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ポリオミノを対象とした合同分割可能性について
教科・領域教育専攻
自然系コース(数学)
米 津 邦 義
1
はじめに
問題、合同な2つの図形に分割せよ.
、
、 ， ， ノ
ー
E
A
，
， ，
a
目 目 且 .
、 、
、 (2)
このような問題は図形分割パズルとよばれ，
パズル界ではよく親しまれている.解答が正解
かどうかは容易にわかるが，他の解が存在しな
いとは言い難い.実際，
(
2
)
は複数の解をもっ.
図形分割パズ、ルの起源は20世紀初頭まで遡
り，
Henry Dudeney
の本で取り上げられてい
る.
1
9
9
6
年 に は
KimmoE
r
i
k
s
s
o
n
[
1
]
によっ
て一般的な図形におけるすべての解をみつける
アルゴリズムが考案された.
本 研 究 で は ， 対 象 図 形 を ポ リ オ ミ ノ に 限 定
し，合同分割に関する定理を明らかにする.ま
た，計算機を用いて
2
種類以上の分割を許すポ
リオミノを探索する.
2
ポリオミノとその合同分割
定義(一般的な図形の合同分割)
1
つの図形を
2
つの互いに合同な図形に分割す
ることを合同分割するという.また，分割で生
じた境界を分割線という.
指導教員 松 岡 隆
定義(ポリオミノ)
同じ大きさの正方形に対して，辺と辺をぴった
り重ねてつなげていったものを，ポリオミノと
いう.特に， η枚の正方形からなるものを
n-オミノとよぶ.
I
L
.
.
.
.
.
図1 すべての 4-オミノ
定義(ポリオミノの合同分割)
ルオミノ
(
n
は偶数)の合同分割とは，それを 2
つの互いに合同な
η/2
・オミノに分割すること
である.
本研究では，次の2数を新たに定義する.
定義(境界数)
ポリオミノの境界をなす正方形の辺の個数を境
界数という.すなわち，他の正方形に繋がって
いない辺の個数の総和である.
定義(隣接数)
ポリオミノを構成する lつの正方形に着目した
とき，他の正方形に繋がっている辺の個数を隣
接数という.また，総和を総隣接数という.
命 題
1
ルオミノに対して，その境界数と総隣
接数をそれぞれ
B
，
A
とすると，
B + A
=
4
n
.
− 262 −
命 題 2
n
-
オミノにおける総隣接数の最小は
2(η-1
)
である.
命題
1
と命題
2
から，命題
3
が成り立つ.
命 題 3
n
-
オ ミ ノ に お け る 境 界 数 の 最 大 は
2
(
n
+
1
)
である.
以下，ポリオミノを構成する正方形の一辺の
長さを
1
とする.
定 理 合 同 分 割 で き る
n
-
オミノの分割線の長
さ
D
に対して，
D
<n
+2
ーゾ玩
補 題 作 オ ミ ノ の 境 界 数Bにおいて，以下の式
が成り立つ.
B>
2
J
7
f
石
.
証明.面積 が ηの円を考えると，その円周は
2J
石石である. したがって n-オミノの面積は
ηなので等周不等式から ，
B>2J
石石.
口
定理の証明.元のηーオミノおよび分割によって
できた
n
j
2
-
オミノの境界数をそれぞれ
B
，
B
'
とすると，
B
'
:
:
;
吟
+1)=n+2 (
命題
3
)
2B'=B+2D.
Dニ
B'-B
2
D
三 川
-
3
<
η
+2-J
石
石
(・.・補題).
3
計算機による合同分割可能性の判定
2
種類以上の合同分割を許すポリオミノにつ
いて計算機で求めた.
nが偶数の n-オミノのうち，点対称なものは
必ず分割線が存在するので，以下は非点対称の
みを扱う.また，裏返しを許す合同なポリオミ
ノは区別しない.
仔
P
図2 2種類の合同分割を許す 8-オミノ
日
日
可
円 日
二 日
図
3
3
種類の合同分割を許す
1
2
-
オミノ
表 1 計算機から得られたηーオミノに関する性質
合同分割の種類
η 個数
点対称 2 3
8
3
6
9
2
5
7
1
1
O
1
0
4
，
6
5
5
8
2
3
4
8
2
O
1
2
6
3
，
6
0
0
3
0
2
1
，
4
9
3
1
2
1
1
4
9
0
1
，
9
7
1
1
，
1
1
1
6
う
5
2
9 1
1
O
1
6
1
3
ヲ
0
7
9
，
2
5
5
? ?
8
0
3
個数は
2
8
-
オミノまで求められている
[
2
J
.
4
今後の課題
アルゴリズムを改良し n
三1
8
のn-オミノ
に対しても探索が行えるようにする.また，合
同分割に関する定理をさらに明らかにする.
参考文献
口
[
1
J
Kimmo E
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，
S
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Monthly
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3
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