フーリ工級数と有限要素法による三次元浸透流問題 の解法

の解法

著者 滝本 眞生, 段野 勝

雑誌名 福井大学工学部研究報告

巻 30

号 2

ページ 139‑147

発行年 1982‑09

URL http://hdl.handle.net/10098/4365

福 井 大 学 工 学 部 研 究 報 告

第30巻 第2号 昭 和 田 年9月

フーリ工級数と有限要素法による 三 次 元 浸 透 流 問 題 の 解 法

滝 本 県 生 * 段 野 勝傘

Solving Me七hod of Three Dimensional permeable  Flow by Means of Fini七e E1ement Method and  Fourier Series 

Masaki TAKIMOTO*

， 

Masaru DANNO* 

(Received Jul.26

， 

1982) 

In order七o solve the problems of七hree dimensional  permeable flow

， 

calcu]~s of  fini七e differences or series  expansion has been applied七o i七s numerical analyses. 

On七he comp1ex prob1ems of七he ana1yses， finite e1emen七

me七hod is a usefu1 mean.  However

， 

t^どoub1e of  insuf‑

ficiency exis七s in七he capacity of computer  since七he more七he mode1  is  comp1ex， 七he vas七er七he ca1cu1ation  becomes.  This七roub1e is  solved wi七h七he method七ha七 七he Fourier  series  is  combined with the fini七e e1ement  me七hod. By using七his me七hod，opera七ion七ime and  memory of compu七er was decreased remarkah1y

， 

and 

troubles of division七0 七he elements were saved agains七 七he previous methods. 

1 緒 言

工学においてはしばしばラプラス方程式，ポアッソン方程式あるいはこれに類似した方程式を解 く必要のあることが多い。しかしこれらの式の厳密解を得ることは難しいので，差分法によって数 値解を求めたり1)，2)，3)，4)，5)境界が複雑で，領域内の物理定数などが複雑に入り乱れたりする場合は有 限要素法が用いられる06)・7)，8)しかし有限要素法によって精度のよい解を得ようとすれば，領域の細 分化が必要となり，未知数の数が非常に増大し，計算機の大型化と費用の増大を伴なう^O このため 変数分離法で次元を落してから数値的に解く方法などもあるがア支配方程式を満足する領域が限定

* 

産業機械工学科

139 

され，たとえば軸対称の場合などに限られるようであるO そのほか少し複雑な式に対して適用可能 な方法に重み付き残差法があるが，応用範囲が多少限定される010)，ll)，12)

本論文は応用範囲にほとんど限定のない有限要素法を改良し，領域の細分化の手間や計算機の規 模及び使用時間の節減などを目的とした研究を述べたものであるO すなわち本解法の手法は空間を 円筒座標で表わし，関数(ポテンシャル)を回転方向にはフーリエ展開して次元を落し，半径方向 及び軸方向の面内では有限要素法で解くのであるO ここで要素の節点は支配方程式を満足する点と，

しない点とに分ける。満足しない点についてはポテンシャルの値を操作し，任意の場所におけるポ テンシャルを与えられた境界条件となるようにするのであるO このようにして非軸対称問題にも適 用できるような特長をもたせたO われわれはこの解法をF F M解法と呼んでいるO なお以下に取扱 う問題は面対称で，しかも境界においてはポテンシャルが与えられている三次元ラプラス方程式に 限定している。

2 フーリエ級数と有限要素法による問題の展開

ことではポテンシャルφを求める定常問題を考えることにするO ポテンシャルは支配方程式とZ 軸からの距離r及び角度。なる円筒座標及び境界値などが与えられれば決まるはずであるO またポ テンシャルをフーリエ級数に展開する際，一般にはsin及びcosを用いるが，とこでは簡単のため面対 称問題に限定して述べることにするO このようにすれば，ポテンシャル

φ

はcosのみを用いてフーリ

n 

エ級数に展開できるOそこでポテンシャルゆをL;fk (了， z ) C08 k(}なる形に 0方 向 に フ ー リ エ 級

k~O

数に展開し，そのフーリエ係数fk(r， z)に つ い て は (r， z )平面を三角形要素に分割し，そ の要素内では直線的に変化するものとするO ここで有限要素法による適当な処置をfk(r， z)に ほどこせばfk(r，z)cosk(}は支配方程式を常に満足するようになるOあとは境界上で境界値を 満足するようにfk(r，Z)を決め，領域を境界で囲むO このような処置を施せば領域が軸対称形 でなくても，軸対称問題を解く場合と同様な取扱いが可能となるO また領域を要素分割した場合の ある節点上でのfk(r，z)はr，zとも一定のため θ上では定数として取扱うことができるO

次に上記の詳細を記述することとするO ここでは工学上非常に重要なラプラス式で話を進めるO

ラプラスの式を円筒座標で表わせば，

θ 2 φ 1 θ φ 1 θ 2 φ θ 2 φ   一 ー す +_a rG  • r 一 一 + ‑a r'  r :;::2一ーす十一G afP  . a山τ=0

) 

4EE‑‑( 

となるO上式の

φ

を0方向にフーリエ級数に展開できるものと仮定すると次式を得るO

a v  

k s 

o 

C 1j z 

r 

/1¥ k f 

n Z

同

φ・

一 一

( n =∞〉 (2) 

ここで以後fk(r，z)を簡単のためfkで表わすとととするO 式(2)を式(1)に代入した式が0のい かんにかかわらず成立するとすれば，すべてのkに対して次式が成立するO

(fk); 

士 +

^(fk);

‑季世+

^(fk

ト o

⁽³⁾ 

ここで注目すべきことは式(3)には独立変数はrとZのみで0は存在しない点であるO そこで領域が 軸対称でない場合でも式(3)が成立するのかという疑問が起こるが，このことについては簡単のため

2次元問題で説明する

f )

いま実際に存在する領域をFig.lに示す実線の内側のようで あるとするO しかし，あらゆる角度で支配方程式を満足すると いう表現をした場合の領域(以後この場合の領域を架空の領域 という)は破線で示す円の内側となり，対象としている領域と は異なることとなるO しかしここでは架空の領域を一応破線の 内側までとっておき，架空の領域の内部の実際の境界である実 線上で境界条件を満足させるととができるのであれば，実線の 内側すなわち実在の領域においては支配方程式と境界条件とは 共に満足する領域となり，求めようとする解を得ることができ るO その際，架空の領域内で境界条件を満足させるととが必要 となってくるが，その方法については次章で述べることとするO

さて式(3)を有限要素法で解くことを考えるO 式(3)の汎関数Xkは，

Xk = 

J J { r 宰 i+

^r(

害

⁾²

十 ぞ

(fk)2}dr dz 

141 

y 

¥  

x 

F i g . 1   Coordinate  and  boundary 

(4) 

で与えられるO そこで上式の Xkが極値となる条件を求めることが問題となるO

有限要素法の手法にしたがって，取扱う rz面内の領域を三角形要素に分割し， 各要素について の式ω)の値を求めるO いまある三角形要素を考え，その各節点番号を i，j， mとし， fkは要素内 ではrとZの一次式で表わされるとすると，要素内のfkは次のように表わすことができるO

fk=J‑{(a^{2ム l¥.u..}工^l+bir+Ciz)ff^{11...11.1.  I ......lLJ.J....Ll} 

+(a.i+b.ir+c.iz)f~ 十 (am+bmr+cmz)f~}

^{I ¥'(..L.J I uJ.1.  I ¥..JJ.!...J/..La I ¥..u.m r IJmJ..  I vmL.J，I..LmJ  (5)} 

ここにムは三角形の面積であり，さらに，

ai = rj Zm‑rmZj

， 

aj=rmZ工‑ r工Zm

，

am=riZj‑rj Zュ bi=Zj‑Zm

， 

bj=Zm‑Zi

， 

bm=Zi‑Zj 

Ci=rm‑rj

， 

Cj=ri‑rm

， 

Cm=rj‑ri 

(6) 

で あ り ， 下 付 き 添 字 し j，mは節点番号に対応した値であることを示しているoつぎに任意の要 素eについての汎関数 x

5

は式(5)を式(4)に代入することにより次式を得るO

r r  I 

( / ，   ~k" ~k ~k-2. /  k  ~k. ~k.， 21. k2 

zt=z

さ ' 2 j J e I 

^{r { (bd ~ + bj f~ + bmf ~j + ( 仏 +Cj fj‑+cmf白}+?{(a工+bir+叩 )fi}

向 山 山 村 山 川

d

汀 咋

^rdz

ところで汎関数Xkが極値をとる条件は次式で示される_O

θxk  θ X~

4

マ =

^2::; ~-P k

= 

0  i 

= 

1， 2 ^{・H・H ・} N，N .全節点数) 0ム

f

^{-~ aム正 一}

(7) 

(8) 

また式(7)より有限要素法の手法にしたがって次式を得るO

θ叫山山左釘

M

^{山/川川陀θ釘f}

θ

似xVθâf~

I ^{ト =} I 

^~j~

^主

^s

笥j~

~仏ム

ハI ￨

^f性~

I

^仰9引) 

θ

似

x E

ド/川θ^釘fE

引 I

^{I~.位占 E岱占 5}

^{仏 品} l 川 I

^f~主

! 

する一次式となり， f~を求めることができる O ここで k ， iの 値 は そ れ ぞ れ フ ー リ エ 級 数 の 項 数 番 号 及 び 節 点 番 号 で あ るO 以 上 の 原 理 か ら 明 ら か な よ う に ， 三 次 元 的 な 問 題 を 二 次 元 的 な 処 理 と 一 次 元 的 な 処 理 に 置 き 換 え ら れ る こ と に 本 解 析 の 便 利 さ が あ る 。

境 界 条 件 の 設 定 方 法 3 

φを式(2)のようにフーリエ級数に展開した場合， fk ( r， z)は 境 界 内 に お い て は 式(3)を満足し，

境 界 上 に お い て は 境 界 条 件 を 満 足 し な け れ ば な ら な い 。 こ の と と に よ り ， 問 題 に よ っ て は 未 知 数 の 数 よ り 条 件 式 の 数 が 多 く な る 可 能 性 が あ るO そ こ で 未 知 数 の 数 と 条 件 式 の 数 を 等 し く す る た め に 最 小 二 乗 法 を 導 入 す る こ と に す るO いま境界上の

φ

を式(2)で 近 似 し ， そ の 誤 差 の 2乗 を6 tとすれば，

式 次 が 成 立 す るO n 

6 t  = 

{ φ

一

( 1 5

^{fk(r ，Z ))}&} 

全 境 界 に わ た っ て 式 制 を 積 分 し ， そ の 値 を 最 小 に す る よ う なfkを求めることが考えられるが，計算 時 間 の 短 縮 と プ ロ グ ラ ム の 簡 単 化 の た め ， 境 界 上 で の 積 分 を す べ て 各 節 点 上 に お い て0方 向 の 角 度 で 積 分 す る こ と に す るOす な わ ち 節 点iが()1‑ () 2 ( 

I 

()1 ‑()2 

I  > 

2π/4n)で 境 界 を 持 つ 場 合 に は 式 帥 を

t ω  

。

^'1‑()2の角度で積分するが￨向‑021<2π/4n又は03で ， す な わ ち 点 で 境 界 を 持 つ 場 合 に は2π/4n x( 1/100)ラ ジ ア ン の 角 度 で 式 帥 を 積 分 し ， そ の 値 を100倍 す る と い う 方 法 を と る こ と と す るO こ れ ら の 結 果 得 ら れ た 誤 差 の 和 をEとすれば， f~( k = 0 ，  … n )は次式

θε/θf~= 0  k = 0， 1， … ，  n  i  1， 2， ...…，  N 

となるところであるが， f~に式 (8) と式 Ul を同時に，常に満足させることには無理がある O そこで節 点を3種 類 に 分 け ， そ の 各 々 を 外 点 ， 内 外 点 ， 内 点 と 呼 ぶ こ と に す るO各 節 点 の 性 質 と 表 記 方 法 を fi])  1 

， 

各 節 点 の 性 質 と 表 記 法 質 性

境 界 条 件 の み 満 足 す る

支 配 方 程 式 ， 境 界 条 件 共 に 満 足 す る 支 配 方 程 式 の み 満 足 す る

表 l 表lに示すO またZ軸

に 直 交 す る 面 で 領 域 を 切 断 し た 場 合 の 節 点 の 種 類 と 境 界 の 関 係 を 図 示 す れ ばFig.2のよう であるO 実 線 は 実 在 の

境 界 で ， 実 在 の 領 域 は こ の 内 側 で あ り ， 破 線 は 各 節 点 が 受 け も っ て い る 領 域 を 示 すO つ ま り こ れ ら の 節 点 は 各 々 rな る 同 心 円 に 対 し て 定 義 す るO こ こ で 内 外 点 及 び 外 点 の 境 界 条 件 を す べ て 外 点 の フ ー リ エ 係 数 のl次式によっ て 表 わ す こ と を 考 え るO こ の こ と は 外 点 の 値 を 種 々 変 え る こ と に よ り 内 外 点 の 境 界 で の 値 を 操 作 し ， か っ そ れ 自 身 の 値 も 希 望 の 値 に 持 っ て い こ う と す る わ け で あ る 。 こ

f i g .  2 D e f i n i t i o n  o f  i n n e r .  o u t e r .   and i n n e r  and o u t e r  p o i n t s  

~uter

p o i n t   i n n e r   p o i f l t s  

i n n e r  and o u t e r  p o i n t s  

の よ う な こ と が 可 能 で あ る と ， 式Ulは 外 点 の フ ー リ エ 係 数 の み 独 立 変 数 と 考 え て つ ぎ の よ う に 書 き 直 す べ き で あ

0

・ d2  @

。

E θ ε θ ε h θfi-θf~θf~ ‑

る。

143 

とこに f~ ， f~ ， f~ ，…・・…・は外点のフーリエ係数である O 式 ω においては未知数の数と条件式の 数が一致するので，外点のフ」リエ係数 f~ ， f~ ，…・・は求まることになる O 外点のフーリエ係数 は式(8)すなわち支配方程式を満足する必要はないので，既知の値として式侶)に代入すれば内点，内 外点のフーリェ係数も求まることになるO簡単な問題では外点は lつで十分であるが，外点，内外 点などが内点により分割されるような形になると精度は低下するO そのような場合には外点を増す 必要があるO その場合外点もラプラスの式を満足しなければならなくなってくるO この場合，最小 二乗法を用いて一部の外点は実際の領域内においてラプラスの式をも満足するようにするO このこ とについては後でふれることとし，まず内外点での境界条件をも外点のフーリエ係数で表わされる ことを示すO

まず内外点，たとえば節点 iにおける

φ i

をフーリエ級数に展開すれば次式を得るO

︒

vk 

ロUO 

c 

k‑

‑

fム

n Z

M  

. ︑ ム 一 一

AUT 

M 

上式において， fの添字はフーリエ級数の項数及び節点番号を示しているO つぎにたとえば外点a 上のφをフーリエ級数に展開すれば次式となるO

AU k s 

o 

c ka f 

n Z

同一 一

a φ 

M 

次に式(8)，(9)より次のような関係が求まるO なおこの関係には外点a，b，…ーに関するフーリエ 係数 f~ ， f~' …・…・も含まれている O

f ^{f l}   E ^{e f a}  f    ^{e f N} 

^寸Ill1111l_i

‑‑

﹂

ハU

tE

'e

nu

it

‑‑

nU

﹁Il‑‑Illi‑‑﹂

一 一

﹁! l

I ll I

l li ‑

‑ Il l

l 11 1

﹂l

K 1 k a k N  

fl if

‑‑ if  

﹁l

IB

il

li

‑‑

Il

ll

ll_し

(k=o ^， l ， 

N :全節点数

︑_{1 1}

1

﹀a E E

︐dn 

( 1

  1 f

上式はすべての節点がラプラスの式を満足するとき成立するO いわば各節点におけるラプラスの式 であるO 式同において内点及び内外点のフーリエ係数をまとめて CvkJ，外点のフーリエ係数をCukJ

とし，それらのマトリァクスの要素をまとめて CVkJ，CUkJとすれば，式

M

^{は次式のように書けるO}

寸I

ll

‑‑ J n u n U  

﹁I

ll 11 1L

一 一

﹁I

ll i‑

‑J k k  

v u  

﹁t

il l‑

‑_﹂

︑l l J

K 打uk 

v 

rl︑

。 。

したがって次式となるO

C vk) 

= 一

CVk)^ー1. C Uk)・CUk) 

ヵ 。

つまりラプラスの関係を満足する内点及び内外点におけるフーリエ係数f~^， f~^{， ・は外点のフ}

ーリエ係数f~^， f~ ，……の一次式で表わすことができ，次式のようになるO f~ ^= C~a f~

+ 

c~bf~ +・...…

¥1.8) 

f~

= 

_crf~

+ 

c~bf~

+ 

^・・

ただし，たとえば

c t a

はマトリックスの要素であり，式問より得られるものであって，節点番号 i のフーリエ係数を表わす場合の外点aのフーリエ株数の係数であるO 式闘を式帥に代入すれば，境 界条件は外点のフーリエ係数のみで表わされることになるO そして境界上での誤差を最小にするよ うな外点のフーリエ係数を求めればよいことになり，式仰が成立するO 今外点の数は (N‑Q，)で あるから式仰の未知数，条件式の数は共に (n+l)(N‑Q，)であって解を得ることができるO

次 に 外 点aのポテンシャルφaが 部 分 的 に あ る 角 度(θ1孟O三五(}z)の 範 囲 で ラ プ ラ ス の 式 を 満 た す 必 要 が 生 じ た 場 合 に つ い て 述 べ るO もしも外点aが ラ プ ラ ス の 式 を 満 足 す れ ば

f E

は式侶)を満足しな け れ ば な ら な いo 1つ の 要 素eに つ い て の 式(8)の 計 算 式 は(9)で あ る が ， こ こ で 節 点m をラプラスの 式 を 満 足 す る 外 点a とすれば，式(9)のm を a と書き直して，

a 克 明k

害訴=ヲ (~aif~

+ 明 +

_~aaf~) = 0  ⁽¹⁹⁾ 

a 

ここで

2

は節点aを 含 む す べ て の 要 素 に つ い て の 加 え 合 せ を 意 味 し て い るO またi， れま節点aを 含 む 要 素 の 他 方 の2節 点 で あ り ， 当 然 要 素 が 代 わ れ ば 節 点 番 号i，jも代わるO 式(19)より，

旦 a

f~ =号 (ιiff+~ajf~)/ ヂ臼

ヤノレ Øa~ま，

なる式が得られるO もし節点aで の フ ー リ エ 係 数 が ラ プ ラ ス の 式 を 満 足 す る な ら 角 。 で の ポ テ ン シ 側

ø A = 土{土 (ιf~ +し廿)/土 ι~ c o s  

k(} 

k=O  I e  ^{凶 占 占 凶}υ υ e ~~I

e>.J) 

で 表 わ さ れ る わ け で あ る が ， 実 際 に は 節 点aで の ポ テ ン シ ャ ル は 式 帥 で 表 わ さ れ るO節 点aは外点，

つまりラプラスの式を満足しない領域の節点であるから， Øa~φa である O しかし， eazzφa とす ることは可能であるO もし角度(}1‑内でoa=φaとすることが可能であると，節点aでのポテンシャ

ルはθ1 ‑ (}Zで ラ プ ラ ス の 式 を ほ ぼ 満 足 す る こ と に な るO つ ま り 次 式

θ((}2 / '"  J.，?~， ^{̲  ̲ r().} θoa θ φ a  

五百よ

²⁽ 

^o

日一恥)勾=も"2( 

o

a一 州

E E E E E F ) d θ =  

^{0  (c: a}

^， 

^{b......)  闘}

を 式 仰 に 加 え れ ば よ い 。 な おkはOからnまで代わり cは 外 点 の 数 だ け 代 わ るO こ の よ う な 操 作 を行ないnを 限 り な く 増 や せ ばθが(}1豆 θ手(}zの 範 囲 でφaにラプラスの式を満足させることは可能 であるO

4 解 析 例 と そ の 検 討 フ ー リ エ 展 開 を 用 い た 解 析 法 の 有 効 性 は つ ぎ の よ う に し て確めたO まずフーリエ展開 を 用 い た 解 析 法 が 境 界 値 問 題 の 数 値 解 析 に 対 し て 通 し て い るかどうかを調べるため，Fig.3 に 示 す よ う な 境 界 条 件 を 与 え た 円 錐 形 多 孔 体 モ デ ル を 設 定 したO こ の 領 域 内 で の 支 配 方 程 式 は ラ プ ラ ス の 式 で あ る と す る 。 円 錐 面 上 の 境 界 条 件 と

M a g n i t u d e  a n d  f o r m   o f   a h o l e  

一

^φ=225

の何

十寸

F i g . 3   B o u n d a r y  c o n d i t i o n  o f  a  m o d e l  

し て は ， ポ テ ン シ ヤ ル

φ

の 値 は 底 面 か ら の 距 離Zの 値 を 入 れ る も の と す るO ま た 円 錐 の 底 面 か ら の 高さが200，z軸から 700離 れ た と こ ろ に 同 図 に 示 す よ う な 形 状 の 空 洞 が あ る も の と す るO 空洞内

のポテンシャル

φ

は一様に

φ

= 

225としたO さらに底面は 不浸透性の平板に接している

ものとするO

F E M 

Section view 

92.5" 

11  このような三次元問題につ

いてF E MとF F Mの解の比 較を行うため，各々の解法に 適するようにFig.4及び5の ような要素分割を行なったO

Fig.4については多角錐の中 に厚味のある扇状の空洞のあ

Fig. 4 An example of the model divided in  to a number 01 elements 

るモデルに要素分割したO 要 素は平面図のように10分割し，

各分割面は断面図のように分

g 

割した 6面体である。フーリ エ解との対比は同図中の番号

ぱ3

F F M  

Section view 

の付された節点について行っ たO節点数は 561個となるO

Fig.5については，三次元的 ^Fig  5 An example of the model divided i n to a number of elements  な情報をZ軸を中心に一次元的なフーリエ展開と，断面図のような二次元的な情報に分けることに より処理したO ここでフーリエ展開項数を10次，外点数を14個，節点数を51個としたO なおこのモ デルのように領域内に空洞すなわち境界が存 表2 モデルの計算結果の比較表

在するような場合においては節点5，6， 7，  8などは外点として取扱う必要があるO

前章で述べたようにフーリエ展開を用いた 解析法では境界値を境界全体で，最小二乗法 により誤差が少なくなるように設定しているO

したがってフーリエ展開による解析法では，

与えた境界値と解析結果の境界値とから間接 的にフーリエ解の近似の度合を予測すること ができるO これはフーリエ展闘による解析法 の特徴であり，近似の度合を判断するのに有 効な指標となるO このような観点よりモデル

角 度()O

2.5⁰ 

22.5⁰ 

22.5⁰  節 点

地 2  4  9  4  5  6  7  8  9  4  5  6  7  8  9 

F E M解 F F M解

a  b 

372.2  392.9  299.6  306.4  250.0  254.7  324.7  322.0  300.3  298.4  296.4  294.0  283.6  281. 7  279.8  277.5  271. 1  269.5  329.6  330.6  310. 1  306.1  307.5  304.1  290.4  287.1  288.0  285.5  279.3  280.9 

￨1‑102‑2 1 

x 1  5.3  2.3  1.8  0.8  1.2  0.8  0.7  0.8  0.6  0.3  1.3  0.4  1 .1  0.3  0.6 

145 

の解析結果である表2をみると，境界値を与えた外周及び空洞共に，与えた境界値と対応する境界 上のフーリエ解は99%以上近似している^O このモデルを一般の有限要素法で解いた場合を想定して 比較してみても，解の精度は非常によい。またフーリエ展開による解析法の方が従来の方法より，

コンピュータの記憶容量は小さくてよく，演算時間も短縮できるO また三次元的な要素分割が二次 元的要素分割でよいので，ほとんど要素分割の手聞がかからないなどの利点があるO たとえば，こ のモデルで使用した最大マトリックスは 561x561であるものが 140x 140に，演算時間は9分51 秒が15秒程度まで節約できたO この結果からもこの解法の有効性は明らかであるO

5 結 言

境界が複雑になったり，領域内の物理定数などが複雑に入り乱れたりするような場の問題におい ては，有限要素法が解析の有力な手段となるO しかしながら精度向上を要求すると領域の細分化が 必要となり，要素分割に多大の手数が必要となる^O また未知数も比例的に増大するので，計算機の 大型化と演算速度の向上が必要となるO

本研究は解析の手法としてフーリェ係数に有限要素法の制約を加えることにより三次元問題を二 次元問題と一次元問題に帰着させたものである^O この方法によれば三次元的要素分割は二次元的要 素分割におきかわり，要素分割の手聞は飛躍的に軽減することになる^O さらに任意の形状の問題の 解析精度の向上と計算機の演算時間，使用メモリーの飛躍的節約を可能にしたO また精度について は，要素内でのポテンシャルを直線近似せずにθ方向には三角関数で近似するため，近似に無理が なく，精度もよいものと思われるO 一例として円錐面及び空洞内に境界値を与えたモデルについて の境界上のフーリエ解は99%以上近似したO このモデ、ルを一般の有限要素法で解いた場合は最大マ トリックスは561X561，演算時間は9分51秒であったが，本法では最大マトリックスは140x140 であり，演算時間は15秒であったO また解の精度も良好で，フーリエ展開による解析法が境界値問 題に対して十分適用できるものと認められたO

おわりに本研究にご協力いただいた金属鉱業事業団鉱害防止技術委員会しゃ断部会(部会長，東 大・山口梅太郎教授)の委員各位及び金属鉱業事業団技術部の関係者各位に厚く感謝の意を表わす。

またセントラル・コンピューターサービス株式会社中野拡二氏には数々の有益な御明言をいただい たO 重ねて感謝の意を表する次第であるO

文 献

1)  P.Aロングウエル，大谷訳，化学技術者のための流れ学， (1970)，90，共立出版 2)  Aronofsky， J.8. and Jenkins， R.， App

ユ .

Mech.， lst U. S.  Na t. Congr， 

(1951)

，

763. 

3)  Jenkins， R.and Aronofsky， J.8.， JOurnal of Applied Mech.， 20‑2，  (1953)

，

210. 

4)平松・岡・段野，日本鉱業会誌， 78‑883，(1962)，31. 

5)段野・滝本・杉本，日本機械学会論文集， 41‑343，(1975)，855. 

6)  O.C.  Zienkiewicz and Y.K.  Cheung， The Engineer， 8ep七.24(1965)， 507. 

7)  0.0ツ ィ エ ン キ ー ヴ イ ッ ツ .Y.K.チューン，吉識訳，マトリックス有限要素法， (1970)， 

1 6 2 ，培風館.

8)段野・滝本・水口，日本機械学会論文集， 44‑383 (1978)， 2314. 

9)小林・小野寺・原，日本機械学会論文集， 42‑362 (1976)，3104. 

1の 川 井 ， 数 理 科 学 ， 144，(1975)，5，サイエンス社.

11)  コナー・ブレピア，奥村訳，流体解析への有限要素法の応用， (1979)，5，サイエンス社.

12)  B.A.フインレイソン，鷲津ほか訳，重みつき残差法と変分原理， (1977)， 16，培風館.

13)岡・滝本・段野，日本鉱業会誌， 9 7 ‑ 1 1 1 8， (1 9 8 1 )，  2 2 7. 

147