有限要素法による粘性流体と弾性シェルの動的相互作用解析

NII-Electronic Library Service 【研 究 論 文

1

UDC ：624

．

074

．

4 ：624

．

042

．

7：620

．

1 日本建築学会構造系論文報告集 第 350 号

・

昭和 60 年 4 月

有 限要素

法

に

よ

る

_{粘 性}

流

体

と

弾性

シ

ェ

ル の

動 的 相 互作 用 解析

正 会 員 正 会 員 正 会 員

西

登

近

村

坂

藤

敏

宣

典

雄

＊

好

＊ ＊

夫

＊ ＊＊ 　

L

序 　 近 年

，

構 築さ れ る構 造 物は種々 の _{形 態}を有 する と共に 大型化さ れ， 軽量化さ れ る よ うにな り

，

構 造 物を設 計す る上で気流に対す る構造物の動的挙動の解明が重 要な問 題と なっ て い る。特に最 近 注 目 されて いる膜 構 造 物で は

，

そ の影 響が顕 著に表れ

，

気 流に対 する力 学 的 挙 動の解 析 は必 要 不 可 欠で ある

。

　気 流に よる構 造 物の振 動 現 象22）_は ， 主 流の乱れ に よる もの だ けでな く

，

構 造 物 後 方の渦の影 響 あるい は構 造 物 自 身の振 動に よる 二次 的な影 響に起 因し た もの である

。

こ の ため

，

その力学 的 挙 動 を捉える に は

，

構 造 物へ _{作 用} する流 体 力 を知る必 要があり

，

従 来か ら風 洞 実験に よっ て構 造 物 表 面で の風 圧 力と変 動 風 圧 力が測 定IS｝_{さ れ て き} た

。

これによっ て構 造 物の力 学 的 挙 動に関する数 値 解 析 が可 能 とな る

。

しか し

，

構 造 物 周 辺の流れ状 態は絶えず 変 化し て い る ために

，

数 値 解 析に よっ て構 造 物の力 学 的 挙 動 を正 確に捉え る に は， 気 流 と構 造 物の動 的 相 互 作 用 とい う立 場で解 析す る必 要 が ある

。

　

一

方

，

最 近の計算 機の発 達と数 値 解法の発達 と が あい まっ て

，

粘 性 流 体を扱っ た流れ解析2）

−

4 ］

・

6）

−

191_が 最んに_行 わ れ てい る。 こ の時， 流れ は非圧縮 性の仮定 を採用し て い る た め に

，

連続の方 程 式は流 速 変 数の みで表され圧 力 変数が含ま れていない_。 こ の こと が大き な原因と な り， 数値解析上 複 雑な計 算を 必要と す る

。

これを解 決す る た め に

，

ペ _ナル ティ法2）

，

音 速 法fi）

”

9） 等 が 提 案され て い る

。

前 者の_場合は_， 圧力と連続の方 程 式 を， ペ ナル テ ィ パ ラ メ

ー

タを用いて結びつ け ることに ょ りNavier

−Stokes

の 方 程 式か ら圧 力 変数 を消 去し， 流 速 変 数の みを 未 知 量と し て_解析する_手法である

。

また後 者の場 合は_， 圧力 表 現 の連 続の方 程 式 を採 用し たもの であ る が

，

式その もの は 非 線 型 表 現と な る

。

こ の二つ の手法は

，

微小な圧 縮 性 を 考 慮 し た もの と なっ て い る

。

その 他 に

MAC

法

，

SMAC _{法 あ}るい は乱 流モ デル による手 法15）

−

ls｝ で も行わ 　＊ 日本大 学 　 教授

・

工博 榊 _{日本大 学 　助 教 授}

・

_工博 零 縣 _{日本 大学　 大学院 生} 　 　 （昭和59年 9月 7日原 稿 受 理日

，

昭 和 59 年 12月13 日改 訂 原 稿 受 　 理 日

，

討 論期限 昭和 60 年 7月末日） れ

，

各々 の解 法による構 造 物周 辺 の流れ解析は定 性 的に も良い結 果 を示して い る

。

し か しこれ ら の数値解 析で の 構 造 物は

，

固 定 支 持

，

剛 体と し ての扱いが多く

，

風圧係 数 は剛 体 表 面の圧 力に基づい て_計算が_行わ れ てい る。 　これに対し

，

國枝5 ）らは_， 膜 構 造

一

風連成 系の定 常 解 析を行い

，

膜 構 造 物に対す る応 力

，

圧 力 分布 等を決 定し て いる。 こ の解 析は， 風 をポテン シャル流れ として扱っ て いる た めに

，

境 界 層 流 部 分を考慮す ることに よっ て は く離位 置

，

は く離 流 線を計算 し， そ れに基づ い て圧力を 求めて いる。 しか し

，

風を粘 性 流 体の流れ と す る な ら ば

，

は く離 位 置 等を求め ることな く， 構 造物

一

風連成系   解 析が可 能で ある

。

児玉7）9｝_らは

_，

_{粘 性 流体の} 中に弾 性 支 持さ れ た円柱を置き

，

連 成 系モ デ ル と す るこ と に よ り二 次元弾性 支 持 円柱の渦 励 振 振 動 解 析 を行い

，

円柱の振 動 状態

，

風圧係 数を捉えて い る

。

し か し円柱 自身は剛 体と して いる。 　そこ で本 論 文では_， 粘 性 流体の中に置か れ た構 造 物を 弾 性シェ ル とする ことによっ て

，

シェ ル周 辺の流れ状 態 お よ び流 体に対する シェ ル の 力学的挙 動 を捉え る た め に

，

_砧

性 流体 とシェ ル の動的相互作用という立 場か ら

，

その定 式 化 を計ること を 目 的と して いる

。

さら に こ の定 式 化に基づい た数 値 解 析 例 を 与え_， 本 手法 に よっ て シェ ル の動 的 挙 動 を十 分に捉え得ること を示す。 な お

，

構 造 物を 三次 元弾 性 体とし た場 合の定 式 化は

，

文 献 ［1 ］で 示し てある た め

，

本 論 文に は含め ない ことにす る

。

　登 坂aSL24 ）

_，

_{西 村}25｝_は

_，

_{流 体 波 動に対 する 三次 元 弾 性 体} の力 学 的 挙 動を捉え る た めに

，

相互作 用に基づい た定 式 化を与え た。 さら に流体波動に対す る弾 性シェ ル に関し て も同様の_{定 式化}が得ら れ るこ と を示し

，

相 互 作 用とい う立 場か らの解 析の必 要 性を指摘し ている

。

本 論文もこ の流れにある

。

　し たがっ て_， 気 流 を粘 性 流体の流れ と_考え

，

_{粘 性 流 体} と シェ ルの相互作 用とい う立 場に従 うな らば_， シェ ルへ 作用 する非 定 常 力を 評価する上で

，

流体から得ら れ る圧 力と粘 性 応 力をシェ ルへ 作 用する外 力と して直 接 与 え る こ とに よ り

，

シェ ル の 動 的挙動 を捉える ことが で き る

。

　本 論 文で対 象と する粘 性 流 体は_， 流 速と 圧 力 を未 知量

一一58 一

N工 工

一

Eleotronio _Library

と したNavier

−Stokes

の方 程 式と 圧力 表 現の連 続の_{方 程} 式6）

−

9） に支配 さ れ る

Newton

流 体とする

。

こ の 流 体と シェ ルの 各基 本 式に対し

，

接 触 面で の連 続 条 件 式 を 導入 するこ と に よ り， 動 的相互作用に対 する両 連 続 体を

一

つ の連 成 系モ デル と して構 成 し

，

その定 式 化 を行う

。

さ ら に こ の連 成 問題に対 す る近 似 解 を得る ために は

，

有 限 要 素 法 を適 用す るこ と が適切であ

6

と考え_， そ の離 散 化 表 現 を も示 す

。

そ の際

，

流 体か ら シェ ルへ 作 用 する粘 性 応 力は_， シェ ル の速度成 分 で表現 され_， シェ ル の運 動 方 程 式 を構 成 する上で減 衰 力 項に対応す る とい う特徴 を有す る

。

　 本 論 文の構 成は

，

以下の _通りであ る

。

　第

2

章では， 粘 性 流 体とシェ ル に関する基本式と接 触 面で の_{連続 条件}式 を与え

，

第 3章では_， 近 似 解 を得る た めに

，

有限要素 法を適用 し た離 散 化 表現を示す

。

第4章 で は

，

連成問 題に_対す る連立 運 動 方程式 を解析する ため の シ ミュ レ

ー

ショ ン解析につ いて述べ ， 第5章で は， 本 手 法に基づ い た解 析 例を 示 し， 第6章で は， その結果と 考 察を述べ る。 第

7

章では

，

本論文に対す る結語と する

。

　

本文 中で

，

ytと

ei

は そ れぞれ流 体と シェ ルの 座標系 を 表 し， 記号 （；）は

，

流 体の座標系 yiに 関す る 三次 元共変微分 を， 記 号 （

1

）と （〃）は そ れ ぞ れ シェ ルの 座 標 系 θtに関 する 三次 元 共変微分と 二次元共変 微分 を 表す

。

AW と gasは それ ぞ れ流体と シェ ル に関す る第 1 反 変 計 量テ ン ソ ル を 示 す

。

さ らに_， アル フ ァ ベ ッ ト文 字 の添 字は1

，2，3

を と り， ギリ シャ文 字の添 字は 1

，

2 を とる もの と す る。

　2．

粘性流 体 と弾 性 シェ ルの連 成 問題 に対す る定式化 　三次 元 空 間の無 限 領 域を有す る粘 性流体内に存 在す る シェ ル が， 流れ の影 響に よっ て生じる動力学的挙動 を追 求す る た めに_{， 以}下の よ うな連 続 体モデル を考え る

。

　

流体を三次 元

Newton

流 体の運 動と し

，

シェ ル と の接 触 面を媒 介と して力 学 的 挙 動の連 続 性を有する もの と す る。 これに よっ て， 二 つ の連 続 体を

一

つ の連 成 系モ デル と し て捉え

，

各 基 本 式 を誘 導 する。

　

流体 領 域を Ω，と し

，

その 流 速 境 界を

r

，

，

応力境 界 を

rr

と す る

。

ま た シェ ル は三次元 空間内の 閉 領域を

9s

と し

，

適当な曲 面 s（中央 面 ）に対し対 称 は上 下 面 s＋ ， S

一

お よ び境界面 （σ）で囲 まれ た領 域と す る。 さ らに 変位境 界を

r

。u， 応 力 境 界を

r

。σ と す る。

　

まず

，

粘性流体の基 本 式 を考え る。 三次 元 空 間 （Ω∫） 内にお け る 粘性流 体の運 動 方 程 式は

，

次 式で与えられ る

。

　　　

P」（ウ ‘_＋

_V

‘

_V

｛t）

＝

ρノxt＋τ｛∫

　

（in　

gr

）

　

（2

−

1 ） 対称応 力テン ソ ル τω は

，

　　　 τ‘’

＝−

PAw 十D∬kt　Vk；‘　　　　　（

in

　

9

．）　　　　　　　　（2

−

2） で ある。 こ こで

，

Ptは 流体 密 度

，

　

X

‘ は物 体 力ベ ク トル の反変成分，

V

‘ は流 速ベ _{ク ト}ル の反 変 成 分

，

　

DWkt

は粘 性テン ソ ル

，

P

は圧 力を示す。 　連 続の方 程 式は

，

非圧縮 性を考 慮する なら ば

，

　　　1

！

lc

；0　　　

（

in

　

9

∫）

　　　　　　

（2

−

_3） で ある が

，

本 論 文で は圧 力表現に よ る連続の方 程 式6）

−

9 ） を採用し_， 次 式串 で与え る。

　　　

亅う十 vtp_；i十PrC2

，

　

V

　

1

‘

＝

0

　　

　

（in　

9

．）

　

　　　　

（2

−

4） 　 　 　 1 　こ こ で

，

C は音速 （∂

P

／

ap

！）T であ る

。

（2

−

4）式 を 採 用 する こと は

，

圧縮 性を考慮 し たこ と を意 味するが， 流 体 の高 速 流れ を扱わ ない限り流 体 密度 Prの_変化は微小で ある た め

，

その_変化量 を無視し

，

流体内では

一

定 密 度と する

。

　 また境 界 条 件は以 下の通 りに与え る。 　 流 速 境 界条 件 　 　　 V，

＝

_V‘ 　　　（onr _{，）　　　　　　（}2

−

5） 　 応 力 境 界条 件 　 　　τt

＝

（

−

PA “十D“tt　Vh　 ／i｝fiJ

＝

を t 　　 （on 　

r

‘）（

2−6

） 　こ こ で_， （　｝は既 知量 を表し

，

瓦 は 流体の_{境 界}面 で の外 向き法線ベ ク トル成 分を示す。 　次に

，

シェ ル の基 本 式を考える

。

三次元空 間内で定 義 された変 位ベ ク トル成 分 U，

，

U，に対し

，

シェ ル空間（Ωs＞ 上 の shifted 　 components を1‘

_，

瓦 で 表 す。 そ の shifted 　components とシェ ル中 央 面で定義され た変位ベ ク トル 成分 ua，　 Ua ，　 W， β α ， β。 との 関 係を

，

シェ ルの 厚さ方 向に

一

次 式で与え るとい う仮 定 を採 用 する な ら ば

，

　　　U

α_{． ・}

1

μ

一

1 ｝

9

可β

＝

｛μ

一

1｝

痔

（ue＋ θ3βn）



（2

−

7）

　　　Ua＝

μ書πβ

≡

μ盞（Ufi 十 θeβρ）

　　　　　　　　　

（

2−8

） 　 　　

U3

＝

U3

．．，

OfS＝

要₃

＝

w 　　　　　　（2

−

9 ） とい う関係を得る

。

こ こ で _婿 はシェ ルテン ソ ル

，

｛_μ

一

牆 は その逆テンソ ル である

。

　本論で扱 う シェ ル理論は

，

薄 肉シェ ルを対 象と する こ とに よ り

，Kirchhoff

−Love

の仮 定に基づい た理 論を採 用す る。 これ に よ り

，

シェ ル中 央 面での歪 量 raS

，

　kfi と法 線ベ ク トル の回 転 量β。 は， 　 　　γ。β

＝

％。“，

− b

。副 　 　 　（2

−

_1ω 　 　　x。β

＝

β。“， 　 　 　 （2

−

11）

　　　

βa ＝

一

（Wlla十

b

名秘β〉

　　　　　　

（2

−

12 ＞ で 与え る。 ここ で， baβ， 碍 は そ れ ぞ れ第 2共 変 計量 テン ソ ル

，

_第

2

混 合 計 量テン ソ ル である

。

　さ らに

，

構 成 方程式は，

Love

の第 1近 似 式よ り

，

μ 伽 　 ア 箸 β 卿 鰰 焦

A4

こ リ 　 ユ

＝

； こ 加 助 　 ゜

NM

る 　 　 え 　 　 与 　 　 で   A

亙

12

＝

牌 融 聊 み → 緲 必 （2

−

13＞ （2

−

14） （2

−

15） であり

，

Apanvは弾 性テン ソ ル _，　

h

は シェ ル厚 を表 す。 　以上 よ り

，

シェ ル の運 動 方 程 式は_，応 力 Nna

，

　

Qa

とモ

ー

零 _（2

−

_4）式 の誘 導に関しては

，

文 献 ［6］参照

。

一 59 一

NII-Electronic Library Service メ ン ト

Mca

を用いれ ば

，

次 式で与え ら れ る。 　 　 　ハ厂匂亀

一

δ

9Q

β 十

la

十ノα

＝

_ao 批a_（

in

　

gs

）

．

　（

2−16

） 　 　 　

M

軅

一

Qa

十ma ＝　

o

_（

in

　gs）　　（2

−

17）

　　　

Q

 α十

ba

β

N

βa_十

li

_十

f3

＝

α o勿

』

（

in

　

gs

）

　

　

（

2L18

） こ_二で_，

fa

_，　

f3

は物 体力ベ ク トル の反変 成分， α。は慣 性 係 数，

la

，

　

tS

，

　ma は表面 力 を表す。

　

境 界条 件は

，

以 下の ように与え る

。



’



・

　 変位境 界 条 件

　　

・・

一

飢 _励

留

一

甓

（・n _{恥 ）} （2

−

19） 応 力 境 界 条 件 　 　ハla

＝

（ハ1m

一

δ£

M4

λ ）PP＝

Na

　　（on 　

r

’

se）

　　

v

一 鵬 _略

一

磊

（_翩

編

・

） 　 　 　

＝V

　 　 　 （on 　

red

_） 　

M

　i

＝

McaVfi

　Va

＝

M

　 　 　 （on 　

r

．．） 　 　 　 　 ∂　 　 ∂ こ こ で_・ 蕊 ・ ∂。 （2

−

20） 　 　 　

一

は境 界 面 （σ） 上の曲 線

C

で の接 線 お よび法 線にそっ た微 分 を示し

，

Va は境 界 面 （の で の 外 向き法 線ベ ク トル成 分で ある

。

　

表面 力

la，

　

IS，

　Ma は

，

シェ ル の上 下 面s＋

，

　s

一

での応 力ゲα

_，

σSS より決 定さ れる量である

。

しか し本 論 文で は シェ ル内部での 流 体の流れは考 慮せ ず_， シェ ル外部の 流れ の み を扱う。 さ らにシェ ル の弾 性 変 形に伴う内部 圧 力の_変動は無視する

。

し たがっ て

，

粘 性 流体の流れによっ て 生 じ る応 力 τW が シェ ルへ 作 用 する とい うことは_， シェ ル の 上 面 s÷ の み を対 象 とし_， 上 面 討が 接 触面と な る

。

こ れ より

，

表 面 力 la

，

13

，

　ma は以下の よ うに_なる

。

　　　

le・

・

［μ・ ’ρ μ匐_的

　　　

、

tS≡

［S・σss］_噌

　 　 　 　

（2

−

21）

　　　

me

−

［μσ3ρ_μ

9

θ3］_舛 　こ こ で， μ

＝det

（Pt2）であ る。 　以 上 が

，

粘 性 流 体と シェ ル に関す る基 本 式で ある

。

さ ら に本論文で は

，

粘 性 流 体と シェ ル を

一

つ の連 成 系 と し て モデル化する た め に

，

シェ ル上面 s

†

で速 度の連 続 条 件 式を導入 す ること

，

お よ び表 面 力 （2

−

21） を圧 力と粘 性 応 力で_表現 すること が必 要と なり

，

こ の点 を以 下で

述

べ る。 　 初めに

，

速 度の連 続 条 件 式につ い て考 え る

。

速 度の連 続 条 件 式は

，

接 触 面 とな る シェ ル上 面s＋ で与え ら れ

，

さ らに （2

−

7

，

2

−

9）式 を用い て シェ ル 中 央 面の速 度 成分 で_表現する な らば

，

　

　

　

・‘_」

［

葺

多

か

_］

e，

s

　

　　　

＝

器

（

ん2

）

似

參

）

｝

1

（

r

・

書

bn）

　

　

　

　

　

・

｛

謬

（

h7

）

ii

’

　 　

（2

−

22 ）

一

　

60

一

となる。　 　　

、・

　

」

　

．

　 次に表 面 力 （2

−

21）を考える

。

シェ ル上 面s ＋で の応 力 ゲα

_，

al， s _に 流 体の応ガ t“ （

2−2

）

’

が適 用 され るが

，

その_際

，

_{粘性 応 力}項の_流速成分

Vk

は シェ ル表 面の速 度 成 分

U

‘に よ り表 現す る な ら ば

，

　　　　　ny

　

　

　

　

　

　

　

　

　　　

σ；α

＝D3ak

’

u

_”t 　 　 　 　　 　 　

〜

　　　

−t

　　　　　　（2T23）

　　　

・

13

＝− P

＋

D33k

’

Unyt

…

．

　

、

を得る。 こ こ で， Dsakt，　

DgStt

は シェ ル 上 面 s ＋ で定 義 さ れ

，

θ‘ 系に よる粘 性テン ソ ルで あ る

。

さ ら に

Onyi

を シェ ル 中 央 面の 速 度 成 分で表 す とい う操作を行い

，

（2

−

23） 式を （2

−

21）

．

式へ _代

．

_{入 す}

．

る_ならば

，

表面 力

la，

lS

は次 式と な る。

　　　　　　 　

　 　 　‘α

＝

1B β『θβ　　　　　　（2

−

24）

　　　

1・

一

一

。

BPrB

醜

。＋、B

噌

、“α

　

12

−

25 ） こ こ で

，

　

4

　 レ 　 ら 　 鵬

．

、

、

う

会 号 　 β バ 碑 昨 　 臓 判 隅 　

．

か

ゆ

・

30 　 ー 　 μ θ

吻

瞬 堰 國 μ

＝

　 ＝ 　

＝

＝

’

雌 融 β α

．

．

B

BBB O

　

　

　 1 　 　 2

　

　

3

．

（2

−

26＞

　

また_， 表 面 力

・

短α につ い て は_， シェ ル の薄 肉 仮 定よ り 微 小 とな る ため； 　 　 　ma ≒0 　　　　　　

』



．

_（2

−

27 ） とす る

。

し たがっ で，（2

−

₁₆ ，2

−

₁₇ ，2

−

₁₈ ，2

−

₂₄ ，2

−

₂₅ ，2

−

_27＞ 式よ り本 論 文で用い る シェ ル 式は　 　 　

’

　

℃

　　　

鵬

ご_{δ冒雌 ＋} IB ””

R

・＋

fa

＝ ・。ua　

l

（

2

−28

） 　 　 　M 脇α十

bafi

ハ厂 βα

一

。BP

　　　　　

rtBSF7Pa 十sB β『

Bp

〃

α

一

←

f3F

αo渡｝

　　

（

2−29

） と なり

，

圧力と粘 性 応 力が シェ ル の運動 方程 式の中へ _取 り入 れ ら れて いる。 特に粘 性 応 力項に関し て は

／

、

減衰力 に対応し たもの と なっ て いる。 　

3．

有限 要 素法による定 式 化　　 　 　 　　 　 　　 　

・．

　本 論 文で扱 う連 成 問 題におい て は，

Navier−Stok6s

の 方程 式と連 続の方 程 式が非 線 型である た め

，

解析解を得 ること はでき ない

。

し たがってこ こ では

，

離散 化に より 近 似 解を得る ために

，

解 析 領 域を任 意に分 割で き；

1

その 扱い も単純であ る とい う特 徴 を 持つ 有 限 要素法 を採用す ること が適切で

「

あ る と考える。 　3

−

1 基本式の重み_付き残 差 表 現 　有 限要 素 法に

．

よ り離 散 化す る た め に

，

その準 備と して 各 基 本 式の重み付き残 差 表 現 を与え る

。

　

まず

，

流 体 領 域 を 考 え る

。

粘性流体の運動 方 程 式 （2

−

1 ） と連 続の 方 程 式 （2二4 ）に対す る重み関 数を各々

Vi，

ゆ

，

P

と す れ ば

，

両 式に対する重み付き残 差 表現 は以下の よ うになる

。

N工 工

一

Eleotronio _Library

　

　　

ρ

・

ρ

卿 隔

X

一 ・｛∫｝

ラ

・・飼 例

　

　　

1

． （戸・ ・‘ ・

：

i＋・・ぴ・…

伽

一

・

　

（3

−

2） 　（3

−

1）式に _（2

−

2 ＞式 を適 用し，

Gauss

の発散 定理 か ら弱 表 現 を誘 導 するなら ば

，

次 式 と なる

。

　

　　

f

。， ・区

v

・＋

vtVEI

）

Vld

Ω

　

　

＋

ゐ

ぴ傭 ‘ 撫

ウ

・調

一

か

’

φ

葺

・調

　

　

一

f

．．　 ・・

x

‘

ラ

・

d

Ω ＋

五

〆

ラ

・

d

・

　　

（3

−

3） 　次に

，

シェ ル の運 動 方 程 式 （

2−28，2−29

）に対す る重 み付 き残 差 表 現は

，

変 位 境 界 条 件（

2−19

）を付帯条 件と し， 　 　 　 さ　 　 　 ホ 運 動 方 程 式に対す る_重み関数をUe

_，

　 w

，

_{ま た}変 位境 界 条 件に対 する重み関 数を

舮，

A

，涜

と す れ ば

，

次 式と なる

。

　 　 　

゜

　 　 　 ホ 　　 　　（a、it α

一

、

B

噌β

一N

脆＋

b

跚 暢

一

∫呪 。

d9

五

’

f

・

［

甥

_鱈

1

：

鵡

凱

f3

＋

ム

」

瓶

・・

一

盈・）＋

孟

（ω

一

勸

読

（

∂w 　∂命 ∂り　 　∂v

）

｝

d

・

− o

　　　

夷・

_，

＊ Ω

d

零 ω

ー

（3

−

4）

　

こ こ で

，

　　

h

，

荒の 物理的 意

味

付けは

，

境界で与 え ら れ る力 とモ

ー

メ ン ト

Na ，

　

V ，

　

M

に対 応 する。 　 （3

−

4） 式にGauss の発 散 定 理 を適 用し

，

変 位 成 分に よ る弱表現は次式と なる。

　

　　

ム

・・（a ・

毳

・＋

痂

・・

ム

・嚇 〃・＋

臙

…

　

　

＋

f

．

llBS

・

K

　

ti

・　tt・

− b

・・

ab

）＋・

B

βα （砺・＋

bz

　

a

・）〃・

伽

Ω

　

　

＋

fk

・

Aca

’” （u・・tt・

−

_b

・・w）（

a

・ilf・

−

b

・β

あ

）

d9

　

　

・

か

一 （琳 劇 〃・

砺

・・

b

名

輪

d

・

　

　

一一

ル

BP

あ

d

Ω ＋

ム

（

f

・

Ea

＋_∫3

あ

d9

　

　

・

f

。as

（

　　

．

　

．

　

∂

あ

Naa α＋ γω

一M

∂り

）

・・

　

　　

f

。u

｛

轜

一aa

）＋

A

（w

− th

）

−

th

（

留

一

鶉

）

｝

ds

　　

＋［ε。。M ・ ・ v，　V ・_あ ］eas

、

こ こ で

，

　 　 　N α

；

（Nca

− b

． aM 　oo_）　Vp 　 　 　 ∂ 　 　　　 　　　 　　 　 （εαpM 　tupβ　vP） 　 　 　

y

＝

M

_鴇 晦

一

　 　 　 ∂s 　 　 　M

＝

Mcays　vα で ある。 　3

−

2 基本式の 離散_化表_現 （3

−

5） （

3−

6 ） 　 解析領 域を有限個の要素に分割し

，

各要素に対し有限 次 元空間 内の基 底 関 数を導入 し

，

各 未 知 量を基 底 関 数と の線 型 結 合で表 現 するならば， 各未知 量は次式の よ うに な る

。

また重み関 数も同様に扱う

。

　 　 　 ゆ 　 　 　 ネ

　　　

v，　

＝

　

di

，　v 俘

　　

yt

＝

ψn 　

Vf

　 　 　 ＊　 　 　 　 ＊

　　　

P ； _φ4P ム

　　

P ニ

φ4P4 　 　 　 （3

−

7）

　　　

艇α＝

L

謁

a

　　

壱

。三

L4

鑑

　　　

w

＝

M・ttrd

　　

あ

＝

M_。か 　こ こで， 添字△ は節点 未 知 量の数， ψ4， φ4，

L

。 ，

「

M

、 は基 底関数

，

γ夛，

ウ

夛，

PA

， 　

PA

， 垢， 　

fig

， げ， む は 節 点 未知 量 を表す

。

　

重み関 数

Aa

，

毒

，涜

は

，

_境界に お け る力とモ

ー

メ ン トに対 応する た め

，

変 位に よる表 現 を行え ば次 式と な る。

　　　

査

・

； （

痘

・

・

一

δ

箝

舶 ）Vp

　

　

　

　

≡

［

。

A

跏 （

毳

． “。

一

δ．。

訪

） ＋δ臭、

A

””v・・ （

th

“．＋

b

争

毳

。）“。

］

Vp

　　　

兎

一

die

， a 』nya

− 一

奏

（

le

βa ”pvn εα ρ） 　　　 　　　 　　 ＊　 　 ＊　 　 　 （

3−

8） 　　　

＝一

、APt 「17’ （w_〃γ＋ δ顎ρ）flas

　

v

，

。

　

　

　　

・

磊

_［・・ 一 （

あ

〃・＋ ・

城

・）〃。 ・ ・ yfi・・』

　　　

涜

；

か

・ 制 。

　　　　

＝−

IApav ”（

あ

1，γ＋ δ

城

ρ）“μ吻 μa 　 （3

−

7， 3

−

_{8）式を （3}

−

₃ ， 3

−

₂ ， 3

−

_5）式へ _{適 用}す れ ば

，

以 下に示 す 離 散 化 表 現を得る。 　　　ガ M 齢

y

琵十〃

A

猟

y

黔

y

急十〃

4

含多

y

金 　

一

！ρ

AirPA＝

〃

G

｝ ppMdrPA 十ntpR 萌tK　

VDP

‘十P ！

R

窪rV 皇

置0

．

．

Mgril2

十_耶

C

齢朗十_即

C

芸r吻△ 　十uuKXfus 十uwK ：iw “

＝

uuF 穿 脚

MArth

△ 十ω ．

C9

．也鳧十脚

C4

厂釦 △ 9

一

3 （ ）

01

曹

3

（ （3

−

11 ） 　　 　　十加 腿κ多媚十wwKArtV “

＝−

wpCArPA 十WwFr 　　 　　　 　　　 　　 　　　 　　　 　　　 　 （

3−12

） 　ただし， 上 式の係 数 行 列は以 下の通りで ある。 fJM − ［ 〃 嚠

詬

・

／

・

A

‘t ・b・

ip

・

d

Ω mA （の一 ［

三

〃翻 剛

一

か

崩 ％儡 ・dΩy 蕘 f・A

一

し癬 ］

一

ゐ

D

’‘覚‘ 脅・・砺・・

d

Ω ・”一 ［・・

Ak

・］−

f

， ．

A

’‘ ・

e

・ ，・φ・

dk

］ 〃 σ

一

レ副

一

か

x

・ 醐 ＋

ゐ

を・ gb・

ds

＋

云

面

d

・ ・溺

一

［P・

MA

・］

−

f

．． φ・φ・・9 b・pR （

v

）

一

［。・。

R

…

KVD

］−

f

． ．

A

… φ・

di

・

ip

・ ・td Ω

v

｛

一

₆₁

一

NII-Electronic Library Service

誕

［轟 ］一

か

c

・

晦

転 ・¢Ω

．

…

一

［認 劉

一

か

9

助

L

両

d

Ω ・ ・〃 一 ［・曲 ］−

f

。， ・・

Mr

脇

d9

−

c

− 』

c

劉

一

か

鯉 仙

dg

uwc − ［ −

c

罰一

ム

B

加 堝 伊dΩ 一

c −

［t。uCSr ］

一

ム

』・鵬 肱 ・

．

十3B 叨醒1〈

b

客島）〃ρ

ld9

一

ρ

一

［ 四幽

1

−

f

、。← b ・

．

・・B ”

・

_M ・Md

　　　　　　　

＋3BfialllrMA 〃o β）dg uuK

＝

』”κ齢］

＝

五

_［

。

A

？afi”

L

．／trL 、〃μ 十IA 抑 ダ（

b

言

L

厂）〃γ（

bSL

，）〃μ

］

d

Ω

　

　

　

覗

［

。

A

”fieWL ．“μ

L

。 ＋1A 似％ 受（わ

4L

．）“μ

L

∠

］

Vnds UtuK

＝

［“wK2r ］

．

．

｛

［

一

。Apantbγ 。

L

．“β

M

、 ＋ IA °「”β”_（bgL ．）“ γ晦 β。

］

d

Ω

¶

_鱗

編

馴 κ

；

［醜 κ翌厂

1

　 　 　　

−

＝

ム

_［

一

〇

、

4mat

”

bar

〃rL4 〃μ ＋iAwva ”

M

．it。 γ（

b2L

。）伽

］

d

Ω

　

　

　

＋

fsu

［

一

〇A ρnαμ

b

α μ

MFLA

＋，

A ‘

’N）T‘

b

受Mrtlvμ

Lri

］

癬 ．”

r

　＝＝［wwKAF ］ ＝

ム

［

・

A

βan

」

_bapbr

μMrMA ＋、AeCtV2 ”_M ．it。 γM。“βμ

］

d

Ω

　　

　

＋

ん

、謄 臨

讐

励

　 　

d

・ 　 　 　

−

iAS α ）「‘Mriir“fiMAPa

　　

　

　　

　

・

毳

M

・

呱

・

。

煽 泌 脚

c −

［跏 （］Ar］

一

ゑ

B

踊 dΩ uf

己

［魏

F

幻

一 62

　

一

8d

ー

一

fv

”_Ld9 ＋

ム

_潭

廊 ＋

瀞

rひ

d

・

　　　　　　 コ

・

厶

_届δ・_・

扁

躍 ・ （恥 ）〃編 ・・ ・

厶

贈

_叫

）

ha

　vov4

tt

十iAP 「f

’

「u （酵 L厂）〃Pt　Ve　

di

一

募

［・・ … （・

9

・・）漉 ・ell ・ab

ぜ

一

［wwFF ］

−

f

．

f

・

M

・

d

Ω

ds

＋Σ ［H （c＋

0

）

−

H（c

一

ω］

MKc

） 　 　 　 L

．

　 Ci1 ＋

ム

瞬

一

虚

讐

）

d

・ ・

ム

（

・



一

_∂M 厂

VM

厂

M

_∂ ン

）

d

・

　

一 ・

・

ん

（

一

・

Appm

・繊 ・躍 ％ ・ ・）・・

d

・

　　　．

・

frs

、 ・

A

鋤

M

晦 眺

甓

．

　

一

iApai ）’

M

．］／v 。fi　v。　

th

・

晶

_［・・ −

M

… ン・Ve・。 ρ］t・

一

ds

V

＝

＝

11

〆_樹

，

P

＝

iPA

_｝

，

　u

＝

luS

｝

，

　w

＝

ltvdl

　　　　　　　　　 （3

−

13） 　 こ こで，

i

‘ は流 速 境 界で， ま た

N

α ，　

y

，　

M

は変位境 界で規 定 さ れる_{量 で あ}る

。

　

（3

−

9r3

−

12 ）

、

式 を上で与え た_行列に よっ て表現するな ら ば， 以 下の連 立 運 動 方 程 式 を得る。 〃 M γ 十trJA （v＞v＋ヵ■A　V

−

ptAP

．

； rtG

・

　　 ゆ

．

ρ調

P 土

・ノ

Pt

（γ）

P

＋．

RV ＝o

uuMU 十uuCb 十uwCth 十

罌

認 ロ十uwKw ＝ uuF

wwMth 十田 ．

C

ゐ十wwCth 十wlKu 十wwlrur

＝−

_wpcp 十  F

4．

シ ミュ レ

ー

ショ ン解 析 （3

−

14） （3

−

15 ） （3

−

16） （3

−

17） 　 以

、

ヒよ り

，．

粘 性 流体に対す る シェ

．

ル の動 的 挙 動とシェ ル周 辺の_流れ状 態を追 求

_す

る ために

，

速 度の連続 条 件 式 （2

−

22）を満た し なが

．

ら

，

連 立 運 動 方 程 式 （3

−

14

〜

3

−

17） の シ ミュ レ

ー

ショ ン解 析を 進 めて い け ば 良い こ とにな る。 その際

，

時 間に関す る積

会

を解析

．

的に行うこ の は困 難であ る た め に

，

_融

値

_樟

分 に

_穎

ら

_ざ

る を得ない。

．

こ の点 に関 する解 法につ いて以 下で述べ る

。

　構 造 物の 運 動 方 程 式に 対する

．

数 値 積 分は_，

New

mark

一

_β法

，

　

Wilson一

θ法 等が多 用 されて い る

。

これ ら の解法は いわ ゆる陰 的 解 法であ る。 また粘 性 流 体の解析 に関 して も

，

Navier

−

Stokes の方 程 式 が非 線型で あ る た めに

，

陰 的 解 法が多用 され てきた

S

こ の解 法は

，．

各 時間 ステッ プの収 束 計 算を行う ご とに連立方 程 式を解き， 各 未 知 量 を決 定する手 法で ある

。

この ために

，

流 体 解 析に お け る大 次元行列の_{計 算}に多くの _{時 間}を要する

。

N工 工

一

Eleotronio _Library

vmax _V2!O

Vl=V2=O -5O----2O Fig.1 Vl'VZ`O 180

I2

1

Finiteelement mesh and bounqary conditions( _V"ex== 1O)

f..Nr-;=/r'F-'.d'Y4.../X.t.vJ}liitii.!l!II

zLT---J

r-t""f

-SL--.h-NVg

=.--f--w--".t..t N w

xsM---".

,-

r

"tFi

r tt

J"

L

--tr'=.;.{=='Z.t2t#llllllliSi

_{i:!:'====irSi==="}

N

-=="tt-tcata

'fz

t7

--;'-=ptitfa

s

x.ggN

hh

=--"t=''}S.i7

_-t

H･

s

ss

g

.--"

-xs }xfEtut.'-.--!Nl!!r--sLz.."

.Lss

--z-s----s

s--

U-r D.DB5 U'=-O.230 .{.s-S!;) U= O.089 "= O.I86

Ca)Time

='1.4

rm-

.-J

--J

.J-

u+..･-t

-+--

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r.-

_-F"

--

_{-J t""}

-- "t"

_NNN--.

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_{LsL M.}

-ll

,

//i

･,//Ir･,//{-11/il////L

,//g/$

"

$

'

kiillllilli

t

xi/{

,

tl/

'

!

,

I

--,i

T

(a]

U= O.132 N=-O, S39 Time = 1.4

(b)Time

= 1.8

(b)

U= O.119 W= O.263 Time =

1.8

(c)Time

= 2.4

(c)Time

=

2.4

-=r-"--.JM

-"T.t".

-M-F---t-XXSN

e .Ln

.TJ

-r-"--

um -L-UL"

-HSSS

r･-==S.r.N-t."--mr=-hht'sS---==.H-'.-L:;-"

li///t--i-

l,.#･,.tilti;$ttt

;-,,,ttttt

"X'

ttttttt

i

'

ll

'

i

(d)

Time = 4.0

Fig.2 Velocityvectors around ashell

Cd)

Time = 4.0

shell-63-NII-Electronic Library Service

　

こ れ に対し

，

最近の流れ解 析では陽 的 解 法61

冖

9｝_{が注 目} されつ つ _{あ る}

。

この解 法は_，

』

質 量 行 列 を集 中 化 行 列と す ること に よ り

，

連立 方程式 を 解くこ

ど

なく各 未 知 量を決 定 する手法であ る

。

陽的解法は陰 的 解 法 より時 間増分

At

を小さ くとる必 要が あ る が

，

連立方

程

式 を

_解

か ない た め に計算時 間は短 くなる。 　本 論 文の 数 値 解 析に おい て

，

シェ ル に関す る シ ミュ レ

ー

ショ ン に は

Newmark 一

β法を

，

ま た流 体に関しては 陽的解法 を用いる

。

　

5．

数値 解析例

　

本 論文で与えた定 式 化に基づい て

，

地 上に構 築され た 円 筒 シェ ル に 風 が作 用 し た場 合の シェ ル の変形 性 状と シェ ル周 辺の 流れ状 態の解 析 例を示す。 この解析で は， シェ ル は 固定支 持され

，

流れは シヱ ルの母線方 向に対し 乱れ ない という仮定の もと で， 二次 元 問 題と し た。 さ ら に

，

粘 性流体と シェ ル の 基

本

式 を無 次 元 化し た式に よっ て解 析を行っ た

。

解 析に用いた_定数は

，

’

_流速と長さに関 する特 性値

y

と

L

を用い て無 次 元 化し

，

その_{無 次}元化 定 数は以 下の通りで あ る

。

た だし

，

（ 〉 内が物理 量 を 示す。 　シェ ル厚

1

（

h

／

L

｝

＝

0

．

1，

シェ ル半径 γ（α／

L

）＝ 9

．

95， 密 度比 m （p／p！｝

i6 ．5

×

lo3

；

・

弾性 係 数α （

E

／ρ！

V2

（

1−

ilt）） 雷

6，

0

×IO9

，

動 粘 性係 数v （_μ／

p

，　VL）

＝

0

．

1，

第二動 粘 性 係数x （λ／ρ泥

L

）

＝

0

．

o

，

音速 c （

C

／V）

＝

337

．

　o

。

ここ で

，

E

は弾 性 係 数

，

Vはボア ソン比，　pは シェ ル の密度であ る。 ま た解 析 結 果は

，

無次元 化した流 速 v， 　_（

VTI

　

V

）

，

_シェ

・

ル の無次元化した面 内 変 位 u（u_／

L

）＊ ， 面 外 変 位tV（tVIL ＞ ＊ で_表す

。

　

流 体の連 立 運 動 方 程 式に対する解 法は

，

二段 階 陽 的 解 法， シェ ル の 連 立 運 動方 程式に 対す る 解法 は，

New

mark

一

_{β 法 （β}

＝1

／

6

）に よっ た

。

時 間 増 分 △

t

は， 解の 安 定する 1／1000 と し た

。

’

ま たこ の解析での レイノ ルズ 数

Re

は1000 で あ る。 解析領 域の分 割図 （流 体 領域の 要 素数2374

，

節 点 数

1249

， シェ ル領 域の 要素数32 ）と 境 界 条 件を

Fig．

1に示す

。

初 期 条 件と し て

，

風 は解 析 領域の入ロ で突 風と して与え_， 領 域 内での流速と圧 力 を 零 とし た。 シェ ル で は， 変 位， 速 度

，

加速度のす べ てを 零で与え た

。

　

また

，

各 時 間ステッ プご と に

，

接 触 面での流体に関 す る要素は， シ

1

ル の弾 性 変 形と共に可動させ る

。

　

6．

結果 と考 察

　Fig．

2は シェ ル周 辺の 流 速ベ ク トル を示し た もの であ り， 渦の 発 生が よ く と らえ ら れ て い る

。Fig．

3 は

，

Fig．

2の各 時 間に対 応した シェ ル の変 形 状態 を示す

。

図 中の 数 値と矢印は

，

シェ ル の左 右におい て最 大 変 位の数 ＊ シェ ル の変位を無 次元化す る際

，

物 理 量 とし ての変 位u

，

　w を特 性 値L で割 り

，

そ れ を 新 めて u

，

w とおく

。

っ ま り 　u／L

→

％

，

w／L

→

w で あ る

．

。

一

₆₄

一

　 　 0

も

oN 宙

ロ

創

、

ロ

ー

OO

．

OI 2

、

4σ 　 　　　3

．

20u 0

，

BO

．

GO 4

．

00   円

．

ロ o与

冖

_．

O

賀

〇 　

一

〇

_、

O

−

T工ME a｝　Displacement　response 　at θ

＝

45

°

，

BO

．

602

．

403

．

20 u w 4

．

oo 四 nO 〇

一

．

9 ooo0 TIME

b

）　Displacement　responSe 　at θ

＝

90

°

TIME c_）Displacement　response 　at θ

＝

135

°

　 Fig

．

4　Time

−

h竃story 　of　a　she ユ正

値とその 方 向 を 示 し た もの で あ る

。

流れに

対

す る シェ ル の変

形

は；非対 称に変 形し

，

そ れ が序々 に大き く なっ て い く様子が わ か る

。

し かも

，

最 大変位を示す位置 （特に シェ _ルの右 側）

一

が時間と共に変化し て いる

。Fig．

4は

，

流れの 上 流に対し角

tw

　4S

°

，

90

°

，

’

13与

゜

の_位置での シェ ルの変位 時 間 応 答 を 示 す。

　

以 上 よ り，

．

粘 性 流 体とシェ ル の相互作用 という立 場か ら

，

シェ ル_周辺の

_嘛

_れ解析だ けで な く_， シェ ル の動 的 挙 動に関し て も十 分に と らえ ることがで きる

。

　

ま た

，

実 際の風の問題で は， 解 析に用い たレイノ ルズ 数よ り高い レイノ ルズ数とな るが

，

流 体 解 析に用いた二 段 階 陽 的 解 法は それに対 して も 適用 可 能6 ）で あ る

。

し か し

，

そ の上_限はま だ 明確では な く

_，

さ ら に数 値 実 験 を す る 必要が あ る

。

　

7．

結 　 　語 　粘 性流体に対 する シェ ル の動 的 挙 動を 追求す る た め に

，

粘 性流体と シェ ルの動 的 相互作 用 とい う考え に基づ いて連成 系モ デ ル に対す る_定式 化と そ の離 散 化 表 現を 与 え た。 さら にこ の定 式 化に 基づい だ解 析例を 通 して本 手 N工 工

一

Eleotronio _Library

法によ りシェ ルの動 的 挙 動を 捉えるこ と

．

が可 能であ るこ とを示し た

。

　 本手法の特 徴は

，

有限要素法により粘 性 流 体 と シェ ル の基本式 を直接 解 析す る とい うもの である ために_，

．

シェ ル の変 形の影 響， シェ ル後 方の渦の影響を受け た 圧 力 に よっ て シェ ルの動的挙動を捉え ること がで きるという点 に あ る

。

こ の よ うに

，

シェ ル の変 形ある い は流れ パ タ

ー

ン等の_{評 価}が可 能であ るこ と

，

さ らに シェ ル の挙 動 を正 確にと ら え る た め に は相互作 用とい う立 場から の解 析が 必要不 可 欠であ るこ と等を考え合わせ れ ば_， 本 論で与え た定式化が適 切で あ る と考え る。 参考 文 献 　1＞　西村 敏 雄

，

登坂 宣 好

，

近 藤 典 夫 ：粘 性 流 体と弾 性 体との 　 　 　連 成 問 題に対 する定 式 化

，

日本 建 築 学 会 大 会 学 術 講 演 梗 　 　 概集

，

昭和58年 （北 陸）pp

．

1075

−

1076

　2_） T

．

J．

　R　Hughes

，

　W

．

　K

．

Lin ＆ A

，

　 Brooks；Finite　Ele

・

　　　rnent　Analysis　of　Incompressib置e　Viscous　Flow　by _山e

　　　Pena且ty_{Functien　Formulation}

_，



_J．

_{Ceniputational}

　 　　Physics

，

30

，

（1979）pp

．

1

−

60　

．

　3）

J．

T

．

　Oden ＆ L

．

　C

、

　Wellford　

Jr，

：Analysis　of 　Flow　of

　 　　Viscous　Fluids　by　the　Finite　Element 　Method

，

　AIAA 　

J．

　 　　10

，

　（1972）

，

　pp

．

1590

−

1599

　4）　D

．

K

．

　Gartling＆ E

．

B

．

　Becker：Finite　E且ement 　Analy

・

　 　　sis 　of　Viscous 【ncompressible 　F｝uid　F且ow

，

　Pant　l　Basic

　 　　methotology

_，

　Computer　Method　in　Applied　Mechanics

　 　　and　Enginee：ing

，

8

，

（1976）pp

．

51

−60

　5〕 國 枝 治 郎， 横 山 良 幸

，

荒 川 正 夫 ：側 面 より風 を受 ける 円 　 　 　筒 形空気 膜 構造 につ _{い て}

，

_{京 大 防 災 研 究 所 報}

，

．

_第22_号 　 　　B

−

1

，

昭和54年4月 pp

．

1

−

23 　6〕 平 野 廣 和

，

川 原 睦 人 ：高レイノ ルズ数 非 圧 縮 性 流 体の

一

　 　 　有 限 要 素 解 析 法

，

第3回 流れの有 限 要 素 法 解 析シ ンポ ジ 　 　 　ウ ム

，

1981

，

pp」75

−

182 　7） 児 玉 敏 雄， 平野廣和， 川原睦 人 ：有限要 素法によ る粘 性 　 　 　流 体 中の物 体の振 動 解析

，

第3回 流れの有 限 要 素 法 解 析 　 　 　シンポ ジ ウム

，

1981

，

pp

．

183

−

190 　8） 平野廣 和

，

川 原 睦 人

．

糸田 延次 郎 ：高レイノ ルズ 数粘 性 　 　 流れに対す る次 元 有 限 要 素 解 析

，

第4回 流れの有 限 要 素 　 　　法解析シ ンポ ジウム

，

1983

，

PP

．

105

−

112 　9） 児玉敏 雄， 平 野 廣 和， 川 原 睦 人 ：有 限要 素法による流体 　 　 　と構 造の連 成 振 動 解析

，

第4回 流れ の有 限 要 素 法 解 析シ 　 　 　ンポ ジ ウム

，

1983

，

pp

．

257

−

264

10｝M

．

Bercover＆M

，

　Engelman ：A　Finite　Elernent　for　the

　 　 Numerical　Solution　of　Viscous　Inconipress弖ble　Flows

，

　

J．

　 　 Computational　Physics

，

30_（1979_）pp

．

181

−

201

11）　

J．

Donea

，

　S

．

　Givliani

，

　H

．

　Laval＆L

．

　

guartapelle

，

_；

　 　 Finite　Element　Solution　of　the　Unsteady　Navier

．

Stokes

　 　

Equations

　

by

　a　Fractional　Step　Method

，

　Computer 　 　 Method　in　Applied　Mechanics　and 　Engineering

，

30

，

　 　 （1982＞

，

　pp

，

53

−

73

12）　C

．

Tay且or ＆ P

．

　Hood ：A

．

　Numerical　Solution　of　the

　 　 Navier

・

stokes Equations UsingtheFinite_Element

　 　 Teφ肛ique

，

　Computer＆ Fluids

_，

1

_，

_（1973）

．

　_pp

．

73

−

100 13）

J

．

H

．

　Argyris ＆G

．

　Mareczek _：Finite

−

Element 　Analysis

　 　 of　 slow IncompressibleVisceusF亘uid Motion

，

14） 15） 16｝ 17_） ］8） 19） 21） 22） 23） 24） 25） 26） 27） Ingerienr

−

Archiv

_，

43 _（1974_｝

_，

　pp

．

92

−

109

R

．

L

．

　L

．

　Philip

，

　M

，

　Gresho＆ R

．

　L

．

　Sani：Smoothing

Technigue　for　Certain　Pri血tive　Variabl6　Solutions　of

the　Navier

−Stokes

　

Equations

，

　

Int．

　

J

．

　 for　Numerical

Method　in　Engineering

，

14 ， （1979），　pp

，

1785

−

1804 藤本盛 久， 大 熊 武 司， 赤 木 久 真 ；角 柱 周 辺の気 流 及び風 圧 力に関 する数 値 解 析 的 研 究

，

日本 建 築学会論文報告集

，

第213号

，

昭和48年11月

，

p

．

11

−

20 藤 本 盛久

，

大 熊 武司

，

赤 木 久 真

，

塚谷 秀 範 ：角 柱 周辺の 気 流 及び風 圧 力に関する数 値 解 析 的 研 究 （第2報 ｝

，

日本 建 築 学 会 論 文 報 告 集

，

第241号

，

昭 和51年3月

，

p

．

143

−

154 藤本盛 久， 大 熊 武 司， 赤 木 久 真， ：角 柱 周 辺の気 流 及び 風圧力に関す る数 値 解 析 的 研 究 （結3報 ）

，

日本建築 学会 論 文 報告集

，

第 264号

，

昭和53年2月

，

p

．

21

−

3e

．

藤 本 盛 久

，

大 熊 武 司

，

赤 木 久 真

，

田村 哲 郎 ：_角柱 周 辺の 気 流 及び風 圧 力に関 する数 値 解 析 的 研 究 （第4報 ）

，

日 本 建築 学会論 文報告 集

，

第325号

，

昭和58年3月

，

p

．

40

−

46 溝田武 人

，

岡 島 原 ：振 動する角 柱 まわ りの流 線と非 定 常 流 体 力に関する実 験 的 研 究

，

土木学会論文報告集

．

第 327号

，

1982年11月

，

p

．

49

−

60 平岡 久 司 ：MAC 法，　SMAC 法 を 用いた非 圧 縮 性 流 体の 有 限 要 素法解 析， 第4回 流れの有 限

票

素 法 解 析シンポ ジ ウム

，

p

．

97

−

104（1983） 武 藤 清監修

，

久 田俊 彦 編 ：超 高層建 築2構 造 編　鹿 島 出 版 会 登 坂 宣 好 ：流 体 波 動と弾性 体の動的相互作 用に関す る定 式化

，

日本建築 学 会論 文報 告 集

，

昭和55 年12月

，

pp

．

143

−

149 登 坂 宣 好 ：流 体 波 動と弾 性シェ ル の動 的 相互作 用に関す る 研 究

，

日本建築学会論 文 報 告集

，

昭 和 57年 4月

，

pp

，

176

−

183 西 村 敏 雄 ：三次 元 弛 性 体 及びシェ ルと 流 体 波 動 との連 成 問 題に対 する定式 化と そ の応用に関 する研 究

，

日本建築 学 会論 文 報 告_集

，

昭和57年9月

，

_pp

．

156

−

170 登 坂 宣 好

，

坪 井 善 勝 ；曲 面 板の非 線 形 理 論 　その 1　 基 本方程 式の誘導お よ び その近似化

，

日本建 筋 学会論 文報 告集

，

昭和50年9月

，

_pp

．

　Z7

−

37 西村 敏 雄 ：テン ソ ル と シェ ル理 論

，

彰 国 社 付 　 録 　本論の_{数 値 解 析}は

，

以 下の無 次 元化し たNavier

・

Stokes

の方 程 式

，

連 続ほ方 程 式

，

シェ ル式に よっ た

。

な お

，

解析は二_次元 問 題とし た

。

　Naviei

・

Stekes

の方程 式 　　

bl

＋ v’Vw

＝

・

−

cρ

、

e＋溜 醐 ＋り〔VW」＋v、

，

u｝ 連続の方程 式 　 　

b

＋VtP

．

t＋CVu

＝

O シェル式

．

　　

1・（・

・

s・

1

　・）

，

s

一

告

（砺

一

÷

臨

　　

　

一

券

（

ab

・

−

l

　th）

−

miu

一

_告

_（w

_，

ss

−

i

・

，

・

）

，

・

・

−

1・〈

’

・

．

s・・

1

_；　・｝ （1） （2） （3）

NII-Electronic Library Service ＋x（de

，

・

＋

1

de＞

一

争

妬

一

÷

如

　　

一

ml ・v＋

（

　　　十

ll

　　2γ

）

・・

」

以上 の無 次 元 化量 は

，

物理 量 と以下の関係に あ るe な お

，

右 辺が物理 量 を表す。 　x‘

＝

y ‘_／

L ，

_v ‘

＝V

「_／V

，

　c

＝

C／y 　ρ

＝

P／ρノcy

，

　t

＝

yT／L

，

レ

＝

μ／〃LV

，

x

＝

A／P．L　v 　m

言

ρ／ρ∫

，

　γ

＝

〔1／L

，

　〜

置

ん／五

，

　a

＝

E／ρノV2（1

一

μ 2 ） 　u≡ _u／L

，

_w≡ _ω／L

，

　s

＝

SIL 　こ こで

，

γ とL は 流 速 と長 さの特 性 値

，

y‘ ：

．

流 体の座 標 系

，

s ；シェルの座 標

，

Xl

；物 体 力

，

　C ：音 速

，

　P ：圧 力

，

　T ；時 間

，

μ ；粘性係 数

，

λ：第二粘性係数

，

ρ ：シェ ル の密度

，

Pr：流体の 密 度

，

h ：シ

ェ

ル厚

，

　 a ： シ

ェ

ル の半 径

，

　E ：弾 性 係 数

，

　il：ボ ア ソ ン比

SYNOPSIS

UDC ：624

．

074

．

4 ：624

．

042

．

ア：620

．

1

　　　　 　　　 　　　　 　

ANALYSIS

　

FOR

　

VISCOUS

　

FLUID ・

ELASTIC

　

SHELL

　　　　　　皿冠

TERACTION

　

BY

　

FIMTE

　

ELEMENT

　

METHOD

by　Dr

．

　TOSH10　NISH皿畷

URA ，

　Prof

，

，

Nihon　Un重v

．

，

　Dr

．

　 NOBUYOSHI 　TOSAKA

，

 AssistanヒPrpf

．

，

Nihon 　Univ

．

，

　and 　NOR 匡O　KONDO 　Graduate　Student

，

　Nihon 　Univ

．

，

Mernbers　of　A

．

1

．

J

．

　The

　object 　of　this　_paper　is　to　

formurate

　

for

止e　

dynamic

　

behavior

　of　an　elastic 　shell　

due

　to　viscous 　

flow

　sur

．

rounding 　

it．

　

The

　motion 　of　viscous 　

fluids

　

is

　

govemed

　

by

　the　

Navier−Stokes

　equation 　and 　the　continuous 　equation

of　pressure　expression

，

　

Analysis

　of　the　

dynamic

　

behav

玉or　of　an　elastic 　shell　

due

　to　viscQus 　

flows

　is　treated　as　viscous 　

nuid−

elastic shell 　

interaction

　thlough　the　

interface

　

boundary

　on 　which 　continuity 　of 　mechanical 　action 　is　required

．

　The　stres

−

ses　acting 　on 止e　elastic 　shell 　are　pressure　and 　viscous 　stresses

．．

Especially

，

　the　terms　of　rate

．

of

−deformation

　ten

−

sor　

in

　viscous 　stresses　on　the　interface　boundary　are　expressed 　

by

　velocity 　components 　of　an　elastic　shell　

in

　our

formulation

，

　

By

　our 　

for

皿ulation

，

　analysis 　of 　the　

dyna

皿

ic

　

behavior

　of 　an 　elastic 　shell　

due

　to　viscous 　

flows

　is　

Possible

．

　

The

flow

　

patterns

　around 　an　elastic 　shell　are　made 　clear

．

　For

　the　numeridal 　solution 　_pmcedure 　of　our　coupled 　problem

，

　

finite

　element 　

formulations

　

based

　on 　the　weight

−

ed　_residual　method 　are　achieved

．

　

Appling

　our 　methodology 　to　the　viscous 　

fluid

−

elastic 　cylihdrical　shell 　interaction　problem　as　a　simple 　one

．

_，

　we obtain 　numerically 　some 　

flow

　_patterns　around 　a　circular　cylindrical　shell 　structure 　and 　the　

dynamic

　

behavior

　of

it．

．

・

一

　

66 一