通信デバイス工 学

通信デバイス工 学

山田 博仁

2017 年 5/23, 5/30, 6/6, 6/13, 6/20, 6/27, 7/4, 7/11, 7/18 講義分

講義につい て

1. 講義スケジュール

　　 5/23 通信ネットワークの現状、半導体光デバイスの基礎 　　 5/30 物質の発光現象、物質と電磁場との相互作用

　　 6/6 2 準位系での相互作用と光増幅のメカニズム、レーザー 　　 6/13 電磁場の量子化と全量子論

　　 6/20 半導体中での光学遷移、フォトダイオード、 LED 　　 6/27 半導体レーザー、光増幅器

　　 7/4 非線形光学

　　 7/11 光変調器、光スイッチ、波長フィルターと光合分波器 　　 7/18 その他の光デバイス、まとめ

2. 参考書

　　米津 宏雄 著、光通信素子工学 - 発光・受光素子 - 、工学図書 　　霜田 光一 編著、量子エレクトロニクス、裳華房

　　山田 実著、電子・情報工学講座 15 光通信工学、培風館 　　伊藤弘昌 編著、フォトニクス基礎、朝倉書店　第 5 章

3. 質問等　 E-mail: [email protected] 、電気系 2 号館 203 4. 号室講義資料のダウンロード　 URL: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe

国内のネットワーク トラフィック の推移

国内のインターネット トラフィックの総量は、

年

月時点で 約

現在もなお、年率約

で増加

出典: H28 年度版情報通信白書

海底光ケーブル 網

出展　 https://personalpages.manchester.ac.uk/staff/m.dodge/cybergeography/atlas/cables.html

出展: http://premium.nikkeibp.co.jp/ftth/part2/top_f.html

身近になった光ファイバー通 信

FTTH(Fiber To The Home): フレッツ光 (NTT), au ひかり (KDDI) などがサービスを展開

光回線終端装置 (左 )

とルーター (右)

AV

機器のデジタル入出力ケーブル

AV機器のデジタル入出力ケーブルとコネクタ

適用分野が広がりつつある光通 信

サーバーの Backplane

( オレンジ色のケーブルは光ファイバー )

光通信は今や、サーバーの筺体間データ通信から、パソコンにも

SONY VAIO Z に搭載されたユニバー サルバス インターフェース (Light Peak)

ボード間光伝送用パラレル光モジュー ル

10Gbps, 12ch(120Gbps) パラレル光モジュール Avago 製 MicroPOD^TM

IBM Power775 スパコンに搭載

Power775 のシステムボード

スーパーコンピューターのボード間データ通信にも光通信が

リボン光ファイバー

車載光ネットワー

ク

LSI チップ内光配 線

グローバル 電気配線層

ローカル配線 Tr層層

・ 高速データ通信

・ 電磁ノイズの低減

・ 消費電力の低減 光配線層

LSI チップの断面 ( 出展 : 米 Intel 社 ) 130nm 6 層銅配線

・ クロック周波数高速化の限界

- バッファ導入による回路複雑化、

　　　　　　　 消費電力 増大

- クロック高速化によるノイズ問題顕 在化

LSI

の性能限界が近年顕在化

電気配線の限界 マルチコア化の流れ

・ コア間、プロセッサ -メモリ間 データ伝送

　の高速化限界、多層配線の限界

光配線のメリット

適用分野が広がりつつある光通 信

筐体

ラック

間　→　ボード間　→　チップ間　→　チップ内

素子間

出典: C. Gunn, “CMOS Photonics™ Technology Enabling Optical Interconnects” Luxtera, Inc.

Light Peak Infiniband

DDR(20Gbps)AWG24 20mまで

Active optical cable (AOC) 100mまで

MicroPOD

光インターポーザ

ネットワーク機器の電力消費の予

国内のインターネット トラフィックは年率 測

で増加 ネットワーク機器の消費電力もそれに伴い増加すると仮定す ると、

年頃には、

年の年間総発電量を超える見通 し

http://www.aist-victories.org/jp/about/outline.html

光通信に用いられる各種光デバイ ス

1. 受動光素子 (passive optical device, passive photonic device)

2. 能動光素子 (active optical device, active photonic device) - 発光ダイオード (LED: light-emitting diode)

- 半導体レーザー (semiconductor laser, LD: laser diode) - 光増幅器 (optical amplifier)

- 光導波路、光ファイバー (optical waveguide, optical fiber) - 光分岐器 (optical splitter)

- 光方向性結合器 (optical directional coupler) - 光波長フィルター (optical wavelength filter)

- 光波長合分波器 (wavelength multiplexer/demultiplexer) - 偏光子 (light polarizer)

- 光波長板 (wave plate)

- 分散制御素子 (dispersion control device) - 光減衰器 (optical attenuator)

- 光アイソレーター (optical isolator) - 光サーキュレーター (optical circulator)

- 光スイッチ (optical switch, photonic switch)

- 受光素子、光検出器、フォトダイオード (PD: photo detector, photo diode) 光通信に用いられる各種光素子 ( 光デバイス ) 講義でカバーするデバイス

3. その他の素子 ( 波長変換素子、コヒーレント受信器など )

21 世紀の文化と生活を支える各種光デバ イス

- CCD イメージセンサー (charge-coupled device image sensor) - CMOS イメージセンサー (CMOS image sensor)

- 太陽電池 (solar cell, photovoltaic cell) - 光電子増倍管 (photo-multiplier)

- 撮像管 (image pick-up tube)

- CRT 、ブラウン管 (CRT: cathode-ray tube, Braun tube) - 液晶ディスプレイ (liquid crystal display)

- プラズマディスプレイ (plasma display) - 有機 EL(organic light emitting display)

- 各種光記録媒体 (CD, DVD, BLD, ホログラム、フィルム、バーコード ) - 医療用、加工用などの各種レーザー ( 気体、固体、液体レーザー )

- 非線形光学素子 (non-linear optical device)

光通信以外の用途にも用いられる各種光素子 ( 光デバイス )

これらのデバイスを総称して、「フォトニック デバイス」と呼んでいる フォトニクス分野は、日本が未だに強い技術競争力、産業競争

力を維持している数少ない分野

21 世紀の「産業の米」となるかも ?

エレクトロニクス ( 電子工学

フォトニクス スピントロニクス

GMR HDD MRAM

光スピニクス

電子管 , ダイオード , Tr, FET, LSI トンネル効果素子

スピニクス ( マグネティクス

( 磁気工学

HDD レーザー

LD, LED

光磁気ディスク

フォトニック デバイス とは

光ディスク 磁気テープ

ディスプレイ

光ファイバー 太陽電池

フォトエレクトロニクス ( オプトエレクトロニクス

電子の電荷を操作

フォトンを操作

物質のスピンを操作

エネルギーと数 振幅と位相

電磁波 電圧と電流

受光素子 , 光検出器

CCD, CMOS センサー

?

電子のスピン と電荷を操作 磁気記録

フォトンと電 子の電荷を操 作

未開拓

電子の波動関数を操作

半導体光デバイスの基礎

光デバイスに用いる半導体に求められる性質

主な半導体材料の光吸収係数

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 波長 : λ (μm)

光吸収係数: α (cm-1 )

T = 300K 10⁵

10⁴

10³

10²

Si

InP GaAs

Ge In_0.53Ga_0.47As

受動素子 ( 非発光素子 ) 、光導波路

・ 動作波長帯で透明であること

能動素子 ( 受発光素子 )

・ 動作波長帯で適度な光吸収係数を有する、

　つまり光との相互作用が可能なこと

・ pn 接合が得られる ( 電流注入素 子が　実現可能な ) こと

・ 非線形光学効果が小さいこと ( 非線形光学素子は別である )

・ 材料分散もなるべく小さい方がよい

・ 発光素子の場合は、発光遷移確率 が　高いこと ( 直接遷移型半導体 )

・ 複屈折もなるべく無い方がよい ( 偏波無依存 )

半導体のバンド構 造

半導体とバンド構造

結晶中の電子の波動関数 ( 電子状態 ) は、ブロッホの定理によると、

波数と呼ばれる量子数によって規定される。このことが、エネルギー と波数との関係 ( 分散関係 ) が原理的に示せることを保障している。

バンド理論においては、このエネルギーと波数との関係を、エネル ギーバンド ( バンド構造 ) と呼ぶ。

Si 内の電子エネルギーの分散関係

バルク Si では、ホール ( 正孔 ) は Γ 点 付近に分布しているのに対して、電子 は X 点付近に分布するので、間接遷移 バンドギャップは約型半導体 1.1eV

ホール

電子

半導体のバンド構 造

化合物半導体のバンド構造

GaAs の電子エネルギーの分散関係 InP の電子エネルギーの分散関係 GaAs もInP も、電子、ホール共に Γ 点付近に分布

ホール 電子

ホール 電子

半導体のバンド構 造

Ge のバンド構造

Ge の電子エネルギー分散関係

Ⅳ 族半導体である Ge も間接遷移型である が、歪を加えると、直接遷移 like になる

近年、 Ge による半導体レーザー ( 低温、パルス発振 ) が実現された

半導体光デバイスの基 礎

材料分散

セルマイヤー (W. Sellmeier) の式

分散とは ‥‥ 物質を電磁気学的に特徴付けている誘電率 ( 屈折率 ) 、透磁率な どが、それと相互作用する電磁波の周波数 ( 波長 ) に依存するこ と( ), ( )

),

(   

 n 構造関係式は、 D ()E, B  ()H 共鳴周波数付近では、誘電率 ( 屈折率 ) も大

きく変化する。一般的に、線形応答における 周波数応答関数の実部と虚部の間には、クラ マース・クローニッヒ (Kramers-Kronig) の関 係が成り立つ。

媒質中の光の分散について，波長と屈折率 との間の関係を現象論的に導いた式





 ₂ ²₂

2 1

i

Ai

n  



ここで λ_i = c/ν_i であり、 c は真空中の 光速、 ν_i は媒質の共鳴振動数で、 A_i は

定数である ^{Si の誘電関数 ( 電子系)ε の第一原理計算}

Calc.

Calc.

半導体光デバイスの基 礎

複屈折

複屈折とは‥‥異方性媒質においては誘電率 ( 屈折率 ) や透磁率がテンソルとなる

































 















z y x

zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

z y x

E E E D

D D



















( 構造関係式 )

結晶などは光学異方性媒質

方解石の複屈折 複屈折結晶において、光を入射しても光が分かれな

い( 即ち複屈折が生じない ) 方向を光学軸 (optic axis) という。 ( 通常の結晶の c 軸に相当 )

光線が結晶に入射すると、図のよ うに 2 つの光線 ( 常光と異常光 ) に 分離する場合がある。このうち、

電場の振動面に光学軸がある

と、 Snell の法則に従わない異常光

となる。

光学軸 (c 軸)

入射光線

常光 異常光 出射光線

半導体光デバイスの基 礎

非線形光学効果

非線形光学効果とは ‥‥ 物質の誘電率 ( 屈折率 ) 、透磁率などが、電場や磁 場の強さに依存する現象

) ( ),

( ),

(E n E  H

 構造関係式は、D (E)E, B  (H)H

全ての物質は、多かれ少なかれ非線形性を有している。特に電場 ( 光 ) が強い 場合に非線形性が現れる。波長変換デバイスなどでは、非線形光学効果を用い 入射光が弱い場合、光の電場 る。 E に 比例した分極 P ( 線形分極 : linear

polarization) が誘起される。

E P ₀ )

, ( )

, (

) , ( )

, ( )

, ( ) 1

(

) , ( )

, ( )

, (

0

0 0

0

0

t t

t t

t

t t

t

e e

r

x P x

E

x E x

E x

E

x E x

E x

D

































 線形分極

入射光が非常に強くなると、電気感受率が電場に依存するようになる。

E P ₀(E)

: 電気感受率





 E EE EEE

E) ₀ ^{(1) (2) (3) (4)}

(     



半導体光デバイスの基 礎

直接遷移型および間接遷移型半導体におけ る電子遷移

間接遷移型半導体では、光の放出また は吸収にフォノン ( 格子振動 ) が介在

物質の発光現象

物質における光の吸収と放出 ( 発光 ) 全ての光は原子から生まれる !!

太陽からの光‥‥太陽の中での水素原子の核融合 蛍の発光‥‥有機物の生化学反応による

物が燃える時の発光‥‥有機物の化学変化による LED などの発光‥‥半導体結晶の中での電子遷移

物質の発光現象を扱うには、物質と光 ( 電磁波 ) との相互作用メカニズムに ついて学ばなければならない。

量子電子工学 (Quantum electronics) という学問分野

基底準位 励起準位 励起状態

基底状態 原子核

光

光 ΔE = hν

ΔE ν

しかし何故、物質から光が放出されるのだろうか ? 元始、女性は太陽であった　 ( 平塚らいてう )

原子、それは全ての光の源 ( 母 ) である

物質の発光現象

+e

電子 -e 陽子

ラザフォードの水素原子の模型

m r v ω ラザフォードが提唱した原子は、古典電磁気学に依

ると不安定であり、電磁波 ( 光 ) を放出しながら 10^-

11 秒程度の短い時間で潰れてしまうことが予測され る。 ( 私の電磁気学Ⅱの最終回の講義資料を参照 )

この矛盾を解消するために、量子力学が誕生

ボーアの水素原子の模型

+e 陽子 -e ボーアが提唱した原子の模型は、電子は原子核の

周りを物質波という形で定在波を形作って回転し ている。そしてその波が丁度「量子条件」によっ て規定される離散的な状態しか許されないため、

安定に存在するというもの。また電子が、ある定 常状態から別の定常状態へ移行 ( 遷移 ) するときに

、放射（吸収）される光の振動数は、振動数条件

(ΔE = hν) を満たすというもの。

そもそも、電子が状態間を遷移する時 に何故光が放出 ( 吸収 ) されるのだろ うか ?

では、光の放射と吸収とで、一体どちらが起きるのか ?

光の吸収および発光現象を扱う理 論

自然放出までを説明できるよう、つまり物質と電磁場との相互作用を厳密 に扱うには、電磁場をも量子化した全量子論モデルで扱う必要がある。

古典論 半古典論 全量子論

電磁場 物質

量子論

古典論 古典論 古典論 量子論 量子論 解析モデル

説明可 光の吸収

説明可 説明可

誘導放出 説明不可

自然放出 説明不可 説明可

説明可 説明可 説明不可 物質と電磁場との相互作用を扱うには、以下の 3 つの方法が考えられる。

1. 物質、電磁場共に古典論で扱う方法 ( 古典論 )

つまり、半導体のバンド構造などは考えず、電磁場は波動 ( 電磁波 ) として 扱う方法。このモデルでは光の吸収は現象論的に扱えるが、発光現象は説明 できない。

2. 物質は量子論で扱い、電磁場は古典論で扱う方法 ( 半古典論 )

つまり、半導体中の電子は量子化され、エネルギーバンド構造を為す。

一方電磁場は波動として古典論で扱う方法。このモデルでは光の吸収、

誘導放出 ( レーザーなどの原理 ) は扱えるが、自然放出は説明できない 3. 物質、電磁場共に量子論で扱う方法。 ( 全量子論 )

物質と電磁場との相互作用を扱うモデルとその適用範囲

半古典論

まずは半古典論により、物質と電磁場との相互作用を扱ってみよう

電磁場の記述

電磁場と物質との相互作用を理解するためにはまず、電磁場の記述の仕方や基 本的性質を理解しておく必要がある。

古典的電磁場を記述する基本法則である Maxwell 方程式は、

0 ) , (

) , (

) , ( 1

) , ) (

, (

) , ) (

, (

2













 

 

 

 















t t

t t v

t t t

t t t

e

e e

x B

x E

x i i E

x x E

B

x x B

E











と書き表わせる。

また、電場 E と磁場 B は、電磁ポテンシャル A(x, t), ϕ(x, t) によって以下 のように表わせる。

A A B

E  



 

 ,

t

従って、上に示した一連の Maxwell 方程式は、場の量としての電場 E と磁 場 B を用いる代わりに、 A と ϕ による式に置き換えることができる。

電磁場の記述

t t t

t ' t

t t

' 

 





 ( , )

) , ( )

, ( ),

, ( grad )

, ( )

,

( x

x x

x x

A x

A    

さらに電磁ポテンシャルには任意関数 χ だけの不定性があるので、任意のス カラー関数 χ(x, t) を用いて、

) 0 , ) (

, (

div 



 

t

t ^L t

L

x x

A  

電磁ポテンシャル A_L と ϕ_L を、 の関係を満たすように

χ(x, t) を選んだ場合を、ローレンス・ゲージと呼ぶ。この場合には場の方程

式は、以下に示す A_L と ϕ_L それぞれに対する簡単な波動方程式に帰着する

。

) , 1 (

) , ( ),

, ( )

,

( ₂

2 2

2

t t t

t

t A^L x t i^e x ^L x ^e x

 





   

 







 





 



 







 



或いは、ダランベール演算子 (d‘Alembertian)□ を用いて

と置き換えた電磁ポテンシャル A’ と ϕ’ を用いても場の方程式の性質は変わ らない。このような関数 χ(x, t) をゲージ関数と呼び、上のような新たな電磁 ポテンシャル A’ と ϕ’ を選ぶことをゲージ変換と呼ぶ。

ローレンス・ゲージは、ローレンツ変換に対して不変であるため、相対論で用いられる。

) , 1 (

) , ( ),

, ( )

,

( t _e t _L t _e t

L x i x x x

A 

 

  



 □

□

ローレンス条件

電磁場の記述

A B

E A











 t

従って、電場 E と磁場 B は、ベクトルポテンシャル A から、

の関係により、導出できる。

の条件式を満たすように選ぶゲージをクーロン・ゲージ0 (Coulomb gauge)





 A

i A   





 



 

 



 







 









t t²

2

ローレンス・ゲージ以外にも、ベクトルポテンシャルの波動を横波に限定し、

と呼ぶ。この場合、場の方程式は以下のようになる。

さらに、電荷 ρ_e も電流 i_e も存在しない自由空間においては、場の方程式は 0

,

Const. ₂

2  

 







 



 A

 t

 となる。この場合、ローレンス条件を満たしており、

ローレンスゲージでもあるが、放射ゲージと呼ばれる。

ベクトルポテンシャル A のみによって電 磁場が記述でき、スカラーポテンシャルに ついては扱う必要はないので、簡単。今後 はこのクーロン・ゲージ ( 放射ゲージ ) を用 いることとする。

このように、クーロン・ゲージをとれば、

真電荷がゼロの場合 ( 放射ケージ ) 、電磁場 はベクトルポテンシャル A のみで表せる。

ただし、スカラーポテンシャル ϕ は全空間 において一定値となる。

荷電粒子と電磁場との相互作 用

電磁場内に 1 個の荷電粒子 ( 電子 ) が存在するときの粒子系のハミルトニアンは、

 e m e

H  (  )²  2

1 p A で与えられる。 ( 導出は各自試みられよ )

ここで p は、電子の運動量演算子、 m は電子の質量、 ϕ はスカラーポテ ンシャル、 e は電子の素電荷、そして A はベクトルポテンシャルである。

このうち、電磁場が無い中に電子のみが存在する成分 H₀ を、主ハミルト ニアンまたは無摂動ハミルトニアンと言い、電子と電磁場の双方の寄与か らなる成分 H_int を相互作用ハミルトニアン (Interaction Hamiltonian) と言 う。即ち、

2 2 int

2 0

int 0

2

) 2 2 (

2 1

) 2 (

1

A p

A A p p

A p

m e m

H e

m e H

H H

e m e

H































となる。

H_int の最後の項は、 A² に比例することから高次の過程 ( 非線形光学過程 ) で あり、その確率は最初の項よりも通常は小さいので、ここでは無視すること にする。

相互作用の電気双極子近似

荷電粒子は、電磁場の正弦波的変動のための周期的な位置変動をするものと仮定 .

0 .

* 0

0e^{i t}  e ^{i t}  e^{i t} C C

 r ^ r ^ r ^ r

そして、粒子の運動をニュートン力学的に求めると、

) (i ₀e^{i t} i ₀^*e ^{i t} m

m   ^   ^

 r r r

p 

と書かれる。さらにベクトルポテンシャルを

t i t

i e

e ^  ^

 A₀ A₀^* A

と置くと、電場は、

t i t

i i e

e t i



 

  ^



 

 

 A A₀ A₀^* E

と書かれる。従って、

E R

E r

A r A

r p

A A p































 e

i i

m m e m

H e ( ) ( )

2 ⁰

* 0

* 0 0

int  

と書ける。ただし、 R = er で、電気双極子能率 (electric dipole moment) と呼ばれている。

E

+e

−e

e^−iωt e^+iωt

r

電気双極子

e^i2ωt や e^−i2ωt の項は

、時間積分すると消 える

原子の分極

E 電子雲

の偏り r

(C.C. は複素共役のこと )

相互作用の電気双極子近似

) 2 (

int   p A A p m

H e

相互作用ハミルトニアン

には、電場による影響 ( クーロン力 ) と磁場による影響 ( ローレンツ力 ) の両方 が含まれているはずであるが、上で導いた荷電粒子との相互作用の式では、電 場による影響 RE しか含まれていない。これは、荷電粒子の運動の形態を、

のように、ある限られた場所での振動と仮定したためである。もし荷電粒子に 平行運動のような運動形態を仮定したならば、磁場による影響も含まれてくる はずである。

t i t

i e

e^  ^

 r₀ r₀^* r

このように相互作用を、電場のみに影響すると仮定して RE のように近似す ることを、電気双極子近似という。近似による変位の部分を電場で展開する と、電気四重極子や電気八重極子のような多重極の分極が現れることもある

。

工学で扱う物理現象は非常に複雑なものが多い。従って、全ての物理現象を 取り入れた完璧な理論を構築することは不可能である。

良きエンジニアとは、それら複雑な物理現象の中で、何が本質的に重要かを 見極め、近似をうまく使い、無視できる物理現象は思い切って無視し、シン プルな理論を構築できる人である。ただし、どんな近似を使ったのかは決し て忘れてはいけない。

皆さんへのメッセージ

半導体中での電気双極子

半導体中では、電子とホールが分極 ( 電気双極子 ) を作る

+

ホール

電子 −e

電気双極子

+e

半導体中における電気双極子

伝導帯

価電子帯 ホール

電子

電気双極子

E

補 ) ディラック 記法





n

n n

 a と表せる。

波動関数 ψ(x) 状態ベクトル 

ディラック記法

複素関数 ヒルベルト空間の複素ベクトル

ケット・ベクトル





n

n

n x

a

x) ( )

( 



波動関数は、完備直交関数 φ_n(x) を 状態ベクトルは、完備直交ベクトル　　　を

用いて 用いて と表せる。

n

複素共役をとると、





n

n

n x

a

x) ( )

( ^{* *}

* 



随伴ベクトル ( 複素共役をとって転置したもの ) を、





n

n n a^*

となる。  と書く。

ブラ・ベクトル

 

  † ^{ }

 

これらのベクトルは、互いに随伴 or エルミート共役 ダガー



(x)  x

波動関数 ψ(x) と状態ベクトル　　 とは の関係にある。

座標ベクトル　　 を用いてx

量子力学おいて状態は波動関数 ψ(x) として与えられた。ディラックの記法におい てこれは状態ベクトル  で与えられる。波動関数や状態ベクトルは、確率振幅を意味する。

補 ) ディラック 記法

2 つの波動関数を



 

 











n

n n

n m

m n

n m

m n

n n m

m

b a

dx b

a

dx b

a dx

x x

*

*

*

*

* 2

*

1( ) ( )













2 つの状態ベクトルを















n

n n n m

n m

n n m

m

b a

n m b a

n b m

a

* ,

*

* 2

1 



関数の正規・

直交性より

ベクトルの正 規・直交性より







n n m

m m b n

a ₂

1 , 

 n m ,

状態ベクトルの内積

は、完備直交ベクトル ( 基底 )

波動関数の内積







n

n n m

m

m x b

a

x   

₁( ) , ₂( )

n

m 

 , は、完備直交関数 ( 基底 )

n mn

m 

は、正規化されているとする n

m ,

n

m 

 , は、正規化されているとする

mn n

m x  x dx 

  



mn mn

補 ) ディラック 記法

 

n n i

f

b a b

a b a b a b

b b b a a

a

a _{3 1}^* ₁ ^*_{2 2 3}^* ₃ ^*

2 1

*

* 3

* 2

*

1, , ,     































行ベクトル

列ベクトル

ブラケット  _f _i ²

状態の生起確率 ( 密度 ) を表す ) 2

(x

 や は、

ケット・ベクトルは始状態を、i  fブラ・ベクトルは終状態を表す ( ベクトルの内積 )

恒等演算子

j j

j x

x I ^



シュレディンガー方程式 ) ( )

( t

i t t

H  



  



 Aˆ

物理量 A に対する期待値は、

　　を物理量 A の演算子とす るとAˆ

量子統計と密度行 列

電流値など、多くの粒子 ( 電子 ) が関与する物理量は、多くの粒子による統 計的な平均値となる。また単一事象において、複数回観測 ( 測定 ) を行った 場合の期待値なども統計的な扱いが必要となる。そのような多数の粒子或い は多数回の測定についての統計的性質について扱う。まず、 ν 番目の粒子 または ν 回目の測定における状態を、





n

n n

C^{( )}

)

( 

 と書くこととする。

ここで　　は、一つの粒子のみが存在する場合のエネルギー固有状態である。

完備性 (completeness) が仮定されているので、　　の 1 次結合によって任意

の　　　　をつくれるはずであり、　　には添え字 ^(ν) はいらない。

n

n ^()

n





m n

m

n C n A m

C A

,

) ( )*

( )

( )

(    



ある物理量に対する演算子を A とすると、 ν 番目の粒子における期待値は、

となる。

次に、粒子の集団全体における期待値の平均 (ensemble average) を求め る。





⁾ 1 P(

ν 番目の粒子が寄与する割合 ( 粒子の抽出確率 ) を P^(ν) と置くと、全ての 粒子に対する抽出確率は当然、

である。

量子統計と密度行 列

集団全体における期待値の統計平均 ( アンサンブル平均 ) は、







m n

m

n C n A m

C P A

P A

, ,

) ( )*

( ) ( )

( )

( ) (















  



 と書ける。

ここで、以下のような書き換えを行う。

m n m

n mn

nm n A m P C C C C

A A

A  ,  , 









 





ρ_mn を要素にもつ行列 ρ を密度行列 (density matrix) と呼ぶ。











































22 21

12 11







 密度行列を用いると、 



 





 





 





m

m n

m n m

n

nm mn

m A m m

A n n m

m A n n m A

A









, ,

と書き改められる。





n

n n

 I は恒等演算子 (identity operator)



m A

m  は行列 ρA の対角要素を全て足し合わせたもの、即ち Trace であり、

) ( Tr A m

A m A

m



 



