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確率統計及び演習

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Academic year: 2021

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(1)

2017

確統

II.0.1

¶ ³

確率統計及び演習

II

数理情報学科・

3

年次配当・前期・学科固有科目・選択・2単位

µ ´

(2)

2017

確統

II.0.2

ティーチング・アシスタント

(TA)

授業中に行う演習の手助けをしてくれます。

助國晟也さん

a,c,d,f

山田貫太さん

a,c,f,g,h

箕尾暁日さん

b,c,d,e

森田英俊さん

他の科目の

TA a:

学科チューター

, b:

微積分及び演習

, c:

線形代数及び演習

, d:

物理数学及び演習

, e:

数理モデル基礎及 び演習

, f:

計算機基礎実習

, g:

プログラミング及び実習

, h:

数値計算法及び実習

プリント中の

¤

£

¡

¢

これだけ

は参考文献,“ これだけはおさえたい 確率統計

(実教出版) ”を示します。

¤

£

¡

統計学 ¢

は参考文献,“統計学入門

(東京大学出版会) ”を示します。

¤

£

¡

数理統計 ¢

は参考文献,“数理統計学

(裳華房) ”を示します。

¤

£

¡

確統I ¢

は『2016 年度確率統計及び演習

I』の講義を示します。

また,以下は

1

年の科目「微積分及び演習

I」での参考文献を示します:

¤

£

¡

¢

桑村

は参考文献,“桑村『微分積分入門』(裳華房) ”を示します。

¤

£

¡

川薩四 ¢

は参考文献,“川野,薩摩,四ツ谷『微分積分+微分方程式』(裳華房) ”を示します。

オフィスアワー: 月曜

6

講時

(1-513),木曜6

講時

(1-513) url: http://www.math.ryukoku.ac.jp/ iida/lecture/lecture.html

(3)

2017

確統

II.0.3

★ 成績評価の方法

・予定されている

2

回の小テストの両方に

60

点以上をとるか,あるいは定期試験に

60

点以上をとることで合格 とします。最終成績は,合格の場合は小テストの平均点と定期試験の点数の高い方,不合格の場合は定期試 験の点数,となります。

・小テストと定期試験で参考文献は持込不可です。電子機器

(電卓,携帯電話,PC

等) の使用はできません。

・公式や数表等をまとめた,まとめのプリントを試験問題とともに配布します。

・解答で分数や

は少数になおす必要はありません。答に加減乗除が現れていてもかまいません。

【例】次の確率密度関数

f(x),

f(x) =





0 x <0 6x(1−x) 0≤x <1

0 1< x

, (0.3.1)

に従う確率変数

X

について,0

≤X <1/3

となる確率

P

を求めなさい。

【答】

P =

1/3 0

f(x)dx= 6

1/3 0

( x−x2

) dx= 6

[x2 2 −x3

3 ]x=1/3

x=0

(0.3.2)

= 6 (1

18 1 81

)

(0.3.3)

= 7

27. (0.3.4)

上の例の場合は,解答は

(0.3.3)

まででかまいません。

(4)

2017

確統

II.1

.

1 多変数の確率分布

¤

£

¡

確統I L07¢

¨

§

¥

数理統計§4.1¦

1.1 2 変数の離散型確率分布

同時確率分布

Â

Á

¿

À

確率変数

X

のとる値が

{x1, x2,· · · },確率変数Y

のとる値が

{y1, y2,· · · },とする。

『X

=xi

かつ

Y =yj

となる確率』を 同時確率 あるいは 結合確率 と呼ぶ。この確率分布を記号

fXY(x, y)

で表す:

P(X=x, Y =y) =fXY(x, y). ¨

§

¥

統計学(7.1)¦ (1.1)

【例

1.1】2枚のコインA,B

を無作為に投げて表裏を見る。コイン

A

が表

(裏)

の場合

X = 1 (X = 0),コインB

が表

(裏)

の場合

Y = 1 (Y = 0),とする。同時確率 fXY(x, y)

の値は次の表のようになる:

y

x 0 1

0 fXY(0,0) =1

4 fXY(1,0) =1

4 P(Y = 0) =fY(0) =1 2

1 fXY(0,1) =1

4 fXY(1,1) =1

4 P(Y = 1) =fY(1) =1 2

P(X= 0) =fX(0) =1

2 P(X= 1) =fX(1) =1

2 1

1-1 2

つのコインの同時確率分布

【例

1.2】次の6

枚のカードから無作為に

1

枚のカードを引く:

7 8 9 ¦8 9 9

X =

数,Y

= 0(赤札),1(黒札)

とすると,同時確率

fXY(x, y)

の値は次の表のようになる:

y

x 7 8 9

0 fXY(7,0) =1

6 fXY(8,0) =1

3 fXY(9,0) =1

6 P(Y = 0) =fY(0) =2 3

1 fXY(7,1) = 0 fXY(8,1) = 0 fXY(9,1) =1

3 P(Y = 1) =fY(1) =1 3

P(X= 7) =fX(7) =1

6 P(X= 8) =fX(8) =1

3 P(X= 9) =fX(9) =1

2 1

1-2 6

枚のカードの同時確率分布 周辺確率分布

'

&

$

%

同時確率分布

fXY(x, y)

から,X や

Y

の単独の確率分布が求められる:

fX(x) =∑

yj

fXY(x, yj), fY(y) =∑

xi

fXY(xi, y). ¨

§

¥

統計学(7.7)¦ (1.2)

表の周辺にあるので,それぞれ

X,Y

の 周辺確率分布 と呼ばれる。

(5)

2017

確統

II.2

条件付き確率

¨

§

¥

これだけ§2.3¦ '

&

$

% Y =yj

が起きているという条件の下での,事象

X=xi

が起きる確率

(

条件付き確率

)

P(X =xi|Y =yj)

と表す。このとき,以下が成り立つ

P(X =xi, Y =yj) =P(X=xi|Y =yj)P(Y =yj) =P(Y =yj|X =xi)P(X =xi). (2.1)

また,この確率分布を記号

fX|Y(x|y)

で表す:

P(X =xi|Y =yj) =fX|Y(xi|yj), P(Y =yj|X=xi) =fY|X(yj|xi). (2.2)

条件付き確率の性質

'

&

$

%

xi

fX|Y(xi|yj) = 1,

yj

fY|X(yj|xi) = 1. ¨

§

¥

統計学(7.19)¦ (2.3)

・同時確率との関係

fXY(xi, yj) =fX|Y(xi|yj)fY(yj) =fY|X(yj|xi)fX(xi). ¨

§

¥

統計学(7.24)¦ (2.4)

fX|Y(xi|yj) = fXY(xi, yj)

fY(yj) , fY|X(yj|xi) =fXY(xi, yj) fX(xi) . ¨

§

¥

統計学(7.18)¦ (2.5)

・周辺確率との関係

fX(xi) =∑

yj

fX|Y(xi|yj)fY(yj), fY(yj) =∑

xi

fY|X(yj|xi)fX(xi). ¨

§

¥

統計学(7.9)¦ (2.6)

【問

2.1】【例1.2】の確率分布について以下の問いに答えなさい。

(1) E[(9Y + 1)X]

を求めなさい。

(2) 9

の札が出る

(X = 9)

という条件のもとで赤札が出る

(Y = 0)

条件付き確率,f

Y|X(0|9),を求めなさい。

(3)

赤札が出る

(Y = 0)

という条件のもとで

9

の札が出る

(X = 9)

条件付き確率,f

X|Y(9|0),を求めなさい。

【答

2.1】

(1)

E[(9Y + 1)X] = 1

6×(0 + 1)×7 + 1

3×(0 + 1)×8 + 1

6×(0 + 1)×9 +1

3 ×(9 + 1)×9 = 106

3 . (2.7) (2) (2.5)

より

fY|X(0|9) = fXY(9,0) fX(9) = 1/6

1/2 = 1

3. (2.8)

(3) (2.5)

より

fX|Y(9|0) = fXY(9,0) fY(0) = 1/6

2/3 = 1

4. (2.9)

(6)

2017

確統

II.3

.

σ[sigma]シグマ,θ [theta]シータ

1.2 2 変数の連続型確率分布

X,Y

が連続型確率変数の場合は,f

XY(x, y)

は 同時確率密度関数 を意味する。 『(X, Y

)

が領域

A

に属する

確率』が

(和の代わりに)

以下のような積分で表される:

P((X, Y)∈A) =

∫ ∫

A

fXY(x, y)dxdy . ¨

§

¥

統計学(7.5)¦ (3.1)

【例

3.1】ダーツを的に向かって投げる場合を考える。(X, Y)

をダーツが的に当たった場所の座標,同時確率密度

関数を

fXY(x, y) = 1

2πσ2 ex2 +y

2

2 (3.2)

とする。このとき,ダーツが的の中心,(X

= 0, Y = 0),から半径R

の円内に当たる確率

P

は次となる:

P =

∫ ∫

x2+y2R2

fXY(x, y)dxdy= 1 2πσ2

∫ ∫

x2+y2R2

ex2 +y

2

2 = 1

2πσ2

0

R 0

dr r er

2 2

= 2π

2πσ2

[−σ2er

2 2

]r=R

r=0

= 1−eR

2

2. (3.3)

上の

3

つ目の等式では,積分変数を

(x, y)

から

(r, θ)

に変換した

¨

§

¥

桑村p.223¦¨

§

¥

川薩四§8.3¦

x=rcos(θ), y=rsin(θ), dxdy⇒rdrdθ . (3.4)

離散型確率変数の場合の式で,和を積分に置き換えた式が成り立つ:

'

&

$

%

・X ,Y の 周辺確率密度関数

fX(x) =

−∞

fXY(x, y)dy , fY(y) =

−∞

fXY(x, y)dx . ¨

§

¥

統計学(7.8)¦ (3.5)

・Y

=y

を与えたときの

X

の 条件付き確率密度関数

fX|Y(x|y) =fXY(x, y)

fY(y) = fXY(x, y)

−∞fXY(x, y)dx. ¨

§

¥

統計学(7.18)¦ (3.6)

・条件付き確率密度関数と周辺確率密度関数の関係

fX(x) =

−∞

fX|Y(x|y)fY(y)dy , fY(y) =

−∞

fY|X(y|x)fX(x)dx . (3.7)

【問

3.1】次の同時確率密度関数

fXY(x, y) =

3

π ex2+4xy7y2 (3.8)

について,周辺確率密度関数

fX(x),fY(y)

を求めなさい。

(7)

2017

確統

II.4

.

【答

3.1】(3.5)

より次が得られる:

fY(y) =

−∞

fXY(x, y)dx=

3 π e7y2

−∞

ex2+4xydx=

3 π e7y2

−∞

e(x2y)2+4y2dx

=

3 π e3y2

−∞

ez2dz=

√3

π e3y2. (4.1)

上式の

4

つ目の等式では,積分変数を

x

から

z=x−2y

に変換し,5 つ目の等式では以下の公式を用いた:

−∞

ez2dz=

π . ¨

§

¥

桑村p.225¦

¨

§

¥

川薩四(8.7)¦ (4.2)

同様に

fX(x) =

−∞

fXY(x, y)dy=

3 π ex2

−∞

e7y2+4xydy=

3 π ex2

−∞

e7(y27x)2+47x2dy

=

3 π√

7e37x2

−∞

ez2dz=

√ 3

e37x2. (4.3)

となる。上の式の

4

つ目の等式では,積分変数を

y

から

z= 7

( y−2

7x )

に変換した。

確率変数の独立性

¨

§

¥

これだけ§2.4¦ º

¹

·

¸

『確率変数

X

Y

が独立』⇔ 『同時確率

(密度)

関数が周辺確率

(密度)

関数の積になる』,つまり次が成り 立つ:

fXY(x, y) =fX(x)fY(y) ¨

§

¥

統計学(7.22)¦ (4.4)

【例

4.1】

・X と

Y

が独立な場合: 【例

1.1】【例3.1】,

・X と

Y

が独立でない場合: 【例

1.2】【問3.1】

X

Y

が独立な確率変数の場合に成り立つ性質

'

&

$

%

E[φ1(X)φ2(Y)] = E[φ1(X)]E[φ2(Y)], (4.5)

E[X Y] = E[X]E[Y], ¨

§

¥

統計学(7.26)(7.35)¦ (4.6)

V[aX+bY] = a2V[X] +b2V[Y], ¨

§

¥

統計学(7.36)’¦ (4.7)

Cov[X, Y] = 0, ¨

§

¥

統計学(7.27)¦ (4.8)

fX|Y(x|y) = fX(x), fY|X(y|x) =fY(y). ¨

§

¥

統計学(7.23)¦ (4.9)

(4.9)

X(Y)

が起きる確率に

Y(X)

の影響がないことを示す。

これは,X

(Y)

が起きる確率に

Y(X)

の影響がないことを示す。

注意

! X

Y

が独立でなくても成り立つ性質:

E[aφ1(X, Y) +2(X, Y)] = a E[φ1(X, Y)] +b E2(X, Y)], (4.10) V[aX+bY] = a2 V[X] +b2V[Y] + 2ab Cov[X, Y], ¨

§

¥

統計学(7.37a)’¦ (4.11)

Cov[X, Y] = E[(X−µX)(Y −µY)] =E[XY]−E[X]E[Y]. ¨

§

¥

統計学(7.14)¦(4.12)

ここで,µ

X=E[X],µY =E[Y]

(8)

2017

確統

II.5

1.3 ベイズの定理

¨

§

¥

これだけ§2.5¦

¨

§

¥

統計学§4.5.3¦

¨

§

¥

数理統計p.6¦

(2.4),(2.5),(2.6)

を組み合わせると

Y

についての条件付き確率

fX|Y(x|y)

X

についての条件付き確率

fY|X(y|x)

の間の関係が得られる。この関係式をベイズの定理

(公式)

と呼ぶ。

ベイズ

(Bayes)

の定理

'

&

$

%

・X と

Y

が離散型確率変数の場合

fX|Y(x|y) = fY|X(y|x)fX(x)

xifY|X(y|xi)fX(xi). ¨

§

¥

統計学(4.17)¦ (5.1)

・X と

Y

が連続型確率変数の場合

fX|Y(x|y) = fY|X(y|x)fX(x)

−∞fY|X(y|x0)fX(x0)dx0 . (5.2)

【問

5.1】(2013

年度統計検定

2

級 問

9

を一部変更)

ある病気の発生率が7パーセントであることが知られている。この病気のある診断法の性能が次の表のように なっている。ある人がこの検査を受けたところ陽性であった。この人が実際に病気にかかっている確率を求めな さい。

病気の有無\診断結果 陽性 陰性 計 罹病している

0.82 0.18 1.00

罹病していない

0.13 0.87 1.00

5-1

【答

5.1】確率変数X

Y

を考え,診断結果が陽性

(陰性)

の場合は

X = 0 (X = 1)

とし,病気に罹患している

(していない)

場合を

Y = 0 (Y = 1)

とすると,表の内容は以下のようになる;

fX|Y(0|0) = 0.82, fX|Y(1|0) = 0.18, fX|Y(0|1) = 0.13, fX|Y(1|1) = 0.87. (5.3)

また,f

Y(0) = 0.07

である。これらのデータから確率

fY|X(0|0)

を求める問題である。

fY|X(0|0) = fXY(0,0)

fX(0) = fX|Y(0|0)fY(0)

fXY(0,0) +fXY(0,1) = fX|Y(0|0)fY(0)

fX|Y(0|0)fY(0) +fX|Y(0|1)fY(1)

= 0.82×0.07

0.82×0.07 + 0.13×(10.07) 0.32 (5.4)

となる。

(9)

2017

確統

II.6

(参考)

ベイズの定理を用いた母数の推定

¨

§

¥

統計学p.79¦

例として,コインを

n

回投げて

k

回表が出たというデータがある場合を考えよう。このコインの表が出る確率

θ

を推定する。標本数

n

が十分大きく,二項分布が正規分布で近似できる場合に確率

0.95

で成り立つ次の不等式

θˆ1.96

θ(1ˆ −θ)ˆ

n < θ < θˆ+ 1.96

θ(1ˆ −θ)ˆ

n , θˆ= k n

¨

§

¥

統計学(11.59)¦ (6.1)

から,母比率

θ

(信頼係数0.95

の) 信頼区間を得た。

¤

£

¡

確統I L12¢¨

§

¥

これだけ§7.3.6¦¨

§

¥

数理統計§9.3¦

この場合,θ の値 は定まっていて,

θˆ

が確率変数と考えた。

一方,θ が確率変数で,確率密度

fΘ(θ)

に従い,いろいろな値をとるとする考え方があり, ベイズ統計学 と 呼ばれている。

このとき,ベイズの定理,

fΘ|D|D) = fD|Θ(D|θ)fΘ(θ)

fD|Θ(D0)fΘ0)dθ0 , (6.2)

は,観測データがないときに予想した

θ

の確率密度,f

Θ(θ),に(n

回のうち

k

回表が出たという) データ

D

を付け 加えて,“より良い” 確率密度,f

Θ|D|D),を得るための道具として使われる。ここで,fΘ(θ)

(データを得る

前の確率分布という意味で) 事前分布 ,f

Θ|D|D)

(データを得た後の確率分布という意味で)

事後分布 と呼ぶ。また,

fD|Θ(D|θ) = nCk θk (1−θ)nk (6.3)

は,仮定された確率モデルに含まれるパラメータ

(母数),θ,が特定の値をとる場合に,観測データ D

が生じる 確率で, 尤度関数 と呼ばれる。例えば

fΘ(θ)

が区間

(0,1)

の一様分布で,n

= 20,k= 5

の場合の事後分布は

fΘ|D|D) = 325584θ5(1−θ)15 (6.4)

となる

(図6-1)。

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5

95%

|D( | )D

fΘ θ

θ2

θ1

θ

0.2 0.4 0.6 0.8 1

1 2 3 4 5

θ fΘ( )θ

࠺࡯࠲

6-1

事前分布

fΘ(θ)

と事後分布

fΘ|D|D)

この場合について,f

Θ|D|D)

から確率

0.95

となる区間を求めると

0.101 < θ < 0.456 (6.5)

となる。このような区間は

(信頼区間と区別して)

信用区間 と呼ばれる。( なお,n

= 20

は十分大きな標本数 ではないが,この場合の

(24.6)

による信頼区間は

(0.060,0.440)

である。)

ここでは説明を簡単にするためパラメータが

1

個の場合を考えたが,上の手順が実際に用いられるのは,複雑

な現象を説明するための多数のパラメータを含む確率モデルを作る場合である。

(10)

2017

確統

II.7

.

階乗(factorial) n! =n·(n1)· · · ·2·1,0! = 1

nCk= n!

k!(nk)!= n(n1)· · ·(nk+ 1)

k! n個のものからk個を取り出す組み合わせの数

2 モーメント母関数

期待値

E[etX]

を モーメント母関数 あるいは 積率母関数 と呼ぶ。母平均

E[X]

や母分散

V[X] =E[X2] E[X]2

,を求めるのには

E[Xk]

の計算が必要だが,指数関数のテイラー展開

etX =

k=0

tk

k!Xk = 1 +tX+t2

2X2+· · · (7.1)

より,モーメント母関数は全ての

E[Xk]

の情報を持つ。

モーメント母関数

¨

§

¥

これだけ§3.4¦

¨

§

¥

統計学§5.3¦

¨

§

¥

数理統計p.20¦ '

&

$

% MX(t) =E[etX] =

k=0

tk

k!E[Xk]. ¨

§

¥

統計学(5.40)¦ (7.2)

MX(t) = { ∑

xifX(xi)etxi X

が離散型確率変数の場合

−∞fX(x)etxdx X

が連続型確率変数の場合

. ¨

§

¥

統計学(5.41)¦ (7.3)

MX(0) =E[1] = 1, dkMX(t) dxk

¯¯¯¯

t=0

=E[Xk]. ¨

§

¥

統計学(5.42)¦ (7.4)

『X と

Y

が同じモーメント母関数を持つ』

⇐⇒

『X と

Y

が同じ確率分布に従う』,つまり,次が成り立つ:

MX(t) =MY(t) ⇐⇒ fX(z) =fY(z). (7.5)

【問

7.1】離散型確率変数X

が二項分布

B(n, p) ¤

£

¡

確統I L08¢

¨

§

¥

これだけ§4.2¦

¨

§

¥

統計学§6.2¦

¨

§

¥

数理統計p.29¦

に従う

(確率p

で表の出るコインを

n

回投げた時,表の出る回数が

X)

。モーメント母関数

MX(t)

を求めなさい。また,(7.4) よ り,母平均と母分散を求めなさい。

【答

7.1】

fX(x) =nCxpx(1−p)nx x= 0,1,· · ·, n ¨

§

¥

統計学(6.6)¦ (7.6)

より,

MX(t) =

n x=0

nCxpx(1−p)nx etx=

n x=0

nCx ( pet)x

(1−p)nx= (

pet+ 1−p )n

. ¨

§

¥

統計学p.130¦ (7.7)

上の最後の等式で二項定理

(a+b)n=

n x=0

nCx axbnx (7.8)

を用いた。次に,

dMX(t)

dt =

d (

pet+ 1−p )n

dt =n

(

pet+ 1−p )n1 d

(

pet+ 1−p ) dt =npet

(

pet+ 1−p )n1

, (7.9) d2MX(t)

dt2 = npdet dt

(

pet+ 1−p )n1

+npet d

(

pet+ 1−p )n1

dt

= npet (

pet+ 1−p )n1

+npet (n1) (

pet+ 1−p )n2

pet (7.10)

より,

E[X] = dMX(t) dx

¯¯¯¯

t=0

=np , E[X2] = d2MX(t) dx2

¯¯¯¯

t=0

=np+n(n−1)p2 (7.11)

なので,母平均

E[X]

と母分散

V[X]

は以下となる:

E[X] =np , V[X] =E[X2]−E[X]2=np(1−p). ¨

§

¥

統計学(6.8)¦ (7.12)

(11)

2017

確統

II.8

.

Z

−∞ez2dz= π (4.2)

【問

8.1】連続型確率変数X

が正規分布

N(µ, σ2) ¤

£

¡

確統I L09¢

¨

§

¥

これだけ§4.7¦

¨

§

¥

統計学§6.6¦

¨

§

¥

数理統計p.36¦

に従う。モー メント母関数

MX(t)

を求めなさい。また,(7.4) より,母平均と母分散を求めなさい。

【答

8.1】

fX(x) = 1

2πσ2exp (

(x−µ)22

) ¨

§

¥

統計学(6.19a)¦ (8.1)

より,

MX(t) = 1

2πσ2

−∞

exp (

(x−µ)22 +tx

)

dx= 1

2πσ2

−∞

exp (

−x22(µ+σ2t)x+µ22

) dx

= 1

2πσ2

−∞

exp

−

(

x−(µ+σ2t) )2

2µσ2t−σ4t22

dx

= exp (

µt+σ2t2 2

) 1

√π

−∞

ez2dz= exp (

µt+σ2t2 2

)

. (8.2)

上の

4

つ目の等式では積分変数を

x

から

z= x−(µ+σ2t)

に変換し,(4.2 ) を用いた。次に,

dMX(t)

dt =

dexp (

µt+σ22t2 )

dt = exp

(

µt+σ2t2 2

) d (

µt+σ22t2 )

dt = exp

(

µt+σ2t2 2

) (µ+2) ,(8.3)

d2MX(t) dt2 =

dexp (

µt+σ22t2 ) dt

(µ+2) + exp

(

µt+σ2t2 2

)d(

µ+2) dt

= ((

µ+2)2

+σ2 )

exp (

µt+σ2t2 2

)

(8.4)

より,

E[X] = dMX(t) dx

¯¯¯¯

t=0

=µ , E[X2] = d2MX(t) dx2

¯¯¯¯

t=0

=µ2+σ2 (8.5)

なので,母平均

E[X]

と母分散

V[X]

は以下となる:

E[X] =µ , V[X] =E[X2]−E[X]2=σ2. ¨

§

¥

統計学(6.20),(6.21)¦ (8.6)

正規分布のモーメント母関数

º

¹

·

¸

正規分布

N(µ, σ2)

に従う連続型確率変数

X

のモーメント母関数:

MX(t) = exp (

µt+σ2t2 2

)

. ¨

§

¥

統計学p.131¦ (8.7)

【問

8.2】確率変数X

のモーメント母関数を

MX(t)

とするとき,確率変数

Y =aX+b (a,b

は定数) のモーメン ト母関数

MY(t)

を求めなさい。また,(7.4) より,X と

Y

母平均と母分散の関係を導きなさい。

【答

8.2】

MY(t) =E[etY] =E[et(aX+b)] =E[etb eatX] =etb E[eatX] =etb MX(at). (8.8)

(12)

2017

確統

II.9

次に

dMY(t)

dt =

d (

etbMX(at) ) dt =detb

dt MX(at) +etb dMX(at) dt

= betb MX(at) +etb dMX(s) ds

¯¯¯¯

s=at

d(at) dt =etb

(

bMX(at) +aMX0 (at) )

. (9.1)

ここで,M

X0 (t)

MX(t)

1

階導関数を表す。また,

d2MY(t)

dt2 = d dt

( etb

(

bMX(at) +aMX0 (at) ))

=detb dt

(

bMX(at) +aMX0 (at) )

+etbd dt

(

bMX(at) +aMX0 (at) )

= betb (

bMX(at) +aMX0 (at) )

+etb (

baMX0 (at) +a2MX00(at) )

= etb (

b2MX(at) + 2abMX0 (at) +a2MX00(at) )

. (9.2)

ここで,M

X00(t)

MX(t)

2

階導関数を表す。

従って,

E[Y] = dMY(t) dx

¯¯¯¯

t=0

=e0 (

bMX(0) +aMX0 (0) )

=bE[1] +aE[X] =b+aE[X], (9.3) E[Y2] = d2MY(t)

dx2

¯¯¯¯

t=0

=e0 (

b2MX(0) + 2abMX0 (0) +a2MX00(0) )

=b2E[1] + 2abE[X] +a2E[X2]

= b2+ 2abE[X] +a2E[X2], (9.4)

なので,母平均

E[Y] =E[aX+b]

と母分散

V[Y] =V[aX+b]

は以下となる:

E[aX+b] = aE[X] +b , ¨

§

¥

これだけp.66¦

¨

§

¥

統計学(5.25b,c)¦

¤

£

¡

¢

確統I L05 (9.5)

V[aX+b] = E[Y2]−E[Y]2=a2E[X2] + 2abE[X] +b2(

aE[X] +b )2

=a2 (

E[X2]−E[X]2 )

= a2V[X]. ¨

§

¥

これだけp.66¦

¨

§

¥

統計学(5.29b,c)¦

¤

£

¡

確統I L05¢ (9.6)

【問

9.1】確率変数X

Y

が独立な場合,Z

=X+Y

のモーメント母関数を求めなさい。

【答

9.1】

MZ(t) =E[etZ] =E[et(X+Y)] =E[etX etY](4.5=)E[etX] EetY] =MX(t)MY(t). (9.7)

モーメント母関数の性質

'

&

$

%

・aX

+b

のモーメント母関数

MaX+b(t) =etbMX(at). ¨

§

¥

これだけ(p.67)¦ (9.8)

・X と

Y

が独立なときの,X

+Y

のモーメント母関数

MX+Y(t) =MX(t)MY(t). ¨

§

¥

これだけ(p.67)¦

¨

§

¥

統計学(7.28)¦

¨

§

¥

数理統計p.61¦ (9.9)

【問

9.2】独立な確率変数X

Y

がそれぞれ次の正規分布に従うとする:

X ∼N(µ1, σ12), Y ∼N2, σ22). (9.10)

このとき,Z

=X+Y

が従う確率分布を

(9.9)

を用いて求めなさい。

(13)

2017

確統

II.10

.

d dt

f(t) g(t)

«

=f0(t)g(t)f(t)g0(t) g(t)2

【答

9.2】(8.7)

より

MX(t) = exp (

µ1t+σ21t2 2

)

, MY(t) = exp (

µ2t+σ22t2 2

)

(10.1)

なので,(9.9) より

MZ(t) =MX(t)MY(t) = exp (

1+µ2)t+σ21+σ22 2 t2

)

(10.2)

となる。この式と

(8.7)

を比較して,Z

=X+Y

は母平均が

µ1+µ2

,母分散が

σ21+σ22

の正規分布に従うことが わかる。

正規分布に従う独立な確率変数の和

®

­

© X ∼N1, σ21), Y ∼N(µ2, σ22) = X+Y ∼N( ª

µ1+µ2, σ21+σ22)

. ¨

§

¥

統計学p.151¦ (10.3)

注意

!

正規分布の例のように,同じ種類の確率分布に従う独立な確率変数

X

Y

の和,

Z=X+Y

, もまた 同じ種類の確率分布

(ただしパラメタは別でもよい)

に従うとき, この確率分布は 再生的 であるという。

モーメント母関数の対数,log

MX(t), (

キュミュラント母関数 と呼ばれる) を考えると,

d

dtlogMX(t) =MX0 (t) MX(t), d2

dt2logMX(t) = MX00(t)MX(t)(MX0 (t))2

MX(t)2 (10.4)

となるので,以下が成り立つ:

d

dtlogMX(t)¯¯

¯¯t=0

= MX0 (0)

MX(0) =E[X], (10.5)

d2

dt2logMX(t)¯¯

¯¯t=0

=

MX00(0)MX(0)( MX0 (0)

)2

MX(0)2 =E[X2]( E[X]

)2

=V[X]. (10.6)

キュミュラント

(cumulant)

母関数

¨

§

¥

数理統計p.20¦ Â

Á

¿

À logMX(t) = tE[X] +t2

2V[X] +· · ·, (10.7)

MX(t) = exp (

tE[X] +t2

2V[X] +· · ·)

. (10.8)

独立同分布

(i.i.d.) ¤

£

¡

確統I L09¢

²

±

¯

°

確率変数

{X1, X2,· · ·, Xn}

が, たがいに独立で, すべて同じ確率分布に従うとする。これを

{X1, X2,· · ·, Xn}

は独立同分布に従う

(i.i.d.=independent and identically-distributed)

という。

【例

10.1】箱の中に入ったカードを無作為にn

枚取り出す試行を考えよう。取り出したカードを毎回箱に戻す場合

(

復元抽出

),k

枚目のカードの数字

Xk

は独立同分布の確率変数となる。取り出したカードを箱に戻さない場 合

(

非復元抽出

)

も,箱の中のカードの枚数が取り出すカードの枚数に比べて十分大きい場合は,カードの数 字は近似的に独立同分布の確率変数であるとみなせる。

¨

§

¥

統計学p.110¦

¨

§

¥

数理統計p.27¦

(14)

2017

確統

II.11

【問

11.1】確率変数{X1, X2,· · ·, Xn}

が, たがいに独立で, すべて同じ確率分布に従うとする。また,そのモーメ ント母関数を

MX(t)

とする。このとき,{

X1, X2,· · ·, Xn}

を標本と考えた場合の標本平均

X¯(n)=X1+X2+· · ·+Xn

n (11.1)

のモーメント母関数を求めなさい。

【答

11.1】

E[ exp(

tX¯(n)

)]=E [

etX1/netX2/n· · ·etXn/n ]

= (

E [

etX1/n ])n

= (

MX

(t n

))n

. (11.2)

次に,標本数

n

が大きい極限で,

X¯(n)

がどんな確率分布に従うかを考える。X

1

の母平均を

µ,母分散をσ2

と すると,(10.8) より

MX(t)

MX(t) = exp (

+t2

2σ2+O(t3) )

(11.3)

となる。ここで,O(t

3)

はランダウの記号。

注意

!

ランダウ

(Landau)

の記号

¤

£

¡

桑村 付録E¢

¨

§

¥

川薩四p.114¦

tlim0

¯¯¯¯g(t) tn

¯¯¯¯

有限の値

(11.4)

であるとき,g(t) を

tn

で抑えられる無限小 といい

g(t) =O(tn) (11.5)

と 書 く。O(t

n)

と 表 さ れ る 部 分 が ,t

0

の と き

tn

と 少 な く と も 同程度に小さい量 であることを示している。(O(t

n) = (何らかの係数)× tn

みたいなもの。)

O

は「程度」を意味する

“order”

の頭文字を表す。

以上から,

X¯(n)

のモーメント母関数の標本数

n

が大きい極限は以下となる:

nlim→∞

( MX

(t n

))n

= lim

n→∞

( exp

(t + t2

2n2σ2+O (t3

n3 )))n

= lim

n→∞exp (

+ t2 2nσ2+O

(t3 n2

))

= exp(tµ). (11.6)

モーメント母関数が

eµt

となるのは,確率変数が確率

1

µ

という値を取る場 合なので,この結果は,標本数が大きくなるにつれて,標本平均が母平均に近 い値をとる確率が

1

に近づくことを意味する。これを大数の法則と呼ぶ。

(1) 1

X = X X

(4)

X

(9)

11-1

大数の法則 大数の弱法則

¤

£

¡

確統I L09¢

¨

§

¥

これだけ§5.2¦

¨

§

¥

統計学§8.1¦

¤

£

¡

数理統計 定理6.10¢ º

¹

·

¸

確率変数

X1, X2,· · ·, Xn

が,母平均

µ,母分散σ2

の独立同分布に従うとする。

∀² >0

に対して,

lim

n→∞P(¯¯

¯¯X1+X2+· · ·+Xn

n −µ¯¯

¯¯ < ² )

= 1 (11.7)

参照

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