エルミート多項式による一般フーリエ級数展開のいくつかの例

エルミート多項式による一般フーリエ級数展開のい

くつかの例

著者

藤井 都

2014 年度 修士論文要旨

エルミート多項式による一般フーリエ級数展開のいくつかの例

関西学院大学大学院理工学研究科

数理科学専攻 示野研究室 藤井 都

直交多項式の 1 つであるエルミート多項式による一 般フーリエ級数展開の実例について得た結果を述べる． いずれも既知の結果だが，文献に見られるものより簡 明な別証明を与えた．

1

エルミート多項式とその性質

エルミート多項式は次式で定義される n 次多項式で ある． Hn(x) = (−1)nex 2 dn dxn(e −x2 ) (ロドリグの公式) n = 0, 1, 2, 3, 4 のとき Hn(x) は H0(x) = 1， H1(x) = 2x， H2(x) = 4x2− 2， H3(x) = 8x3− 12x， H4(x) = 16x4− 48x2+ 12 となる．一般に次が成り立つ． Hn(x) = [n 2] ∑ r=0 (−1)r n! r!(n− 2r)!(2x) n−2r (1) エルミート多項式の微分 H_n′(x) = 2nHn₋₁(x) 漸化式 Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn₋₁(x) エルミート多項式の直交関係 エルミート多項式は，重み関数 e−x2 を用いた内積に 関して次の直交関係を満たす． ( Hm, Hn ) = ∫ _∞ −∞ Hm(x)Hn(x)e−x 2 dx =√π2nn!δmn  ただし，δmnは m = n のとき 1 で，m̸= n のときは 0 とする．

2

エルミート多項式による一般フー

リエ級数展開

定理 1. F ∈ L2_{(R, e}−x2_{dx) に対して} an= 1 √ π2n_n!(F, Hn) = √ 1 π2n_n! ∫ _∞ −∞ F (x)Hn(x)e−x 2 dx とおくと，次の展開が成り立つ． F (x) = ∞ ∑ n=0 anHn(x) 特に F (x) が n 次多項式の場合，Hk(x) は k 次多項 式なので，F (x) は H0(x), H1(x),· · · , Hn(x) の 1 次結 合で表せる．L. Debnath, D. Bhatta [1] で与えられて いるエルミート多項式による一般フーリエ級数展開の 具体例に触発され，多項式に対して展開係数を具体的 に求める問題を考えた．

2.1

(2x)

n

_{のエルミート多項式による展開}

定理 2. 0 以上の任意の整数 n に対して次式が成り立 つ．([6] (18.18.20) 式) (2x)n= [n 2] ∑ r=0 n! r!(n− 2r)!Hn−2r(x) つまり係数は (1) の係数の絶対値をとった形で与え られる． [証明の方法] 方法 1 展開の係数の満たす連立 1 次方程式を作り，そ の係数行列の逆行列を計算して解く．数学的帰納法と 二項定理を用いる．

方法 2 定理 1 を用いて展開係数を計算する．ロドリ グの公式と部分積分を用いる． 後に見るように，定理 2 は，定理 3 の系としても得 られる．

2.2

H

n

(cx) のエルミート多項式による展開

命題 1. 0 以上の任意の整数 m と実数 c に対して ∫ _∞ −∞ H2m(cx)e−x 2 dx =√π(2m)! m! (c 2_{− 1)}m が成り立つ．([3] 6.2.2 節) [証明の方法] エルミート多項式の漸化式と部分積分を 用いる． 定理 3. 0 以上の任意の整数 n と定数 c に対して次式 が成り立つ．(Dhar [5]) Hn(cx) = [n 2] ∑ r=0 cn−2r_n! (n− 2r)!r!(c 2_{− 1)}r_H n−2r(x) [証明の概略] 定理 1 が与える展開係数 akは，ロドリ グの公式と部分積分を用いることにより ak = 1 √ π2k_k! ∫ _∞ −∞ Hn(cx)(−1)k dk dxk(e −x2 ) dx = c k_n! √ πk!(n− k + 2)! ∫ ∞ −∞ Hn−k(cx)e−x 2 dx と表せる．命題 1 より定理 3 が証明される． 定理 3 の系として定理 2 を証明することができる．実 際，c = 1 b (b̸= 0) とおくと，定理 3 より bnHn (_x b ) = [n 2] ∑ r=0 n! (n− 2r)!r!(1− b 2₎r_H n−2r(x) が成り立つ．上式において b→ 0 とすると，定理 2 が 得られる．

2.3

H

m

(x)H

n

(x) のエルミート多項式

による展開

定理 4. 0 以上の任意の整数 m, n に対して次式が成り 立つ．（Feldheim [2], Watson [4]） Hm(x)Hn(x) = m!n! min_∑{m,n} r=0 2r r!(m− r)!(n − r)!Hm+n−2r(x) [証明の概略] 定理 1 の展開係数 akにロドリグの公式， 部分積分とライプニッツの公式を用いると ak = 1 √ π2k_k! ∫ _∞ −∞{Hm (x)Hn(x)}(k)e−x 2 dx =√ 1 π2k_k! k ∑ l=0 ∫ _∞ −∞k ClHm(k−l)(x)Hn(l)(x)e−x 2 dx と表せる．エルミート多項式の微分の公式と直交関係 を用いると定理 4 が証明される．

参考文献

[1] L. Debnath and D. Bhatta, Integral Transforms

and Their Applications, Second Edition, Chapman

& Hall/CRC, 2006.

[2] E. Feldheim, Quelues nouvelles relations pour les

polynomes d’Hermite, J. London Math. Soc. 13

(1938), 22–29.

[3] S. M. Kendall and A. Stuart, The Advanced

The-ory of Statistics, Volume 1, Fourth edition, C.

Griffin, 1979.

[4] G. N. Watson, A note on the polynomials of

Her-mite and Languerre, J. London Math. Soc. 13

(1938), 29–32.

[5] S. C. Dhar, On the product of parabolic

cylin-der functions with different arguments, J. London

Math. Soc. (1935), s1-10, (3), 171–175.

[6] F. W. Olver et al, NIST Handbook of Mathmatical