博 士 （ 理 学 ） 森 山 洋 一 学 位 論 文 題 名

博 士 （ 理 学 ） 森 山 洋 一

学 位 論 文 題 名

Polycyclic groups of diffeomorphisms on the half‑line

（半 直線上の 微分同相 写像からなる多重巡回群）

学 位 論 文 内 容 の要 旨

  

余 次元1の 葉 眉 構造 の 葉 の カ 学 的な 性 質 の研 究は 、1次 元多 様体上 の微分 同相写 像の なすあ る種の 群のカ 学的性 質 の 研 究 に帰 着 す る 。こ のある 種の 群とい うのは 、ホ口 ノミー 準群 と呼ば れ、普 通の群 とは 違い2つ要 素の間 に演 算 が 必 ず しも 定 義 さ れて いない よう な群（ 準群） である 。すな わち 、余次 元1の葉層 構造の 葉のカ 学的 性質は 、対 応 するホ ロノミ ー準群 のカ 学的定 性論に 集約さ れると いっ ても過 言では ない。 ホロ ノミー 準群の カ学的 定性論 及び ホ モ ロ ジ ー 代 数 的 一 般 論 の 展 開 に よ っ て 多 く の 葉 層 構 造 に 関 す る 事 実 が 証 明 さ れ て い る 。

  

我 々の興 味は多 様体 の葉眉 構造論 におい ても う一歩 踏み込 んだ部 分にあ る。 っまり 、多様 体が与 えら れたと き、

そ の多様 体がど のよう な葉 層構造 を持っ か、逆 に、葉 層構 造の性 質を限 定した とき 、その 葉層構 造をも つ多様 体は い か な る もの か に 興 味を もつ。 特に 、リー 群の作 用によ って定 義さ れる余 次元1の葉 層構造 を持つ 多様 体はど のよ う な も の であ る か に 興 味を も つ 。 そ の動 機 の1っ は、 次 の 初 歩 的 な例 で あ る 。

2

次 元 の 閉多 様体 で1次 元リ ー群R の 作 用 で 定義 さ れ た 葉層 構造を 持っ ものは 、トー ラスと クライ ンの 壷しか ない。 この事 が3次元以 上で はどの よう な 形 の 事 実と し て 表 現 され る で あ ろ うか 。 一 般 のn次 元 可 換 リ ー 群R″の作 用で定 義さ れる余 次元1の葉 層構造 を 持 つコン パクト多様体については既に多くの結果が知られている（【

CR

｝，[RRW]，T]）。我々は、自然な発展として、

べ き 零 リ ー群 の 作 用 で定 義され た余 次元1の葉 眉構造 を持つ コンパ クト多 様体 につい て研究 をした 。ま だ途中 の段 階 で あ る が 、 そ の 結 果 が[Ml］ や ［HGM]であ る 。 さ ら に、 可 解 リ ー 群 の作 用 に よ る 余次 元

1

の 葉 眉構 造 を も つ 多 様 体 に つい て の 研 究 が[G]，

[P]

，

[M2]

に ある 。しか し、ま だま だ不十 分なも のであ る。 よって 、我々 は、可 解 リ ー群の 作用に よる余 次元1の葉 層構 造をも つ多様 体につ いての 研究 を深め ること を目標 にしており、そのために、

そ のよう な葉眉 構造の カ学 的性質 の究明 とその ような 葉眉 構造を 持つ多 様体の 例を 作るこ とがま ず最初 の重要 な課 題 で あ る 。そ し て 、 この 事を行 うた めに、 対応す る1次元多 様体上 の微分 同相 写像の なす群 （葉の ホロ ノミー 群）

の 研究が 不可欠 である 。こ の研究 の結果 が本論 文であ る。 本論文 で得ら れた結 果を 述べる 前に、 まず、 幾っか の語 の 定義か ら説明 しょう 。

  1

、 群

r

が 多 重 巡 回 群

(po

り

cyclicgroup

） で あ る と は 、 次 の よ う な 部 分 群 の 列 が 存 在 す る と き に い う ：

    r

￣

r0

コ

1

… コ

L

― （

e

）

  

た だし 、 各z＿

L

… ， れ に 対 してEは

r

‥ の正 規 部 分 群 であ り 、

E

− ユ／Eは 巡 回 群 で ある。

  

こ の 多 重 巡 回 群

r

は 唯

1

っ の 極 大 な べ き 零 正 規 部 分 群

N

を もつ 。 こ の

N

をrの べ き 零 根基 （

nilradical

冫 と い う 。 可 解 リー 群 の 離 散部 分群は この 多重巡 回群と なる。  この ことか ら、可 解リー 群の 作用で 定義さ れた余 次元1

    

−

16

ー

の 葉 層 構 造 の 葉 の ホ ロ ノ ミ ー 群 は 多 重 巡 回 群 と な り 、 本 論 文 の 研 究 へ と っ な が っ て い く 。

  2

、

R

上 の ア フ ァ イ ン 写 像 ；

xH ax

十

6

（ た だ し ロ

>0

、

6

は 定 数 ）

  

全 体 の な す 群 を

Aff(R)

で 表 し 、 区間 ［

0 oo)

上 の

C

′ ー 級微 分同 相 写像 全体 の なす 群を

Diff

′ ［0 oo)で 表す 。

  Diff

′［

0J03

） の部 分群

r

に対 し て、

r

．を

r

の各 要素 を 区間

(Oco

）に制限して 得られる（0 oo)上 のCr一級微分 同 相 写 像 の な す 群 と する 。こ の とき 、r． がAff+(R)の 部分 群に ビ ー共 役で あ ると は、 次 のよ うな ピ 一級 微分 同 相 写 像 轟 ： （

0

，

co)

→

R

が 存 在 す る と き に い う ： 轟 『 ． 轟 … 〓 訣 。 ′ 。

h‑

￣

If er

） く ニ

Aff(R)   

さ ら に'Fix（

r

）‑ {xE［

0

，oo）

If (x) ‑

あ

Vf er

）と おく 。

  

さ て 、我 々の 得 た結 果は 次 の通 りで あ る。

［ 定 理 ］

  r

を

Diff

′ ［

0

，

oo)

の 部 分 群 で か つ 多 重 巡 回 群 で あ る と し 、

N

を

r

の べ き 零 根 基 と す る 。

  

た だ し 、

r

―

2

， … ，

oo

と す る 。

  F

缸 （

r

）

‑ {O

） と 仮 定 す る と き 、 次 の 事 が 成 り 立 つ 。

（i）

Fix(N) ‑ {0

）の 場合 、

r

． は

Aff

十

(R)

の 部分 群に

Cr

一共 役で あ る。

（11）

F

故 （

N

） ￠ （0） の場 合、

  

区間

[0 oo)

上のある縮小写 像アE三r‑が存在して、zfを ′によって生成さ れる 無限 巡 回群 とす る とき 、r絃

N

とZ´ の半 直積 と して 表さ れ る。

  

こ の 定理 によ り 、rの 代数 的な 構 造及 びカ 学 的な 性質 も 完全 にわ か る。 また 、 この

r

の例 とし て 、そ れぞ れ 定

理の （1）と（

ii

）に対応する例 が本論文においてあ げられている。この例はすべてのrを記述しているわけで；まない

が、

Co

ー級の範囲では全 てこれらの例に同 型である。

    References

  【CR]G．Chatelet andH．Rosenberg，Manifolds which admitsR″actions，     Publ. Math. IHES. 43(1974)，245‑260.

    旧 ］E． Ghys，Actions localement libresぬgroupe affine，Invent. Math. 82(1985)，479・526． [HGM]G．Hector，E.Ghys andY．Moriyama，On codimenszon one nilfoliations andロtheorem o′MafC刪 ，     Topology28（1989），197−210．

  M1】Y．Moriyama，R伽 ロ 応onmロ 門 め ぬ 伽f曲 ロ 加 館 めc 緲0eB門fりD知f工 セg′ 。 唹HokkaidoMath．     J．17（1988），235乏40．

  M2］ 森 山 洋 一 ，Polynond甜groMhを も つsQlvableLiegroupのactionに よ っ て 定 義 さ れ たfoliation     につ いて，（修 士論文）（1982），

    ［P】J．F．Plante， 工D弧緲 ウ8Pqげ 碗egrD pロc虹D恥 ，Trans．Amer．Math．SOC．259， （1980） ，449一456． 卩uRW］H，ROSCnbefg，R．RouSsarieandD．Wen，イC血船枦cロffD灯。′C比塙嵒dDrfe門紅6セ3弸ロ′めZd§D′′・ロ冖えm，D，     ´虹m．Math．91（1970），449・464．

    口 冂D．TiscMer， 工Dcロ め ゥ ピ ピ ロcrfD恥D′R川DnM″w触DWcDけり ロcfDr6ffs，Topology13（1974），215乏17

学位論文審査の要旨

学 位 論 文 題 名

Polycyclic groups of diffeomorphisms on the half‑line

（半 直線上の微分同相写像からなる多重巡回群）

    

半 直 線 ゆ ，

oo

） 上 の

C

′ ‐ 級 微 分 同 相 写 像 か ら な る 群

Diff

′ ［

0

，

oo

） の 中 の 多 重 巡 部 分 群 に ついて、r >2の場合本質的に異なる二種類のものが存在することを確かめ、その

ような部分群はこの何れかに分類されることを示した。

  

群

r

に お い て 、 有 限 部 分 群 列

r

〓

 ro

コ

rl

コ … コ

r

″ ＝

{e

） が 存 在 し 、

ri

は

r

―

1

の 正 規 部 分 群 、

ri

―

1/r,

が 巡 回 群 と な る と き 、

r

を 多 重 巡 回 群 と よ ふ 。 多 重 巡 回 群 は 一 意 的 な

{0

） で な い 極 大 正 規 部 分

N

を 持 つ 。

N

を

r

の べ き 零 根 基 と よ ふ 。 写 像 ゾ ： ［

O

，

oo

） → ［

O

，

oo

） は 任 意 の ヱ

E

［

0

，

oo

） に 対 し 、

limr (x)

〓

0

と な る な ら ば 、 縮 小 写 像 と よ ば れ る 。 主 要 な 結 果 は

    n

−

次のように述べられる。

  r

を

Diff

′ 【

0

，

oo

） の 多 重 巡 回 ． 群

r=2

，

3

， …

oo

と し 、

N

を

r

の べき 零 根 基 、Fix(N)を

N

の 不 動 点集 合 と す る 。 （

i

）

Fix

（

N

） 〓

tO

） な ら ば 、

r

の

(0

，

oo

） 上 へ の 制 限 は 直 線

R

の 有 向 ア フ ァ イ ン 写 像 の群A幵十（R）の部分群にC′．級共役、即ちC′‐級微分同相ん：（0，oo）〜＝Rが存在し、ん（rl（o，oo)）ん−1

    

・．一

が

Aff+(JR)

の 部 分 群と な る 。

(ii) Fix

（

N

） ≠｛

0

）な ら ば 縮 小写 像 ア

EDiff

′ ［

o

，

oo

）が 存在し 、rはN とァによって生成される無限巡回群<f>との半直積、即ちr〜Nx（ア）となる。

  

（i） に対 す る 例 ：C oo‑級 微分 同 相写 像￠：

R

竺R十：

(0

，00）を −ooくt＜ −oに対 し1‑t，

0

くt≦2に 対

    

・・一

し

1

か ら

2

に 至 る

C oo‑

級 単 調 増 加 関 数 、

2

く

t

く

oo

に 対 ‐ し て

t

と な る よ う に 選 ぷ 。

R

上 の

A

行 十 （

R

） ‐ 作 用 ￠ は 、 ￠ に よ っ て

R

十 上 の 作 用 ￠ を 引 き 起 こ し 、 更 に

0

に 対 す る 作 用 を

0

と 定 め る こと に よ り 、￠ は

[0

，

00

） 上の

Coo‑

級 作 用 に 拡大 さ れ る 。従 っ て 、

A

行 十（

R)

はDiff oo[O，

oo

）

    

― 18−

夫 雄

三 之

一

治 立

佳 敏

周

木

訪

口 森

屋

鈴

諏

山 西

泉

授 授

授 授

授

   

   

教 教

教 教

教 助

助

査 査

査 査

査

主 副

副 副

副

の 部 分 群 と み な さ れ 、 A ff 十 （ R ） は 多 く の 多 重 巡 回 部 分 群 を 含 む 。 A ぱ ＋ （ R ） の 多 重 巡 回 群はr 〜＝Z x Zk の形をもち、r の（0 ，oo ）上エE （0 ，oo ）の軌道はn>l のとき卩，oo ）‐稠密となる。

   （ii ）に対す る例：AE SL(n ，z) ，0 く g く 1 とし、tA が固有値0 とその固有ペクトル（ai ，… an), aiER を持っとする。′EDiff ′十￣［0 ，oo ）（r 〓2 ，3 ，…，oo ）が存在し、ア°￠t 。f −1 ＝￠きt となる。

A= (mij) mijE 忿，9i Oa,,i ＝1 ，2 ，…コn とおくとき丶

´ ―lo gjoア ニ￠aロi

N ＝  {9i ，… 9n ）， rA= ｛ g げ ‥， 9 ， f ｝と おく と、 N は 自由 ア ーベ ル群 でrA の不 変部分群、rA は 階 数 ≦ れ 十 1 の 多 重 巡 回 群 と な る 。 rA は Z xZ の形 の群 で、 pe （ 0 ，oo ）， X う (p) 〓 0 なら ば、

p の rA ― 軌道 は（ O ， oo ）の 疎集 合と なる 。

  Diff ′ ［ 0 ， oo ） の 多 重 巡 回 部 分 群 の 研 究 は 1984 年 、 J.F. Plante に よ っ て 始 め ら れ た が 、 Fix （N ） ＝ t0 ）の 場合 r の 元を (0 ， oo ）の 微分 同相 写像 とみ て、 r が A ロ十 （R ） の部 分群に連続共 役 と な る こ と を 示 し た に 止 ま っ て お り 、 Fix(N) ≠ {O ） の 場 合 の 考 察 は 全 く な か っ た 。 申 請 者 は Fix(N) ≠ ｛ 0 ） の 場 合 が 実 際 に 起 こ る こ と を 上 記 例 (ii) の 構 成 に よ っ て 確 か め 、 r の 分 類 を 完 成 し た 。 可 解 リ ー 群 の 離 散 部 分 群 は 多 重 巡 回 群 と な る の で 、 可 解 リ ー 群 の 作 用 に よ っ て 生 ず る 余 次 元 1 葉 層 構 造 の ホ ロ ノ ミ 一 群 は 正 に 主 定 理 に 言 う r の 形 を 持 つ 。 従 っ て こ の 分 類 は 余 次 元 1 葉 層 構 造 を 解 明 す る た め の 新 し い 重 要 な 知 見 を 与 え た こ と に な る 。 審 査 員 一 同 は 申 請 者 が 博 士 （ 理 学 ） の 学 位 を 受 け る に 十 分 な 資格 が ある もの と認 めた 。

‑ 19ー

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