研究集会「 結び目の数理 II 」

研究集会「 結び目の数理

II

日本数学会トポロジー連絡会議・トポロジープロジェクトの一環として，標記の研究集会を 以下の日程で開催致します。なお，本研究集会は

2019

A

16H02145

2019

15H03620

の援助を受けています。

世話人：市原 一裕，茂手木 公彦（日本大学文理学部）

日時：

2019

12

18

(

) 14:00–21

(

) 12:20

（

156-8550

3

25

40

12

18

12

19

12

20

12

21

10:00 – 10:25 10:00 – 10:25

10:25 – 10:50 10:25 – 10:50 10:30 – 10:55

11:00 – 11:25 11:00 – 11:25 10:55 – 11:20

秋本 裕太 谷口 雄大 船越 紫

11:25 – 11:50 11:25 – 11:50 11:30 – 11:55

平澤 実生 松田 将史 高村 正志

12:00 – 12:25 12:00 – 12:25 11:55 – 12:20

片山 拓弥 山村 瑠納 安部 哲哉

12:25 – 12:50 12:25 – 12:50

中元 駿弥

Mar´ıa de los Angeles Guevara Hern´ andez

14:00 – 14:25 14:00 – 14:25 14:00 – 14:25

14:25 – 14:50 14:25 – 14:50 14:25 – 14:50

植木 潤 松土 恵理 宮下 純平

15:10 – 15:35 15:10 – 15:35 15:10 – 15:35

木全 晴菜 湯淺 亘 川口 悠太

15:35 – 16:00 15:35 – 16:00 15:35 – 16:00

榎本 理沙 吉田 純 坂井 駿介

16:10 – 16:35 16:10 – 16:35

瀧村 祐介 佐野 岳人

16:35 – 17:00 16:35 – 17:00

伊藤 昇 門上 晃久 懇親会：12月

20

カフェテリア「チェリー」（日本大学文理学部キャンパス）

12

18

(

)

14:00 – 14:25

絡み目の

K ₁ -

Alexander

結び目の

Alexander

る。対して本講演では，絡み目群から任意の群へ準同型に対し，

K 1 -

(Whitehead

)

Alexander

order Alexander

S ¹ -

いし関係性も紹介する。

14:25 – 14:50

捻じれ

Alexander

p

Mahler

代数体の

S

Alexander

Mahler

p

15:10 – 15:35

On edge-homotopy classes of a spatial embedding of D ₃ with the same α-invariant

It is known that there is a nontrivial spatial embedding of a graph G up to edge- homotopy if and only if G contains a subgraph homeomorphic to S ¹ ⊔ S ¹ , K ₄ or D ₃ , and a complete edge-homotopy classification has been given for S ¹ ⊔ S ¹ and K 4 by the linking number and the α-invariant, respectively. In this talk, we show that the number of edge-homotopy classes of a spatial embedding of D ₃ with the same nonzero α-invariant is finite.

15:35 – 16:00

ハンドル体結び目の順序と多変数

Alexander

新國

-

-

,

,

2

6

.

,

,

Alexander

,

2

.

12

19

(

)

10:00 – 10:25

An invariant of surfaces in the 3-sphere

3

3

一方で、3次元多様体の

Heegaard

3

3

10:25 – 10:50

Coloring invariants for oriented spatial surfaces

（石井 敦氏（筑波大学数理物質系），松崎 尚作氏（拓殖大学工学部）との共同研究）

3

(

)

11:00 – 11:25

平面グラフの空間埋め込みの結び目解消数と交点数の関係について

（谷山 公規氏（早稲田大学教育学部）との共同研究）

絡み目の結び目解消数の２倍は交点数以下である。平面グラフの空間埋め込みではこ れが成り立たない場合がある。本講演では、平面グラフの空間埋め込みの結び目解消 数と交点数の関係について分かったことを報告する。

11:25 – 11:50

完全グラフに含まれる非分離な絡み目の個数について

（原 正雄氏（東海大学理学部）との共同研究）

R ³

m

K _m

n

f (m, n)

µ(n)

m ≥ µ(n)

3 ^{m − µ(n)} ≤ f (m, n)

ν(n)

m ≥ ν(n)

n ^{m − ν(n)} ≤ f (m, n)

12:00 – 12:25

曲面に付随する直角アルティン群の埋め込み可能性

Kim-Kobeda

れて以降

,

.

.

,

,

,

1

colored Jones

Adequate

knot

N -colored Jones

k

N ≥ k

( Armond,2013 Dasbach-Lin,2006)。特に、Adequate

knot

≥ 3

N -colored

Jones

Adequate

ある

knot

N -colored Jones

N = 2

N = 2

knot

unknot

knot

N = 3

とがわかった。

14:00 – 14:25

単体複体の順序ホモロジー群について

単体複体の有向ホモロジー群と順序ホモロジー群は同型であるという古典的な定理の 素朴な証明を紹介します。

14:25 – 14:50

松土 恵理（日本大学文理学部自然科学研究所）

Minimal coloring numbers on minimal diagrams of torus links

（市原 一裕氏（日本大学文理学部），石川 勝巳氏（京都大学数理解析研究所）との共同研究）

In this talk, I will talk about the determination of the minimal number of colors for non-trivial Z -colorings on the standard minimal diagrams of Z -colorable torus links.

Also included are complete classifications of such Z -colorings and of such Z -colorings by only four colors.

15:10 – 15:35

線形スケイン理論を用いた

2

Chebyshev

量子不変量の研究において

(A ₁

) Temperley-Lieb

(

TL

)

Kauffman bracket

TL

Jones

Queffelec-Wedrich (2018)

TL

Chebyshev

A ₂

TL

Kuperberg

A ₂

2

Chebyshev

12

19

(

)

15:35 – 16:00

Categorified Vassiliev skein relation on Khovanov homology

（伊藤 昇氏（東京大学大学院数理科学研究科）との共同研究）

Khovanov homology is a categorification of Jones polynomial, so it may be seen as a kind of quantum invariant of knots and links. Although polynomial quantum invariants are deeply involved with Vassiliev (aka. finite type) invariants, the relation remains unclear in case of Khovanov homology. Aiming at it, in this talk, we discuss a categorified version of Vassiliev skein relation on Khovanov homology. More precisely, we will show that the ”genus-1” operation gives rise to a crossing change on Khovanov complexes. Invariance under Reidemeister moves turns out, and it enables us to extend Khovanov homology to singular knots and links. We will then see that a long exact sequence of Khovanov homology groups categorifies Vassiliev skein relation for Jones polynomials. The FI relation and the four-term relation are also discussed.

This is a joint work with Noboru Ito.

16:10 – 16:35

The tabulation of prime knot projections with their mirror images up to eight double points

（伊藤 昇氏（東京大学大学院数理科学研究科）との共同研究）

球面上の

8

prime knot projections

table

8

下で

arrow diagram

16:35 – 17:00

On crosscap numbers of alternating knots

（瀧村 祐介氏（学習院中等科）との共同研究）

バンド手術を用いた、交代結び目の

crosscap number

10:00 – 10:25

On Kauffman polynomial of alternating knot and HOMFLY polynomial of its Whitehead double

c

K

Kauffman

F (K; a, x)

x

c − 1

K

Whitehead double

HOMFLY

P (K; v, z)

z

^{c − 1}

z ^2c

a, v

の

1

Laurent

告する．

10:25 – 10:50

Quantum U _q (g) invariants of virtual knots

仮想結び目の有限型不変量が

M. Goussarov, M. Polyak, O. Viro

しかし、具体的な例はあまり知られていない。本講演では、具体例として、有限型不 変量から量子不変量を求める「重み系」を用いて仮想結び目の量子

U _q (g)

U _q (sl ₂ )

11:00 – 11:25

Quandle quivers of links using dihedral quandles

Quandle quiver

S.Nelson

K.Cho

X

End(X)

S

D

D

X

2

u, v

S

f

v = f ◦ u

有向辺

(u, v)

D

quandle quiver

D

D ^′

L

X

quandle quiver

cocycle

quandle quiver

quadle cocycle quiver

11:25 – 11:50

２次元リボン結び目の分類について

異なるリボン表示をもつフュージョン数

1

2

12:00 – 12:25

曲面上のグラフの

Krushkal

（村井 紘子氏（奈良女子大学）との共同研究）

Tutte

spannning

tree

2011

V.Krushkal

Krushkal

Tutte

one-point join

Krushkal

.

12

20

(

)

12:25 – 12:50 Mar´ıa de los Angeles Guevara Hern´ andez

The braid alternation number

Alexander’s theorem states that every link can be represented as a closed braid.

However, there are alternating links that cannot be represented as an alternating closed braid. In this talk, we will present the braid alternation number, which is an invariant that measures how far the links are from being an alternating closed braid.

Furthermore, we will show the value of this invariant for some knot families.

14:00 – 14:25

Vassiliev knot invariants derived from cable Γ-polynomials

For coprime integers p(> 0) and q, the (p, q )-cable Γ-polynomial of a knot K is the Γ-polynomial of the (p, q)-cable knot of K, where the Γ-polynomial is the common zeroth coefficient polynomial of the HOMFLYPT and Kauffman polynomials. I will talk about Vassiliev knot invariants derived from cable Γ-polynomials.

14:25 – 14:50

ホモロジーレンズ空間の

2

S ¹

種数

g

F _g

ϕ

ϕ

S ¹

F _g -

M _ϕ

M _ϕ

1

H ₁ (M _ϕ ) ∼ = Z ⊕ Coker(ϕ _∗ − 1)

∼ = Z ⊕ ( _2g

⊕

i=1

Z n

)

, n i | n i+1 (1 ≤ i ≤ 2g − 1)

M. Sakuma [Math. Seminar Notes, Kobe Univ. Kobe Univ., 9 (1981)]

M ϕ

が ホモロジー

3

2

n _g = 1 or 2

_ϕ

2

H ₁ (M _ϕ )

3

M

M

15:10 – 15:35

球面的モンテシノス絡み目の幾何

二重分岐被覆空間が球面構造を持つモンテシノス絡み目を球面的モンテシノス絡み 目と呼ぶ．球面的モンテシノス絡み目

L

(S ³ , L)

L

π

L

r-近傍がソリッドトーラスの非交和となる正実数 r

(S ³ , L)

L

Agol

Adams

, non-free, torsion-free

2

,

.

Agol

Adams

生成される

non-free

,

Heckoid

. (

Akiyoshi-Ohshika-Parker-Sakuma-Yoshida

.)

Agol

,

(

)

2

. (

Aimi-Lee-Sakai-Sakuma

Adams

れており

, Agol

CAT(0)

リディアン対の作用を交代絡み目図式により記述することにより

,

/

.

本講演の目的は次の

2

Agol

. (2)

2

,

.

16:10 – 16:35

Direct computation of knot Floer homology and the Upsilon invariant

Knot Floer homology HFK is a knot homology theory, originated from Heegaard Floer homology, an invariant of closed 3-manifolds. Although HFK involves heavy analytic machineries, lately, a purely combinatorial description was found, which is also called grid homology. With a joint work with K. Sato, we obtained an algorithm for computing grid homology, and also for some related knot concordance invariants such as τ , V _k , and Υ. Direct method for computing Υ have not been known, and we have determined Υ for almost all (except for 4) knots with crossing number up to 11, including 39 knots whose Υ have been unknown.

16:35 – 17:00

Knot Theory in 3-manifold via virtual knot theory

仮想結び目理論の観点を踏まえて、コンパクト

3

17:30–

12

21

(

)

10:30 – 10:55

正方形グリッドから得られるケルト結び目模様

（船越 紫氏（奈良女子大学理系女性教育開発共同機構）との共同研究）

ケルト民族に伝わるシンボルに，ケルティックデザインと呼ばれるものがある．こ れは対称性の高い美しい模様であるが，1993年に

P. R. Cromwell

B.

Dran

2005

G. Fisher

B. Millor

Celtic knot design

p × q

Celtic knot design

Celtic knot desing

Celtic knot design

10:55 – 11:20

正六角形グリッドから得られるケルト結び目模様

（橋爪 惠氏（奈良教育大学理数教育研究センター）との共同研究）

ケルト民族に伝わるケルティックデザインと呼ばれるシンボルを，

2005

G. Fisher.

と

B. Millor.

Celtic knot design

Celtic knot design

Celtic knot design

Celtic knot design

11:30 – 11:55

Gauss diagram formulas for plane curves associated with Legendrian knots

（伊藤 昇氏（東京大学大学院数理科学研究科）との共同研究

)

平面曲線の

strong RII, RIII

Legendrian knot

V. I. Arnold

J ⁺

今では、Vassiliev 型不変量、Kontsevich 型不変量が定式化されている。しかしなが ら、（我々の知る限りでは）具体的な

Gauss diagram formula

Arnold

Gauss diagrams

11:55 – 12:20

アニュラスツイストについて

（田神 慶士氏（水産大学校）との共同研究）

「結び目理論」と「

3, 4

dualizable patterns