関数解析では、適切な条件を満たす関数全体が作るベクトル空間

1

具体例からの準備

(2011

年

1

月

26

日更新)

関数解析では、適切な条件を満たす関数全体が作るベクトル空間

X（「関数空間」と

呼ぶ）を考え, 関数

x ∈ X

を一つのベクトルとみなす．そして，その「ベクトルの長 さ」を「ノルム」と呼ばれる量で測る

(詳しくは2.1

節参照). そうした抽象論を述べる 前にまず微積分学やルべーグ積分論の関連事項を復習しよう. 実はここでの復習が, 微 積分学やルべーグ積分論から関数解析への橋渡しになると同時に, 関数解析の抽象論に 重要な具体例を提供する.

記号に関する注意：関数を

f, g, ...

等の記号で表し，その変数を

x, y, ...

等の記号で表す ことが一般的だが，以下では関数解析の習慣に従って関数を

x, y, ...

等の記号で表し，

その変数を

s, t, ...

等の記号で表すことが多い．これは，関数解析が関数空間に属する関 数個々の特性をあまり気にせず，単に「関数空間の一点」と見ることの反映でもある．

1.1

一様収束・ワイエルシュトラスの

M-テスト

定義

1.1.1 S

を集合,

x, x_n, n= 0,1, ...

は

S

上の複素数値関数とする。

I S

上の一様ノルム

(uniform norm)

を次で定める

⁷

：

∥x∥S = sup

s∈S

|x(s)|. (1.1)

定義から明らかなように，以下が成立する：

∥x∥S = 0 ⇐⇒ x≡0,

∥x₁+x₂∥S ≤ ∥x₁∥S+∥x₂∥S, c∈C

に対し

∥cx∥S =|c|∥x∥S.





 (1.2)

I lim

n ∥x_n−x∥S = 0

なら,

x_n

は

x

に

S

上一様収束する

(converge uniformly)

と言う.

注：

1)

記号は定義

1.1.1

通りとする．全ての

s ∈ S

に対し

lim

n x_n(s) = x(s)

なら

x_n

は

x

に

(S

上) 各点収束する（converge pointwise）と言う。s

∈S

に対し

|x_n(s)−x(s)| ≤

∥x_n−x∥S.

よって

一様収束

=⇒

各点収束.

(1.3) 2)

数列の収束

c_n →c

は

|c_n−c| →0

と同値. 従って, 標語的に次の対応がある：

「数列の収束」に対する絶対値

←→

「関数列の一様収束」に対する一様ノルム 問

1.1.1 s∈[0,1],x_n(s) =sⁿ, x(s)^def.=

{

0, s∈[0,1)

1, s= 1.

とする。以下を示せ：

i)x_n

は

[0,1]

上

x

に各点収束するが一様収束しない.

ii)0< δ <1

なら、x

n

は

[0, δ]

上

x

に一様収束する。

7∥x∥S =∞

の場合も含める.

次の定理は関数項級数が一様収束するための十分条件を与える：

定理

1.1.2 (ワイエルシュトラスの M-テスト⁸) S

を集合、y

n :S−→C

（n

∈N）,

∑∞ n=0

∥y_n∥S <∞

とする. このとき, 関数項級数

x=∑_∞

n=0y_n

は

S

の各点で絶対収束し,

Nlim→∞

x−

∑N n=0

y_n S

= 0.

証明：全ての

s ∈ S

に対し

∑_∞

n=0|yn(s)| ≤ ∑_∞

n=0∥yn∥S.

よって

∥∑_∞

n=0|yn|∥_S ≤

∑_∞

n=0∥y_n∥S.

以上から、全ての

s ∈S

に対し

1)

∑∞ n=0

|y_n(s)| ≤

∑∞ n=0

|y_n|

S

≤

∑∞ n=0

∥y_n∥S. 1)

より

x=∑_∞

n=0y_n

は

S

の各点で絶対収束する。また、

x−

∑N n=0

y_n S

=

∑∞ n=N+1

y_n S

≤

∑∞ n=N+1

|y_n|

S

≤1)

∑∞ n=N+1

∥y_n∥S.

仮定より、上式右辺

→ 0 (N → ∞). 2

注：定義

1.1.1

の直後に述べた対応関係:

数列の収束に対する絶対値

←→

関数列の一様収束に対する一様ノルム に即して言うと, 数列に関し, 「絶対収束級数は収束する」ことに対応するのがワイエ ルシュトラス の

M-テストである.

数列に関し, 絶対収束級数の収束は実数の完備性と 等価であるように、実はワイエルシュトラスの

M-テストは一様ノルムの完備性と等価

である（命題

2.3.2,

例

2.3.4

参照）。

1.1

節への補足：

定義

1.1.3 S ⊂R^d, x, x_n, n = 0,1, ...

は

S

上の関数とする。

I

全てのコンパクト集合

K ⊂S

に対し

limn ∥x_n−x∥K = 0

なら、

(x_n)

は

x

に

(S

上) 局所一様収束する（converge locally uniformly）、或いは 広義 一様収束（converge uniformly in wider sense）と言う。全ての

s∈S

に対し

K ={s}

はコンパクト、また、全ての部分集合

K ⊂S

に対し

∥x_n−x∥K ≤ ∥x_n−x∥S

なので、

一様収束

=⇒

局所一様収束

=⇒

各点収束.

(1.4)

8Karl Weierstrass (1815—97).

問

1.1.2 x, x_n, y(n∈N)

は

R^d

上の有界関数で、

x_n→x(R^d

上局所一様)、

lim

|s|→∞y(s) = 0

とする。このとき、x

ny→xy ( R^d

上一様) を示せ。

連続関数列

x_n

が

x

に各点収束しても、x は連続とは限らない（問

1.1.1）。所が、局所

一様収束すれば

x

の連続性が保証される：

定理

1.1.4 S ⊂ R^d, x_n ∈ C(S), n = 0,1, ...

が

x : S −→ C

に局所一様収束すれば、

x∈C(S).

証明：

s_n, s∈S,s_n −→s

とし、x(s

n)−→x(s)

を言えばよい。任意の

m, n∈N

に対し

|x(s_n)−x(s)| ≤ ||x(s_n)−{zx_m(s_n)}|

(1)

+||x_m(s_n){z−x_m(s)}|

(2)

+||x_m(s){z−x(s)}|

(3)

.

K ^def.= {sn}n≥0 ∪ {s}

はコンパクトである。x

n −→x (局所一様)

より

(∗) ∀ε >0, ∃m∈N, ∥x−xm∥K < ε/3,

従って、(

∗)

の

m

に対し

(1) + (3)<2·ε/3.

一方、(

∗)

の

m

に対し

x_m ∈C(S)

より

∃n0 ∈N, ∀n ≥n0, (2)< ε/3.

以上より

∀n≥n₀

に対し

(1) + (2) + (3)< ε. 2

1.2 L^p-

空間

(S,A, µ)

を測度空間とする。

定義

1.2.1 0 < p ≤ ∞

とする。S 上

µ-a.e.

で定義された複素数値可測関数全体を

M(S →C)

で表す．更に

x∈M(S →C)

で、∥

x∥p <∞

なるもの全体を

L^p(µ)

と記す、

ここで

∥x∥p =

{ (∫ |x(s)|^pdµ(s))1/p

, 0< p <∞

のとき,

inf{λ∈R;|x(s)| ≤λ, µ-a.e.s}, p=∞

のとき, 但し

inf∅=∞. (1.5) L^p(µ)

の元を

p-乗可積分関数と呼ぶ。またp≥1

のとき

∥x∥p

を

x

の

L^p-ノルム

と言う。

x, y ∈L^p(µ),x=y,µ-a.e.

なら

x, y

は

L^p(µ)

の元として

“同じ”と考え同一視する⁹

。

D.

ヒルベルトは積分方程式の研究の中で

L²-空間 (より正確には、ℓ²

空間：例

1.2.3

参照) を導入した

(1904

年)

¹⁰ . 1 ≤ p ≤ ∞

に対する

L^p-空間はF.

リースが導入した

(1910

年)

¹¹.

これらの空間は、現在でも最も基本的な関数空間として応用されている。

9

より形式的に言えば、L

^p(µ)

は

“x=y,µ-a.e.”という同値関係による、関数の同値類と考える。

10David Hilbert (1862–1943)

11Frigyes Riesz (1880–1956)

ハンガリーの数学者

問

1.2.1 x∈M(S →C), 0< p≤ ∞

とする。以下を示せ：

(i)∥x∥p = 0 ⇐⇒x= 0, µ-a.e.

(ii) 0< q <∞

なら

∥x∥^qp =∥|x|^q∥p/q.

問

1.2.2 x, y ∈M(S →C), 0< p≤ ∞

とする。以下を示せ：

(i)|x| ≤ ∥x∥∞,µ-a.e.

(ii) ∥xy∥p ≤ ∥x∥∞∥y∥p,

但し、右辺で、

0

と

∞

の積は

0

とする。

(iii) ∥x+y∥∞≤ ∥x∥∞+∥y∥∞.

問

1.2.3 (⋆) x∈M(S →C)

に対し

∥x∥q <∞

となる

q∈(0,∞)

の存在を仮定すると き、

lim

p↗∞∥x∥p =∥x∥_∞

を示せ。

例

1.2.2 S ⊂R^d

をルべーグ可測集合、µ を

S

上のルべーグ測度とする。このときの

L^p(µ)

を

L^p(S)

と記す。

例

1.2.3 S

を高々可算集合、

µ

を

S

上の個数測度とする。このときの

L^p(µ)

を

ℓ^p(S)

と記す。

次の定理で述べるヘルダーの不等式

¹²

と三角不等式は、今後繰り返し用いられる：

定理

1.2.4 p, q ∈ [1,∞], ¹_p + ¹_q = 1, x, y ∈ M(S → C)

とする

(_∞¹ = 0).

このとき以下 が成立する:

∥xy∥1 ≤ ∥x∥p∥y∥q (

ヘルダーの不等式

) (1.6)

∥x+y∥p ≤ ∥x∥p+∥y∥p (三角不等式) (1.7)

但し、(1.6) 右辺で、

0

と

∞

の積は

0

とする.

証明：(1.6): (p, q) = (1,

∞),(∞,1)

の場合は既知（問

1.2.2）だからp, q <∞

とする。

まず次の初等的不等式（問

1.2.4）に注意:

1) a, b≥0

に対し

ab≤a^p/p+b^q/q,

等号成立

⇐⇒a^p =b^q.

(a, b) = (|x(s)|,|y(s)|)

に

1)

を適用し、その後両辺を積分すれば次が判る

(問 1.2.1

に も注意)：

2) ∥xy∥1 ≤ ∥x∥^pp/p+∥y∥^qq/q.

C = ∥x∥p∥y∥q

とする。C

= ∞

なら

(1.6)

は自明。C

= 0

なら

x = 0, µ-a.e.

また は

y = 0, µ-a.e.

なので

(1.6)

の両辺=0. そこで

C ∈ (0,∞)

を仮定する。このと き、∥

x∥p,∥y∥p ∈ (0,∞)

だから

xe= x/∥x∥p, ye= y/∥y∥q

とおくと、∥e

x∥^p_p =∥ey∥^q_q = 1.

従って、

C⁻¹∥xy∥1 =∥exey∥1

≤2) 1

p∥ex∥^p_p+ 1

q∥ey∥^q_q = 1 p+ 1

q = 1

両辺に

C

を乗じ

(1.6)

を得る。

(1.7): p=∞

なら既知（問

1.2.2)。以下、 1≤p <∞,z =|x+y|

とし、次の

(3),(4)

を示す:

12Otto H¨older (1859–1937).

ヘルダーの不等式を数列の場合に示した

(1889

年). 積分の場合への拡張

は

F.

リースによる

(1910).

3) ∥z∥^pp ≤2^p−1(∥x∥^pp+∥y∥^pp), 4) ∥z∥^p_p ≤(∥x∥p+∥y∥p)∥z∥^p_p⁻¹.

これらから

(1.7)

が出る。実際、∥

x∥p+∥y∥p =∞

なら

(1.7)

は自明。また

∥x∥p+∥y∥p <

∞

なら

3)

より

∥z∥p < ∞.

従って

4)

の両辺を

∥z∥^pp⁻¹

で割れば

(1.7)

を得る。なお、

p= 1

なら

3)

は

(1.7)

そのもの。

3)

の証明: 次の初等的不等式（問

1.2.4）に注意:

5) a, b∈C

に対し

|a+b|^p ≤2^p−1(|a|^p+|b|^p)

(a, b) = (x(s), y(s))

に対し

5)

を適用し、その後両辺を積分すれば

3)

を得る。従って この段階で

p= 1

に対する

(1.7)

は示せた。

4)

の証明: 次に注意；

∥z∥^p_p =∥z^p∥1 =∥z·z^p−1∥1 ≤ ∥xz^p−1∥1+∥yz^p−1∥1

更に

∥z^p−1∥q =∥z∥^pp⁻¹ (q=p/(p−1)

と問

1.2.1

による)。故に

∥xz^p−1∥1 +∥yz^p−1∥1

ヘルダー≤ ∥x∥p∥z^p−1∥q+∥y∥p∥z^p−1∥q = (∥x∥p+∥y∥p)∥z∥^p_p⁻¹.

2

注： 定理

1.2.4

は簡単のために

x, y ∈M(S →C)

に対して述べたが例えば

x, y ∈M(S → (−∞,∞])

等の場合にも成立することは証明から明かである.

ヘルダーの不等式の

p = q = 2

の場合は シュワルツの不等式、或いは コーシー ・ シュワルツの不等式と呼ばれる

¹³.

三角不等式

(1.7)

をミンコウスキの不等式と呼ぶこ ともある.

¹⁴

問

1.2.4

定理

1.2.4

証明中の不等式

1),5)

を示せ。

問

1.2.5 1≤p < q ≤ ∞

とする。以下を示せ：

(i)∥x∥p ≤ ∥x∥qµ(S)^1p−1q.

従って、µ(S)

<∞

なら

L^q(µ)⊂L^p(µ).

(ii) L^q([0,1]) ⊂L^p([0,1])

かつ等号は不成立。

問

1.2.6 1≤p < q ≤ ∞,

また

µ

は

N

上の個数測度とする。以下を示せ：

i)∥x∥q≤ ∥x∥p.

ii)ℓ^p(N)⊂ℓ^q(N)

かつ等号は不成立。

問

1.2.7 1≤p < q ≤ ∞

とする。L

^p(R)\L^q(R)̸=∅, L^q(R)\L^p(R)̸=∅

を示せ。

13

ここでのシュワルツ は

Herman A. Schwarz (1843–1921)

で、超関数理論で有名な

Laurent Schwartz (1915–2002)

とは別人（綴り字中の

“t”

の有無にも注意).

14Hermann Minkowski (1864–1909).

論文

“Geometrie der Zahlen”(1896)

の中で、有限和の場合の三

角不等式を示した。三角不等式の積分の場合への拡張は

F.

リースによる

(1910

年)。

問

1.2.8 (⋆) 1 < p <∞

とする。ヘルダーの不等式

(1.6)

で等号が成立し、かつ両辺 が正の有限値なら、|

x|^p/∥x∥^pp =|y|^q/∥y∥^qq,µ-a.e.

であることを示せ。

問

1.2.9 (⋆)

ヘルダーの不等式を用い、次の（更に一般的な）不等式を示せ:

p, q, r∈[1,∞], ¹_p + ¹_q = ¹_r, x, y ∈M(S →C)

に対し

∥xy∥r ≤ ∥x∥p∥y∥q.

問

1.2.10 (⋆)

次を示せ；1

≤p < r < q ≤ ∞, θ = (¹_r − ¹_q)/(¹_p − ¹_q)

とすると、任意の

x∈M(S→C)

に対し

∥x∥r ≤ ∥x∥^θp∥x∥¹q^−θ.

従って

∩

p≤s≤qL^s(µ) = L^p(µ)∩L^q(µ).

次に述べるように,

L^p

ノルムでもワイエルシュトラス の

M-テスト (定理 1.1.2)

に対応 する事実がある. これは、実は

L^p

空間の完備性（例

2.3.5）を意味する：

定理

1.2.5 p∈[1,∞],{y_n}n∈N ⊂L^p(µ),

∑

n≥0

∥y_n∥p <∞

とする. このとき関数項級数

x=∑_∞

n=0y_n

は

µ-a.e.

で絶対収束し,

x∈L^p(µ).

更に

lim

N→∞

x−

∑N n=0

y_n p

= 0.

証明：

p=∞

の場合は定理

1.1.2

と同様なので

p < ∞

とする。

1)

∑

n≥0

|y_n|

p

単調収束定理

= lim

N↗∞

∑N n=0

|y_n|

p

三角不等式

≤ lim

N↗∞

∑N n=0

∥y_n∥p =∑

n≥0

∥y_n∥p <∞.

従って

∑

n≥0

|y_n|<∞, µ-a.e.

つまり

x=∑_∞

n=0y_n

は

µ-a.e.

で絶対収束し,

x∈L^p(µ).

ま た

x−∑_N

n=0y_n≤∑_∞

n=N+1|y_n|

と

1)

より

x−

∑N n=1

yn

p

≤

∑∞ n=N+1

∥yn∥p

N−→→∞0.

2