中学校数学 第２学年
４ 図形の調べ方 [問題]
中学校
年 組 号 氏名
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査①
１ 下の図で，直線ℓ ，mは平行です。このとき，∠x の大きさを求めなさい。【H19】
２ 下の図で，直線ℓ ，直線 m は平行です。このとき， ２つの角の和が１８０°になるものを，下のア からオの中から１つ選びなさい。【H20】
ア ∠eと∠g
イ ∠cと∠h
ウ ∠aと∠e
エ ∠aと∠g
オ ∠dと∠f
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査②
次の図のように，２つの直線ℓ ，m に１つの直線n が交わっています。このとき，∠x の同位角 について，下のアからオまでの中から正しいものを１つ選びなさい。【H21】
ア ∠x の同位角は∠aである。
イ ∠x の同位角は∠bである。
ウ ∠x の同位角は∠cである。
エ ∠x の同位角は∠dである。
オ ∠x の同位角は∠aから∠dまでの中にはない。
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査③
下の図のように，n 角形は１つの頂点からひいた対角線によって，いくつかの三角形に分けられま す。【H20】
このことから，n角形の内角の和は １８０°×(n－２) で表すことができます。この式の(n－２) は，
n角形において何を表していますか。下のアからオの中から１つ選びなさい。
ア 頂点の数 イ 辺の数 ウ 内角の数
エ １つの頂点からひいた対角線の数
オ １つの頂点からひいた対角線によって分けられた三角形の数
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査④
千夏さんは，「三角形の内角の和は１８０°である。」という性質が成り立つ理由を，次のように考え ました。【H20】
上の ① ， ② に当てはまることがらを
，
下のアからエの中からそれぞれ１つずつ選 びなさい。ア 対頂角は等しい
イ 平行線の同位角は等しい ウ 平行線の錯角は等しい
エ 三角形の内角の和は１８０°である
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑤
次の図１，図２は，多角形の各頂点において一方の辺を延長したものです。この２つの図で，それぞ れ印を付けた角（ ）の和を比べるとき，どのようなことがいえますか。下のアからエまでの中 から正しいものを１つ選びなさい。【H21】
ア 図１で印を付けた角の和と図２で印を付けた角の和は等しい。
イ 図１で印を付けた角の和の方が大きい。
ウ 図２で印を付けた角の和の方が大きい。
エ 図１で印を付けた角の和と図２で印を付けた角の和のどちらが大きいかは，問題の条件からだ けでは分からない。
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑥
右の三角形と合同な三角形を，下のアからエ の中から１つ選びなさい。【H20】
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑦
次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。【 H22】
(1) 次 の 図 の △ Ａ Ｂ Ｃ で ， 頂 点 Ｃ に お け る 外 角 ∠ x の 大 き さ は ， ∠ a と ∠ b を 用 い て ど の よ う に 表 さ れ ま す か 。 下 のアか らオま で の 中 か ら 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。
ア ∠a ＋ ∠ b
イ ∠a − ∠ b
ウ １ ８ ０ °− ∠ a
エ １ ８ ０ °− （ ∠ a ＋ ∠ b ） 【 解 答 】
オ １ ８ ０ °− （ ∠ a − ∠ b ）
(2) 図 １の 五 角 形 の 頂 点 Ｐ を 動 か し ， ∠ Ｐ の 大 き さ を９ ０ °に 変 え て ，図 ２の よ う な 五 角 形 に し ま す 。
Ｐ Ｐ
こ の と き ， 五 角 形 の 内 角 の 和 は ど う な り ま す か 。 下 のアか らエま で の 中 か ら 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。
ア 五 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １よ り図 ２の 方 が 小 さ く な る 。 イ 五 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １と図 ２で は 変 わ ら な い 。 ウ 五 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １よ り図 ２の 方 が 大 き く な る 。
エ 五 角 形 の 内 角 の 和 が ど う な る か は ， 問 題 の 条 件 だ け で は 決 ま ら な い 。
【 解 答 】 Ａ
Ｂ Ｃ
a
b x
図１ 図２
第２学年 ４ 図形の調べ方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑧
次 の 図 の よ う に 線 分 Ａ Ｂ と 線 分 Ｃ Ｄ が そ れ ぞ れ の 中 点 Ｏ で 交 わ っ て い る と き ， 次 の こ と が ら が 成 り 立 ち ま す 。【 H22】
Ａ Ｏ ＝ Ｂ Ｏ ， Ｃ Ｏ ＝ Ｄ Ｏ な ら ば Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ で あ る 。
上 の こ と が ら 「 Ａ Ｏ ＝ Ｂ Ｏ ， Ｃ Ｏ ＝ Ｄ Ｏ な ら ば Ａ Ｃ ＝ Ｂ Ｄ で あ る 。」 の 中 で ， 仮 定 に あ た る 部 分 を す べ て 書 き な さ い 。
【 解 答 】
Ａ
Ｃ
Ｄ
Ｂ Ｏ
第２学年 ４ 図形の調べ方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑨ Ａ問題
次 の (1)， (2)の 各 問 い に 答 え な さ い 。【 H23】
(1) 下 の 図 で ， 直 線
•
，m は 平 行 で す 。 こ の と き ， ∠x の 大 き さ を 求 め な さ い 。•
m
【 解 答 】
度
(2) 下 の 図 の よ う な 合 同 な ２ つ の 三 角 形 が あ り ま す 。こ の と き ，∠ x の 大 き さ を 求 め な さ い 。
【 解 答 】
度 ３２°
１０８°
４ｃｍ
１０８°
４ｃｍ
x
６０°
７０°
５０°
x
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑩ Ａ問題
図 １の よ う に 五 角 形 の 外 側 に 点 Ｐ を と り ，図 ２の 六 角 形 を つ く る と ， 頂 点 Ｐ に お け る 内 角 は １ ２ ０ °に な り ま し た 。【 H23】
図 １ 図 ２
図 ２の 六 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １の 五 角 形 の 内 角 の 和 と 比 べ て ど う な り ま す か 。 下 のアか ら オま で の 中 か ら 正 し い も の を １ つ 選 び な さ い 。
ア 図 ２の 六 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １の 五 角 形 の 内 角 の 和 よ り１ ２ ０ °大 き く な る 。
イ 図 ２の 六 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １の 五 角 形 の 内 角 の 和 よ り１ ８ ０ °大 き く な る 。
ウ 図 ２の 六 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １の 五 角 形 の 内 角 の 和 よ り３ ６ ０ °大 き く な る 。
エ 図 ２の 六 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １の 五 角 形 の 内 角 の 和 と 変 わ ら な い 。
オ 図 ２の 六 角 形 の 内 角 の 和 は ，図 １の 五 角 形 の 内 角 の 和 と 比 べ て ど う な る か は ， 問 題 の 条 件 だ け で は 決 ま ら な い 。
【 解 答 】
Ｐ １２０° Ｐ
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
中学校数学 第２学年
４ 図形の調べ方 [解答例]
中学校
年 組 号 氏名
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査①
１ ℓ３// mより，同位角が等しくなるので，
図より，∠xは７０°である。
答え ∠x＝７０°
２ ℓ３//mより，錯角が等しくなるから，
∠e＝∠c ……① また，一直線上に角が並ぶから，
∠e＋∠h＝１８０° ……② よって，①，②より
∠c＋∠h＝１８０°
となる。
答え イ
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査②
∠xと同位角の関係にあるのは，∠d。
∠xと錯角の関係になるのは，∠b。
∠xの対頂角は∠a。
答え エ
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査③
１つの頂点からひいた対角線によって，いくつかの三角形に分けられるので，四角形，五角形，六角 形のときを考えてみる。
四角形の場合 五角形の場合 六角形の場合
三角形の個数は２個 三角形の個数は３個 三角形の個数は４個
つまり，１つの頂点からひいた対角線によってできる三角形の個数は，頂点の数より２個少なくな ることが分かる。
多角形 三角形 四角形 五角形 六角形 …… n角形
三角形の個数 １ ２ ３ ４ …… n－２
内角の和 １８０°×１ １８０°×２ １８０°×３ １８０°×4 …… １８０°×(n－２)
よってn角形のときは，１つの頂点からひいた対角線によってできる三角形の個数は，頂点の数よ り２個少ないから，(n－２)個となる。
答え オ
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査④
ＢＡ∥ＣＥと図より，
錯角は等しいので， ∠a＝∠a'
同位角は等しいので， ∠b＝∠b'
となる。
答え ①……ウ ②……イ
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑤
多角形の外角の和は常に３６０°である。
多角形の外角の和が３６０°になる説明はいくつかあるが，ここではその１例をあげる。
上の図のようにn角形があり，内角を∠ a，∠ b，∠c，・・・とする。また，各辺を延長して外角 をとり，それぞれ内角に対して，∠a´，∠b´，∠c´，・・・とする。
(∠a＋∠a´)＋(∠b＋∠b´)＋(∠c＋∠c´)＋・・・＝１８０°×n
かっこをはずして，整理すると，
(∠a＋∠b＋∠c＋・・・)＋(∠a´＋∠b´＋∠ c´＋・・・)＝１８０°×n (n角形の内角の和) (n角形の外角の和)
n角形の内角の和は，１８０°×(n－２)であるので，
１８０°×(n－２)＋(n角形の外角の和)＝１８０°×n
ｱ (n角形の外角の和)＝１８０°×n－１８０°×(n－２)
＝１８０°×n－１８０°×n＋１８０°×２
＝３６０°
よって，図１，図２とも外角の和は３６０°である。
答え ア
a´ a
b
b´ c
c´
a
b
c n角形
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑥
三角形の３つの合同条件にあてはめて考えていく。
①３辺がそれぞれ等しい。
②２辺とその間の角がそれぞれ等しい。
③１辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
与えられた図から，③の合同条件が使えることが分かる。
答え ア
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑦
(1) ア
【 ポ イ ン ト 】
三 角 形 の 内 角 ・ 外 角 の 性 質 に ，
「 三 角 形 の １ つ の 外 角 は ， そ の と な り に な い ２ つ の 内 角 の 和 に 等 し い 。」
が あ っ た ね 。 こ の 図 で は ，
∠ x ＝ ∠ a ＋ ∠ b の 関 係 が 成 り 立 つ よ 。
(2) イ
【 ポ イ ン ト 】
n 角 形 の 内 角 の 和 は ，１ ８ ０ °× (n − ２ )で 求 め ら れ た よ ね 。 だ か ら ， ど ん な 五 角 形 で も 内 角 の 和 は５ ４ ０ °に な る よ 。
第２学年 ４ 図形の調べ方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑧
Ａ Ｏ ＝ Ｂ Ｏ ， Ｃ Ｏ ＝ Ｄ Ｏ
【 ポ イ ン ト 】
○ ○ ○ な ら ば ， □ □ □
と 表 さ れ る 文 の 中 で ，「 な ら ば 」 の 前 に 書 か れ て い る ○ ○ ○ の 部 分 を 仮 定 と い っ た よ ね 。 ま た ，
「 な ら ば 」 の 後 に 書 か れ て い る □ □ □ の 部 分 を 結 論 と い っ た ね 。
第２学年 ４ 図形の調べ方
■知識・技能の習得を図る問題[解答] 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑨ Ａ問題
(1) ６ ０ 度 【 ポ イ ン ト 】
平 行 線 の 性 質 よ り ，
平 行 線 間 に で き る 錯 角 は 等 し く な る の で ，６ ０度 に な る よ 。
(2) ４ ０ 度
【 ポ イ ン ト 】
２ つ の 三 角 形 は 合 同 で ， Ｂ Ｃ ＝ Ｄ Ｆ だ か ら ， ∠ Ｅ に 対 応 す る の 角 は ， ∠ Ａ に な る ね 。
∠ Ａ ＝１ ８ ０ °－ （１ ０ ８ °＋３ ２ ° ）＝４ ０ °だ か ら ， ∠ x の 大 き さ は ，４ ０度 に な る よ 。
次 の よ う に 図 形 を 動 か し て み よ う 。 ２ つ の 三 角 形 を
△ Ａ Ｂ Ｃ と △ Ｄ Ｅ Ｆ と す と ， 辺 Ｂ Ｃ と 辺 Ｄ Ｆ の 長 さ が 等 し く な っ て い る ね 。
辺 Ｂ Ｃ と 辺 Ｄ Ｆ が 平 行 に な る よ う に ，
△ Ｄ Ｅ Ｆ を 点 Ｆ を 中 心 と し て 回 転 移 動 さ せ て み る よ 。
辺 Ｄ Ｆ と 垂 直 に な る 直 線•
を ひ き ，
こ の 直 線 を 対 称 の 軸 と し て ， △ Ｄ Ｅ Ｆ を 対 称 移 動 さ せ て 考 え る と 分 か り や す い よ 。
３２°
１０８°
４ｃｍ
１０８°
４ｃｍ
x
３２°
１０８°
４ｃｍ
１０８°
４ｃｍ x
x
３２°
１０８°
４ｃｍ
１０８°
４ｃｍ Ａ
Ａ
Ａ Ｂ
Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｆ
Ｅ
Ｆ Ｄ
Ｄ Ｆ
Ｅ
• ６０°
７０°
５０°
x
錯角
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
■知識・技能の習得を図る問題 年 組 号 氏名
■全国学力・学習状況調査⑩ Ａ問題
イ
【 ポ イ ン ト 】
多 角 形 の 内 角 の 和 は ， 頂 点 が １ つ 増 え る と ， ∠ Ｐ の 大 き さ に 関 係 な く ， 三 角 形 の 内 角 の 和 （１ ８ ０ °） の 分 だ け 大 き く な る の で ， 答 え はイに な る よ 。
Ｐ Ｐ Ｐ
第 ２ 学 年 ４ 図形 の 調 べ 方
