不変式と調和多項式について

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(1)不変式と調和多項式について教科・領域教育学専攻. 自然系コース. M08 175E 松川尚寛. 本論文では2つの群の作用について考察す. クトル空間であることを述べ，次数付きベクト. る．一つはη次対称群8れのη変数複素係数. ル空間のポアンカレ級数を定義する．§1．4で. 多項式環Cl”1，＿，πη1への作用であり，8ηの. はラグランジュの補間公式を示し，§1．5では多. 作用で不変な対称式と，その対極にある調和多. 項式環C［21，＿，2η］における微分・偏微分につ. 項式を通して多項式環C［π1，＿，”帆1の構造の. いて説明する．. 一端を明らかにする．今一つは2次の一般線. 2章では，C圧”1，＿，”η］の任意の多項式が調. 型群G工（2，C）の作用であり，2変数多項式環. 和多項式を係数とする基本対称式e1，、．、，eπの. への作用と，2次全行列環上の多項式環への作. 多項式として一意的に表されること，すなわち，. 用をとりあげる．特に2変数多項式環の斉次. 次のベクトル空間としての同型が成り立つこ. 式のなす空間がGム（2，C）の既約表現を与える. とを証明する．. ことを示し，Gr（2，C）の任意の既約表現がそ κ1e1，＿，eれ1録C［”1，＿，蛎］. れらの表現と行列式のべきとの積として得られることを利用して，斉次部分空間をウエイト. なお，調和多項式の全体〃が環構造を持たな. 分布を利用して既約分解する．ここでも不変式. いため，左辺は通常の多項式環とは異なる．正. と調和多項式が重要な役割を演じる．. 確には. 1章では，2章，3章で必要となる用語と定理について説明する．ただし，線形代数，群，環，. 伽，…，・η1一㊥物ゴ’・・加…・πゴ冗ゴ1川加. 体についての基本事項は既知とした．. なる直和であるが，本論文では上のように表. §1．1では基本対称式とべき柔和多項式を定. 記することにする．上の同型より，8ηの. 義し，ニュートンの公式を証明する．§1．2で. C［”1，＿，πη1への作用は〃への作用に帰着さ. は群の作用を定義し，η次対称群が自然にη. れる．. 変数複素係数多項式環に作用することを示す．. §2．1では対称式を定義し，C［”1，＿，”π］の. §1．3では次数付きベクトル空間や次数写像を. 対称式全体8が基本対称式e1，、．，，e肌を変数. 定義し，η変数複素係数多項式環が次数付きベ. と見なした多項式環C［e1，＿，en］と同一視で. 一322一.

(2) きること，従って対称式が基本対称式の複素係. 変数多項式環CエMat2（C）］への一般線型群. 数多項式として一意的に表されること，8が. 0工（2，C）の作用について述べ，α（2，C）不. 次数付きベクトル空間であること，などを証明. 変式を定義する．C［Mat2（C）1からC1”，μ1へ. する．§2．2では代数的偏微分∂｛や∂を定義. のある種の代入写像により，Gム（2，C）不変式. した後，調和多項式を定義し，調和多項式全体. 環が2変数の対称式全体のなす環と同型，すな. κが∂壱不変であること，次数付きベクトル空. わちC正trace，det］に一致することを示す。ま. 間であること，差積が調和多項式であること，. たG工（2，C）不変式環のポアンカレ級数を求め，. 〃∩8＝Cが成り立つこと，などを示す．§2，3. Gム（2，C）の1次元多項式表現が行列式のべき. では多項式環C［”1，＿，π肌］，および対称式のな. 乗になることを示す．§3．2ではCエ”，切の斉次. す空間3のポアンカレ級数を決定する．§2．4. 部分空間が0ム（2，C）の有限次元既約表現を与. では基本対称式で生成されたイデアルzによ. えることを示す。また，G工（2，C）の中心である. る高空間C［”1，＿，勿η］／Zを考察することによ. スカラー行列の固有空間と，特殊線形変換によ. りdim〃＝η！であること，q”1，＿，π、コ＝. るウエイト分布を用いて既約分解を求める方. 〃㊥zであること，〃が差積△を何回か偏微. 法を説明する．§3，3ではC［Mat2（C）1の斉次部. 分して得られる多項式で生成されること，集合. 分空間の既約分解について考察し，Gム（2，C）. としての等式刊・1，＿，・η1＝Cf”1，＿，”帆1が成. の中心が白明に作用していることから，既約因. り立つこと，などを証明する．§2，5では〃の. 子が奇数次元のもののみであることを導く．ま. ポアンカレ級数を決定し，8のポアンカレ級. た調和多項式のなす空間〃の斉次部分空間. 数との積がCl”1，．．．，πη1のポアンカレ級数に. が既約であることを示し，〃，不変式環，およ. なることを証明し，最後に利e1，＿，e肌1におけ. びClMat2（C）1のポアンカレ級数を求める．最. る表示の一意性を示す、. 後にC［Mat2（C）1がんとtrace，detで生成さ. 3章では一般線型群G工（2，C）の2次全行列. れたイデアルの直和であることを示し，それを. 環上の随伴作用から得られるC1Mat2（C）］への. 用いて，qMat2（C）1の多項式が調和多項式を. 作用と，C［π，リ1への自然な作用について考察. 係数とするtraCe，detの多項式として一意的. する．特にC［π，μ1の斉次部分空間が既約で. に表されることを示す．. あること，C1Mat2（C）1の多項式が調和多項式を係数とするGZ（2，C）不変式trace，detの多項ヰとして一意的に表され，C［M就2（C）］の斉. 次部分空間の既約分解が得られること，などを示す．. 主任指導教員松山廣. §3．1では2次行列の成分を変数とする4. 指導教員松山廣. 一323一.

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