュレーション回数：10000回0.6
0.5,
0.4,
=
λ
16 方法シミュレーション方法
データ生成• 指数分布に従う生存時間データを発生
• 観察打切り，脱落データを考慮
信頼区間の 構成• S(t) = 0.1, 0.2, …,0.5において，各信頼
区間を構成
被覆の確認• 構成された各信頼区間に生存割合の真
値が含まれているかを調べる
10000回繰り返し， 被覆確率を算出被覆確率による信頼区間の評価
正確な被覆確率に準ずる評価
17 方法正確な被覆確率
[
n=50, NONTRANS]
平均：93.37%
18 結果
正確な被覆確率
[
n=50, LOG]
平均：94.31%
19 結果
正確な被覆確率
[
n=50, LOGLOG]
平均：95.22%
20 結果
正確な被覆確率
[
n=50, ASINSQRT]
平均：94.61%
21 結果
正確な被覆確率
[
n=50, LOGIT]
平均：95.60%
22 結果
正確な被覆確率
区間[0.05, 0.95]における平均値
90% 95% 100% 50 100 200 400 被 覆 確 率NONTRANS LOG LOGLOG ASINSQRT LOGIT
症例数 [n]
23 結果
シミュレーション結果
[
λ=0.5, n=50,
打切り割合:
9.6%]
85 90 95 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 被 覆 確 率（ ％）NONTRANS LOG LOGLOG ASINSQRT LOGIT
生存割合
24 結果
シミュレーション結果
[
λ=0.5, n=50,
打切り割合:30.6%]
85 90 95 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 被 覆 確 率（ ％）NONTRANS LOG LOGLOG ASINSQRT LOGIT
生存割合
25 結果
