Alexander バイカンドルの 族彩色 ハンドル体結び目の ( 同辺 ) 結び目解消数と

ハンドル体結び目の ( ^同辺 ) ^{結び目解消数と} Alexander バイカンドルの G 族彩色

筑波大学数理物質科学研究科 D1

村尾 智

Def

• handlebody-knot : handlebody ,→ S³

• H₁, H₂ : handlebody-knot

H₁ ∼= H₂ ⇐⇒ ∃^def f : S³ → S³ orientator preserving homeo.

s.t. f(H₁) = H₂

•

handlebody-knot spatial trivalent graph spine

nbd

• spatial trivalent graph

の

IH-move

Rem

{^hdbdy-knot}/ ∼= ←→ {^1:1 sp. tri. graph}/ ∼=, ^IH-move

• handlebody-knot

の

crossing change

• handlebody-knot

の

self-edge crossing change

⇐⇒def ^hdbdy-knot

^を表す

sp. tri. graph

における同じ辺同士の

crossing change

．

Lem

任意の同種数

hdbdy-knot

は有限回の

(self-edge) crossing change

で移り合う．

Def

H₁, H₂ ^:

^種数

g

^の

handlebody-knot O_g ^:

^種数

g

^の

trivial handlebody-knot

• d(H₁, H₂) := min{n | H₁ ↔ ⁽n

^回の

crossing change) ↔ H₂} : H₁

^と

H₂

^の

Gordian distance

u(H₁) := d(H₁, O_g) ^: H₁

^の

unknotting number

• d(H₁, H₂) := min{n | H₁ ↔ ⁽n

^回の

self-edge crossing change) ↔ H₂} : H₁

^と

H₂

^の

self-edge Gordian distance

u(H₁) := d(H₁, O_g) ^: H₁

^の

self-edge unknotting number

Motivation

∴ u(H) = 1 u(H) = 2 ^?

Main result

(1) handlebody-knot

の

Gordian distance

及び

unknotting number

に関する 評価式を得た．

(2) handlebody-knot

の

self-edge Gordian distance

及び

self-edge unknot- ting number

に関して，

(1)

よりも強い評価式を得た．

(3)

ある

handlebody-knot

に対し，

Gordian distance

及び

unknotting number

を決定した．

Def

(X, ∗) ^{: quandle}

⇐⇒def

•x ∗ x = x (∀x ∈ X)

• ∗ x : X → X; y 7→ y ∗ x : bijection (∀x ∈ X⁾

•(x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) (∀x, y, z ∈ X)

Def

(X, ∗, ∗) ^{: biquandle}

⇐⇒def

•x ∗ x = x ∗ x (∀x ∈ X)

• ∗ x : X → X; y 7→ y ∗ x : bijection (∀x ∈ X⁾

∗ x : X → X; y 7→ y ∗ x : bijection (∀x ∈ X⁾

S : X × X → X × X; (x, y) 7→ (y ∗ x, x ∗ y) : bijection

•(x ∗ y) ∗ (z ∗ y) = (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) (x ∗ y) ∗ (z ∗ y) = (x ∗ z) ∗ (y ∗ z)

(x ∗ y) ∗ (z ∗ y) = (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) (∀x, y, z ∈ X)

Ex

Zm[t^±1, s^±1] ^: Alexander biquandle

(x ∗ y := tx + (s − t)y, x ∗ y := sx⁾

特に，

p ^{: prime,} s ∈ Zp[t^±1]^, f(t) ∈ Zp[t^±1] : irr. poly.

のとき，

Zp[t^±1, s^±1]/(f(t)) : Alexander biquandle, (field)

Def

(X, ∗, ∗) : biquandle

• x ∗^[n] y (n ∈ Z)

^{を次で定義する}

⁽x ∗^[n] y

^{についても同様に定義}

⁾

^．

x ∗^[0] y := x

x ∗^[1] y := x ∗ y

x ∗^[2] y := (x ∗ y) ∗ (y ∗ y)

x ∗^[i+j] y := (x ∗^[i] y) ∗^[j] (y ∗^[i] y)

• type(X) := min{n > 0 | x ∗^[n] y = x = x ∗^[n] y (∀x, y ∈ X)}

Def

G ^{: group}

^{とする．このとき，}

(X, {∗^g}g∈G,{∗^g}g∈G) ^: G-family of biquandles

⇐⇒def

(i) x ∗^g x = x ∗^g x (∀g ∈ G, ∀x ∈ X)

(ii) ∗^gx : X → X; y 7→ y ∗^g x : bijection (∀g ∈ G, ∀x ∈ X⁾

∗^gx : X → X; y 7→ y ∗^g x : bijection (∀g ∈ G, ∀x ∈ X⁾

S_g,h : X → X; (x, y) 7→ (y ∗^g x, x ∗^h y) : bijection (∀g, h ∈ G⁾ (iii) (x ∗^g y) ∗^h (z ∗^g y) = (x ∗^h z) ∗^h−1gh (y ∗^h z)

(x ∗^g y) ∗^h (z ∗^g y) = (x ∗^h z) ∗^h−1gh (y ∗^h z) (x ∗^g y) ∗^h (z ∗^g y) = (x ∗^h z) ∗^h−1gh (y ∗^h z)

(∀g, h ∈ G, ∀x, y, z ∈ X⁾ (iv) x ∗^gh y = (x ∗^g y) ∗^h (y ∗^g y)

x ∗^gh y = (x ∗^g y) ∗^h (y ∗^g y) ⁽∀g, h ∈ G, ∀x, y ∈ X⁾

Ex

(X, ∗, ∗) : biquandle, k := type(X)

このとき，

(X, {∗^[n]}_[n]∈Zk, {∗^[n]}_[n]∈Zk) ^: _Zk-family of biquandles

Def

H : handlebody-knot

D ^: H

^の（

^Y-oriented

^）

^diagram

D

• ϕ : A(D) = {D

^の

^arc} → Zk : D

^の

_Zk^-flow

⇐⇒def

• Zk-flow ϕ

^{の与えられた}

^diagram D

^を

(D, ϕ)

^で表す．

• ϕ ^: D

^の

_Zk^-flow

^に対し，

gcd(ϕ) := gcd{ϕ(a), k | a ∈ A(D)}

Def

H : handlebody-knot

(D, ϕ) ^: H

^の

_Zk-flowed diagram X ^: _Zk-family of biquandles

• C : SA(D, ϕ) = {(D, ϕ)

^の

^semi-arc} → X ^: (D, ϕ)

^の

X^-coloring

⇐⇒def

• Col_X(D, ϕ) := {(D, ϕ)

^の

X^-coloring}

特に，

X ^{: field}

^のとき，

Col_X(D, ϕ) : vector space over X

Main theorem[M]

H₁, H₂ ^:

^種数

g

^の

handlebody-knot (D₁, ϕ₁) ^: H₁

^の

_Zk-flowed diagram D₂ ^: H₂

^の

^diagram

p ^{: prime,} s ∈ Zp[t^±1]^, f(t) ∈ Zp[t^±1] : irr. poly.

X = _Zp[t^±1, s^±1]/(f(t)) ^: _Zk-family of Alexander biquandles, (field)

このとき，

• min

ϕ₂:D₂のZk-flow gcd(ϕ1)=gcd(ϕ2)

|dim Col_X(D₁, ϕ₁) − dim Col_X(D₂, ϕ₂)|

2 ≤ d(H₁, H₂)

min

ϕ₂:D₂のZk-flow gcd(ϕ1)=gcd(ϕ2)

|dim Col_X(D₁, ϕ₁) − dim Col_X(D₂, ϕ₂)| ≤ d(H₁, H₂) (s = 1, t)

min

ϕ₂:D₂のZk-flow gcd(ϕ1)=gcd(ϕ2)

|dim Col_X(D₁, ϕ₁) − dim Col_X(D₂, ϕ₂)| ≤ d(H₁, H₂)

• dim Col_X(D₁, ϕ₁) − 1

2 ≤ u(H₁)

dim Col_X(D₁, ϕ₁) − 1 ≤ u(H₁) (s = 1, t) dim Col_X(D₁, ϕ₁) − 1 ≤ u(H₁)

Proof

ColX(D1, ϕ1) =















 x y z w...





 ∈ Xⁿ







⃝1

⃝2

⃝3

...

⃝n











 x y z w...





 =





 0 0 0 0...

















Col_X(D₂, ϕ₂) =















 x y z w...





 ∈ Xⁿ







⃝1^′

⃝2^′

⃝3

...

⃝n











 x y z w...





 =





 0 0 0 0...

















Ex

s := 1^, f(t) := 1 + 2t + t² + 2t³ + t⁴ ∈ Z3[t^±1] : irr. poly.

X = _Z3[t^±1, s^±1]/(f(t)) ^: _Z10-family of Alexander biquandles, (field)

dim Col_X(D, ϕ) = 3

∴ dim Col_X(D, ϕ) − 1 = 2 ≤ u(H) ⁽_∵ Main theorem)

∴ u(H) = 2

Ex

s := 1^, f(t) := 1 + t + t² ∈ Z2[t^±1] : irr. poly.

X = _Z2[t^±1, s^±1]/(f(t)) ^: _Z3-family of Alexander biquandles, (field)

dim Col_X(D₁, ϕ₁) = 5

一方，

∀ ϕ₂ ^: D₂

^の

_Z3^-flow

^に対し，

dim Col_X(D₂, ϕ₂) ≤ 3

∴ 2 ≤ dim Col_X(D₁, ϕ₁) − dim Col_X(D₂, ϕ₂)

∴ 2 ≤ d(H₁, H₂) ⁽_∵ Main theorem)

∴ d(H₁, H₂) = 2