z 二項分布とポアソン分布

(1)

離散型分布 discrete distribution

z 二項分布とポアソン分布

z 例：単一時間に発生する事故件数は ?

z 一日 m 件の事故が発生したとする．これを 1 時間毎， 1 分が

毎， 1 秒毎と縮めていき， 1 刻みに 1 件の事故が発生するようにし ( 同時刻に 2 件発生することはないとする ) ，その刻み数を n とする

数を n とする．

z すると，この話は n 個の刻みの中で 1 件事故が発生するかしないかとみなすことができる．即ち， n 個の刻みの中かかしなかとみなすとができる即ち，個の刻みの中から事件が発生した x 個の刻みの個数を考えることになる

z 事故発生率は p = m / n = 一定！

( ポアソン分布の期待値 )

z このときの m = n p は二項分布の期待値！

(2)

離散型分布 discrete distribution

z ポアソン分布の例

z

例 1 ：飛行機事故（事故はめったに起きない）

z

例 1 ：飛行機事故（事故はめったに起きない）

z

飛行機事故の確率 1/10 万，飛行機搭乗回数を 1 万回としたとき，

一度も事故にあわない確率は ?

z

例 2 ：大量生産品の不良品数（めったにない）

z

不良率が 1/10000 の生産ラインで 1 万個生産したとき不良品が 3 個出る確率

個以上出る確率は ?

z

例 3 ：爆撃命中数（めったに当たらない）

第二次大戦中のドイツ軍の砲弾命中精度は λ 0 93 のポアソン

z

第二次大戦中のドイツ軍の砲弾命中精度は λ=0.93 のポアソン分布に従うという． 1000 発打って 1 発当たる確率は ?

z

例例 4 4 ：薬の副作用薬の副作用

z

副作用の確率が 1/200 の薬を 5000 人が服用したとき， 30 人以上に副作用が出る確率は ?

z 例 5 ：生物・植物の生態・繁茂状況を示す分布

z

単位面積あたりのバクテリアの個数

(3)

演習４演習

z ポアソン分布を求めよう

z 赤玉１個，白玉 99 個入っている袋から 1 つ取り出しては

戻すという行為を 5 回行ったとき，赤球が出る回数の確

率分布（ポアソン分布）を求めてみよう！

(4)

離散型分布 discrete distribution

z

z 幾何分布幾何分布 geometric distribution geometric distribution

z ベルヌーイ試行において，試行回数を決めずに初めてある事象が起こるまでの試行回数を x とするときの X=x の確率分布確率分布

) ,

2 , 1 (

)

1 ( )

( x = p − p ⁻ ¹ x = L

f ^x ^p

幾何数列（等比数列）の形なので，幾何分布とよばれる

1

^ー

p

x-1 回 x 回目

z 幾何分布は，時間を離散的に（ 1,2,3,…) 考えるとき，

初めて何かが起るまで待時間の長さの確率分布初めて何かが起こるまで待つ時間の長さの確率分布

〔（離散的な）待ち時間分布〕

(5)

離散型分布 discrete distribution

z 幾何分布

z 確率分布

) ,

2 , 1 (

, )

1 ( )

( x = p − p ⁻ ¹ x = L

f ( x ) p ( 1 p ) ^x , ( x 1 , 2 , ) f

⎧ 1

^{0 25} ^幾何分布

z 期待値・分散

⎪⎪ ⎨

⎧ =

1 1 , )

( X p E

0.2 0.25

袋に白玉4個，赤玉1個入っている 1つ取り出して戻すことを繰り返す x 回目に初めて赤玉が取り出される時の x の確率分布

⎪ ⎪

⎩

⎨ −

= 1 ₂ )

( p

X p

V

^0.15

0.05 0.1

⎪ ⎧ 1 5 00

) ( X E

例では

…

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

− =

=

00 . ) 20

5 / 1 (

) 5 / 1 1 ) ( (

, 00 . 5 5 / ) 1 (

X

2

V

X

E

(6)

離散型分布 discrete distribution

z 幾何分布の例

z 例 1 ：災害の到来

z ある 1 年に風水害が起こる確率が 1/25 であるとする．風水害が

害が起こるのは平均何年に 1 回か ?

z 上記と同じ災害が 20 年以内に起こる確率は ?

z 例 2 ：袋から …

z 白玉 4 つ，赤玉 1 つが入っている袋がある． 1 つ取り出して元に戻すという試行を繰り返したとき 10 回目に初めて赤元に戻すという試行を繰り返したとき， 10 回目に初めて赤玉が取り出される確率は ?

例 3 ドアを開けられる鍵を見つけよう！

z 例 3 ：ドアを開けられる鍵を見つけよう！

z n 個の鍵束を持っている．かぎ束からひとつ鍵を取り出しド

アを開けるとき何回目で開くか ? ただし試した鍵は 1 回

アを開けるとき，何回目で開くか ? ただし，試した鍵は 1 回

毎に鍵束に戻すこととする

(7)

演習５演習

z 幾何分布を求めよう

z 白玉 4 つ，赤玉 1 つが入っている袋がある． 1 つ取り出して元に戻すという試行を繰り返したとき，初めて赤玉が取り出される回の確率分布（幾何分布）を求めてみよう！ 10 回目に初めて赤玉

が取り出される確率は

どれだけか？

(8)

離散型分布 discrete distribution

z

z 負の二項分布負の二項分布 negative binomial distribution negative binomial distribution

z ある事象が k 回起こるまでのもうひとつの事象の回数を x としたときの X=x (x=0,1,2,…) の従う分布

p

) ,

2 , 1 , 0 (

) 1

( )

( x = ₊ ₋ ₁ C p − p x = L

f _k _x _x ^k ^x

p

1

^ー

p

二項分布で二項係数に負も認めた場合にこの分布になるので「負」

の二項分布とよばれる

k 回

…

最後は成功なのでの二項分布とよばれる

k 回

最後は成功なので，

k+x-1

回から

x

の場所を決める組合せ数

ときは幾何分布等ため幾何分布般

x 回

z k=1 のときは幾何分布に等しいため幾何分布の一般

化となっている

(9)

離散型分布 discrete distribution

z 負の二項分布

z 確率分布

) ,

2 , 1 , 0 (

, ) 1

( )

( x = ₊ ₋ ₁ C p − p x = L

f _k _x _x ^k ^x

⎧ k ( 1 )

) (

)

( ₊ ₁ p p

f _k _x _x

負の二項分布

0.07

z 期待値・分散

⎪

⎪⎪ ⎨

⎧

−

= −

) 1

(

) , 1

) ( (

p k p

p X k

E

0 05 0.06 0.07

袋に白玉 4個，赤玉 1個入っている 1つ取り出して戻すことを繰り返す赤玉がk=3回取り出される迄に，白玉が取り出される回数 x の確率分布

⎪ ⎪

⎩ = ( 1

₂

) )

( p

p X k

V

幾何分布の

k

倍 ^{0 03}

0.04 0.05

幾何分布の

k

倍

0.02 0.03

⎪ ⎧ −

00 ) 12

5 / 1 1 ( ) 3 ( X E

例では

…

0 0.01

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

⎪ ⎪

⎩

⎪⎪ ⎨

− =

=

00 . ) 60

5 / 1 (

) 5 / 1 1 ( ) 3 (

, 00 . 5 12

/ ) 1

( X

2

V

X

E

(10)

離散型分布 discrete distribution

z 負の二項分布の例

z 例 1 ：災害の到来

z ある 1 年に風水害が起こる確率が 1/25 であるとする．風水害が

害が起こるのは平均何年に 1 回か ?

z 上記と同じ災害が 20 年以内に起こる確率は ?

z 例 2 ：袋から …

z 白玉 4 つ，赤玉 1 つが入っている袋がある． 1 つ取り出して元に戻すという試行を繰り返したとき赤玉が 3 回取り出さ元に戻すという試行を繰り返したとき，赤玉が 3 回取り出されるまでに白玉が 40 回取り出される確率は ?

例 3 シリズものコレクタ

z 例 3 ：シリーズものコレクター

z 12 種類のキャラクターが売られている．ただし，箱を開け

るまで中にどれが入っているかはわからないあるコレク

るまで中にどれが入っているかはわからない．あるコレク

ターが全てのキャラクターを集めるためには何個買わね

ばならないか ?

(11)

演習６演習

z 負の二項分布を求めよう

z お菓子の付録に 6 種類のオマケがある．このオマケはそれぞれの箱に全種類がランダムに等確率に入っているとする．

箱を開けるまで中身はわからない黄色のオマケを 3 個そろ箱を開けるまで中身はわからない．黄色のオマケを 3 個そろえたい．そのために，お菓子を平均何個買わねばならないか ?

か ?

1 2 3 4 5 6

注）全てのオマケを（少なくとも一つずつ）集める場合は，「クーポン収集問題」と呼ばれ注）全てのオケを（少なくともず）集める場合は，クポン収集問題」と呼ばれる問題になり，負の二項分布では計算できない．

(12)

離散型分布 discrete distribution

z

z 超幾何分布超幾何分布 hypergeometric hypergeometric distribution distribution

z 例：白玉が M 個，赤玉が N-M 個（全部で N 個）ある．ここから n 個抜き出したとき，白玉が x 個入っている確率は ?

M N-M

C C

白玉： x ^個

赤玉： n-x ^個

n

^{個抜き出す}

白玉が x ^{個入っている確率は} ^…

n N

x n M N x M

C C x C

f ( ) = ⋅

⁻ ⁻

n

個取り出す組合せのうち，白玉

x

個，赤玉

n-x

個取り出す組合せの確率

ただし

x

^{の取り得る範囲は}

}) ,

min{

, )}, (

, 0 max{

( x = n − N − M L n M

ただし，

x

^{の取り得る範囲は}

(13)

離散型分布 discrete distribution

z 超幾何分布

z 確率分布

x n M N x

M

C C

x

f ⋅

⁻ ⁻

= )

( ⁽ ^x = ^max{ ⁰ ^, ⁿ − ⁽ ^N − ^M ^)}, L ^, ^min{ ⁿ ^, ^M ^})

超幾何分布

0 25

n N

C f ( )

z 期待値・分散

0.2

0.25 N=10,000 （白玉M=300, 赤玉N-M=9,700）

n=100 個取り出すとき，白玉が入っている個数 x の確率分布

⎪

⎪ ⎨

⎧

−

= ) (

, )

(

M N

X Mn V

N X Mn

E

0.15

⎪ ⎩ = ⋅ ⋅ −

) 1

( X N N N

V

例では

0.05 0.1

⎪ ⎨

⎧ = ⋅ =

9700 9700

100 300

, 00 . 10000 3

100 ) 300

( X E

例では

…

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

⎪ ⎩

⎨ ⋅ ⋅ ⋅ =

= 2 . 82

9999 9700 10000

9700 10000

100 ) 300

( X

V

(14)

離散型分布 discrete distribution

z 超幾何分布の性質

z 非復元抽出（とったものを戻さない）の時に現れる分布

z 復元抽出の場合， M/N= p p とした二項分布となる

z N→∞ の場合，条件 M/N → p の元で二項分布となる

⎧ M

⎪

⎪ ⎨

⎧

−

= ,

) (

M N

Mn N X Mn

E ^{n p}

(1 )

⎪ ⎩ = ⋅ ⋅ −

) 1

( N

M N

N M N

N X Mn

V ^{n p (1} ^－ ^p)

二項分布の平均と分散

(15)

離散型分布 discrete distribution

標識捕獲法

z 超幾何分布の例

標識再捕獲法

(mark-recapture method)

ともいう

z 例：資源調査「捕獲再捕獲法 capture-recapture method 」

z 湖の中の魚の個体数推定など

湖に何匹の魚（ N 匹）がいるのか知りたいが，動くので難しい再捕獲により度数分布を書いて N を推定

M N-M

z 例：ある湖の中に生息している対象魚について

200 匹を捕獲し標識 x

^匹

n

^ー

x

^匹

標識がついた魚

z 例：ある湖の中に生息している対象魚について，

200 匹を捕獲し標識

をつけた．さてしばらく後，湖から魚を 10 匹獲ったとき，標識がついて

いる魚が 2 匹いた．この湖にはこの魚は何匹いると推定されるか ?

(16)

VÉyyxx UÜxt~

VÉyyxx UÜxt~44 VÉyyxx UÜxt~

VÉyyxx UÜxt~44

326

から

579

まで

Q1 ） 1 から 100 までの和は？

1 + 2 + 3 + … + 100 = ?

326

から

579

までの和は？

Q2 ） 1 から 100 までの 2 乗和は？

1 ² 2 ² 3 ² 100 ² ? 1 ² + 2 ² + 3 ² + … + 100 ² = ?

1 から n までの和と 2 乗和は以下 ⁴²

_の^から

₂

_乗和は？

²⁸³

^まで

2 ) 1 2 (

1

= + +

+ +

∑ =

=

n n n

k

n k

L

1 から n までの和と 2 乗和は以下

_の

₂

_乗和は？

) 1 2

)(

1 6 (

2 1

1

² ² ²

1

2

= + + + = + +

∑

=

n n

k

n k

L

⎤

⎡ Q ) by ( k + 1 )

³

− k

³

= 3 k

²

+ 3 k + 1

{ } { }

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

=

− +

+ +

+

∑

= =

n k n

k

k k

by

1

2 1

3

3 3 1

) 1 (

1 3

3 )

1 (

Q )

(17)

確率密度関数確率密度関数確率密度関数確率密度関数 p. d. f.

p. d. f. ^((p probability robability d density ensity ffunction) unction)

連続（型）分布

連続（型）分布 continuous distribution continuous distribution

連続（型）分布

連続（型）分布 continuous distribution continuous distribution

★（連続）一様分布 uniform distribution

★正規分布 l di ib i

★正規分布 normal distribution

★標準正規分布 standard normal distribution

★指数分布 i l di ib i

★指数分布 exponential distribution

★ガンマ分布 Gamma distribution

^（

^χ

²^分布

^,

^{指数分布）}

★ベタ分布

★ベータ分布 Beta distribution

(18)

確率密度関数 _{p. d. f.}

z 連続（型）分布 continuous distribution

確率変数 X の取る値が関数 f( ) により以下で与えら

z 確率変数 X の取る値が関数 f(x) により , 以下で与えられている場合， X は連続型の確率分布を持つという

∫ ^b ^f ^d

b ) ( )

( ^f(x)

ただし， P ( a ^≤ X ^≤ b ) ⁼ ∫ a f ( x ) dx ^{f( )}

a b

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

=

∞

≤

−∞

≥

∫

^∞

⁽ ⁾ ¹

), (

0 )

(

dx x

f

x x

f ^f ⁽ ^x

_k

⁾ ^: ⁼ ^P ⁽ ^X ⁼ ^x

_k

⁾ ⁽ ^k ⁼ ¹ ^, ² ^, _L ⁾

⎪ ⎨

⎧ ≥ =

∞

( x

_k

) 0 ( k 1 , 2 , ),

f L

確率密度関数確率密度関数

probabilit densit f nction

⎪⎩ ∫

−∞

f ( )

⎪⎩ ⎨ ∑ =

=

1 ) (

1 k

x

k

f

probability density function

z 累積分布関数 c.d.f., cumulative distribution function

∫

−∞

=

≤

= P X x

^x

f t dt x

F ( ) ( ) ( ) ∑

≤

=

x u

u f x

F ( ) ( )

(19)

確率密度関数 _{p. d. f.}

z 連続型確率変数の期待値と分散

z 連続型確率変数 X の期待値

∫ ^∞

連続型確率変数分散

∫ − ^∞ ∞ ⋅

= x f x dx X

E ( ) ( ) ∑ ^⋅

x

x f x ( )

z 連続型確率変数 X の分散

∫

^∞

⁻

= x E X f x dx X

V ( ) ( ( ))

²

( ) ∑ ⁽ ⁻ ⁾

x

x f X E

x ( )

²

( )

∫

−∞ ^x

(20)

4000

確率密度関数 p. d. f.

2500 2500

3000 3500

1500 2000

1000 1500 2000

1000

0 500 1000

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

0 500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

250

400 450

150 200

250 300 350

50 100

100 150 200

0

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106 113 120 127 134 141 148 155 0

50

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79

(21)

連続型分布 continuous distribution

z （連続）一様分布一様分布 uniform distribution uniform distribution

z 確率密度関数

⎩⎨ ⎧

= x

f 　　

0 [ 0 , 1 ] ) 1

( ¹

⎩⎨ o.w.

x

f ( ) 0

z 累積分布関数

⎪ ⎧ 0 ( x < 0 )

0 1

z 期待値・分散

⎪ ⎩

⎪ ⎨

<

≤

=

) 1

( 0

) 1 0

( )

(

x x x

x F

2 1 2

0 2

1 1 2

) ( )

(

2 1 2

0 1 2

0

=

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ −

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⋅

=

⋅

= ∫

−^∞∞

∫

dx x x

dx x f x X

E

z 期待値分散

0

⎩ ⎭

⎦

⎣

3 ) 2 / 1 1 (

2 ) ( 1

) ( ))

( (

) (

1

0 1 3

0

2

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ −

⋅

−

=

⋅

−

= ∫

−^∞∞

∫

dx x x

dx x f X

E x X

V

12 1 3

8 / 1 3

) 2 / 1 0 ( 3

) 2 / 1 1

(

³ ³

= − − =

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧ − − −

=

(22)

連続型分布 continuous distribution

z

z 正規分布正規分布 normal distribution normal distribution

z 確率密度関数

2 2

2 )

1 (

)

( ^σ

μ

− x −

e x

f ² ^{95 5%} ^99.7%

) 2

( ^σ

σ

= π e

x f

0.025

68.3%

95.5%

平均 μ ，分散 σ ²

_0.015

0.02

) ,

( μ σ ² N

0 005

標準偏差σ0.01(=14.52)

20 40 60 80 100

0.005

平均

μ

^(=43.2)

(23)

連続型分布 continuous distribution

z

z 標準標準正規分布正規分布 standard normal distribution standard normal distribution

z 確率変数の標準化

z 平均 μ ，分散 σ

²

の正規分布に従う確率変数 X について

σ μ

= −

→ X

Z

X

標準正規分布

確率密度関数

確率変数

Z

は，平均平均

00

，分散分散

11

の正規分布に従う

0.4

2 2

)

( ²

2 2

2 1 2

) 1 (

x x

e e

x

f

⁻

− −

=

^σ

μ

z 確率密度関数

0.2 0.3

2 2 π σ π

0.1

11 11

) 1 , 0 ( N

-3 -2 -1 1 2 3

00 )

1 ,

0 (

N

(24)

連続型分布 discrete distribution

z 二項分布から正規分布へ …

z 試行回数 n を大きくすると，二項分布は正規分布に近づく

) ⎧

, ( n p

Bi n → ∞ N ( μ , σ ² ) _⎩ ^⎨ ^⎧ _σ ^μ

²

⁼ ₌ ^np _np ₍ ₁ ₋ _p ₎

z 試行回数 n が一定の時に，確率 p を 0.5 に近づけると，

二項分布は正規分布に近づく

) ,

( n p

Bi , 0 5 N ( μ , σ ² )

= → p c

n p → 0 . 5

(25)

連続型分布 discrete distribution

z 二項分布から正規分布へ …

z

試行回数 n を大きくすると，二項分布は正規分布に近づく

二項分布（p=1/10)

0.45

0.35 0.4

n=10 n=20 n=30 n=40 x

n x

x

n

C p p

x

f ( ) = ( 1 − )

⁻

0.25

0.3 n=50

n=60 n=70

0.15 0.2

0.05 0.1

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

(26)

連続型分布 discrete distribution

z 正規分布による二項分布の近似

z 例：内閣支持率

z 500 人の人に内閣を支持するかどうか聞いたところ， 275 人

が答

が指示すると答えた．

内閣支持率： 0 . 55 500

275 =

=

p 500

z 内閣支持率を p ( 不支持率 q = 1-p) とすると，これは二項分布となる

分布となる．

z 点推定では内閣支持率は 55 ％である．正規分布近似を考えると， x = np = 500 × 0 . 55 = 275

z より， 95% 信頼区間における区間推定では，内閣支持率

11 124

45 . 0 55 . 0

500 × × ≅ ≅

=

= npq σ p

は 275 ± 1 . 96 × 11 ⇔ 253 ≤ x ≤ 297 より 50.6% ～ 59.4%

(27)

連続型分布 discrete distribution

z ポアソン分布から正規分布へ …

ポアソン分布 0.7

λ=0.5

0.5 0.6

λ 0.5 λ=1 λ=2 λ=2.5

)

( x e f

λ

x λ

=

− 0.4

!

λ=3

)

( x e x f

0.2 0.3

0.1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(28)

連続型分布 continuous distribution

z

z 指数指数分布分布 exponential distribution exponential distribution ^Ex(λ)

ポアソン分布に従って起きる事象の生起間隔を表現

z 確率密度関数

⎧

⎩ ⎨

⎧ ≥

= 0 ⁻ ( . . 0 ) )

( x e o x w

f λ ^λ ^x

0.5

λ

z 累積分布関数

⎩

⎨ ⎧ 1 e ⁻ ^λ ^x ( x ≥ 0 )

^0.2

0.3

0.4

f ( x ) = λ e

⁻^λx

期待値分散 ( ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 0 − ( . ≥ . 0 ) w

o x x e

F

1 2 3 4 5 6 7

0.1

z 期待値・分散

2 ) 1 (

1 , )

( X = V X =

E ( ) , ( ) ₂

λ λ ^V ^X

X

E

(29)

連続型分布 continuous distribution

z 指数分布 exponential distribution

z

例：サービスの待ち時間（チケット売場の列）

z

例：サビスの待ち時間（チケット売場の列）

単位時間を n 等分し，ある区間 k で誰かが購入を終了したら X

_k

=1 ，そうでないなら X

_k

=0 とする確率変数 X

₁

, X

₂

, X

₃

,… を考える．

チケット販売開始時点 = 0, 1 人目の購入終了時点 = T とする．

X

₁

, X

₂

, X

₃

,… はパラメータ p = λ/n のベルヌーイ試行に従うとする．

以上の設定で確率変数 T の確率分布を求める

→ 以上の設定で，確率変数 T の確率分布を求める

（サービス開始）

0

（サービス了）

T 1/n

λ/n 1

X

_k

=1 X

_k-1

=0

区間

N 1

で購入終了

T ≒ (1/ )N

（が十分大きい時）

X

₁

=0 X

₂

=0

X

₃

=0 … …

1

^ー

λ/n 0 X

_k

∑

≤

≈

≤

≤ T t P N nt

^k

n

ⁱ

n

P ( 0 ) ( 0 ) ( 1 λ / ) λ /

区間

N+1

で購入終了

→ T ≒ (1/n)N

（

n

が十分大きい時）

任意の

t>0

に対し，

k

を，

k ≦ nt

＜

k+1

を満たす整数とする

N+1

は幾何分布に従う ^{累積分布関数}

∫

∑

−

∞

→ +

=

−

⎯

⎯ →

⎯

−

≈

−

=

−

=

≤

≈

≤

t x

t n

nt k

i

dx e

e n

n

n n

nt N

P t

T P

0 1

0

1 )

/ 1

( 1 )

/ 1

( 1

/ ) / 1

( )

0 ( )

0 (

λ

λ λ

λ

→ λ

確率密度関数

(30)

連続型分布 continuous distribution

z

z ガンマ分布ガンマ分布 Gamma distribution Gamma distribution ^Ga(α,λ)

z 確率密度関数

) 0 (

) ) (

( ¹ ≥

= Γ x ⁻ e ⁻ x x

f ^α ^λ ^x

α

α λ

z ガンマ関数 Gamma function

) Γ ( α

) 0 (

)

( = ¹ >

Γ ^α ∫ ^∞ ^x ^α ⁻ ^e ⁻ ^x ^dx ^α

) (

)!

1 (

) (

) 0 (

)

( 0

∈ N

−

= Γ

>

=

Γ ∫

n n

n

dx e

x α

α

n

が自然数の時

⎩⎨ ⎧

) 1

( / 2 , 1 / 2 ) ( λ

G n

Ga ^：自由度 ^自由度 ⁿ ⁿ ^の ^の ^χχ ²² ^分布 ^分布

⎩⎨ Ga ( 1 , λ ) ^{：指数分布} 指数分布

(31)

連続型分布 continuous distribution

z

z ベータ分布ベータ分布 Beta distribution Beta distribution ^Be(α, ^β)

z 確率密度関数

1 1 β

) 1 0

( )

, (

) 1

) ( (

1 1 − < <

= ⁻ ⁻ x

B

x x x

f α β

β α

z ベータ関数 Beta function

) ,

(

B α β

∫ 1

) (

) 0 ,

( )

1 ( )

,

( ¹

0 1 1

β α

β α β

α ^α ^β

Γ Γ

>

−

= ∫ ^x ⁻ ^x ⁻ ^dx

B

) (

β α

+ Γ

Γ

= Γ

(32)

VÉyyxx UÜxt~4

VÉyyxx UÜxt~4 ³

^{枚の扉の向こうに}

VÉyyxx UÜxt~4

VÉyyxx UÜxt~4 ^•

^百万ドル^{（当たり）}

•

山羊（はずれ）

.

•

山羊（はずれ）

.

が隠され

Monty-Hole Dilemma

が隠されているよ．

あなたは扉を１つだけ選んでいいのよ．

確率的直感

ところで，あなたが選ばなかった２つの扉のうち，山羊の扉を開くから，それを見た後で，開く扉を変えてもいいよ．

さぁ，どうする？

(33)

VÉyyxx UÜxt~

VÉyyxx UÜxt~44 VÉyyxx UÜxt~

VÉyyxx UÜxt~44

Monty-Hole Dilemma

どうしても納得いかない人のため扉の

…

y

のため，扉の数を増やしてみましょう！

最初に選ぶ扉が

100

万もあったらどうかしら

…

… … … … … … …

かしら？

…

… … … … … … …

100

万の扉からあなたが

1

つを選んだ後で，残り

99

万

9999

の扉のうち山羊（はずれ）の99万9998の扉を開いて見せます

山羊（はずれ）の99万9998の扉を開いて見せます．

それでもあなたは，最初の選択を変えない？あなたの最初の選択は神懸かり的な幸運に恵まれているのかしら？

(34)

参考文献参考文献

z

東京大学教養学部統計学教室編「統計学入門」東京大学出版会（ 1991 ）

z

村上雅人「なるほど統計学」海鳴社（ 2002 ）

G Bl L H l t D S d ll / 森真訳「確率論ようこそシプリンガ

z

G.Blom, L.Holst, D.Sqndell / 森真訳「確率論へようこそ」シュプリンガー・

フェアラーク東京（1995,2005[新装版]）

z

丹慶勝市「図解雑学統計解析」ナツメ社（2003）

z

東京大学教養学部統計学教室編「自然科学の統計学」東京大学出版会

（ 1992 ）

z

白石修二「例題で学ぶ Excel 統計入門」森北出版（ 2001 ）

z

J.Matousek, J.Nesetril / 根上生也・中本敦浩訳「離散数学への招待上」

z

J.Matousek, J.Nesetril / 根上生也中本敦浩訳離散数学の招待上」

シュプリンガー・フェアラーク東京（2002）

z

徳山豪「工学基礎離散数学とその応用」数理工学社（2003）

グベド「立版

z

B.Schechter / グラベルロード訳「 My Brain is Open 」共立出版（ 2003 ）

z 二項分布とポアソン分布

離散型分布 discrete distribution