結び目の数学

(1)

奈良北高校

2

^年

7

^{組探求科学}

結び目の数学

市原一裕

(

奈良教育大学教育学部数学教育講座

)

平成

19

年

11

月

13

日

(

火

)

6

限

問題の解答:

同じ結び目を表すダイアグラムは次のとおりです. (i), (ii), (iv),と(viii) は実はすべて同じ結び目を表します. さらに(vi)と(vii)が同じ結び目を表すダイアグラムの組になります.

(i)はあきらかに自明な結び目を表しますが, (viii)も同じ自明な結び目を表しています. このように一番簡単な自明な結び目でも複雑な表し方があります.

4

^{ライデマイスター変形}

図 4を思い出しましょう. 三つ葉結び目(trefoil knot) という結び目が表されていました. 実は下図のダイアグラムも三つ葉結び目を表します.

紐を使って変形してみてください. また変形できた人は三つ葉結び目のダイアグラムをなるべくたくさん考えてみてください.

図 6: 三つ葉結び目を表すもうひとつのダイアグラム

(2)

あるダイアグラムを変形して同じ結び目を表す新しいダイアグラムを作る操作はたくさんあるように見えます. しかし実は, 次の3つの変形

(RI, RII, RIII) を繰り返し何回か行う事によってすべて得られる事がわ

かっています.

RI

RII

RIII

図 7: ライデマイスター変形

定理: ある結び目K を表す2つのダイアグラム D1 と D2 に対してライ デマイスター変形 (Reidemeister move) と呼ばれる変形を何回か行って一方の結び目のダイアグラムを他方に変形できる.

図 6の三つ葉結び目のダイアグラムを図 5のダイアグラムにライデマイスター変形だけを繰り返し施して変形してみましょう. 以下のスペースに変形を描いてみましょう.

三つ葉結び目のライデマイスター変形

(3)

5

^不変量

では「三つ葉結び目がほどけない」ことを証明してみましょう.

ここで「ほどける」とはどういうことでしょうか？ほどけるという事は切らずに空間内で動かして自明な結び目に変形できることです. それはつまり,その結び目のダイアグラムがライデマイスター変形で自明な結び目のダイアグラムに変形できるという事ですね.

今までの話を聞いていなければ,何故こんな事を考えるのかと不思議に思う学生もいるでしょう. しかし, 一見してそうは見えないのに, 実は図

5 (viii) が自明な結び目を表すことをすでに観察しました. したがって三

つ葉結び目がほどけないこともちゃんと証明しなければいけないことだとわかりますね.

さて結び目理論では,二つの結び目が異なる事を示すために結び目固有の性質を調べます. これを結び目の不変量と言います.

不変量とはどのようなものでしょうか？たとえばダイアグラムの交差点の個数は不変量でしょうか. これは不変量にはなりません. 図 5 の (i)と (ii) は同じ結び目を表すダイアグラムですが交差点の個数は異なります. ダイアグラムの描き方によらずに決まるものでないとだめだと言う事がわかります. すなわちライデマイスター変形で変らないダイアグラムの性質が結び目の不変量になります.

ここでは 3色塗り(tri-coloring) と言うのを考えてみましょう.

図 8: 3色塗り

3色塗りとは, 結び目のダイアグラムを異なる3色を使い図 8のように以下の条件を満たすように塗る事です.

条件: 1つの交差点で出会う3辺の色はすべて異なるかまたはすべて同じ

(4)

三つ葉結び目の図5(iii) のダイアグラムは3色塗りできますが,図 5(ii) の自明な結び目のダイアグラムでは3色塗りできないでしょう. では(viii) のダイアグラムではどうでしょうか？実はこれも不可能です. なぜなら 3色塗りと言う性質はライデマイスター変形で不変なのです.

確かめてみましょう.

このようにしてはじめて三つ葉結び目は解くことができないことがわかります. 8の字結び目は三つ葉結び目とも自明な結び目とも異なるのですがこの方法で示すことはできません. 興味のある学生はどうすれば区別できるか考えてください.

高校生でも読むことのできる参考書をあげておきます. 結び目の話, 村上斉(著), 遊星社1500円

さらにトポロジーに興味をもった学生には,たとえば次の本は個人的におすすめです. (ちょっと難しいかもしれませんが)

ポアンカレ予想を解いた数学者, D・オシア(著) 糸川洋 (訳), 日経BP社 2520円

今日のはなしをきいて, 高校までの授業で教わる「数学」とはまったく異なる「数学」, 他の科学とも密接なつながりがあり, 現在でも盛んに研究されている「数学」があることを知ってもらえたら幸いです.

[余談]: もし結び目理論に興味を持ち大学で勉強したい人は結び目理論を

研究している人がいる大学を受験してください. すべての大学に結び目理論を研究している研究者がいるわけではないので...