結 び 目 と 数 列
教科・領域教育専攻 自然系(数学〉コース 桃 井 洋 子1
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はじめに 空間内の閉曲線を結び目といい、 2次元の射 影図で表されるが、その結び目の射影図を、ド ウカー表示法を使って表示すると数列になる。 本論文は、ドウカー表示法で表された数列と結 び目に関する研究である。2
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研究の目的 本研究は、交点数の小さい結び目を数え上げ ることの具体的かつ詳細な証明を与えること、 および結び自と数列の対応関係を明らかにする ことを目的としている。 3.研究の内容 (1)交点 3以下の結び目を数え上げる 結び目の交点数と同数の項をもっ数列のすべ ての場合から結び目を構成すれば、その交点に おける結び自のすべてを数え上げることができ る。交点1の場合は2通りの数列“2"と “ -2"から、交点2の場合は4つ の 整 数 土 2， 土4のうち絶対値の異なる2つを項とする数 列6通りから結び目を構成するが、変形すると、 すべて交点Oの自明な結び目となった。これに より、最小交点数1または2の結び目は存在し ないことが証明できた。(結び目は交点数が最小 の状態を基本に考えていく)。交点3の場合は6 指 導 教 官 鳥 巣 伊 知 郎 つ の 整 数 +2，土4，+
6のうち絶対値の異 なる3つを項とする数列42通りから結び目を 構成すると、数列“4 6 2"は交点3の三葉 結び目、それ以外の数多l
t
すべては交点Oの自明 な結び目になった。これにより、交点3の結び 目は三葉結び目とその鏡像しか存在しないこと が証明された。 (2)数列と自明な交点の関係・特徴の考察 次に、数列と自明な交点の関係において、以 下のことが明らかにされた。 項数kの数列 {a} において、 ①an=2n， an+l=2n-2， an-1=2n+2 ご今a
n，a
n+1，a
n-1 ・・・・・・・・は自明な交点 ②an=2n-2， an-l=2n， an+l=2n-4 キa
n，a
n-1，a
n+1・・・・・・・・は自明な交点 (n=Oはn=k，n=k+ 1はn =1) これにより、数列から自明な交点を表す項をす べて認識できるようになる。(
3
)
交点4
以上の結び目を数え上げる 数列から自明な交点を認識できることを応 用して、交点4の結び自を数え上げていった。 2， 4， 6， 8を項にもつ項数4の数列は24 通りあるが、交点4の交代結び目を表す数列は、 ハ U 円 δ 円 ペ U“4 6"8 2"と“6 8 2 4"の2通りで あると認識できる。この2つの数列を基本に、 各項が負の数となる場合も含めて結び目を構成 していけば、交点
