図形の調べ方

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-第２学年１組

数学科学習指導案

指導者 ○○ ○○ １．単元名「図形の調べ方」２．指導観 ○ 私達の世界は、様々な図形があふれており、我々の生活において図形は常に密接に関わっている。特に平面図形は様々な立体（空間図形）の基となるもので、平面図形なくては我々の生活は考えることができない。また、社会からは論理的な思考力や表現力を高めていくことが期待されている。その背景からこの単元で平面図形について考察していくことは大変意義深い。図形学習について、中学校一年生では、見通しを立てるなどの直観的扱いと論理によって筋道立てて説明していく論理的扱いへと移行する段階であり、直方体や立方体などの辺を線分、面を平面と捉え、空間における点や直線、平面の位置関係を明らかにすることで空間概念を深めていくことなどの学習を通して、論理的に考察する基礎を培ってきた。そこで、二年生で平行線の性質を推論の根拠として、多角形の内角や外角の和について調べたり、合同な図形の概念、三角形の合同条件を学習することは、帰納的、演繹的な推論の方法や演繹的な推論の必要性を知ることになり、これは論理的な思考力を深める上で欠かせないものである。新学習指導要領にもこの単元での学習は「図形の合同について理解し図形についての見方・考え方を深めるとともに、図形の性質を三角形の合同条件などを基にして確かめ、論理的に考察し表現する能力を養う」とあるように、図形についての見方・考え方を深めていき、平行線や角の性質、合同条件などを基に演繹的に推論を行うことは、論理的な思考力を培うことができる単元であるといえる。また、この単元の学習は、二年生での二等辺三角形や平行四辺形、三年生での図形の相似や三平方の定理の利用などの学習の基礎となり、これからの数学科の学習においてとても重要な学習であるといえる。 ○ 本学級の授業の様子は、意欲的な態度で臨み、発言も活発である。数学の学習に関するアンケートを実施して生徒の興味・関心や実態を調査した。三角形の作図や三角形、四角形の内角の和が 180 °、360 °であることを使って角を求める問題は、92%ができていた。しかし、垂直であること、平行であることを説明する問題では、きちんと定義を用い説明できていた生徒は60%であった。これは定義から説明することが苦手である生徒が多いといえる。以上のことより、用語についての定義をはっきりさせ、既習事項をもとに説明をさせる活動を行わせることで筋道を立てて考えることができるようにさせていきたい。 ○ 指導にあたっては、一年次までに、平面図形（線対称、点対称の意味を理解しそれを用いた図形の考察、多角形、正多角形、円、おうぎ形などの図形や垂直二等分線、角の二等分線、垂線などの基本作図、図形の計量）や空間図形について学習させており、観察、操作や実験を通して、図形の直観的な見方、考え方を深めさせ、論証への橋渡しの学習を行ってきている。そこで、基礎的な平面図形の性質（平行線や角、多角形など）について、観察、操作、実験を通して理解を深めさせるとともに、図形の性質の考察における数学的な推論（帰納的や演繹的）の意義と方法とを理解させ、推論の過程を的確に表現できるようにさせていきたい。そして、新学習指導要領にも「数や図形の性質などを見いだし、発展させる活動」「根拠を明らかにし筋道立てて説明し伝え合う活動」などの数学的活動の充実を図るように明記されているように数学的活動を有効に授業に生かし思考力を高め、説明する活動を通して豊かな心を育む指導をしていきたい。第一次では、錯視を取り上げ、観察や操作などを通して平行線の性質、図形の合同について考えさせることで、本単元への興味・関心を持たせ、単元の導入とする。第二次では、平行線の性質や条件、三角形や多角形の内角の和を直観的な思考から定義、性質をもとに筋道を立てて説明させ、演繹的な思考を行わせ、証明に結びつけることがねらいである。そこで、三角形の内角の和では、平行線の性質を再確認した上で、式で表現させ筋道を立てて説明させる。次に、多角形の内角の和では、内角の和を調べ、帰納的に求めさせ、「なぜそのようになるのか」と演繹的に考察させていく。そして、星形多角形の内角の和では、様々な求め方について考えさせ、他に説明する活動を通して、比較・検討させ、筋道を立てて考えさせていきたい。第三次では、合同な三角形をつくるための必要十分条件として、辺や角の関係について考えさせていく。そこで、三辺、二辺とその間の角、一辺とその両端の角についての合同な三角形のかき方の学習を通して、観察・操作を交えさせ三角形の合同条件をつくり出させていきたい。第四次では、これまで学んだことを定理としてまとめさせ、三角形の合同条件を利用した基本的な証明問題を行わせる。そこで、仮定から結論を導くための筋道の立て方や論証の有用性を把握させていきたい。最後に、単元のまとめを行わせる。ここでは、学習した内容を活用するために、類似問題を解かせ、証明の有用性や必要性を再確認させることで、証明の仕方を身につけさせたい。そして次の学習につないでいきたい。３．目標

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2 -○平行線や角の性質を理解し、それに基づいて図形の性質を調べようとすることができる。 ○多角形の角についての性質を見いだし、筋道を立てて考察することができる。 ○既知の性質を用いて、多角形の内角の和や外角の和などを求めることができる。 ○角の性質や証明の意義と方法について理解することができる。４．本単元における評価規準ア数学への関心・意欲・イ数学的な見方・考え方ウ数学的な表現・処理エ数量、図形などについ態度ての知識・理解 ①平行線の性質や三角形の ①多角形の内角、外角の性 ① 未知の角を求めるため ①多角形の内角と外角の意合同、多角形の角について質について既知のことに帰に、対頂角、同位角、錯角味及び多角形の角の性質を説明するために、筋道を立着して説明するために、観や平行線の性質などを用い説明するために既習の性質てて説明しようとしてい察、実験、操作から特徴をて求めることができる。などと関連づけて理解するる。調べることができる。 ②多角形の内角や外角の和ことができる。 ②多角形の内角の和、外角 ②多角形の内角の和、外角などを求めることができ、 ②図形の性質を調べるための和を求めるために、論理の和やその性質などを説明その求め方を説明するために根拠を基にする演繹的な的に推論を進めようとすするために既知のことに帰に、これまでに明らかにさ方法があることを理解するる。着して論理的に考察するこれた事柄を利用して表現すことができる。 ③三角形が合同であることとができる。ることができる。 ③三角形の合同条件を利用を確かめるために三角形の ③命題の過程や結論を導く ③合同な図形について分類した証明を解くために、三合同条件を利用しようとすために、これまでに明らかするために、三角形の合同角形の合同条件を理解するる。にされた事柄を使って証明条件を利用することができことができる。 ④多角形の内角や外角の和することができる。る。 ④合同な図形を説明するたを求めるために、いろいろ ④三角形の合同条件を使っ ④図形の合同を証明するために仮定・結論・証明の進な方法で考えようとしていて証明するために、証明すめに、推論の過程を的確にめ方について理解することる。る手順を明らかにすること型式に基づいて表現できができる。 ⑤いろいろな事柄が成り立ができる。る。つことを証明するために、 ⑤星形多角形の内角の和に証明のしくみに関心を持っついて考察するために、いたり、論理的に考察しようろいろな求め方について考としたり、証明しようとしえ、証明することができる。たりする。５．単元指導計画学習活動・内容指導上の留意点評価規準第１１１．図形の性質について調べる。 ○平行と合同の用語を再確認させ興味・関心をア① 一時高めるために単元の導入として錯視を取り上げ次間る。３１．対頂角、同位角、錯角の用語を知り、角と ○同位角、錯角の性質について理解させるためイ① 平行線との関係や性質、平行線になる条件につに平行線の定義を再確認させる。ウ① いて調べる。 ○論証的な説明を行わせるために、平行線と錯角の関係を対頂角と平行線、同位角の性質を使第って説明させる。二１２．内角、外角の用語を知り、平行線の性質を ○三角形の内角、外角の和について一般化させア② 次使って、三角形の内角の和、外角の和についてるために、平行線の性質を用いて説明することイ② 考察する。に気づかせ、筋道立てて説明させる。７１３．三角形の内角と外角の性質を使って、多角 ○多角形の内角、外角の和について一般化させア④ 時形の内角の和、外角の和について考察する。るために、三角形の内角、外角の性質を用いてウ② 間説明することに気づかせ、筋道立てて説明させエ① る。２４．星形多角形の頂角の和を求める。 ○星形五角形の頂角の和の求め方について考察イ ③ 本時（1/2）させるために、三角形や多角形の内角、外角のイ ⑤ 性質、平行線の性質をもとに説明させる。ウ ② ○星形多角形の内角の和を一般化させるために、ウ⑤ 内角の和を求め、求め方について筋道立てて説明させる。第１１．合同な図形の対応する頂点・辺・角の意味 ○合同の性質についてまとめさせるために合同ウ③ 三を知り、合同な図形の性質についてまとめる。の定義について再確認させる。イ① 次２２．合同な三角形の作図のしかたを考えること ○三角形の合同条件を導かせるために、合同なイ③

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3 -３により、三角形の合同条件を導く。三角形の作図をさせ、性質についてまとめさせ時る。間２１．証明のしくみを知る。 ○証明のしくみについて理解させるために仮定、ア⑤ 第結論、証明の根拠の意味について確認する。ア③ 四１２．三角形の合同条件を使って簡単な図形の証 ○演繹的な証明の仕方に慣れさせるために三角エ② 次明をする。形の合同条件を使った簡単な問題を解かせる。ウ③ １３．２つの三角形を重ね合わせ、気付いたこと ○証明の習熟を深めるために、合同な２つの三ア⑤ ６を証明する。角形を重ね合わせ、気付いたことを生徒にあげイ④ 時させ、それが正しいかどうかを証明させる。間２４．いろいろな三角形の合同の証明の練習問題 ○学習した内容を活用させるために、類似問題エ③ をする。を解かせ、知識を身につけさせる。単元を振りウ④ 返らせまとめさせるためにワークシートに振りエ④ 返りを記入させる。６．本時平成20 年 11 月 14 日（金）第４校時於２年１組（１）本時の指導観前時までに子どもたちは平行線の性質、三角形の内角・外角の性質について学習してきた。本時では、星形五角形の頂角の和の求め方について考察させ、説明させる授業展開を行う。導入では、本時に対する関心を高めるために、一年次に取り組んだ一筆書きを想起させ、星形五角形について考えていくことを知らせる。展開では、本時のめあてが説明することを意識させるために角の和が 180 °であることを計測させ常に 180 °になることについて説明させていく。そこで班や学級での比較・検討する交流活動を仕組み、考え方について班から学級へと拡げてさせていきたい。終末では、次時に行う星形六角形や星形七角形の頂角の和への布石としてまとめていきたい。そして選択授業では本時の発展として星形 n 角形の頂角の和の一般化まで踏み込んで行ければと考えている。自分の求め方を他者に説明するためには、筋道を立てた思考が必要である。そして、さらに自分の考え方・求め方を修正などすることで理解が深まると考える。そこで本時の授業を通して、数学における思考力を高めてさせていきたい。また、他者の考えを聞き考えを受け入れることで他者を受け入れる態度や寛容な心も養っていきたい。以上のことにより、本時に交流を生かした授業展開を行うことは、「確かな学力」「豊かな心」を育むことにつながると考える。（２）本実践における交流活動本実践のねらいは、星形五角形の頂角の和の求め方について、考察し説明させることで筋道を立てた思考力を育むことにある。そこで、星形五角形の頂角の和の求め方を他に説明させる比較・検討を行う交流活動を仕組む。具体的には、自分で考えた求め方を理解してもらうように班で説明を行わせたり、他の意見や考えをきいて修正させたりする活動を行わせる。同様に班から学級へと拡げていくために、班で発表した考えについても全体交流させ、比較・検討を行わせていく。なお、交流活動が活発に行われるように、意図的にグループ分けをし、四人班を構成させる。（３）本時の主眼星形五角形の頂角の和の求め方について考察し、和が180 °になることの説明ができる。（４）準備 ①ワークシート ②掲示用図形（５）展開学習活動・内容指導上の留意点形態評価配時１．前時までの確認をする。 ○前時までの学習を想起させるために、三一斉５・三角形の内角・外角の性質角形の内角・外角の性質、平行線の性質を・平行線の性質黒板に掲示し例題を使って再確認させる。２．本時の学習内容、めあてを確認する。 ○生徒の関心を高めるために、以前学習し２た一筆書きで星形五角形をかき、名前を知星形五角形の頂角の和の求め方を説明しよらせ本時の題材であることを伝える。う！３．頂角の和を求める。 ○分度器で計測しやすいように正五角形に一斉３（１）各自で予想する。内接する星形五角形の例も準備しておく。

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4 -（２）分度器で計測する。・頂角の和は180 ° ４．頂角の和が180 °になることを説明する。 ○ 求め方について説明しやすくするため個ウ② ３３（１）和の求め方を考える。に、まずワークシートの図に記入して次に説明を記述するように指示する。（２）班で意見を述べ、疑問を質問し合う。 ○筋道立てて思考を行わせるために、自分の考え方を班や学級で説明する活動を行わ班イ⑤ せる。（３）班で発表する。 ○自分の考えと比較・検討を行わせるために、友達の解法や考え方をワークシートに《予想される生徒の説明例》記述させる。 ①外角に着目 ②2 角の和に着目 ○いろいろな考え方について考えさせるために、説明をし合うなかで新たな考え方がでれば記述して良いことを伝える。 ○班で発表する場合、他の生徒に理解させやすいように図を黒板に掲示して説明させる。 ○どの性質や既習事項から説明できるのか ③三角形の内角の ④内接する五角形の確認しながら説明させるために、説明の仕和に着目外角に着目方について押さえておく。 ⑤補助線で五角形を ⑥平行線の角の移動に作図し三角形を引く着目６．今日のまとめをする。 ○基本的な事項の大切さを確認させるため一斉５に図形の角を求める際に三角形の内角・外角の性質、平行線の性質などが有用であることを確認する。 ○生徒の中で振り返りを行わせるために、交流活動などの中で友達の考え方、解き方などでなるほどと感じたこと、自分の考えを修正したところについて、また、その理由について書くように指示する。７．次時の予告を聞く。 ○次時への関心を高めるために星形六角形２や星形七角形などの場合について考えていくことを知らせる。                                          