ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式について
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(2) 次 ○章. 序. 2. 1章. 準備. 4. 1．1. フェルマーの小定理と原始根．. 4. 1．2. ゼータ関数. 5. 1．3. フーリエ展開．. 6. 2章. ベルヌーイ数. 9. 2．1. ベルヌーイ数と母関数．．．．. 9. 2．2. ベルヌーイ数とスターリング数. 14. 3章. ベルヌーイ多項式. 23. 3．1. ベルヌーイ多項式の5通りの定義．．. 23. 3，2. Lehmerによるベルヌーイ多項式の定義．. 25. 3．3. ベルヌーイ多項式の定義の同義性．．. 31. 4章. ベルヌーイ数の公式. 38. 4．1. クラウゼン・フォシシェタウトの定理．. 38. 4，2. ベルヌーイ数の公式. 41. 謝辞. 46. 参考文献. 47. 1.
(3) ○章序 ベルヌーイ数は，18世紀のはじめにJacobBemou11i（！654−1705）によって発見され， 整数のべき乗和やゼータ関数の特殊値など数学の様々な場面に現れる神秘的な数である．こ の論文では，ベルヌーイ数，および，ベルヌーイ数に深く関わるベルヌーイ多項式について. 考察する．特に，J．L．Raabeの等式を用いたD，H．Lehmerによるベルヌーイ多項式の定義 を与え，それが旧来の5通りの定義と同義であることを明らかにする．また，クラウゼン・. フォシシェタウトの定理を証明し，それを用いてS．Chow1aとP．Hartungによるベルヌー イ数の公式を導く．. 1章では，フェルマーの小定理，原始根の存在定理，ゼータ関数，フーリエ展開など，後 章で必要となる基本事項について述べる． 2章では，ベルヌーイ数Bη，（第2種）スターリング数｛桑｝，第ユ種スターリング数［二1 を，母関数を交えて考察する．. §2．1ではベルヌーイ数を関係式. 昂一1，｝1）夙一・（几・1） で定義し，その指数型母関数B（t）を. B・2 B33 州＝3・十3・元十デ十ず十．・・ と定義する．また，母関数の基本事項を説明した後，指数関数♂の母関数版である 1 1. 帥）一1・t・ポ・可t3… を用いて，ベルヌーイ数の母関数が 士 帥）＝ 帥）一1 と表されることを示す．. §2．2では，η個の集合を空でないm個の部分集合に分ける分け方の総数として（第2. 種）スターリング数を，η文字の置換でm個の巡回置換に分解できるものの総数として第 2.
(4) 3. 0．序. 1種スターリングを定義する．さらに，ベルヌーイ数，（第2種）スターリング数，第1種ス. ターリング数の間の関係を組合せ論的に考察し，ベルヌーイ数を第2種スターリング数で 表す関係式. ・一一之（÷半｝ m＝O を導く．また，ηが3以上の奇数であるとき3れ＝0であることを証明する．. 3章では，ベルヌーイ多項式の定義と同義性について考察する．1705年頃にJacob Bemou11iによって発見されたといわれるベルヌーイ多項式には，5通りの定義がある． Bemou11i自身以外に，Eu1er（ユ738），Lucas（1891），Appe11（1832），H廿rwitz（1890）によ るものである．. 1851年，Raabe正7］は，ベルヌーイ多項式についての一つの等式を見いだした．1988年，. D．H．Lehmer［61はRaabeの等式を用いてベルヌーイ多項式を定義できることを示した、 §3．ユではBernou11i，Eu1er，Lucas，Appen，Hiirwitzによる定義を述べる．. §3．2ではLehmerによるベルヌーイ多項式の定義を与え，この定義によるベルヌーイ 多項式が存在すること，一意であること，などを導く．. §3．3ではLehmerの方法で定まるベルヌーイ多項式が旧来の5通りの定義と同義であ ることを示す．. 4章では，クラウゼン・フォシシェタウトの定理とベルヌーイ数の公式について述べる． §4．1では，3章の最後に示したベルヌーイ数についての等式を用いて，B几が 1 B帆＝一Σ一十0。 （0凡は整数） 。＝素数ρ ρ一11n. と表されるというクラウゼン・フォシシェタウトの定理を示す．. §4．2ではS．Chow1aとP．Hartung［51による，ベルヌーイ数B2m（m≧1）をmのみか ら直接的に計算できる興味深い公式 （一1）㎜一ユ2（22し1）8．m一［φm1＋1. を導く．ただし，［］はガウス記号，φ㎜は次式で与えられる、. 1、一2（2宗黛m）1㌦ 先＝1.
(5) 1章 準備 本論文では，参考文献［91（邦訳［21）にあるような整数論の基本事項，参考文献 ［41にあるような群・環・体についての基本事項，参考文献［31にあるような微積. 分の基本事項，などは既知とするが，特に重要と思える用語や定理をこの章にま とめておく． なお，この論文を通して次の記号を用いる．. N. 自然数（正の整数）全体. Z. 整数全体. C. 複素数全体. C同1 複素数係数の変数士の形式的ベキ級数全体のなす可換環 αl b. 整数αが整数bを書1」り切る. 151. 有限集合8の元の個数. （貫）. 2項係数 η，. k！（九一k）！. B。 夙（z） ｛二｝. ベルヌーイ数 ベルヌーイ多項式 （第2種）スターリング数. ［二1. 第1種スターリング数. ［”1. ガウス記号，実数”以下の最大の整数. P⇒Q PならばQである P⇔Q PとQは同値である 1．1 フェルマーの小定理と原始根 4章で用いる整数論の基本事項を述べておく． ・整数αが正数bを割り切るとき，α1わと表す． ・ηが自然数，α，bが整数で，η1α一6をみたすとき， α≡ろ（modη） 4.
(6) 5. ！．準備. と表し，ηを法として，αはbに合同であるという．. 定理1．1（フェルマーの小定理，［9，p．541）ρが素数，αがρで割りきれない整数のと き，次の合同式が成り立つ．. αp■1…1（m・dρ）. 定理1．2（原始根，［9，p．1151）素数ρを法とする原始根が存在する、すなわち，次の. 条件を満たす整数αが存在する． αm≠1（m＝1，2，1．．，ρ＿2）， αP■1≡1 （modρ）. 定理1．3（［9，p．56，C1aim］）素数ρで書1」り切れない整数をαとすると， O，α，2α，＿，（ρ一1）α. はρを法として，互いに合同でない．すなわち，α，2α，．．．，（ρ＿1）αの中に，それぞれ， 1，2，．．、，ρ一1と合同な整数が1つ存在する．. 1．2 ゼータ関数 4章で利用するゼータ関数を定義しておく． 定理1．4（ゼータ関数，［3，第4章，441）5＞1のとき，次の級数は収束する．. oo （（・）一Σ÷ n＝1 ζ（8）を〃emαηηのゼータ関数という。. 次の不等式は4章，§4．2で必要となる．. 補題1．5η≧1のとき，次の不等式が成り立つ． η！. 一＜1 ηη■.
(7) 6. 1．準備 η！ 【証明】 ∫（η）＝㌃とおき，ηについての帰納法で示すことにする η＝1の. η とき，プ（1）＝1となるので不等式が成り立つ。n：んのとき成り立つと仮定す ると，η＝た十1のとき， （ん十1）！ た！ ん！ μ ∫（ん十1）＝ ＝ ＝ （た十1）た十1 （ん十1）島 紗（ん十1）此. 砂. ＜ ＜1 一（ん十1）島. となり，成り立つ．以上で，補題が示された． 一. 1．3 フーリエ展開 ここでは，3章でベルヌーイ多項式をフーリエ展開する際に必要となる基本事項につ いて説明する． ・∫（エ）が区間［α，61で連続であるとは，区間（α，6）で連続であり，両端点で 1im∫（”）＝∫（わ）. 1im∫（π）＝プ（α）， π→十α. 皿一→一b. が成り立つときにいう． ・∫（”）が区間1α，わ1で微分可能であるとは，区間（α，6）で微分可能であり，両端点で ∫（α十△”）一∫（α） ． ∫（6）一∫（6一△”）. 11m 11m △皿→十〇 △Z △π→十〇 △π. が存在するときにいう．これらをそれぞれバα），∫’（6）と表す、 ・ア（κ）が区間［α，う1で滑らかであるとは，∫（”）が区間tα，わ1で微分可能で，導関数プリ（”）. が区間／α，61で連続であるときにいう。 ・区間［0，2π1で定義された関数∫（z）に対して，. ・一. Pズ1（・）…一仏. ヘズ1（・）・i一桁. と定めてできる級数 oo 音・Σ（1・…η・・1・・i・η・） η＝ユ を∫（”）のフーリエ級数，α兀，6、をフーリエ係数という・フーリエ級数が収束するか どうか，収束してもプ（π）に一致するかどうかは定かでない．.
(8) 7. 1．準備 ・区間［0，2π］で定義された関数∫（”）のフーリエ級数が収束し，∫（z）に一致するとき，. oo ル）一等・Σ（1一…η・・…i・ηπ） 帆＝1 をプ（”）のフーリエ展開という．. 定理1．6（［3，第6章，§75，§761）区間［0，2π1で滑らかな，周期2πの関数∫（”）は，区 間［O，27r］でフーリエ展開される．区間［O，2π］で滑らかであるが，∫（0）≠プ（2π）である. とき，フーリエ級数は”＝O，2πにおいて次の値をとる． プ（0）十∫（2π）. 2. 定理1．7（［3，第6章，§751）∫（”）は周期2πの関数で，区間［0，2π1で導関数ア’（κ）が. 滑らかであるとする．このとき，∫’（z）のフーリエ級数は∫（z）のフーリエ級数を項別 微分して得られる．. 次の定理は，3章，p．35で用いる．. 補題1．8区間（O，1）で次の等式が成り立つ．. 十烏二÷ r＝一〇〇. ただし，上式の右辺の無限和は，次式で定まるOでない整数rすべてにわたる和である．. 二÷忠（ξ÷・二÷） 【証明】 t＝2mとおき 亡 1 ∫（士）＝一一一 2π 2 と定めると，∫（t）は区間［0，2π1で滑らかである．従って，定理1．6より，∫（亡）. は区間（O，2π）でフーリエ展開される。ただし，フーリエ係数αれ（η≧O）は. 一ブ1（1）…舳一1ズ（去一；）…舳. 一ぺt…舳一芸ズ…舳.
(9) 1．準備 となるので，η＝0のときは. 如一2イt批一芸ズ1批一・ であり，n≧1のときも. い、｝f…舳一芸ト舳一、イf…舳 ÷［1…十÷ズ…舳一・ となる．フーリエ係数6η（η≧1）は. ㌦一1ズ〃）舳一1ズ（÷十材批. 一2｝t…舳一夫ズ…舳. 一一÷卜舳r・÷ト州 ！ ηπ. となる．これより oo 去一1一一÷Σ㌣ η＝1. が成り立つ．士＝2π∬と置換すると. ・十→書手一→書∴1デ） 一一、は竿一2｛÷一一、は 几＝！. が得られる．. ε. 2π加工. 几工1 n＝一〇〇 一.
(10) 2章 ベルヌーイ数 2章ではベルヌーイ数について考察する．母関数，指数型母関数，（第2種）ス ターリング数，第1種スターリング数などについて説明した後，ベルヌーイ数の 母関数と，指数関数五（t），対数関数ム（t）の間に成り立ついくつかの関係式を導. く．最後に，4章でクラウゼン・フォシシェタウトの定理を証明する際に必要と なる等式を証明する．. 2．1 ベルヌーイ数と母関数 定義2．1（ベルヌーイ数の定義）非負整数ηに対して，ベルヌーイ数B。を次式で定 める．. 夙一・｝1）夙一い・1）. ベルヌーイ数の最初の16個は次のようになる．. η。012345678910！112131415 0＿」二〇ユO＿⊥〇五〇＿型工0. Bη1一芸. 30 42 30 66 2730. 。上のベルヌーイ数の定義式は，次の様に（B＋1）九十1の2項展開において砂をBたに 置き換えることにより得られる．. ｝一（・・1パを帷換える｝1）夙一・ 注意 以下，この論文では上のように矢印→を用いて式変形を説明することがある． ・定義2．1より，ベルヌーイ数は有理数である．. ・ηが3以上の奇数のとき，見＝0となることを，p．21，定理2．16で証明する．.
(11) 2．ベルヌーイ数 10 ベルヌーイ数の指数型母関数 次に，ベルヌーイ数の指数型母関数を定義するのであるが，まず母関数について整理し ておく．. ．複素数列αO，α1，α2，．．．．に対して，変数士の形式的な式（形式的べき級数） F（t）＝α。十α。t＋α。亡2＋α。t3＋・…・・. を複素数列αo，α1，α2，．．．から定まる母関数という．. ．形式的べき級数というときは単なる式であるが，母関数と言うときは，係数からなる 数列に重きをおくことになる、しかし，この論文では，特に両者を区別しない二とに する． ．複素数係数の，変数tの形式的ベキ級数全体のなす集合をC［［t］］と表す。 C［［t］］の2元F（t），G（t）. 州＝α。十α。t＋α。t2＋…， G（t）：う。十bユ1＋6．12＋…. に対して，多項式の場合と同様に，加法と乗法を次のように定める． F（t）十G（t）＝（αO＋60）十（α1＋61）t＋（α2＋b2）t2＋・・ F（1）・G（t）＝α。う。十（α。6。十α。b。）t＋（α。わ。十α。6ユ十α。わ。）t2＋…. この加法と乗法に関してC［［t］］は可換環になる．. より一般に，可換環Rの元を係数とする変数tの形式的ベキ級数全体のなす集合刷［f］］ は可換環になる（cf．［！，§1．31，［8，Chapter II，§21，［4，III．環，側3．61）．. ．複素数列αo，α1，α2，、．．．に対して，. 坐十里t＋竺士・十竺t・十。＿．． 0！ ！！ 2！ 3！. を複素数列αo，α1，α2，．．．から定まる指数型母関数という、ただし，O！＝1とする． ・複素数列1，1，1，．．．から定まる指数型母関数をE（t）とおく．. 1 1 1 1. 酬1・一t・可t2・莉t3・….
(12) 11. 2．ベルヌーイ数 亙（t）は，指数関数. 1 1 1 1. 。士＝一十一t＋一t2＋一戸十…… 0！ 11 2！ 3！. の“母関数版”，すなわち♂を形式的な士の式と見なしたものである． ・ベルヌーイ数から定まる指数型母関数をB（亡）とおく．. B2 B3 則一B・・B・t・可t2・可t3・・… ・C［［t11の元H（t）に対して，H（t）G（t）：！をみたすG（t）∈C［［t］］が存在するとき，. 〃（t）は可逆であるという．また，G（t）をH（t）の逆元といい，. 1 G（1）＝ H（士）. と表す、例えば 1. （1−t）（1＋t＋t2＋t3＋ ）＝1＝＞ 一1＋t＋t2＋f3＋ 1−t である．. 補題2．2C［［t］］の元∬（士）：αo＋α1t＋＿はαo≠0をみたせば，可逆である。. 【証明】. 逆元G（亡）が存在することを示す． G（t）＝b。十6．f＋6．t2＋・・. の係数を. 1 わ0：一 αO. ト÷（α・1・） ?iα11・・α・1・） ・・一一 ?iα・1・・α・1・・α・1・）. ・・一一. をみたすように，順に定めればH（t）G（t）＝1が成り立つ．. 一.
(13) 12. 2．ベルヌーイ数 ・亙（士）＿1は定数項がOであるが，. 酬一1一三。三t。ユt・。. （2．1）. 亡 1！ 2！ 3！. は定数項が1となるので，亙（与■1は可逆である以下， （町1−1）’1一亙（士1．1. と表す．. 命題…（帥）一1）（亙（、1、、）一1. 【証明】 式（2．1）より. 万（t）一1−1（卵1■1）. であるから，. （則一）（亙（之チ．1）一t（亙（午！）（、（、1．1）一t. が得られる． ■ t. ・ は，亙（t）一1倍してtになる母関数であると考えられる. 帥）一1. ．一 ﾊに，母関数F（オ）≠0，G（t）に対して，F（t）H（t）＝G（士）を満たす∬（t）が存在す るとき，. G（t） H（t）： F（t）. と表すことにする． ．・（士）が可逆であれば任意の・（t）に対して，G（t）が存在して， F（亡）. G（t） 1. ＝G（士）・ F（士） F（士）. が成り立っ1 定理…母関数・（t）≠・，・（1）1こ対して省は必ずしも存在するわけで1まないが， もし存在すれば一意に定まる、.
(14) 13. 2．ベルヌーイ数 【証明】 F（t）H1（亡）＝F（亡）H2（t）＝G（t）とすると，F（t）（〃1（t）一H2（t））＝O. となる．∬1（士）＿∬2（t）≠Oとして，Oでない最小次数の係数を6kとする、F（t）. のOでない最小次数の係数がαゼならば F（f）＝α〆十αゼ。。〆十ユ十…，H。（t）一H。（f）＝ぴ十わた。。f用十…. と表されるので， F（1）（H・（t）一H・（t））一α16・t舳十（軌。・十叫・う・）t舳十1＋…≠0. となり矛盾が生じる．ゆえに∬1（士）＝H2（t）が成り立つ． ■ t 定理2．5B（t）＝. 帥）一1. が成り立つ、. 【証明】 E（考．1はE（t）一1倍してtになる母関数であるから， （亙（亡）一1）B（士）＝f. を示せばよいが，そのためには （卵1■1）・（t）一1 を示せばよい．ここで. Bユ B2 B3. 帥）一B・・Tt・丁12・ず3＋・・. 帥）一1 t士2. ＝1＋一十一十… 士 2！ 3！. であるから. （卵1一ユ）咋…（争・争）t・（争・、字1，・鳥）12 ・（争・晶・晶・鳥）t3・ となるが，tた一1の係数は. BO B1 B2 ＋ ＋. ん！（ん一1）川 （ん一2）！2！. 夙一2 夙一1. 十… 十 ＋ 2！（ん一1）！1！（ん一1）！. 一点（（1）・・十（1）・…（1）・……・（ん12）・た一・・（ん11）・た一・） となり，定義2．！より，ん≧2のときは0となる．従って，ん≧2のとき，亡k■1の. 係数はOである．よって （即1−1）・（t）一1. が示された．. ■.
(15) 14. 2．ベルヌーイ数. 2．2 ベルヌーイ数とスターリング数 まず，第2種スターリング数の組合せ論的な定義を与える．なお，この論文では，単に スターリング数といえば，第2種スターリング数を意味するものとする．. 定義2．6（（第2種）スターリング数）整数m，η＞Oに対して，η個の元からなる集合 を，m個の空でない部分集合に公害I」する方法の総数を（第2種）スターリング数といい， ｛二｝と表す・. ・言い換えれば，｛二｝はη個の元からなる集合から，m個の元からなる集合への全射 の総数をm！で割ったものに一致する． ・η＜mのときは，このような公害1」はあり得ないので，｛二｝＝Oである・. 命題2．7η≧1，m≧2のとき，次の等式が成り立つ．. ｛∵｝一｛、二1｝・・｛二｝. （2．2）. 【証明】 几＜mのときは明らかに成り立つので，η≧mの場合について示 す．この場合，式（2．2）の3つのスターリング数は，定義2．6で述べた公害1」の総数. を表す．ここで，九十1個の集合の中の1つの元に注目する．その元1個で公害1」. の1つの集合をなす場合は，残りのη元をm＿1個の部分集合に分割する方法 の総数，｛m二1｝通りである。そうでない場合は，η個の元のm個の部分集合へ の公害1」の，いずれかにおいて，その1個を，w1個の部分集合の1つに加えること. により得られる。従って，この場合の総数はm｛二｝通りである．これらの和が. ／几よ1／になることから，式（1．2）が得られる． ■ 定義2．8（スターリング数の拡張）次のように定め，スターリング数｛二｝をη，m≧0 の範囲に拡張する． （1）｛3｝＝1 （2）｛言｝一｛二｝一〇（η，m・O）. ・定義2．8より，命題2．7はm＝1のときも成り立つ．また，η＝0のときも成り立つ． 従って，命題217は次のように拡張される．.
(16) 15. 2．ベルヌーイ数 定理2．9η≧O，m≧1のとき，次の等式が成り立つ．. ／∵｝一｛、二1｝・・｛二｝. （2．3）. 注意：整数η，m≧Oに対して定義された｛二｝で，定義2．8の（1），（2）と，式（2．3）をみたす. ものが一意に定まること，従って，上で定めたスターリング数に一致することを注意 しておく． ．定義2．8の（1），（2）と，式（2．3）のみを仮定して，｛二｝をすべての整数仏mに対して. 定義することができるが，本論文では，η，m≧Oの場合のみで十分である．. ・η次の置換は巡回置換の積として表されるが，m個の巡回置換の積として表される n次置換の総数を［二1と表して，第1種スターリング数という、. ●η＜mのときは［二1＝Oと定める．. 命題2．1Oη≧1，㎜≧2のとき，次の等式が成り立つ1. ［∵1一［、二11・η「幻. （2．4）. 【証明】 n＜mのときは明らかに成り立つので，η≧㎜の場合について示 す．この場合，式（2．4）の3つの第1種スターリング数は，定義2．11で述べた置. 換の総数を表す．ここで，η十1個の文字の中の1つの文字に注目する．その文. 字1個で1つの巡回置換をなす場合は，残りのη文字をm＿1個の巡回置換に 分解する方法の総数，［m二11通りである。そうでない場合は，η個の文字のm 個の巡回置換への分解の，いずれかの巡回置換にその文字を加えることになる が，それらは，その文字を他のη文字のいずれに移すのかにより，η通りの場 合がある．従って，この場合の総数はη［二1通りである．これらの和が1冊よ11に. なることから，式（2．4）が得られる． ■. 定義2．11（第1種スターリング数の拡張）次のように定め，スターリング数 ［二］ をη，m≧Oの範囲に拡張する． （1）［：1＝！. （2）［報一［二／−O（η，㎜・O）.
(17) 16. 2．ベルヌーイ数. ・定義2111より，命題2．10は㎜＝1のときも成り立つ．また，n＝oのときも成り立 つ．従って，第1種スターリング数は式（2．4）をみたすように，η，m≧0の範囲に拡 張できる．. 4章，§4．1でクラウゼン・フォシシェタウトの定理を証明するために必要となる関係式を導. く．ただし，Oo＝1と定めることにする1 定理2．12η，m≧Oのとき，次の等式が成り立つ．. ｛二／一（ギ‡（一1ソ（7γ. 【証明】. ㎞一（ M‡（一！小1お／，. （1）α。，。＝1. （2）αη，o＝α。，m＝O （η，m＞0） （3）α叶、，㎜＝α。，m一。十mα几，m. が成り立つことを示せば，定理2．9の後の注意より，α、，m＝｛二｝であることが わかる1（1）については，. ∼」｛）o（一1山一1 より，成り立つ．次に（2）を示す、η≧1，m＝Oのときは，. ∼一（ o）o（一1）・（：）㏄一・ より，成り立つ．几＝0，γπ≧1のときは. 伽一（れ（一1廿一（ギ（1−1）・一・ より成り立つ．（3）については，. ｝・∼一. P元｝（一1ザ）・・（÷1）寺1心. ここで，（㌃1）＝Oより，. 一1★書（一1／（（㌃1）一（∵））κ.
(18) 17. 2．ベルヌーイ数 （ml−1）十（ザ“）＝（7）より，. 一｝ξ（一1／（一（7小 一1号1㌦‡（一1／（一÷）（7）グ. ー（. ¥書（一1／（7）川. ＝αη十1，m. より，成り立つ。ゆえに，α、，m＝｛二｝が示された．. ■. 補題2．13スターリング数について，次の多項式としての等式が成り立つ．ただし， m≧1のときは（z）m＝”（π一1）…（”一㎜十！），m＝Oのときは（”）o＝1と定める．. ガー倉／ル）・ （・・） レルー（一1ゾξ（一1）・［ル （・・）. 【証明】 式（25）については，正整数4＞ηを任意に選び，η個の元からなる. 集合から，4個の元からなる集合への写像の総数を2通りに数える．η個の元 からなる集合の各元の像がゼ通りであると考えると，その総数は〃通りとな る、一方，写像の像が㎜個の元からなる場合は，九個の元からなる集合を，空 でないm個に分割し，それらの像の選び方が（∼）㎜通りあるので，. ／ル）・ 通りとなる．これらをmについて加えればよいので，等式 ・一着／二／（・）・. が得られる．この等式は無数の∼について成り立つので，式（2．5）は恒等式，す. なわち，すべての係数が一致する多項式としての等式となる．式（2．6）につい ては，. 冗. （・）η＝Σ（一1）市6η，m工m. m：O.
(19) 18. 2．ベルヌーイ数 とおき，わ。，mが，定義2，11の（1），（2）と式（2．4）をみたすことを示せばよい．η＝. m＝00）ときは （・）。＝（一1｛，。・o⇒わ。，。一！. より，成り立つ。η＜mのときは6η，mの定め方から，bη，m＝Oとなる．従っ てbo，m＝O（m≧1）が成り立つ。また，（z）ηの定数項が0であることから， 6几，o＝0（η≧1）が得られる．式（2．4）については， （”）九十1＝（Z）パ（Z一η）. の両辺のバの係数を比較すると （1＿）九十1＋m6、斗1，m＝（一1）九十m■16れ，m．1＋（＿1）叶m6、，m（＿η）. より 6n＋1，m＝う几、m＿1＋肋几，m ■. が得られる．. 補題2．14次の等式が成り立つ。ただし，δm，几はクロネッカーの記号である．. 喜（一1）州∴1一（一1）ml…. 【証明】. 式（2．5），（2．6）より. 〆一ξωレ）1 一着／1／（倉（一1片・［∴1つ k 一幕（（一！）糾m／l／［∴1・・） 一ξξ（（一1）た十m｛2｝「小m）. ［よ1＝0＝（ん＜m）に注意すれば，. 一着古（（一1）叶・｛バ1）ゴ. （2．7）.
(20) 19. 2．ベルヌーイ数 となるので，”の係数を比較して，. （一1）・書（（一1州［二1）一㌦・. を得る．. ■. 注意 母関数∬（士），G（オ）∈C［［t11が. 卯）＝α。十α。t＋α。t2＋… G（t）＝う。1＋b．t2＋…. と与えられれ，G（t）の定数項がOのときは H（G（t））＝α・十α1G（t）十α・G（t）2＋…. において，定数項，f，t2ゾ．．と各項の係数が順次定まり，一つの母関数が得られる．す. なわち，定数項が0の母関数を他の母関数に代入することにより，新しい母関数が得 られる． ・母関数ム（f）を次式で定義する．. 。。〆 t2 t3. L（t）一Στ一1＋す十百十 た＝1 ム（t）は対数関数. 。。〆 t2 亡3 −1・・（1−t）一Σ…・す・百・ ん＝ユ の“母関数版”である． ・次の等式が，それぞれ，補題2．15，補題2．！7の証明で用いられる．. た！. ・㌧Σ 、、1、、1、、1 （・・） r1＋r2＋…十rm斗. ／二／一÷Σ、1り，ん！㌦1 （・・） r｛≧1. r1＋r2＋…十rm＝た 式（2．8）の右辺は，ん個のものを，r1個，．．．，rm個の部分集合に分ける分け方の総数で. あるから，ん個の元からなる集合から，m個の元からなる集合への写像の総数と一 致し，mkとなる．式（2．9）の右辺は，ん個のものをr1個，．．．，rm個の空でない部分集. 合に分け，それらの並び換えを無視したものの和であるから，｛よ｝に一致する．.
(21) 20. 2．ベルヌーイ数 補題2．15ム（1−E（亡））＝一士が成り立つ。. 1一亙（亡）は定数項がOであるから，上の注意より，他の母関数に代. 【証明】. 入できる．. 1一万（ト（t・ξ・募十…） であることから ム（1一五（1））十1）（1・ξ・ξ・… ）・（≒）2（1・募・ξ・）2・. となる．右辺の士の係数は＿1である．ん≧2に対して，右辺の沙の係数を計 算する、（1一五（士））mにおける沙の係数は. （÷（∴㌧W■ 一げ半一十∴＿州. ■. 一夫（一1）・（m−1）！｛二｝. となる．従って，右辺の沙の係数は 為 沽（一1）・（・一1）！｛二｝. となるが，これは，式（2．7）で，ηをんに，んをmに，mを1に置き換えたも. のを1／ん！倍したものに一致するので，ん≠1のとき0，ん：1のとき＿1とな る．よってム（1一五（f））＝一士が成り立つ。 ■. B2k＋1＝O（k≧1）の証明 こ二で，ん≧1のとき，B2た十1＝0であることを導くことにする． ・母関数G（t）／H（t），H（亡）≠Oと母関数F（尤）≠0に対して次式の成り立つことが容易 にわかる（証明暗）． G（t） G（f）・F（士）. @ （210） H（士） ∬（亡）・F（t） 一＝.
(22) 21. 2．ベルヌーイ数 ．亙（αt）亙（胱）：亙（αt＋わt）が2項係数の等式から導かれる．これより次が得られる。. 帥）E（一t）＝1 （2．11） 定理2．16B2先十1＝0（ん≧1）が成り立つ。 【証明】 定理2．5より， 士 帥）＝ 亙（士）一1 が成り立つ．式（2．10），式（2．11）を適用すると. ㍑（イ）. B（t）＝ ＝ 亙（t）亙（一t）一E（一t）. π（一t） 1一亙（一亡）. 一（万（｛1．、）亙（一t）一・（一t）五H）. ＝B（一f）（亙（一t）上1）十B（一f）. ＝一. S十B（一t）. が得られ，これより B（亡）一B（一t）＝一t. （2．12）. が導かれる．. 帥）一・・…t・争t・・等1・… であることを想起すれば，式（2・12）の両辺の係数を比較することにより、ん≧1. のとき，B2ん十1＝0が得られる． 一 次の補題はp．21で述べた等式〃（αt）万（胱）＝亙（αt＋うf）から導かれる・. 補題2・17整数m≧Oに対して，亙（mt）＝亙（t）mが成り立つ・. 定理・…（卵 P11）m一ξ／二／÷が成／立一. 【証明】. 定理2．12より，. ξ／出一書｛出一着（（ギξ（一1／（7川讐 一（ギ‡（（一・／（7）（書手））. 一（ギ暮（一1中）叩）.
(23) 22. 2．ベルヌーイ数 ここで，補題2．17を用いると，. 一（ギξ（一1／（∵）州 （一1）m ： （1一亙（f））m m！ （E（t）一1）m. m！ となるので，定理2．18が示された．. ■. 定理2．19η≧Oのとき，次の等式が成り立つ．. み一之（一1÷半｝ ηユ＝O. 【証明】 定理25，補題215より， 。。 tη 士 一t L（1−E（t））. 州＝看∼＝帥）一1：1一・（t）＝1一印） が得られる．従って. 帥）一ム1｝））一倉（1一等））…一ξ（1書m 一三（一・）・（等幸÷）m 肌＝O ここで，定理2．18より，. 一ξ（一1）・一！（ξ／川. 一ξ（倉H÷半｝）÷ となるので，係数を比較すればよい．. ■.
(24) 3章 ベルヌーイ多項式 3章では，ベルヌーイ数に深く関わるベルヌーイ多項式について考察する．1705. 年にJacobBemou11iによって発見されたといわれるベルヌーイ多項式には，5 通りの定義がある．Bemou11i自身以外に，Eu1er（1738），Appe11（1832），Hurwitz （1890），Lucas（1891）によるものである。1851年，Raabe［71は，ベルヌーイ多項. 式についての一つの等式を見いだした．1988年，D．H．Lehmer／6］はRaabeの 等式を用いてベルヌーイ多項式を定義できることを示した、この章ではLehmer. の方法でベルヌーイ多項式を定義し，それが旧来の5通りの定義と同義である ことを示す．. 3．1 ベルヌーイ多項式の5通りの定義 以下，η次のベルヌ」イ多項式をB、（z）と表すことにする．まず，ベルヌ」イ多項式の 最初の5個をあけておく（後述のどの定義に従っても同じである）． B。（工）＝1. 1 B1（T）＝π一一 2 1 B。（・）＝・2一・十一. 6 3 1 B。（・）＝・3一一㏄2＋一π 2 2 1 B。（・）＝π4−2・3＋・2一一 30. ． 5， 53 1 B5（工）＝Z一一Z＋一”一一Z 2 3 6 ・見（O）＝8ηである（後で導く）．. 23.
(25) 24. 3．ベルヌーイ多項式 定義3．1（Bemou11iの定義）Bo（z）＝1として，η≧1に対しては次の等式をみたす ようにB。（”）を定める。ただし，8。（0）：Bれとする。. ル（・）一印））一シ. 定義3．2（Eu1erの定義）次の母関数の等式をみたすように，B。（”）を定める．. ξ半”一芸㌍）1. 定義3．3（Appe11の定義）3o（”）＝ユ，B、（O）＝B。として，次式をみたすようにBル） を定める．. 1 d. Bれ一・（・）＝万石B几（π）. 定義3．4（H廿rwitzの定義）Bo（”）：1として，η〉Oのときは，O＜π＜1で次の等 式が成り立つように，多項式B刊（”）を定める。 1！ 。。ε2πi・皿 Bη（・）一（。、、）“、・ r一一〇〇. ・H廿rwitzの定義式の右辺の無限和はp，7と同様に，Oでない整数すべてにわたる和で ある．. ・H廿rwitzの定義式の右辺が多項式であることは自明でない．. 定義3．5（Lucasの定義）次式の右辺の2項展開で，. 砂→Bたと置き換えた式を. Bη（”）と定める、. Bn（z）＝（3＋z）几. ・Lucasの定義で82（エ）を求めると次のようになる、. ・・（1）一（・十1）・一・・…1・1・畑に置き換える・・・…1・12−1−1＋・.
(26) 25. 3．ベルヌーイ多項式. 3．2 1Lehmerによるベルヌーイ多項式の定義 定義3．6（Lehmerの定義）整数η≧0を任意に一っ定める．このとき，すべての整 数m〉0に対して次の等式をみたすモニックη次多項式∫（z），が一意に存在する。 m−1 ÷暮小・去）一州（㎜） （・・）. ∫（z）をベルヌーイ多項式と定義し，B。（z）と表す．. ・最高次係数が1の多項式をモニック多項式という． ・Lehemerの定義では，まず，式（Ra）をみたすモニックη次多項式が一意に存在する ことを示さなければならない．. 補題3．7（存在性）η≧0，m＞Oに対して， m−1 傘小・去）一川’（㎜ω）. を満たすη次多項式∫（z）が存在する．. 【証明】 η＝Oのときは∫（z）＝1とすれば式（Ra）をみたす．以下，η≧1と する．. m＝1のとき，任意のη次多項式プ（π）が，（左辺）＝ア（π）：（右辺）となり，式. （Ra）をみたす．次に，㎜＞1として，η次多項式ん（z）を 几. 小）一Σα。・肌一「一α・・η・α1・η一ユ・・…α几（α・一・）. r＝O とおく．このとき，式（Ra）の左辺は. シ←・缶）一章小・缶ジ ‡シ（誉一（÷）で川. 一章巾ザ｝いが）. （R・）.
(27) 26. 3．ベルヌーイ多項式 となることから，. 店小・去）一シ（善ポい叶小（・）） と表される．ただし m−1 3λ（m）＝Σんλ 此＝O である．ここで，4＝r＋λとおくと，λ：4−rであり， O＜λ＜η一r ＝＝＝＞ r＜4＜η であることに注意すると，. 与←・壬）一ξ一（ンペll）ポ（・）） 一一シベll）ポ（・）） と変形できる。一方，式（Ra）の右辺は η η. m1れん（m・）一バΣα川几川㌦卜㌧Σ榊■㌦n■乏 ゼ＝O 乏＝0. となる．式（Ra）が成り立つためには， 老. 書パ’（lll）・…（・）一パ（・…η） が成り立つことが必要十分である．これは， 乏一1. 書パH（1二1）ポ（・）・＾（・）一ψ…. （O≦∼≦η）. より， 4−1. 書バH（1二1）㌧（・）一生L1）. （O≦4≦η） （3．1）. とも同値である1従って，αoを定めれば，m〉1であるから，順次，α1，α2，．．．と. 係数が定まり，式（Ra）をみたす多項式ん（”）が得られる．よって，m〉1の場. 合も，式（Ra）をみたす多項式の存在が示された1 ■.
(28) 27. 3．ベルヌーイ多項式. 注意：補題317で示されたことは，与えられた整数几≧0，m〉0に対して，式（Ra）をみた. すη次多項式が存在するということであり，n次多項式で，すべての整数m＞0に 対して，式（Ra）をみたすものの存在が示されたわけではない（以下において，その存 在を示すのであるが）．. 補題3．8（一意性）η次モニック多項式で，ある整数m＞1に対して次式をみだすも のは唯一つである、. m−1. ÷喜小・去）一パ畑） （・・）. 【証明】 補題の等式を満たすη次モニック多項式P（”），Q（”）で，P（”）≠ρ（”）. なるものが存在したと仮定する． △（・）＝P（・）一ρ（・）＝加d＋λ、・d■1＋・・. （ん≠0）. とおく．このとき，. m−1 “・←・÷）一パ・（・π）. が成り立つので，戸の係数を比較すると， λ。：λ。md■n. が得られる．これは，m＞1，∂＜ηに矛盾する．ゆえに，補題の等式を満たすモ. ニックη次多項式は唯一つである． ■. 定義3．9補題3．8により，η次モニック多項式で，ある整数m〉1に対して式（Ra）を みだすものは唯一つである．以下，これをん，㎜（z）と表す．. ・モニックという条件から，すべてのm＞0に対して，∫o，m（z）＝1である。 ・∫1，mは1次モニック多項式であるから プ1，m（z）＝z＋0 （0は定数）. と表すことができる．式（Ra）より， γn−1 ソー（・・）一馬・・）.
(29) 3．ベルヌーイ多項式 が成り立つ．これより，. m−1 1 ＋mσ＝0 ＝⇒・0＝一一 2 2. が得られるので，mに関係なく， 1 ！1、丁ル）＝・一一 （γγ1＝1，2，．．．） 2 が成り立つ．. ．以下，2次以上の場合についてもム，m（”）がmによらないことを示そう．. 補題3・1Oη≧1，m＞1に対して定まるん，m（π）について，次の等式が成り立つ．. 1d プ帆一ユ，m（”）＝一一∫几，m（z） η、伽. 【証明】 式（Ra）より，次の等式が成り立つ．. m−1 傘ん小・÷）一パん・（㎜）. 両辺を”について微分すると， m一ユ. ÷｝ん小・去）一一）μ・（㎜） が得られる．両辺の最高次の係数はηであるから，両辺をηで割ると， m−1. ÷喜去㍍小・壬）一バH去μ・（㎜） となり，去去ん、m（”）はモニックη＿1次多項式で，式（Ra）をみたす．m〉1 より，補題3．8が適用できるので，. 1d ∫几＿1，m（Z）＝一一∫帆，m（π） η伽. が成り立つ． ■ 補題3．11η≧1，m＞1に対して定まるん，m（”）は，次式をみたす． ア、，m（π十1）一プ几，m（”）＝肌れ■1. 28.
(30) 29. 3．ベルヌーイ多項式 【証明】 ηについての帰納法で示す．γ1＝1のとき，. 1 ∫1，m（工）＝”一一 2 ．であるから，. 汽・（叶1）一｝一（・・1）一1＋；）一1−1・・o より，成り立つ．次に，η＝ん（た≧1）のときは等式が成り立つと仮定して， η＝ん十1のときも成り立つことを示す。補題3．10より，ム，㎜（”）の原始関数は ｛∫ゐ十1，m（Z）であるから，. ん土1（＾・1・（工・1）一八…（1））一ブ∫紅・（1・！）批. ん÷1（｝）一ム・・一（・））一μ・（1）挑 となるので， ん土1（ム…（π・1）一・・ユー（・））一々十1（八・・一（1）一八・・一（・））. 一ブ（瓜・（t・1）一〃））批. 一ハハt一戸 が得られる．ここで，式（Ra）で”＝O，1／mとすると. m−1 ÷ト・（÷）イ（用）馬・） m−1 “㍍一（ん去1）一パ（州プ出（・）. となるので，. m−1. ÷ト・（去）一（バ岬｝）㎞・（・） m−！. ベルパ缶）一（バ（用L｛㎞・（／） を得るが，ん十1≧2より㎜■（k＋1Lm−1≠Oであるから， プ比。1，m（1）一∫糾。，m（0）：0 となり，. ∫k＋1，m（z＋1）一∫た十1，㎜（z）＝（た十1）ノ. が得られる．これより，ん十1の場合も成り立つことが示された．. ■.
(31) 3．ベルヌーイ多項式. 30. 定理3．12m＞！に対して定まる∫几，m（π）は，任意の整数∼≧1に対して，ア肌，ル）＝ ん、m（π）をみたす．. 【証明】 ηについての帰納法で示す η：0のときは，ともにモニック多項 式であるから， プ・，m（・）＝∫・，・（π）＝1. となり，成り立つ．次に，η＝んのとき成り立つと仮定する（ん≧O）． ∫た，m（”）＝∫k，ゼ（”）＝ノ十61ノ■1＋…十わん. とおく、補題3．10より，. d d 一九十1，m（”）＝（ん十1）ム，m（”）＝（ん斗1）爪，4（π）＝一＾十ユ，ゼ（”） 伽 伽 が得られる．これより，. ん十！ ∫為十／，m（z）＝”糾1＋ 61〆十 十（ん十1）6μ十伽十！ た ん十1 ∫烏十1，乏（・）＝・ん十’十 b。ノ十 十（ん十1）うμ十・烏。ユ ん と表され，再び補題3．10を用いると．. ん十2 （ん十2）（ん十！） 。 ∫た。。，m（π）＝工科2＋ 6〆十1＋ ＋ わμ十（ん十2）6。。1・十bた。。 ん 2 ノた十2，、（工）一ユ1・・。た十2・ユ”1・！。。（ん十2）（ん十1）1た、・。（ん。・）、拓十、ユ。、、十、. ん 2 を得る．補題3．11より， ∫失十・，m（1）一八十。ヨ肌（O）＝O， ∫為。・，1（1）一！・。・，1（O）＝0. となることから，. ん十2 （ん十2）（ん十1）. 0＝1＋ b。十 十 6。十（ん十2）ろ用 ん 2 ん十2 （ん十2）（ん十1）. 0＝1＋ 61＋＋ 6先十（ん十2）ck＋1 ん 2 が成り立つ．ゆえにわ為十1＝Ck＋1となり， プん。。，m（・）＝プ料ユ，ル）. が示された． I ．補題3．8と定理3．12により，Lehmerの定義（定義3．6）の条件を満たす多項式∫（π）の. 存在と一意性が示されたことになる．.
(32) 31. 3．ベルヌーイ多項式. 3．3 ベルヌーイ多項式の定義の同義性 ここでは，Lehmerの定義によるベルヌ」イ多項式が，他の5通りの定義から得られる ベルヌーイ多項式と一致することを示す．なお，この節では，Lehmerの定義によるベルヌー イ多項式をBη（”）と表すことにする．. Eu1erの定義と一致すること Eu1erの定義（定義3．2）によるベルヌーイ多項式をBη（”）と表すことにする。. Bη（”）. は母関数の等式. κ）1一書手’ で定義される．まずBη（z）がモニックn次多項式であることを，nについての帰納法で示 すことにする．等式. 帥t）一. i卵1−1）（汗；1）ボ）. の定数項を比較すると 1＝Bo（π） が得られるので，Bo（”）はモニックO次多項式である．次にBo（”），．。．，B。一1（π）については. 成り立つと仮定する．上式のtηの係数を比較すると，. ÷一半・（讐）（去）・（㌍旨！）（去）・・β・（・）（（、÷1），） となり，凪（z）はモニックη次多項式となるので，ηの場合も成り立つことが示された．以 上より，B。（”）はモニックη次多項式である（η＝O，1，2，．．一）。. 次に，見（”）がLehmerの定義の式（Ra）をみたすかどうか検証する．式（Ra）でm二2.
(33) 32. 3．ベルヌーイ多項式 とすると，. 1書（恥）・叶・占））÷一；亙（、1．1（酬・小・1）1）） 一；亙（、1．1（叩）・咋t・ξ））一鴉誓）1（1・五（ξ））. 一埼誓）1（÷三指）一1諸竺1 ξ亙（2・・ξ）. 亙（ξ）一1. 一シ（趾）÷（ξ）帆. となるので. 1（軌・叶・；））一夫ψ） が得られ， Bη（Z）＝∫。，。（π）. が成り立つ．定理3．12を適用すれば， Bη（”）＝∫・，η（”）＝Bル）. が得られる．. 定理3．13Bo（”）＝1，B几（O）＝B帆が成り立つ、. 【証明】 Bo（”）はモニックな定数であるから，Bo（z）＝1が成り立つまた，. Eu1erの定義式でz＝Oとして，定理2．5を適用すると. ン男）し。（、1．1一郎）一書㌣ となることから，係数を比較して 3几（O）：Bη（O）＝Bη が得られる．. ■.
(34) 33. 3．ベルヌーイ多項式. Bemou11iの定義と一致すること Bernou11iの定義（定義3．1）によるベルヌーイ多項式をBη（z）と表す．Bemou11iの定 義が一意的にBη（z）を定めることを注意しておく．Lehmerの定義によるB。（z）は，定理 3．13より，. B。（π）＝1， B。（O）＝B。 をみたす．また，補題3−11より，η≧1のとき，次の等式が成り立つ． B、（z＋1）一Bη（π）＝η〆一1 これより. 去（瓦（m）一瓦（m−1））一（m−1）一1 1（氏（・一1）一風（・一・））一（・一・）一1. 1（瓦（1）一風（・））一ザ1. が得られる（0o＝1である）．従って. m−1 1（瓦（一）一氏（・））一ピ. となるので，BemouI1iの定義をみたす．ゆえに， 3η（”）＝Bn（”） が成り立つ．. Appe11の定義と一致すること Appe11の定義（定義3．3）によるベルヌーイ多項式をB。（”）とする．Appe11の定義の 条件が一意的にB。（z）を定めることを注意しておく．Lehmerの定義によるB几（”）は，. B。（0）＝B。 をみたす．また，補題3．10より. ＿ 1d＿ B・一・（”）＝言万B・（π）.
(35) 34. 3．ベルヌーイ多項式 をみたすので， 瓦（”）＝Bn（”）. が成り立つ．. Lucasの定義と一致すること Lucasの定義（定義3．5）によるベルヌーイ多項式をB。（エ）とする．Lucasの定義が一意 的に8。（z）を定めることは明らかである．Lehmerの定義による3几（”）は，定理3．13より，. Bη（0）＝Bれ をみたす．また，補題3．10より. ∼ 1d∼ 8トユ（π）＝一一Bル） （3．2） η伽 が成り立っ1ここで ∼ が∼ 帥（・）＝πBη（・） とおき，式（3．2）を繰り返し適用すると. 一 ！− B几＿1（”）＝一風1）（Z）. η. 一 1 − B九一。（τ）： 3￡2）（・）. 小一1）. ∼ 1 B帆．。（∬）一 即（・） 小一！）（η一2）. 広一州一（ 烽Pん）1珊）（π） となるので，. 榊）一ん！（z）ポ・（・）. を得る．一方，Bη（z）をマクローリン展開し，式（3．3）を代入すると. 恥）一. ?禛ﾌ1（O）ぺ（1ト（・）づ（1）㍑. が得られる．ここで. 吉（1）｝. Bπ＿庄→B兀■k. （3＋z）η. （3．3）.
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