ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式について

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(1)ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式について教科・領域教育学専攻. 自然系コース M1 0 1 8 2 I 前日ヨ智哉. ベルヌーイ数は，18世紀のはじめにJacob. た後，指数関数♂の母関数版である. Bernou11i（1654−1705）によって発見され，整. 1 1. 数のべき乗和やゼータ関数の特殊値など数学. 則一1・1＋瓦12・亜13・一. の様々な場面に現れる神秘的な数である．こ. を用いて，ベルヌーイ数の母関数が. の論文では，ベルヌーイ数，および，ベルヌー. 士. イ数に深く関わるベルヌーイ多項式について. B（士）＝亙（士）一1. 考察する．特に，J．L，Raabeの等式を用いた. と表されることを示す．. D．H．Lehmerによるベルヌーイ多項式の定義. §2．2では，η個の集合を空でないm個の部. を与え，それが旧来の5通りの定義と同義で. 分集合に分ける分け方の総数として（第2種）. あることを明らかにする．また，クラウゼン・. スターリング数を，η文字の置換でm個の巡. フォシシェタウトの定理を証明し，それを用い. 回置換に分解できるものの総数として第1種. てS．Chow1aとP．Hartungによるベルヌーイ. スターリング数を定義する、さらに，ベルヌー. 数の公式を導く．. イ数，（第2種）スターリング数，第1種スター. 1章では，フェルマーの小定理，原始根の存在定理，ゼータ関数，フーリエ展開など，後章で必要となる基本事項について述べる． 2章では，ベルヌーイ数B几，（第2種）スターリング数｛二｝，第1種スターリング数［桑］を，. 母関数を交えて考察する．. §2．1ではベルヌーイ数を関係式助一1，. ｫ（㌃1）玖一・（肌・・）. で定義し，その指数型母関数B（士）を. B22 B33. 帥）一B・十B・亡十デ十ず十．．’ と定義する、また，母関数の基本事項を説明し. リング数の間の関係を組合せ論的に考察し，ベ. ルヌーイ数を（第2種）スターリング数で表す関係式. み一丈（一1讐半｝ m工0 を導く．また，ηが3以上の奇数であるとき B。＝Oであることを証明する、. 3章では，ベルヌーイ多項式の定義と同義. 性について考察する． 1705年頃にJacob Bernou11iによって発見されたといわれるベルヌーイ多項式には，5通り0）定義があるl Bernou11i自身以外に，Eu1er（1738），Lucas （1891），Appe11（1832），Hurwitz（1890）によ.

(2) るものである、. が一意に存在する．∫（π）をベルヌーイ多項式. （Bemou11iの定義）Bo（π）：1として，η≧1. Bη（”）と定義する．. に対しては次の等式をみたすようにBη（”）を. m−1. 定める、ただし，B几（O）二Bnとする．. m−1 1（み（・）一み（・））一ギ. 々←・去）刊（一）. §3．1ではBernou11i，Eu1er，Lucas，Appe11，. Hurwitzによる定義を述べる．（Eu1erの定義）次の母関数の等式をみたすよ. §3．2ではLehmerによるベルヌーイ多項式の. うに，Bn（”）を定める、. 定義を与え，この定義によるベルヌーイ多項式. 書等」舟）。（Appe11の定義）Bo（”）：1，Bη（O）；Bηとして，次式をみたすようにB。（π）を定める．. 1d Bη＿1（”）＝一一B几（”）. が存在すること，一意であること，などを導く．. §3．3ではLehmerの方法で定まるベルヌーイ多項式が旧来の5通りの定義と同義であることを示す．. 4章では，クラウゼン・フォシシェタウトの. η伽. 定理とベルヌーイ数の公式について述べる．. （Hdrwitzの定義）Bo（π）＝1として，η＞O. §4，1では，3章の最後に示したベルヌーイ数. のときは，0＜エ＜1で次の等式が成り立つよ. についての等式を用いて. うに，多項式B帆（”）を定める．. 1 Bη＝＿Σ二＿十0n （0帆は整数）. ＿η！。。e2πi・皿. 叫）一（。、、）“、・. 、＝素数ρ P−11π. r一一〇〇. と表されるというクラウゼン・フォシシェタウ. （上式0）右辺が多項式であることは自明でない．）. トの定理を示す．. （Lucasの定義）次式の右辺の2項展開で，. §4．2ではS．Chow1aとP．Hartungによる，. 砂→坊と置き換えた式をBη（π）と定める、. ベルヌーイ数B2m（m≧1）をmのみから直接的に計算できる興味深い公式. Bn（”）：（B＋π）η. （一1）m−12（22m−1）B．m＝［φm／＋1. 1851年，Raabeは，ベルヌーイ多項式についての一つの等式を見いだした．1988年，D，H．. LehmerはRaabeの等式を用いてベルヌーイ多項式を定義できることを示した．. （Lehmerの定義）整数η≧Oを任意に一つ定. める．このとき，すべての整数m〉0に対して次の等式をみたすモニックη次多項式プ（”）. を導く．ただし，［1はガウス記号，φmは次式で与えられる．. 1、一2（2. 〟A窯m），㌦ん＝1. 主任指導教員松山廣. 指導教員松山廣.

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