平面グラフの空間埋め込みの結び目解消数と交点数 の関係について

平面グラフの空間埋め込みの結び目解消数と交点数 の関係について

秋本 裕太(早稲田大学大学院教育学研究科修士1^年)

谷山公規氏(早稲田大学教育学部)との共同研究

December 19, 2019

内容

1 イントロダクション

2 空間グラフの結び目解消数と交点数

3 trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

イントロダクション

内容 1

1 イントロダクション

2 空間グラフの結び目解消数と交点数

3 trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

イントロダクション

不変量の実現問題

結び目の不変量の像 K: 結び目全体の集合

f :K →X : 結び目の不変量 に対してImf ⊂X を決定せよ.

Imf の具体例(Alexander)

f = ∆ :K →Z[t^±1]: アレキサンダー多項式 に対して, Im∆ ={p(t)∈Z[t^±1]|p(t⁻¹) =p(t), p(1) = 1}

イントロダクション

不変量対の実現問題

結び目の不変量の対の像

f :K →X,g:K →Y : ^{結び目の不変量}

φ= (f, g) :K →X×Y に対して,Imφ⊂X×Y を決定したい.

知られていること

c:K →Z_≧0 : ^{結び目の交点数},u:K →Z_≧0 : ^{結び目解消数} K : 自明でない結び目,u(K)≤ 1

2(c(K)−1)

定理

φ= (c, u) :K →Z>0×Z>0,PK ⊂ K: 素な結び目全体 (1)Imφ={(0,0)} ∪ {(x, y)∈Z²>0 |y≤ 1

2(x−1)} (2)φ(PK) =φ(K)\ {(6,2)}

イントロダクション

不変量対の実現問題

結び目の不変量の対の像

f :K →X,g:K →Y : ^{結び目の不変量}

φ= (f, g) :K →X×Y に対して,Imφ⊂X×Y を決定したい.

知られていること

c:K →Z_≧0 : ^{結び目の交点数},u:K →Z_≧0 : ^{結び目解消数} K : 自明でない結び目,u(K)≤ 1

2(c(K)−1)

定理

φ= (c, u) :K →Z>0×Z>0,PK ⊂ K: 素な結び目全体 (1)Imφ={(0,0)} ∪ {(x, y)∈Z²>0 |y≤ 1

2(x−1)} (2)φ(PK) =φ(K)\ {(6,2)}

イントロダクション

結び目の交点数と結び目解消数

イントロダクション

結び目解消数が結び目の交点数の半分となるときの特徴

定理(Taniyama) u(K) = 1

2(c(K)−1)⇔K : (2,2n+ 1)-torus knot

イントロダクション

交点数と結び目不変量

c:K →Z_≧0 : 結び目の交点数 に対しては以下の定理が成立する. 定理

∀f :K →Z:^{結び目不変量},∃α:Z_≧0→Z:^写像 s.t.∀K∈ K, f(K)≤α(c(K))

このことは α(n) := max{f(K)|c(K) =n}^{が定義できること} から分かる.

イントロダクション

結び目における結果のまとめ

1. Imφの決定

φ= (c, u) :K →Z>0×Z>0,PK ⊂ K: 素な結び目全体 (1)Imφ={(0,0)} ∪ {(x, y)∈Z²>0 |y≤ 1

2(x−1)} (2)φ(PK) =φ(K)\ {(6,2)}

2. 上限の特徴付け(Taniyama) u(K) = 1

2(c(K)−1)⇔K : (2,2n+ 1)-torus knot

→次節以降,考える対象を空間グラフに一般化していく.

空間グラフの結び目解消数と交点数

内容 2

1 イントロダクション

2 空間グラフの結び目解消数と交点数

3 trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

空間グラフの結び目解消数と交点数

空間グラフの結び目解消数と交点数

G:planar graph, SE(G) ={f|f :G→R³ :R^{3への埋め込み}} f˜(G) :f(G) のダイアグラム とする.

定義

f ∈SE(G) ,u(f) :f(G)がGのR²× {0}^{への埋め込み}tの像へ 移るために必要な交点の上下入れ替えの最小回数.

定義

f ∈SE(G) ,c(f) := min{c( ˜f)|f(G) :˜ f(G)^{のダイアグラム}}. Problem

不変量の対φ_G:= (c, u) :SE(G)→Z²_≧0に対し, ImφGを決定せよ.

空間グラフの結び目解消数と交点数

G = S

∪ . . . ∪ S

: 絡み目の場合

Imφ_S1∪...∪S¹ ={(0,0)} ∪ {(x, y)∈Z²_>0 |y≤ 1 2x}

空間グラフの結び目解消数と交点数

絡み目の解き方

絡み目はダイアグラム上の半分以下の交点の上下を入れ替えることで ほどくことができる.

空間グラフの結び目解消数と交点数

任意の planar graph G に対して成立するか ?

Question

∀G: planar graph ,∀f ∈SE(G)に対して, u(f)≤ 1

2c(f) ^{は成立するか}.

成立しない例の存在

∃G : planar graph ,∃f ∈SE(G) s.t. u(f)> 1 2c(f)

空間グラフの結び目解消数と交点数

任意の planar graph G に対して成立するか ?

Question

∀G: planar graph ,∀f ∈SE(G)に対して, u(f)≤ 1

2c(f) ^{は成立するか}.

成立しない例の存在

∃G : planar graph ,∃f ∈SE(G) s.t. u(f)> 1 2c(f)

空間グラフの結び目解消数と交点数

u(f ) > 1

2 c(f ) を満たす例

P₃ :planar graph(左図) ,f₃ ∈SE(P₃) :空間埋め込み(右図)

空間グラフの結び目解消数と交点数

f

(P

) に含まれる Hopf link

f₃(P₃)にHopf linkが3つ含まれるが1回の交差交換で 多くても2つ の Hopf link^{しかほどけない}.

空間グラフの結び目解消数と交点数

交点の上下を入れてもほどけないはめ込み

knotted projection :

交点の上下をどのように入れてもほどけないダイアグラムになるはめ込み

空間グラフの結び目解消数と交点数

u(f

) ≤ 2 であること

空間グラフの結び目解消数と交点数

u(f

) ≤ 2 であること

空間グラフの結び目解消数と交点数

u(f ) = 2n

2n + 1 c(f ) を満たす空間埋め込み f

定理

∀n∈N,u(f_2n+1) = 2n, (c(f_2n+1) = 2n+ 1)

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

内容 3

1 イントロダクション

2 空間グラフの結び目解消数と交点数

3 trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

trivializable graph

knotted projectionを持たないplanar graphをtrivializable graphという. trivializable graphは絡み目と同様の性質が成立する.

定理

∀G:trivializable graph,∀f ∈SE(G), u(f)≤ 1 2c(f) Problem

trivializable graphG に対し,u(f) = 1

2c(f)を満たすf ∈SE(G) の特徴を決定せよ.

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

結び目解消数が交点数の半分となる埋め込みの存在

u(f) = 1

2c(f)を満たすf ∈SE(G)が存在するようなグラフは以下の 定理で決定される.

定理

G:planer graphに対して,次は同値である. (1) u(f) = 1

2c(f)を満たす自明でない埋め込みf ∈SE(G)^{が存在する} (2) G^はdisjoint^なcycle^{の組を持つ}.

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

disjoint なサイクルの組を持つグラフの空間埋め込み

disjointなサイクルの組を持つグラフの空間埋め込みf^の中には,

u(f) = 1

2c(f)を満たすものがある. (下図はHandcuff graphと呼ばれる)

またこのときu(f)^{は交点数が}c(f)である空間埋め込みの結び目解消数 の上限でもある.

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

G = S

∪ . . . ∪ S

の場合の条件

絡み目Lに対し,u(L) = 1

2c(L)であるときの特徴は以下の定理で 決定されている.

定理(Taniyama)

µ^{成分絡み目}L(µ≧2)^に対し,^{以下は同値である}. (1) u(L) = 1

2c(L)

(2) ^{以下を満たす}Lのダイアグラムが存在する

• 各成分がそれぞれ単純閉曲線

• 各2成分がそれぞれ交代射影図

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

G :Handcuff graph の場合の条件

絡み目の場合の類推としてHandcuff graphに対する条件を示した. 定理

G:Handcuff graph, f ∈SE(G)に対して,次は同値である. (1) u(f) = 1

2c(f)

(2)^{以下を全て満たす}f(G)^{のダイアグラム}f˜(G)^{が存在する}.

• 各ループはそれぞれ単純閉曲線

• 2つのループは交代射影図

• 全ての交点はループ同士の交点

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

u(f ) = 1

2 c(f ) を満たす具体例

絡み目の交代射影図に 鎖が頂点以外で重ならない ように加えた射影図は u(f) = 1

2c(f)^を満たす.

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

主結果の証明の概略

(2)⇒(1)^{については}

自己交差を持たない交代射影図を持つ2成分絡み目 Lに対して, lk(L) :Lの絡み数 とすると

1

2c(L) =|lk(L)| ≤u(L)^{であることより分かる}

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

主結果の証明の概略

(1)⇒(2)の対偶を示すにあたって,^{以下の補題を用いる}. 補題

G:trivializable graph, f ∈SE(G),f˜(G) :f(G)のダイアグラム について f˜(G)上である辺が自己交差を持つとき,u( ˜f)≤ 1

2(c( ˜f)−1)^を満たす. この補題から,ダイアグラム上で各ループは 単純閉曲線 である. ここでは ループと鎖が交点を持つ ダイアグラムf˜(G)に対して

1 であることを示す

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

ループと鎖が交点を持つ場合

片方のループがもう片方のループと鎖より上,もしくは下に来るように 交差交換すると全体がほどける(^{赤い丸のどちらか})

残りのループと鎖の交点(^黒い丸)は交差交換しなくてよいため そのループと鎖の交点がある場合u(f)< 1

2c(f)となる. (もう片方のループについても同様にして考える)

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

G = H :Handcuff graph の場合

Imφ_H ={(0,0)} ∪ {(x, y)∈Z²_>0 |y≤ 1 2x}

trivializable graphの結び目解消数と交点数の関係

Thank you for listening!!