19世 紀 前半 にお け る独 仏の数学 (1>
19世 紀 前 牛 に お け ろ独 仏 の数 学
武 隈 良 一
§1.ド イ ツ
18世 紀 に お い て ふ るわ な か つ た ドイ ツ は ガ ウス を 生 む こ とに よ つ て 面 目 を 一 新 し こ の 世 紀 に お け る学 界 最 高 の地 位 を か ち え た 。
ガ ウ ス(KarlFriedrichGauss,1777‑1855)の 偉 大 さ を ク ラ ィ ン が 評 価 して 「彼 に比 す べ き史 上 の 偉 人 は た だ2人 の 先 駆 者 アル キ メ デ ス,ニ ュ ー㍉トン あ る の み 」 と述 べ て い る が,実 際 彼 は 単 に 博 学 で あ つ た ば か りで な く,数 学 の 各 分 野 に お い て 大 きな 金 字 塔 を うち立 て た意 味 に お い て 真 のuniversalistと い え る 。
ブ ラ ウ ン シ ・ ワ ィ ヒに お い て 煉 瓦 職 人 の 子 と し生 れ た彼 は 当 時 の 領 主 の 援 助 に よ っ て1795年 ゲ ッ テ ィ ンゲ ン大 学 に 入 学 し た 。 は じ め は 言 語 学 と数 学 の い ず れ を専 攻 しよ うか と迷 つ た とい う。1798年 同 大 学 を卒 業 し1799年 ヘ ル ム シ ュ
テ ・ ト大 学 に お い て 学 位 を得 た 。 学 位 論 文 は 「代 数 学 の 基 本 定 理 」 す な わ ち代 数 方 程 式 の 根 の 存 在 の 証 明 に つ い て で あ る。 そ れ 以 後 郷 里 ブ ラ ゥ ン シ昌ワィヒに 帰 り領 主 の 援 助 の 下 に 研 究 に 従 事 し た 。1807年 ゲ 。テ ィンゲ ン に 新 設 され た 天 文 台 に 赴 任 し て か らは 死 に 到 る ま で そ の 地 に と ど ま り同 地 母 校 の 大 学 教 授 兼 天 文 台 長 と し て 輝 か し い 足 跡 を残 し た 。彼 は数 学 の 研 究 と と もに 天 文 学 へ の 関 心 が 深 くま た ラ テ ン語 を し き りに 用 い た こ とが 目 立 つ 。
さ きに 述 べ た よ うに ガ ウ ス が 学 界 ヘ デ ビ ュ し た の は.「代 数 学 の 基 本 定 理 」 の 証 明 に よ っ て で あ り,そ の 論 文 の 題 名 は 「1変 数 の す べ て の 有 理 整 代 数 函 数 が1次 と2次 の 実 因 数lc'分 解 で きる とい う定 理 の 新 ら しい 証 明1(Demonstratio novatheorematisomnemfunctionemalgebraicamrationalemintegram
uniusvariabilisinfactoresrealesprimivelrecondigradusresolviposse.
(2)人 文 研 究 第 十七輯
1799)で あ る。 こ れ に よ りジ ラル や ゲ ラ ンベ ー ル の 定 理 は 厳 格 に 証 明 され た こ と に な る 。 彼 は ま た後 年3つ の別 証 明 を 与え た 。
っ い で 「数 論 研 究 」(Disquisitionesarithmeticae,1801)を 著 わ し た が こ れ は ガ ウ ス の 傑 作 の1つ に 数 え られ て い る。 彼 は 数 論 を特 に 愛 好 し 「数 学 は 科 学 の 女 王 で あ り,数 論 は 数 学 の 女 王 で あ る」 とい つ た 。 ま た友 人 へ の 手 紙 の な か に 「少 く と も 自分 に とっ て は 高 等 整 数 論 の 研 究 は今 後 と も数 学 の な か で 最 上 の もの とな り,い か ほ ど美 しい 天 文 学 上 の 発 見 も高 等 整 数 論 の 与 え る喜 び に 比 べ れ ば と るに 足 らな い 」 と語 っ て い る 。
こ の 書 の 内 容 は 当 時 ま で に 得 られ た 結 果 に彼 の 創 意 を加 味 し た もの で,現 代 整 数 論 の 端 緒 は ル ジ.ン ドル の 「整 数 論 」 で は な くこ の 書 に は じ ま る と定 評
され る 。 同 一 の 整 数 で 割 つ た と きに 剰 余 が 同 じ に な る整 数 を 「合 同数 」 とい う が,こ の書 物 は 合 同 の 概 念 を導 入 して 整 数 論 を 新 し く組 立 て た こ と が特 色 で あ る。 以 下 な か に も著 名 な もの を あ げ る と,先 ず 平 方 剰 余 の 相 互 法 則 の 証 明 で あ る が こ れ は1796年 に 得 られ た 。 彼 は 後 年 こ れ に対 して さ らに5つ の 別 証 明 と生 前 未 発 表 の2つ の 証 明 を 得 た 。 ま たx"‑1=0の 根 の 研 究 す な わ ち 円 周 の 分 割 問 題 を 最 終 に 述 べ て い る が,こ れ は正17辺 形(一 般 に は 正n辺 形,n=2m+1,
m=2k,た だ しnは 素 数)の 作 図 に 端 を 発 す る もの で あ る 。 「ガ ウス の 日記 」 に よ る と1796年3月30日 の 朝 寝 床 を は な れ る 刹 那 に こ の 作 図 が 得 られ た とい
う。 正17辺 形 の 作 図 法 の 発 見 は ガ ウ ス を し て数 学 を 専 攻 せ し め る動 機 に な つ た と伝 え られ る が,実 際19世 紀 第 一 の 数 学 者 の 首 途 に ふ さわ し い 業 蹟 とい え よ う。
学 位 論 文 や 「数 論 研 究 」 に よ る と ガ ウス は早 くか ら複 素 数 の幾 何 学 的 表 示 を 知 っ て い た よ うに 見 受 け られ る 。 元 来 虚 数 は18世 紀 に 盛 ん に 用 い られ た が そ れ は 記 号 計 算 に と どま めV;1の 真 意 に 徹 しな か つ た 。 虚 数 を 「仮 りの 数 」 で な くす る アこめ に 幾 何 学 的 表 示 を試 み ナこ最 初 の 人 は ウ ォ リス(1693)で あ つ た が これ は2次 方 程 式 の 図式 解 法 に と ど ま り方 法 は 普 遍 的 で は な か っ た 。 つ い で ノ ル ウ。・・一の ヴ,ッセ ル(CasparWessel,1745‑1818)が1797年 デ ン マル クの ア カ デ ミー に 提 出 し た 論 文 の な か に 現 在 行 わ れ て い る表 示 法 を 発 表 し た 。 し か し こ
19世 紀 前 半 に お け る 独 仏 の 数 学(3)
れ は そ の 仏 訳 が1897年 に 出 る ま で あ ま り注 意 さ れ な か っ た 。 まtcス ウ ィ ス の ア ル ガ ン(JeanRobertArgand,1768‑一 一1822)も 「虚 数 を 幾 何 学 的 作 図 に よ つ て 表 わ す 一 つ の 方 法 に つ い て の 試 論 」(Essaisurunemaniこrderepr6senter
lesquantit6simaginairesdanslesconstructiong60m6triques,1806)に お い て 同 様 の 表 示 法 を 発 表 し た が 余 り注 目 さ れ な か つ た 。 ガ ウ 象 は1811年12月18日 ベ ッ セ ル へ の 手 紙 の な か に 「… … す べ て の 実 数 が 無 限 蔵 線 上 の 点 で 表 わ さ れ る よ う に,唯 数 は1つ の 無 限 に 拡 が つ た 平 面 上 の 点 で 表 わ す こ と が で き る 。 こ の と き横 軸 上 に 実 数aに 対 応 す る 点 を と り,縦 軸 上 に 実 数bに 対 応 す る 点 を と り,こ れ ら を 通 つ て 座 標 軸 に 平 行 な 直 線 を ひ く と そ の 交 点 がa+ibを 表 わ す 点 と な る 。 … … 」 と 書 い て お り,ま た1831年 の 論 文 「4次 剰 余 の 理 論 」 に お い て 明 確 に こ れ を 発 表 し た 。 こ の よ う にa+biを 平 面 上 に 表 わ す と き こ の 平 面 を
「グ ウ ス の 平 面 」 又 は 「数 平 面 」 と よ ぶ 。 な おa+biはa・1+b・iか ら 得 ら れ る の で こ れ を複 素 数 と名 づ け た の はガ ウ ス で あ る。
さて19世 紀 の最 初 の 日す な わ ち1801年1月1日 に イ タ リア の 天 文 学 者 ピ ア ッ ッィ(GiuseppePiazzi,1746‑1826)が ケ レス と名 づ け られ た最 初 の 小 遊 星 を 発 見 し た 。 こ の 新 しい 星 の 観 測 可 能 の 時 間 は 短 か い の で,僅 か の 観 測 か ら遊 星
の鯨 道 を 決 定 す る闘 題 が起 つ た がsガ ウ ス は これ を 完 全 に 解 い た ・ ま た1802年 に 第2の 小 遊 星 パ ラ ス が 発 見 さ れ た と き,遊 星 の 摂 動 に 興 味 を も ち,っ い て 摂 動 論 に 有 効 な 改 良 さ れ た 方 法 を 創 造 し た 。 こ れ に 関 す る 代 表 的 な 著 書 と し て
「天 体 運 動 論 」(Theoriamotuscorporumcoelestium,1809)が あ る 。 こ の 出 版 に 際 し 最 小2乗 法 を 発 表 し 誤 差 の 理 論 を 組 立 て て 近 似 計 算 の 信 頼 度 を し め し た 。 こ の と き の 計 算 に よ り 予 言 し た 時 刻 に ケ レ ス が 現 れ た 。
ち よ う ど こ の 頃 「無 限 級 数 に 関 す る 一 般 論 」(Disquisitionesgenerales circaserieminfinitam・ ・… ・,1812)を 発 表 し た が,そ れ は 超 越 幾 何 級 数
α(γ+1)β(β+1) α・β
F(α,β,γ,u)=1十u2十 … …u十2!γ2!(γ+1)
を と り あ つ か つ た も の で,級 数 の 収 敏 に つ い て の 最 初 の 体 系 的 研 究 で あ る 。 こ の 級 数 は オ イ ラ ー が 次 の 函 数 の 形
(4)人 文 研 究 第十七輯
F(a・B・r・u)一 而 睾 β)∫lxβ(i‑x)y'β 一(・‑ux)㌔x
で 知 っ て い た も の で あ る が,プ フ ァ。フ(JohannFriedrichPfaff,1765‑‑1825) を 通 じ て こ の 函 数 を 知 つ た ガ ウ ス は さ ら に こ れ が 次 の 線 型 微 分 方 程 式
u(・‑u)書 蓋+{γ 一(α+β+・)u}蓄 一 αβF‑・
を 満 足 す る こ と を見 出 し た 。 こ の式 は ガ ウ ス の 微 分 方 程 式 とよ ば れ る もの で 後 に リ ーマ ン に よ っ て 研 究 され フ 。ク ス 型 微 分 方 程 式 の 萌 芽 を な す もの で あ る。
1816年 以 後 土 地 の 精 密 な 測 量 を命 ぜ られ1821年 か ら25年 ま で の 間 は彼 自身 も野 外 作 業 に従 事 し た 。 そ の うちゲ ・テ ィ ンゲ ン と アル トナ との 緯 度 の差,ホ ー エ ル ハ ー ゲ ン
,プ ロ 。ケ ン,イ ンゼ ル ス ベ ル クの 三 山頂 を結 ぶ 三 角 形 を 測 量 し た こ とが 著 名 で あ る。 測 量 の 整 理 に20年 余 り も費 し1841年 に 事 業 は 完 成 し た 。 ガ ウス の 不 朽 の 業 績 は 誤 差 を確 率 変 数 とみ な し た と きそ の 密 度 が
一h2x2h f(x)=7テe・
に て 表 わ さ れ る こ と を 見 出 し た こ と で あ る 。 さ き に 述 べ た 最 小2乗 法 は こ の 頃
「最 小 誤 差 を 有 す る 観 測 組 合 せ の 理 論 」(Theoriaco皿binationisobervationum
erroribusminimisobnoxiae,1821)と し て 出 版 さ れ た 。 こ れ に 対 し て ル ジ ァン ドル は 自 分 の 最 小2乗 法 を 横 取 りす る も の で あ る と 訴 え た が,実 際 に は ガ ウ ス が 独 立 に 考 え し か も ル ジ ァ ン ドル を し の い で い る の で 後 の 研 究 者 は み な ガ ウ ス の 跡 を お う た 。
今 日 の 微 分 幾 何 撃 の 誕 生 と も い う べ き 論 文 は 「曲 面 に 関 す る 一 般 的 研 究 」 (Disquisitionesgeneralescircasuperficiescurvas,1827)で あ る 。 こ れ は 前 に 述 べ た 測 量 の 問 題 に 関 連 し て 起 つ た も の で,そ こ で は 曲 線 座 標(u,v)が 用 い ら れ,線 素dsが2次 微 分 形 式ds2・Edu2十2耳dudv十Gdv2で 表 わ さ れ る 。 そ し て 曲 面 の 全 曲 率(ガ ヴ ス の 曲 率)がE,F,Gと そ の 導 函 数 に よ つ て 表 わ さ れ る と い う定 理 を 証 明 し て 曲 面 の 研 究 を 基 礎 づ け た 。 ガ ウ ス は こ の 定 理 を Theoremaegregiu'm(抜 群 の 定 理)と 名 づ け た 。
物 理 学 に お け る 研 究 と し て は ゲ 。 テ ィ ン ゲ ン 大 学 教 授 ウ.Ptバ ー(Wilhelm
19世 紀 前半 に おけ る独仏の数学(5)
EduardWeber,1804‑1891)と と もに 地 磁 気 に 関 す る 多数 の 実 験 を 行 い,彼 の 名 で よ ば れ る磁 場 の 絶 対 単 位 を 導 入 し た 。 ま た電 磁 気 学 に も貢 献 し こ れ に 関 連 して ポ テ シ シ ァル 論 の 端 緒 を ひ・らい た 。 そ の 他 力 学 に お い て は 最 小 束 縛 の 原 理 を 発 表 し重 要 な 寄 与 を な し た 。
ガ ウ ス は す ぐれ た著 書,論 文 の 外 に 日記 と手 紙 を残 して い る 。 そ れ らに よ る と公 に は し な か つ た が,非 エ ウ ク レ イデ ス幾 何 学 と楕 円 函 数 を 発 見 して い た こ とが 分 る。 ガ ウス は 両 者 に つ い て 早 くか ら卓 見 を もつ て い た が 円 熟 を ね が い 性 急 な 発 表 を き らつ た た め 他 に お くれ 正式 に は 未 発 表 に 終 つ た 。
非 エ ウ ク レ イ デ ス幾 何 学 に つ い て い え ば,彼 は 「三 角 形 の 内 角 の 和 が2直 角 よ り小 な る」 幾 何 学 を知 っ て い た 。 し か し当 時 は ヵ ン ト(lmmanuelKant,‑
1724‑1804)の 絶 対 空 間 論 が一 世 を風 靡 して い た の で そ の 発 表 を 躊 躇 し た 。 ま た さ きに の べ た 三 角 形 の 測 量 に よ っ て 上 の 幾 何 学 の 正 否 を確 め た が 角 の 和 の 誤 差 が測 量 の さい の 誤 差 の 限 界 内 に あ る の で 結 論 は得 られ な か つ た 。
楕 円函 数 に 関 す る彼 の 業 績 を述 べ る こ とは 専 門 的 に な るの で こ こ に は 割 愛 す る が,こ の 理 論 は ア ー ベ ル と ヤ コ ビ に よ つ て 建 設 され,ガ ウ ス も表 面 に は 出 な か つ た が 大 きな 寄 与 を な し た 。 しか し 当 時 は 複 素 変 数 の 函 数 論 が 確 立 して お
らぬ た め,厳 密 な 理 論 は ワ ィ エ ル シ ュ トラ ス ま で ま た ね ば な らな か つ た 。 とま れ ガ ウ ス の 各 分 野 に お け る偉 大 な 業 績 は 光 彩 陸 離 と して お り古 今 独 歩 を 思 わ し め る。
こ こ で ヤ コ ビ(KarlGustavJacobJacobi,1804‑‑1851)の 名 ま え が で た の で 彼 に つ い て 述 べ る こ とに し よ う。 ユ ダ ヤ人 の銀 行 家 の 息 子 と して ポ ツ ダ ム に 生 れ た彼 は1821年 か ら1825年 ま で ベ ル リン大 学 に 学 ん だ 。 卒 業 して 私 講 師 と な り,翌 年 ケ ー ニ ヒス ベ ル グ大 学 講 師,1829年 同 大 学 教 授,1844年 に ベ ル リ ン 大 学 教 授 とな つ た 。 当 時 の ベ ル リン大 学 は彼 の ほ か に デ ィ リク レ と シ 三 タ イ ナ ー が 教 授 で あ つ た 。
1829年 ア ー ベ ル が 世 を さ つ た 年 に,「 楕 円 函 数 論 の 新 し い 基 礎 」Fundam‑
entanovatheoriaefunctionumellipticarum)を 出版 し た 。 彼 の 楕 円 函 数 論 は θ 函 数 に よ つ て 基 礎 づ け られ る の が 特 色 で あ る。 ア ーベ ル の 業 績 を賞 讃 し,代
(6)人 文 研 究 第 十七 輯 数 函 数 の 積 分 に ア ー ベ ル 積 分 の 名 を 与 え た の も彼 で あ る 。
楕 円 積 分 の 逆 函 数 を 考 え る こ とか ら一 般 に 得 られ る楕 円 函 数 の 発 見争 い に つ い て は ア ー ベ ル の 伝 記 に お い て 述 べ られ る が,ヤ コ ビは さ らに 楕 円 函 数 を拡 張 し て,超 楕 円 積 分 の 逆 函 数 を 考 え だ 。 しか し こ れ に 関 す る問 題 は ヤ コ ビに よ っ て 完 全 に 解 か れ る こ とな く後 に 残 され た 。
ヤ コ ピは ま た 力 学 の す ぐれ た講 義 を し た 。 これ は彼 の 死 後1866年 に 「力 学 講 義(VorlesungenUberDynamik)と して 出 版 され た が,こ れ は ラ グ ラ ン
ジ ュ とボ ア ソ ンの フ ラ ン ス学 派 の 伝 統 に 従 っ て 書 か れ た もの で あ る.興 味 深 い 1章 を あ げ る と,1っ の 楕 円 体 の 上 の 測 地 線 を 決 定 す る問 題 が論 じ ら れ て い る
が,こ れ は ア ーベ ル 積 分 に 関 係 の 深 い もの で あ る。
ま た 代 数 学 に お け る消 去 の 理 論 に す ぐれ た研 究 が あ り,そ こ に あ らわ れ る 函 敷 行 列 式 は シル ヴ ェ ス タ ー に よ つ て ヤ コ ビア ン(Jacobian)と 名 づ け ら れ
た 。 これ に つ い て の 著 名 な 論 文 は 「行 列 式 の 形 と 性 質 」(Deformationeet proprietatibusdeterminantium,1841)で あ る。
そ の 他 θ 函 数 を 軽 数 論 の 問 題 に 広 用 し て ガ ウス を しの ご う と努 力 し た 跡 が み られ る。
最 後 に ヤ コ ビの 人 とな りを い え ば 理 想 主 義 者 で あ りフ ー リエ の 実 用 主 義 を 批 判 し て次 の よ うに い っ て い る。 「フ ー リエ は 数 学 の 目 的 は 社 会 的 利 益 と 自然 現 象 の 説 明 に あ る とい うが,彼 の よ うな 哲 人 は 学 問 の 唯 一 の 目標 は 人 間 の 精 神 力 の 名 誉 に あ る こ とを知 るべ きで あ る。 この 見 地 に お い て 数 の 問 題 も宇 宙 体 系 の 問 題 も同 等 の価 値 を有 す る もの で あ る」 と。 し か し精 力 的 な 活 動 家 で あ つ た 彼 は 政 治 上 の 運 動 に も参 加 し,1848年 の 革 命 に は 急 進 派 を 支 持 し て 大 きな 働 ら
きを な し た 。
次 に ガ ウス の 後 継 者 と し て 著 名 な デ ィ リク レ(GustavPeterLejeune
Dirichlet,1805‑1859)に つ い て 述 べ よ う。彼 は フ ラ ン ス か ら ライ ン地 方 へ 移 住 した 人 達 の子 孫 で,デ ュレ ン で 生 れ た 。 父 は デ ュ レン の 駅 逓 長 で あ つ た 。 両 親 は彼 に法 律 を す す め た が,子 供 の と きか ら数 学 が 好 きな た め そ れ に 志 し た 。 当 時 の ドイ ツ に は ガ ウ ス を 除 い て 目ぼ し い 数 学 者 が お らな か つ た た め パ リに 遊
19世 紀 前半 にお け る独仏 の数 学(7)
学 し た 。 エ コル ポ リテ ク ニ クの聴 講 生 に は な れ な か つ た が,ソ ル ボ ン ヌ大 学 の 講 義 を きい た 。 そ の 頃 か らガ ウ ス の 「数 論 研 究 」 を耽 読 し,終 生 の 伴 侶 と し た こ の 書 物 を幾 回 とな く読 ん だ 。 家 に あ つ て は 机 の 上,旅 に 出 て は 鞄 の な か に 必 ず あ つ た と伝 え られ る。
1825年6月 に 「或 る5次 の 不 定 方 程 式 の 不 可 能 に つ い て 」 とい う論 文 を パ リの ア カデ ミー に 提 出 し た 。 こ れ は フxル マ の 問 題 をn=5の と きに 解 決 し た もの で あ る。 彼 は こ れ に よ つ て 数 学 界 に デ ビゥし,ル ジァン ドル,,フ ー リエ お よ び 政 治 家 の フ ン ボ ル トに み と め られ た 。1827年 ブ レス ラ ウ大 学 講 師,翌1き28年 ベ ル リ ン陸 軍 大 学 教 官 とな り1831年 に は ベ ル リン大 学 へ 就 任 し た 。 こ れ らは す べ て フ ン ボ ル トの斡 旋 に よ る もの で あ る。1855年 ガ ウス の 後 任 と し て ゲ ッティン ゲ ン大 学 へ 転 じ た が 暫 くして 健 康 を 害 し世 を 去 つ た 。
テ.リ ク レ は ヤ コ ビ と1827年 以 来 親 し い 交 りを結 ん で 終 生 変 ら な か つ た が,2人 は 性 格 的 に 全 く相 反 し て い た 。 政 治 運 動 もす る火 の 玉 の よ うな ヤ コ ビ とは 反 対 に 温 厚 な タ イ プ で あ り,家 庭 で は メ ンデ ル ス ゾ ー ン の 妹 で あ る妻 レベ 。 カ の 華 や か な 社 交 振 りを 傍 観 し て い る夫 で あ つ た 。
デ ィ リ ク レ の 業 績 は 数 論,解 析 学 の 基 礎,ポ テ 。シ ァル 論 の3つ に 大 別 さ れ る。
数 論 に お け る大 きな 功 績 と して 先 ず ガ ウ ス の 「数 論 研 究 」 を 簡 易 化 し こ れ を 普 及 し た こ とが あ げ られ る。 簡 易 化 とは 彼 自 身 の つ つ ま し い 言 方 で あ つ て 実 は 改 良 で あ る。 そ れ は ゲ ッテ ィン ゲ ン に お け る十 数 回 の 講義 に お い て な され た もの で,最 後 の 講 義 に も とつ い て デ デ キ ン トが 編 集 し た デ ィ リク レの 「数 論 講 義 」(VorlesungenUberZahlentheorie,1863)は 今 に 名 著 と し て 賞 讃 さ れ
る。
ま た 解 析 学 を数 論 に 応 用 して 新 天 地 を 開 拓 し た こ とは ま さ に 時 代 を 劃 す る もの で あ る 。 「数 論 へ の 微 積 分 学 の 種 々 の 応 用 の 研 究 」Recherchessur diversesapPlicationsdel'analyseinfinit6simalealath60riedesnombres,
1837)は 今 日 の解 析 的 敷 畢 論 の 起 源 を な す 論 文 で あ る。 そ の な か で 初 項 と公 差 が 公 約 数 を もた な い 算 術 級 数 の 項 の な か に は 素 数 が無 限 に 存 在 す る こ とを証 明
(8)人 文 研 究 第 十七輯
し,こ れ に 関 連 して 与 え られ た判 別 式 に ぞ くす る2次 形 式 の 類 の 個 数 の 計 算 を し た 。 こ の研 究 に お い て
争+「 舞「+… …+… 蓋+・ … ・・
な る無 限 級 数 が 実 変 数Sの 函 数 と して 考 え られ た が,こ の種 の 級 数 を 今 日 デ ィ リク レの 級 薮 とよ ぶ 。
な お 代 数 体 に お け る単 数 の 存 在 の 証 明 を し て,数 論 に 大 き な 貢 献 を し た が,こ の と き興 昧 深 い 「部 屋 割 論 法 」 を 用 い た こ とが 著 名 で あ る 。
解 析 学 の 基 礎 的 研 究 と して は,先 ず 「任 意 の 函 数 」 の 定 義 を確 立 し た こ と で あ る 。函 数 の 定 義 は コ ー シに よ つ て 今 日の 形 を な し た もの が 与 え られ た が, コ ー シ 自身 は そ の論 理 的 内 容 を 自覚 し て お らな か つ た らし い 。 す な わ ち オ イラ ー を打 破 した とは い え な お 函 数 関 係 は 解 析 的 式 で 表 わ され る もの と意 識 し て い た よ うで あ る。 こ れ を 明 確 に 撤 回 した の が デ ィ リ ク レ と リー マ ン で あ る 。 テ ィ
リク レは 物 理 学 雑 誌Repertoriu皿derPhysikの 第1号(1837)に 「フ ー リェ 級 数 論 」 を の せ た が,こ の な か に 「・… ・そ の 関 係 が数 学 的 算 法 に よ つ て表 わ さ れ る もの と考 え る必 要 が な い … …」 と述 べ て い る 。
こ れ に よ り例 え ばf(x)が 次 の よ うに 定 義 され た もの もや は り函数 とい え る 。rxが 有 理 数 の と きf(x)は1に して.xが 無 理 数 の と きf(x)は0で
あ る 。 」 この 函 数 は 到 底 簡 単 な式 で は表 わ され ま い と予 想 され た が,事 実 は こ れ に 反 しデ ィ リク レは これ を次 の1つ の 式 で 表 わ す こ とに 成 功 した 。
X(X)=lim(lini(C・sm!πx)2n)
n→ ◎Gn→OQ
これ をデ ィ リクレの カイ 函激 とい う。
次 に無 限級 数 や定 積 分 に お い て絶 対 収敏 と条 件 収倣 の差 違 を明 らか に した こ とが大 きな功 績 で あ る。 これ に 注意 しな が ら任意 の函数 を フー リエ級数 に 展 開 す る問題 を論 じ,展 開 可能 のた めの條 件 をは じ めて与 えた こ とが輝 か しい 業 蹟 で あ る。
最 後 に デ.リ ク レはポ テ ンシ7ル 論 の講 義 を しば しば行 つた 。 境界 値 を与 え て ポ テン シ ァル 函数 を決 定 す る問題 をデ ィリク レの 問題 とい う。彼 の 方 法 に
19世 紀前半に おけ る独 仏の数学(9) よ れ ば,与 え られ た 境 界 値 を も つ函 数U(X,y,Z)の う ち
∫1(象)2+(舞)2+(袈)2}dw
を 最 小 な ら し め る もの が ポ テ ン シ ァル 函 数 で あ る 。 こ れ の 原 理 は 既 に ガ ウ ス (1840、 が 用 い た が リー マ ンに よ つ て デ ィリク レの 原 理 とよ ば れ る。 後 に ワ イ エ ル シ ュ トラ ス が こ の妥 当 性 を疑 つ た の で 数 学 上 の 大 問 題 とな つ た が,ヒ ル ベ ル
ト(1901)の 修 正 に よ つ て こ とは 落 着 し た 。
さて こ こで ド イ ツに お け る著 名 な数 学 雑 誌 に っ い て 述 べ て お こ う。 そ れ は ク レ ル レ(AugustLeopoldCrelle,17eO‑一 一1855)に よ つ て 創 刊 され た もの で, 雑 誌 の 名 は 「純 粋 お よ び 応 用 数 学 雑 誌 」(JournalfUrdiereineundange‑
wandteMathe皿atik)と い う。 これ は ク レル レが フ ラ ンス の ジ ェル ゴ ン ヌ の雑 誌 を ま ね た もの で,当 初 は 専 門 家 以 外 の読 者 を も対 象 と し,純 粋 数 学 と応 用 数 学 に ま た が る意 図 で あ つ た 。1826年 に 第1巻 を 出 して か ら今 日 ま で 続 き,創 刊 百 年 記 念 の と き第157巻 を 出 し た 。 こ の 雑 誌 は 簡 単 に ク レ ル レ誌 と もよ ば れ る
が,そ の 内 容 は 今 日に お い て は 純 粋 数 学 に 関 す る論 文 ば か りで あ る 。
ク レル レは プ ロシ ア の 土 木 技 監 で あ り数 学 を好 ん だ が 数 学 上 の 業 蹟 と し て は 伝 え る ほ どの もの が な い 。 数 学 史 上 の 不 朽 の 功 績 は 今 述 べ た ク レル レ誌 の 創 刊 で あ る。 職 務 上 の 功 績 と し て1838年 か ら40年 に か け て ベ ル リン,ポ ツ ダ ム 間 の 鉄 道 を敷 設 す る設 計 を し た こ とが 輝 か しい 。
ク レル レ誌 の最 初 の3巻 の 目次 に よ れ ば,解 析 学 者 の ヤ コ ビ,デ ィ リク レ,ア ーベ ル の 名 が見 え る。 ま た幾 何 学 者 と して シ ュ タ イ ナ ー,メ ー ビ ウス, プ リュ。カ ー の 名 もあ らわ れ る 。 そ れ ゆ え次 に 幾 何 学 者 に つ い て 述 べ よ う。
シ ュタ イ ナ ー は ベ ル リン大 学 の 教 授 に な つ た 程 の 逸 材 で あ る が,生 れ は ス ウ ィス な の で こ こ で は ふ れ な い 。
メ ー ビウ ス(AugustFerdinandM6bius,1790‑1868)は サ ク ソ ニ ー の シ ュル プ フ ォル タ生 れ で 父 は舞 踊 の 教 師 で あ つ た 。 ガ ウ ス に つ い て 天 文 学 を 学 び,1816年 に ラ イプ チ ヒの プ ラ イ セ ン ブ ル ヒ天 文 台 に 入 つ た 。 後 に そ の 台 長 と な りま た1844年 以 降 は ラ イ プ チ ヒ大 学 教 授 を か ね,平 和 で 静 か な 一 生 を 送 つ た 。
、
(10)人 文 研 究 第 十七輯
彼 の 名 著 は 「重 心 法 」(DerbarycentrischeCalcUl,1827)で あ る。 こ れ は 重 心 の 概 念 を幾 何 学 的 に 利 用 し た もの で あ る
い ま 三 角 形 の 頂 点A(a1,b,)B(a2,b2),C(a3,b・)を 基 礎 に と り, 任 意 の 点Pの 座 標 を(x,y)と す る と き,A,B,Cに 重 さP、,P2,P3を お い た と きの 重 心 がPに 一 致 す る な らば,
alp五 十a2p2十a3p3b,pl十b2p2十b,p3 x=
P、+P,+P3・y=一}P、+P,+P3一
とな る。 こ れ に よ つ て(x,y)と 比P1:P2:P3と が1対1に 対 応 す るの でPl:
P2:P3を 点Pの 新 し い 座 標 と見 な す こ とが で き る。 こ れ は 射 影 幾 何 学 に お け る同 次 座 標 で あ るが,こ の 形 式 で 同 次 座 標 を 射 影 幾 何 学 に は じ め て 導 入 し た の が 彼 で あ る。 「重 心 法 」 に お け る業 蹟 を紹 介 す る の は 専 門 的 に な るの で 割 愛 し て お こ う。
ま た 「静 力 学 の 教 科 書 」(LehrbuchderStatik,1837)に お い て零 系 (Nullsystem)を 論 じ た 。 零 系 とは 偶 力 の 能 率 が0で あ る軸 の 集 合 で,直 線 幾 何 學 が これ か ら始 ま る。
最 後1ご,細 長 い 長 方形 の 紙 片 を 一 度 ね じ つ て 端 を 糊 で は りつ け る と奇 妙 な 面 が で き る 。 そ れ は表 裏 の な い,片 面 だ け の面 に な る が メー ビ ウ ス の面 と よ ば
れ る。
さ て 近 世幾 何 学 を論 ず る場 合 に 解 析 的(数 に よ る)方 法 と綜 合 的(図 形 に よ る)方 法 とに よ る2つ が あ る 。 こ の対 立 が プ リa。カ ー と シ ュ タ イ ナ ー に あ ら わ れ る。
プ リュヅカPt(JuliusPlticker,1eO1‑‑1868)は ボ ン と パ リに お い て 学 び, ユ825年 ボ ン大 学 講…師,1828年 同助 教 授 とな つ た 。 つ い で1832年 か ら1834年 ま で ベ ル リン大 学 に 関 係 し1835年 ハ レ大 学 教 授,翌 年 ボ ン大 学 へ 招 か れ て 終 焉 に い た るま で そ の 地 位 に と どま つ た 。
彼 は幾 何 学 者 で あ る と同 時 に 実 験 物 理 学 者 で あ つ た 。 物 理 学 に お い て は 真 空 放 電 現 象 を研 究 し,後 に 陰 極 線 と確 認 され た 放 射 線 を 見 出 し た 。
幾 何 学 に 関 す る著 書 とし て は次 の もの が あ る。
(
19世 紀前半 におけ る独仏 の数学(11)
{1〕 解 析 幾 何 学 の 発 展,2巻(Analytisch‑geometrischeEntwicklungen・
1828,1831)
〔2}(平 面)解 析 幾 何 学 大 系(SystemderanalytischenGeometrie,1834) (3)代 数 曲 線 論(TheoriederalgebraischenKurven,1839)・
{4)空 間 解 析 幾 何 学 大 系(SystelnderanalytischenGeometriedes Raumes,1846)
{5)新 聖 間幾 何 学(NeueGeometriedesRaumes,1.1868.II.・1869)
最 後 の 著 書 の 第2巻 は 遺 稿 に よ り弟 子 の ク ラ ィ ンが 編 集 し た 。
以 上 の うち(2}に お い て 同 次 座 標 が 最 も一 般 な 形 で 定 義 され,そ れ に よ つ て 円 錐 曲 線 論 が 美 事 な形 式 に あ らわ され た 。 矧 に お い て は 代 数 曲 線 に 関 す る有 名 な プ リ.ッカ ー の 公 式 を 与 え て い る 。
k=n(n‑1)‑2d‑3r
こ こ にnは 曲 線 の 次 数,kは 曲 線 の 階 数,dは2重 点 の 数,rは 尖 点 の 数 を あ らわ す 。
(5)に お い で は新 しい 看 想 の 下 に 幾 何 学 を 再 建 し た 。 す な わ ち幾 何 学 に お け る基 本 要 素 は 必 ず し も点 の み と制 限 す る必 要 は な く,直 線,平 面,円,球 い ず れ もが そ れ を 基 礎 と し て幾 何 学 を きず く こ るが 出 来 る と発 表 し た 。 例 え ば 直 線 を 基 礎 とす る3次 元 空 間 の幾 何 学 は4次 元 の 幾 何 学 と考 え られ る とし て 直 線 幾 何 学 を系 統 的 に 組 立 て た 。 こ の 著 書 は一 時幾 何 学 を 離 れ て 実 験 物 理 学 に 没 頭 し,再 び 幾 何 学 に立 戻 つ た 時 代 に 書 か れ た もの で,そ の 時 代 が シ ュタ ィ ナ ー の 亡 くな つ た 年(1863)に 始 ま る の が 奇 し い 。
こ の よ うに 彼 の 業 蹟 は偉 大 で あ つ た が,射 影 的 見 地 か らは18世 紀 式 で あ る と い わ れ て も致 方 が な い 。
さ て こ の 世 紀 の 申 頃 か ら後 半 に か け て ドイ ツ数 学 界 を 世 界 最 高 の 地 位 に ひ き上 げ7c2人 の 巨 匠 リ ー マ ン と ワ ィ エ ル シ ュ トラ ス の うち 前 者 に つ い て 述 べ て お こ う。
リー マ ン(BernhardRiemann,1826‑‑1866)は ハ ン ノ ー ウ7一 の ブ レ ー ゼ レ ンツ で 生 れ た 。 父 は 牧 師 な の で そ の 跡 を つ ぐた め1846年 ゲ ッティン ゲ ン大 学 に 入 学 し神 学 を 学 ん だ が,絵 暇 に ガ ウ ス の 講 義 を きい て 数 学 に 興 味 を もち,こ
(12)人 文 研 究 第十七 輯
れ が 動 機 と な つ て つ い に父 を動 か し数 学 に専 念 す る こ と と な つ た 。1847年 ベ ル リ ン大 学 へ 行 き,デ ィリ ク レ とヤ コ ビに つ い て 更 に 研 究 の 歩 を 進 め た 。1849年 再 び ゲ ィテ 。ンゲ ン大 学 へ 戻 り,ウ エ ー バ ー か ら数 理 物 理 学 を 学 ん だ 。 大 学 卒 業 後1851年 に複 素 変 数 の 函 数 論 に 関 す る論 文 を か い て 学 位 を授 け られ た 。 つ い で ゲ ッティンゲ ン大 学 に 就 職 す るた め1853年 に就 職 論 文 を提 出 し,1854年 に 就 職 講 演 を 行 つ た 。 こ の 講 演 は これ を きい た ガ ウ ス を し て 深 く感 動 せ し め た と い う。
この よ うに し て 私 講 師 一 一 聴 講 生 か らの 聴 講 料 だ け で 俸 給 の な い 講 師 に は な つ た が 聴 講 生 が 僅 か8人 で は 生 活 も楽 で は な か つt。 つ い で1857年 助 教 授, 1859年 に は デ ィ リク レの 後 を つ い で 教 授 と な つ た 。 し か し1862年 か ら肺 患 の た
め療 養 生 活 に 入 りイ タ リア へ3度 も転 地 した が つ い に 再 程 で きな か つ た 。 1851年 の 学 位 論 文 は 「1つ の 複 数 変 数 の 函 数 の 一 般 理 論 の 基 礎 」Grund‑
lagenfUreineallgemeineTheoriederFunLktioneneinerveranderlichen
komplexenGr6ss)で あ る。 こ の な か で りe・一・・マ ンは コ ー シ の 函 数 の 定 義 を 複 素 変 数 の 場 合 に 進 め,「 複 素 変 量wが 複 素 変 数zの 函数 で あ る とい うの は,
が ・ と共に変 り,し か も微嫡 豊 が微分d・ の値 に鞭 徽 る と きに い
う」 と定 義 し た 。 こ れ は今 日の 言 葉 で い え ば 複 素 変 数 の 函 数 と し て は 正 則 函 数 の み を対 象 と す る こ と を意 味 す る。 ま た この 定 義 に 先 立 つ て 「わ れ わ れ は 函 数 を そ れ を 表 わ す 式 と は無 関 係 に 考 え る … … 」 と述 べ,コ ー シ が 「函 数 」 とい え ば 「式 」 を意 識 し て い た 見 解 を打 破 つ て い る 。
次 に 変 数 と函 数 の幾 何 学 的 表 示 を2枚 の 平 面 で 考 え,函 数 が 正 則 な る と ぎ 等 角 爲 像 が 成 立 す る こ と を 注 意 し て か ら,W=U+ivがZ=X+iyの 函 数 に な
る た め の 必 要 十 分 条 件 と し て
∂U∂V∂U∂V
∂X∂y,∂y∂X
を導 い た 。 こ れ は コー一シ も1851年 に 同 形 の もの を導 い て い るの で,コ ー シ ・リ ー マ ン の 微 分 方 程 式 とよ ば れ る。
さ らに リー マ ン は今 日彼 の 名 の冠 せ られ る り一 マ ン面 に つ い て 述 べ,そ こ で は 位 相 を問 題 ζ し連 結 度 の 概 念 を 導 入 し て い る が,そ れ らを詳 細 に 説 明 す る
19世 紀前半 にお け る独 仏の数学(13)
い と ま は な い 。 し か し り一 マ ン の 寓 像 定 理 「任 意 の 単 連 結 な 領 域 は 円 の 内 部 に 等 角 に 写 像 され る」 だ け は書 落 す わ け に は い くま い 。
1853年 の 就 職 論 文 は 翌 年 出 版 さ れ た 「函 数 の 三 角 函 数 に よ る 表 現 可 能 性 に つ い て 」(UberdieDarstellbarkeiteilerFunktiondurcheine
trigonometrischeReihe,1854)で あ る。 これ は デ ィリク レ が フ ー一リエ級 数 に よ る函 数 の展 開 可 能 を論 じ た と き,条 件 と し て 函 数 が 「積 分 可 能 」 で あ る こ と を 強 調 し た 。 し か し函 数 が 積 分 可 能 で あ る とは 何 を意 味 す る か に 深 く立 入 らな つ た の で こ れ を リー マ ンが 追 究 し彼 の 名 を冠 せ られ る り一 マ ン積 分 の 定 義 を 与 え た 。 コ ー シ は 連 続 函 数 の み を考 え た が リー マ ン は 不 連 続 函 数 で も彼 の 意 味 で 極 限 が 存 在 す る場 合 に 積 分 可 能 と よ ん だ 。 そ し て こ れ らの 結 果 か ら三 角 函 数 の 表 現 の 問 題 に つ い て 或 解 決 を 与 え た の が こ の 論 文 で あ る 。
1854年 の 就 職 講 演 は 「幾 何 学 の 基 礎 に な る 假 説 に つ い て 」(Uberdie Hypothesen,welcheGeometriezuGrundeliegen)と 題 す る もの で あ る。
こ の 講 演 は ガ ウ ス の 曲 面 論 の 一 般 化 で あ り,ま つ 曲 面 の 概 念 を 拡 張 し て 多 檬 体 と い う新 し い 概 念 を 導 入 し た 。 そ れ は(Xl,X2,… …X、、)な る元 の 組 の集 合 を い う。 具 体 的 な 例 で い え ば,Xl,X2,… …X・ を 実 数 と す る と き,座 標 が(Xl, x2,… …x・)な る点 の 集 合 はn次 元 空 間 に な る。 す な わ ちn次 元 空 間 は 多様 体 の よ い 例 で あ る 。 こ の 多様 体 に 計 量 を い れ る た め に 距 離 を次 の よ うに 定 義 す る 。 い ま2点(x1,x2,… …x・・),(xs十dxi,x2十dx2,… …,xn十dxn)が 与 え られ た と きそ の 間 の 距 離 を
ロ
ds2=Σ9ijdXidXj
i,」
に よ つ て 定 義 す る 。 こ こ に9i」 はX:,x2,… …x・1の 函数 で,こ の9ijに 値 を 与 え る こ とに よ つ て,1つ の 多様 体 が 定 義 され る6最 も簡 単 な もの は す べ て の gij'が1に 等 し い 場 合 で,こ の と き 距 離 はds2==dxjg十dx22十 … …+dxn2
と な り,こ れ はn次 元 の ヱ ウ ク レ ィデ ス 空 間 で あ る。
さ らに ガ ウス が 見 出 し た 曲 面 の 曲 率 に 対 応 す る もの と し て 多様 体 の 曲 率 を 考 え こ れ に 関 す る深 い 研 究 を行 つ た が,こ れ は 今 日 リー マ ン幾 何 學 とよ ば れ る
(14)人 文 研 究 第十七輯
もの で あ る。 リー マ ン幾 何 学 は エ ウ ク レ イ デ ス幾 何 学 は も とよ り 非 エ ウ ク レイ デ ス幾 何 学 を も含 み,ク ラ ィ ン が20世 紀 に お い て 発表 し た エ ル ラ ンゲ ン ・プ ロ グ ラ ム の幾 何 学 を も凌 い で い る こ とは 驚 くべ き こ とで あ る。 こ とに20世 紀 の 相 対 性 理 論 に お い て,ア イ ン シ ュタ イ ン が こ の リー マ ン幾 何 学 を有 力 な 武 器 と し て 用 い た こ と は,物 理 学 と数 学 との 著 る しい 連 繋 と し て 永 く人 々 の 記 億 に と ど ま る もの で あ る。
さて1857年 に は「ア ー ベ ル 函 数 論 」(TheoriederAbelschenFunktionen,
CrelleJournal,54)を 発 表 し た が,こ こで は リー マ ン面 が 一 層 詳 し く説 か れ こ れ を 用 い て ア ー ベ ル 函 数 ア ー ベ ル 積 分 よ り さ らに 進 ん だ もの で,多 変 数 の 複 素 変 数 函 数 で あ る一一 一を 解 い た の が こ の 論 文 で あ る。 ア ー ベ ル,ヤ コ ビ, ガ ウ ス の 楕 円 函 数 論 が 厳 密 に 完 成 す る た め に は 函 数 論 の確 立 に 貢 献 し た リー マ ン と ワイ エ ル シ ュ トラ ス の 業 蹟 す な わ ち 前 者 の リー マ ン面 と後 者 の 函 数 論 の 精 密 化 が 必 要 で あ つ た こ とが こ こに きて 始 め て うな ず か れ る。
リー マ ンの注 目 すべ き最 後 の論 文 の1858年 は1与 え られた数 よ り以 下 の 素 数 の 個i数 に つ い て 」(UberdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenen
Gr6sse)で あ る 。 こ こで は 素 数 の 分 布 を し らべ るた め に 次 の 複 素 変i数Sの 函 数 ζ(・)=1+一 ア+下+…+下+・111 ・… ・,・ 一σ+it
が 用 い られ た 。 これ は り一 マ ン の ゼ ー タ 函籔 とよ ば れ る もの で,こ の 函 数 の 零 点 す な わ ち ζ(s)=0な るSの 値 の 分 布 状 態 が 問 題 と な つ た 。 リー マ ン はa
が1よ り大 きい 零 点 は な く,σ が 負 数 で あ る零 点 は 一2,‑4,… …,‑2n,… … だ け な る こ と を 示 し,残 りの 「零 点 は全 部5+itと い う形 を と る 」 と 予 想 し た が,こ の リー マ ンの 豫 想 は い ま に 解 決 され な い 数 学 史 上 著 名 な 難 問 で あ る 。
§2.フ ラ ソ ス
ナポ レオ ンは数 学 を愛 好 したの で皇 帝 にな つ てか ら も数 学 の発 展 に は力 を そ そ い だ 。 そ の 著 る し い 例 と し て エ コ ル ・ポ リテ ク ニ ク(蓮 工 科 学 校)の 育 成 に 意 を 用 い た こ と で あ る。 彼 を め ぐる数 学 者 は数 多 くそ の うち ラプ ラス に つ い て
19世 紀前 半 におけ る独仏 の数学(15)
は す で に 述 べ た の で こ こ で は モ ン ジ ュお よ び フ ー リヱ に つ い て し る そ う。
モ ン ジ ュ(GaspardMonge,1746‑1818)は ラ プ ラ ス と は 異 な り最 後 ま で ナ ポ レオ ン に 忠 実 で あ つ た 。 彼 は ボ ー ヌ生 れ で 父 は 行 商 人 兼 鋏 研 師 で あ つ た 。 14才 の と き消 火 ポ ンプ を 組 立 て た が これ に は彼 の 器 用 な 指 が 役 立 つ た 。16才 の
コ レ ロ ジ ユ
と き リヨ ンの 中 学 校 の 物 理 教 師 とな つ た が,こ の 頃 モ ン ジ ュが か い た ボ ー ヌ の 精 巧 な 地 図 が 或 る高 級 工 兵 将 校 の 目 に と ま り,そ の 将 校 の す す め で メ ジ エ ー ル の 陸 軍 工 兵 学 校 に 入 学 し た 。 し か し そ の 学 校 の 正 科 は 家柄 の よ い もの 丈 が 入 り 家 柄 の 賎 し い もの は 「石 膏 学 校 」 とい や し め られ た 別 科 の 補 助 施 設 に い れ られ そ こ を卒 業 し て も少 尉 の 位 に ま で し か 昇 れ な か つ た 。 モ ン ジ ュは 「石 膏 学 校 」 に い れ られ た が 失 望 す る こ と な く学 業 に 励 ん だ 。 学 科 は代 数 学 と幾 何 学 の 基 礎,製 図,模 型 製 作 な どで あ つ た が 築 城 の 形 式 を石 膏 で 造 る こ と を習 つ た 。 ま た 「如 何 な る部 分 も攻 囲 軍 の 砲 兵 か ら直 接 の 射 撃 に さ ら され な い よ うに 」 築 城 工 事 を す る問 題 が 研 究 され た が,こ の 種 の 問 題 の1つ に す ぐれ た 解 を1665年 に モ ン ジ ュが 与 え た 。 こ れ に よ つ て 彼 は み と め られ1768年 高 等 部 の 助 教 師 に な り 1789年 ま で つ と め た 。 こ の 解 法 は従 来 の よ うに 算 術 計 算 に よ る こ と な く幾 何 学 的 な もの で あ るが,こ れ が モ ン ジ ュの 画 法 幾 何 学 と よ ば れ る も め の 起 源 で あ る。 し か し こ れ は 軍 の 機 密 上1794年 ま で 公 表 を 許 され な か つ た 。1795年 に 師 範 学 校 教 授 とな り引 続 きエ コル ・ポ リ テ ィニ ク の 初 代 校 長 に な っ た と き 始 め て 画 法 幾 何 学 を講 義 し た が 後 に これ は 「画 法 幾 何 学 」(LegonsdeG60m6trie
descriptive,1798‑1799)と し て 出 版 され た 。 ラ グ ラ ン ジュも彼 の 講 義 を きい て
「私 は モ ン ジ ュの 講 義 を 聞 く以 前 に は,自 分 が 画 法 幾 何 学 を知 つ て い る と い う こ と を 知 らな か つ た 」 と語 つ た と い わ れ て い る。 画 法 幾 何 学 とは 正 投 影 画 法 の こ とな の で こ と さ ら説 明 す る要 は な い と思 うが こ の蒔 代 と し て は 正 に 劃 期 的 な
もの で あ りの ち の ち へ の 影 響 も大 きか つ た 。
モ ン ジaは こ の 他 に 「幾 何 学 へ の 解 析 学 の 応 用 」(ApPlicationde .1'analyse ala960m6trie,1795)を か い て い るが,こ れ に は 曲線 及 び 曲 面 に 関 す る彼 の 研 究 が も られ て お り,微 分 幾 何 學 の 初 期 の 著 作 と し て 著 名 な もの で ガ ウス の 研 究 が こ れ に つ 団 く。・不 朽 の 書 の 最 後 の 章 に は 偏 微 分 方 程 式 の 積 分 に 関 す る彼 の
(16)人 文 研 究 第十七輯 見 解 が 述 べ られ て い る。
こ の よ うに モ ン ジ ュは幾 何 学 に数 多 く貢 献 し,18世 紀 末 に 解 析 学 が 進 歩 し て 幾 何 学 的 方 法 が う とん ぜ られ た の を 回 復 し た の は 大 きな 功 績 で あ る。
次 に フ ー リエ(JeauBaptisteJosephFourier,1768‑1830)は ラプ ラス と 同様 に ナ ポ レオ ンに 忠 誠 を誓 つ た り或 は 裏 切 つ た りし て 「人 間 」 と し て は 感 心 で きな い 型 で あ つ た 。
オ ー‑ti'一一一ル で 仕 立 屋 職 人 の 子 と し て 生 れ た が8才 の と き孤 児 とな り情 深 い 婦 人 に よ つ て 育 て られ た 。 ベ ネ デ ィク ト派 の 経 営 す る地 方 士 官 学 校 に 入 つ た が,そ こで は 天 才 振 りを 発 揮 し こ ζ に数 学 の 勉 強 に は 燃 え残 りの 蝋 燭 を あ つ め て 夜 更 し す る程 熱 心 で あ つ た 。 し か し 当 時 フ ラ ン ス で は 数 学 は 軍 人 に し か 教 え られ ず,し か も軍 人 の 学 校 は 職 人 の 息 子 に 開 放 され な か つ た 。 そ こで 止 む な く ベ ネ デ ィク ト派 の 人 達 の す す め に よ り聖 職 に つ こ う とサ ン ・ブ ノア ・シ ュル ・ ロ アル 修 道 院 に 入 つ7c。 こ の 生 活 は1798年 の 革 命 に よ つ て 打 破 られ,彼 は オ ■‑v ゼ ル へ 帰 り生 地 の 陸 軍 学 校 教 授 に な つ た 。 時 正 に18才 で あ つ た 。 フe・・一リエ は 最 初 か ら革 命 の 心 酔 者 で あ り積 極 的 に これ に 参 加 し た 。 少 年 時 代 に 感 銘 深 い 説 教 を し た そ の 得 意 の 雄 弁 に 物 を い わ せ て 郷 土 の 民 衆 の 血 を 沸 き立 た せ た 。1789年 21才 の と きパ リに 上 り数 字 方 程 式 の 解 に 関 す る研 究 を ア カデ ミー に 提 出 し た 。
後 に 師 範 学 校 理 工 科 学 校 の 教 授 に な つ た と き,代 数 方 程 式 の 根 の 個 数 に 関 す る 研 究 を そ の 講 義 に お い て は じ め て 公 に し た 。1798年 ナ ポ レ オ ンの エ ジ プ ト遠 征
に 従 軍 し,帰 仏 後1802年 グ ル ノ ー ブル を県 庁 所 在 地 とす る イ ゼ ー ル県 知 事 に 任 ぜ られ た 。 フ ー リエ が 不 朽 の 傑 作 「熱 の 解 析 的 理 論 」(Lath60rieanalytique
delachaleur,1822)を 書 き上 げ た の は後 年 の こ とで あ る が,そ の 端 緒 は イ ゼ ー ル県 知 事 時 代1807年 の 研 究 に は じ ま る。1808年 内 政 の功 に よ り男 爵 を授 け ら れ た が,1814年 ナ ポ レオ ンが エ ル バ 島 に 流 され た と き ラ プ ラ ス と手 を 握 つ て ル
イ18世 に 忠 誠 を誓 つ た 。1815年2月26日 再 び ナ 」+sレオ ンが フ ラ ン ス に 上 陸 し パ リへ 進 撃 し た と き,そ の 途 上 に グ ル ノ ー ブ ル で フ ー リエ と会 見 し た 。 こ の 数 学 者 は 再 び忠 誠 を誓 つ た が 百 日天 下 の 皇 帝 は あ え な く没 落 し た 。 ル イ18世 は 今 度 は フ ー リエ が 公 職 に つ くこ と を 許 さな か つ た の で 餓 死 に ひ ん し た が 昔 の 教 え子
19世 紀前半 におけ る独仏 の数学(17)
の 世 話 に よ りセ イ ヌ河 統 計 局 長 に 任 命 さ れ 命 を つ な い だ 。1816年 ア カデ ミー は 彼 を 会 員 に推 薦 し た が ル イ18世 は これ を 許 さな か つ た 。 し か し翌 年 も推 薦 され た の で 国 王 は つ い に 折 れ た 。1826年 に は ア カ デ ミー一・フ ラ ン セ ■・一・ズ の 会 員 に 推 さ れ 学 界 最 高 の 名 誉 に 浴 し た 。
フ ー リエ の 代 数 方 程 式 に 関 す る研 究 は 「フ ー リエ の 定 理 」 と し て 次 の よ う に 述 べ られ る。
実 係 数 の 代 数 方 程 式f(x)=0が 区 間a<x≦bに お い て有 す る実 根 の 個 数 をNと す る。f(x),fノ(x),f〃(x),… …,f(n)(x)に お け る符 号 の 変 化 の 数 をV で 表 わ す と,
N=V(a)‑V(h)一 一一2h
で あ る。 た だ し2hは0又 は 正 の 偶 数 を表 わ す 。
これ は 「デ カル トの 符 号 の 法 則 」 を特 別 の 場 合 とし て含 む もの で あ る が, 両 者 の 証 明 の 方 法 は全 く別 種 の もの で あ る。
熱 伝 導 に 関 す る研 究 は1807年 に 論 文 とし て 提 出 され た が 非 常 に 有 望 な の で ア カ デ ミー は フ ー リエ を 奨 励 す る た め に1811年 に 「熱 伝 導 の 法 則 を 数 学 的 に 与 え 実 験 と比 較 す る問 題 」 を 懸 賞 題 目 と し た 。 そ の 審 査 員 は ラ グ ラ ンジ ュ,ラ プ ラ ス,ル ジ ァン ドル で あ つ た 。 フ ー リエ は こ の 賞 を獲 得 し た が い ろ い ろ の 批 判 が な い 訳 で は か つ た 。
導 体 の 点(x,y,z)に お け る時 間tの と きの 温 度 をvと す る と き,熱 伝 導 の 状 態 は
9/一 ・(9;;一+憐+1,ll)'
な る微 分方 程 式 で表 わ され る。 これ を導体 の表 面 にお け る諸 条件(境 界 条 件) を 与え て解 い た。 これ は今 日 「偏微 分方 程 式 の 境 界値 問題 」 と称 せ られ る もの で あ る。 その 際 フー一リエ は 副産物 と して,任 意 に 与 え られ た函数v=f(t)は 級 数
f(t)一 夢+・ ・c・ ・t+・ ・c・sz2t+… …+an…nt+… …
(18)人 文 研 究 第 十 七 輯
十b,sint十b2sin2t十 ・・・… 十bnsinnt十 ・… ・・ に て 表 わ す こ と が で き,こ こ に 係 数 は
・・一 ÷ ∫『f(t)…ntdち 玩 一 ÷ ∫rf(t)・inntdt
で 与 え られ る とい つ た 。 し か しす べ て の 函 数f(t)が 無 条 件 で こ の 形 の 級 数 一 一フtpt一リエ 級 数 と今 日 よ ば れ る1で 展 開 可 能 で あ る か ど うか は 問 題 で あ る。 これ を最 初 に 注 意 し た の は デ ィ リ ク レで あ り,つ づ い て リー マ ン,デ ュ・
ボ ア ・レ イ モ ン,デ ィニ,ル ベ グ な どに よ つ て 研 究 が 進 め られ,フ ー リエ 級 数 は 今 日で は 解 析 学 の 重 要 な 部 門 を な し て い る 。
さて モ ン ジ ュに は 数 多 くの す ぐれ た 弟 子 が あ つ た 。 ポ ン ス レ,デ ュパ ン, カ ル ノな どが そ れ で あ るが そ の 申 最 も秀 で た の は ポ ンス レ で あ る 。 彼 に つ い て 述 べ る前 に 他 の2人 を語 ろ う。
デ ュパ ン(CharlesDupin,1784‑‑1873)は パ リで幾 何 学 の 教 授 と な つ た が,長 い 生 涯 の 間 に は 政 治 家 と し て も産 業 促 進 者 と レ て も名 声 を博 し た 。 著 書 と し て 「幾 何 学 の 発 達 」(1813)と 「航 海 術 に お け る幾 何 学 お よ び 力 学 の 応 用 」(1825)が あ る。 曲 面 上 の 曲 率 線 を研 究 し,こ れ に 関 す る デ ュパ ンの 標 形 (indicatrix)を 考 え た 。
カ ル ノ(LazareNicolasMargueriteCarnot,,1753‑1823)は メ ジ エ ー ル の 工 兵 学 校 時 代 の モ ン ジ ュの 弟 子 で,軍 事 技 術 家,政 治 家 と し て 著 名 で あ る。
微 積 分 学 と幾 何 学 を研 究 し,幾 何 学 の 著 書 と し て 「位 置 の 幾 何 学 」(G60m6trie deposition,1803)i「 横 断 線 議 論 」(Essaisurlestransversales,1806)が
あ る 。位 置 の 幾 何 学 と は 射 影 幾 何 学 の こ と で 射 影 の 立 場 か ら位 置 に 関 す る 図 形 の 性 質 を研 究 す る もの で あ る 。
な お熱 力 学 に お け る カ ル ノの 理 論 は彼 の 長 子 ニ コ ラ ス ・ カ ル ノ(Nicolas L60nardSadiCarnot,1796‑1832)に よ る もの で あ る 。
さて ポ ンス レ(JeanVictorPoncelet,1788‑一 一1867)は 工 兵 少 尉 と し て ナ ポ レオ ンの ロ シ ア遠 征 に 参 加 し た が,モ ス ク ヴ ァの 焦 土 戦 術 に よ つ て 退 却 を 余 儀 な く され た と き,し ん が りの 隊 長 と し て 活 躍 し た た め全 滅 に ひ ん し た 。 負 傷
19世 紀 前半にお け る独仏 の数学(19)
し て 倒 れ 凍 つ た 戦 場 に 死 を ま つ 許 りで あ つ た の を 将 校 の 故 に 捕 虜 と な つ た 。 そ の 後 ヴ ォル ガ河 畔 の サ ラ トフ収 容 所 ま で 】200粁5ケ 月 の 間 歩 か され1813年3月 や つ と た ど りつ い た 。収 容 所 に お い て 元 気 を 回 復 し て か らは,わ ず か に 凍 死 を 防 い で くれ た小 さな 火 鉢 の 消 炭 を使 つ て 数 学 の 記 憶 を と り も ど し新 た な 研 究 へ
と向 つ た 。
ポ ン ス レは も と も と デ ザ ル グ と パ ス カル の 射 影 の 思 想 に 興 味 を もつ て い た が,カ ル ノの 著 書 に よ るiecの 影 響 か ら射 影 幾 何 学 の 創 始 者 と な つ た 。1814年 9月 に 帰 国 し た と き こ れ ま で の 成 果 に つ い て 起 稿 し 「図 形 の 射 影 的 性 質 に 関 す
る理 論 」(Trait6despropri6t6sprojectivesdesfigures,1822)を 著 わ し た 。 これ は 射 影 幾 何 学 を ま と め た 最 初 の書 物 で あ る。
ポ ンス レの 著 想 の うち,す ぐれ た もの は 「連 続 の 原 理 」 と 「双 対 の 原 理 」 で あ る 。 「連 続 の 原 理 」 と は 図 形 の 位 置 が 連 続 的 に変 つ て も 図 形 に つ い て 最 初 に証 明 され た 性 質 は 変 らな い こ と を要 請 す る もの で あ る。 例 え ば2つ の 円 へ の 接 線 の 長 さが 等 し い 点 の軌 跡 は2円 が 交 わ る と交 わ ら ざ る とに か か わ らず 申 心 線 に 垂 直 で あ る 。 交 わ る場 合 に は 共 通 弦 の 延 長 で あ る が,交 わ らな い 場 合 に は 虚 点 で2円 が 交 わ る と考 え そ れ を 結 ぶ 実 蔵 線 が 中 心 線 に 垂 直 で あ る と考 え る 。 こ の よ うに 連 続 の 原 理 を導 入 し こ れ 肇例 外 な く成 立 させ る た め に 「虚 点 」
「虚 直 線 」 な ど を も うけ た 。
「双対 の 原 理 」 と は,命 題 に お い て,点 を 直 線 に お きか え直 線 を点 に お き か え る と新 し い 命 題 が 得 られ る が,こ の2つ の 命 題 を互 に 双 封 と い い,一 方 が 成 立 す る と き他 方 も成 立 す る が,こ れ を双 封 の 原 理 とい う。
例 え ば パ ス カル の 定 理 に対 し て そ の 双対 の 定 理 を 作 つ て み よ う。
(20)人 文 研 究 第†七輯 パ ス カル の 定理
円錐 曲線 に 内接 す る6点 形 の3 対 の対 辺 の 交点 は1直 線 上 に あ
り。
双 対 の 定 理 円錐曲 線 に外 接 す る6 辺形 の3対 の 頂点 を結 ぶ3直 線 は1点 に会 す。
1
こ の 双 対 の 定 理 は ブ リ ア ン シ.ン(Charles・JulienBrianchon,1785・ 一一1864) が1806年 に 発 表 し た も の で あ る 。 彼 は 陸 軍 砲 兵 学 校 の 教 授 で あ つ た が,理 工 科 学 校 の 学 生 時 代 にaれ を 発 見 し た 。 こ の2つ の 定 理 は 見 掛 け は 全 く異 な つ て い
る が 双 対 の 原 理 に よ り結 ば れ る 最 初 の 著 る し い 例 で あ る 。
「双 対 の 原 理 」 に つ い て は ジ ェ ル ゴ ン ヌ(JosephDiezGergonne,1771
‑1859)も 雑 誌 に 発 表 し た こ と が あ る
。 ポ ン ス レ は 相 反 極 線 の 方 法 の 結 果 と し て 「双 対 の 原 理 」 を 得 た の で あ る が,ジ 呂 ル ゴ ン ヌ は こ れ を 独 立 し た 一 般 の 原 理 と し て 与 え た 。
ジ ェル ゴ ン ヌ の 論 文 が 掲 載 さ れ た 雑 誌Annalesofmeth6matiquespures
etaPPliqu6es(純 粋 お よ び 応 用 数 学 年 誌)は 彼 自 身 が 主 筆 と な つ て 編 集 さ れ た も の で1810年 か ら1831年 ま で つ づ い た 。 そ の 後'一一一一一時 申 断 さ れ1836年 に リ ウ ヴ ィ ル に よ つ て 再 興 さ れ,AnnalesがJonrnalと 改 め ら れ て 今 日 こ の 雑 誌 は
リ ウ ヴ ≧ル 誌 と よ ば れ る 。
さ て 射 影 幾 何 学 は そ の 後 シ ァ ー ル お よ び ドイ ツ の メ ー ビ ウ ス,シ 昌 タ イ ナ ー ,フ 。 ン ・ シ ュ タ ウ ト,プ リ ュッカ ー な ど に よ つ て 大 成 さ れ た 。 ・
