分布定数回路
(
伝送線路)
とは立体回路
分布定数回路
集中定数回路
v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)
電圧、電流は回路部品内での 位置には依存しない v(t), i(t)
Maxwell 方程式を解かなけれ
ばならない ( 電磁気学の範 疇 )
E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)
本章で扱う分布定数回路 ( 伝送線路 )
これまでの章で扱ってきた回路 λ
x λ
y z
x, y, z ≥ λ
y z x
x, y, z, d, l≪λ λ
l d l d
d≪λ l ≥ λ
電圧、電流は線路上の位置 に依存 v(z, t), i(z, t)TEM 波 電圧 ( 電界 ) 、電流 ( 磁界 ) は回路内の位置に依存
波長 λ = c/f c: 光速度、 f: 周波数 c = 約 3×108 m/s なので、
f = 50Hz では λ = 6,000 km f = 3GHz では λ = 10 cm
TE, TM 波
伝送線路
(
分布定数回 路)
x=0
ZL 受電端 送電端
E
C G
R L
R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m) Δx x
i
v v+Δv
i+Δi R Δx L Δx
C Δx G Δx
Δx v+Δv
i+Δi i
v
微小区間の等価回路
線路の伝送方程 式
) / (
} / ) (
{ )
(
t v x C v x G i
t i i x L i i x R v
伝送路微小区間 Δx の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、
t C v x Gv
i
t i L i
i i x R
v
( )
) 従って、 (
t C v x Gv
i x
i
t L i x Ri
v x
v
x x
0 0
lim
lim 伝送の
基礎方程式 v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t)
2 2 2
2
2 2 2
2
) (
) (
t LC i t
GL i RC
x RGi i
t LC v t
GL v RC
x RGv v
電信方程式あるいは伝送方程式 基礎方程式第 1 式の両辺を x について微分し、第 2 式と以下の関係式より、
x t i x
t i t i i x
t i
x
x
/ ) lim (
/ ) lim (
) (
0 0
電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。
電圧 ( 電流 ) が波動として伝送線路を 伝搬していく様子を表す波動方程式の 一種
伝送方程式の定常 解
t j x
t j x
e I x t i
e V x
t v
) , (
) , (
v(t, x), i(t, x) 正弦波交流 ( 高周波 ) の場合を考えると、
ここここ : 角周波数
Vx, Ix は位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない ( つまり、変数分離できる ) とする この仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない
伝送の基礎方程式に当てはめると、
x x
x
x x
x
yV V
C j dx G
dI
zI I
L j dx R
dV
) (
) (
x x
x x
dx zyI I d
dx zyV V d
2 2
2 2
波動方程式を得る と表せる
ただし、 R + jL = z, G + jC = y と置いた
上式より、
式 (8.8)
( 電信方程式からも直接導出できる )
波動方程式の 解
x zy x
zy x
x zy x
zy x
e I e
I I
e V e
V V
0 0
0 0
波動方程式の一般解
0 0 0
0 ,V , I , I
V は積分定数
この一般解を式 (8.8) の第 2 式に代入すると、
y z V
I y z V
I0 0 / , 0 0 /
x x
x
x x
x
Z e e V
Z I V
e V e
V V
0 0 0
0
0 0
y z Z
yz
j
, 0
Z0: 特性インピーダンス 単位 : オーム () 従って、
ここで、
: 伝搬定数
: 減衰定数 単位 : ネーパ (Np)
: 位相定数 単位 : ラジアン (rad)
波長 λ = 2π / 周期 T =1/f = 2π /
, Z0 は、伝送線路を特徴づけ ることから、線路の二次定数 というこれに対して R, G, L, C は、
線路の一次定数という
線路の一次定数と二次定 数
一 次 定 数 ( 実数 )
R (/m) L (/m) C (F/m) G (S/m) 二
次 定 数
( 複素数 )
) )(
(R j L G j C
j
γ = α + jβ
伝搬定数
特性インピーダンス Z0 ()
減衰定数 (Np)位相定数 (rad)
一次定数と二次定数との関係式
C j G
L j Z R
0
伝送線路を特徴付けるパラメータには、線路の一次定数と二次定数とがある
波の伝搬
) (
0 ) 0
( 0
0 0
0 0
0
) (
0 ) (
0 0
0
x t j x x
t j x t
j x t
j x t
j x
x t j x x
t j x t
j x t
j x t
j x
e Z e
e V Z e
e V Z e
e V Z e
e V I
e e V e
e V e
e V e
e V e
V
時間依存因子 ejt を含む伝送式
ej(t±x) は、∓x 方向に進む角周波数 , 位相定数 の正弦波を表す
x
何故なら、 ej(t±x) =cos(t±x)+j sin(t±x)
e x
V0は波の振幅を表し、 >0 (<0) なら、 x が増大する方向に振幅が増大 ( 減少 ) する
x
) ( vp
vp: 位相速度 ここで、
d vg d 因みに、波の包絡線 の形状が伝わる速度 を群速度 : vg という
波の伝( 搬) 0
) (
0
x t j x x
t j x t
j
xe V e e V e e
V
−x 方向 ( つまり、送電端から受電端の方向 ) に位相速度 ω/ こ進む波 ( 進 行波 ) で、 α >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく 電圧波+x 方向 ( つまり、受電端から送電端の方向 ) に位相速度 ω/ こ進む波 ( 進 行波 ) で、 α >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく 電圧波
)}
( ) 1 {(
) 1 (
) (
) (
) (
) (
0 0
反射電圧波 入射電圧波
反射電流波 入射電流波
反射電圧波 入射電圧波
V Z Z V
I I I
V V
V
x x
x x x
x x
x
0 0 0
0 0 0
0 0
, ,
Z e e V
I Z I
e e V
I I
e V V
e V V
x x
x x
x x
x x
x x
ZL 受電端 送電端
E
x
入射波 反射波
ただし、
x x
x V V
I Z0
線路上での電圧と電 流
x x
x
x x
x
e I Z Z V
e I Z Z V
I
e I Z V e
I Z V V
) 2 (
) 1 2 (
1
) 2(
) 1 2(
1
0 0 0
0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
ZL 受電端 送電端
E
l
V0 I0
線路上の任意の点 x での電圧と電流を、受電端電圧と電流 V0 および I0 で表すと、
Vx Ix
x x = 0
線路上の任意の点 x での電圧 Vx 、電流 Ix は、前頁の式より
0 0
0 0
0 0
0 0
2 2
V I
Z V
V I
Z
V 従って、
0 0 0
0
0 0 0
0
2 1 2 1
I Z V V
I Z V V
0 0
0 0
0 0
0
V V
I Z
V V
V
であった。
x x
x
x x
x
V V
I Z
V V
V
0
従って、受電端 x = 0 での電圧 V0 、電流 I0 は、
左式で、右辺の第 1 項は入射波を 第 2 項は反射波を表わす
線路の縦続行 列
x x
x
x x
x
e I Z Z V
e I Z Z V
I
e I Z V e
I Z V V
) 2 (
) 1 2 (
1
) 2(
) 1 2(
1
0 0 0
0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
x I
Z x I V
x I
Z x V
V
x x
cosh sinh
sinh cosh
0 0
0
0 0 0
l Z l
l Z
l D
C B A
cosh 1 sinh
sinh cosh
0
0
従って、特性インピーダンス Z0, 長さ l の線路に対する F 行列は、
ZL 受電端 送電端
E
l 送電端
E ZL
受電端
D C
B V0 A
I0
) 2(
sinh 1
) 2(
cosh 1
x x
x x
e e
x
e e
x
左式に双曲線関数の公式
を適用すると、
D A
線路は相反 ( 可逆 ) 回路 Vx
Ix
x x=0
1 sinh
cosh2 2
BC l l
AD
線路は対称 線路上の任意の点 x での電圧と電流
が得られる
0 0
0
0
cosh 1 sinh
sinh cosh
I V x
Z x
x Z
x I
V
x
x
演習問題
8.17
l Z l
l Z
l D
C B A
cosh 1 sinh
sinh cosh
0
0
特性インピーダンス Z0, 伝搬定数 , 長さ l の線路に対応する F 行列は、
l l l AD
BC
tanh cosh
sinh
2
2
従って、線路は相反 ( 可逆 ) D
C B A l
Z0
1 sinh
cosh2 2
BC l l
AD
式 (8.26) p.170
0 2
0 Z
C Z
B
受電端を開放 (I0 = 0) した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方 を見た入力インピーダンス Zf は、
l
Z0 V0
I0=0
x =0 x
Zf
cosh 0 1 sinh
sinh cosh
0
0
0 V
x Z x
x Z
x I
V
x
x
受電端を短絡 (V0 = 0) した線路で、受電端からの距離 x の点から受電端の方 を見た入力インピーダンス ZS は、
l Z0
I0 V0=0
x =0 x
ZS
0 0
0 0
cosh 1 sinh
sinh cosh
x I Z x
x Z
x I
V
x
x
演習問題
x Z
Z x
x I
Z V
x I x
f
coth
1 sinh cosh
0
0
0 0
よって、
x x Z
x Z
I Z V
x V x
S
tanh
cosh sinh
0 0
0 0
よって、
0 2
0 Z
Z Z
ZS f x x
Z Z
f
S tanh2 tanh
受電端に負荷 ZL を接続したときの、受電端からの距離 x の点から負荷の 方を見た入力インピーダンス Zin は、
0 0
0
0
cosh 1 sinh
sinh cosh
I V x
Z x
x Z
x I
V
x
x
演習問題
L f
L S
f L
L L
L
L L
L L I
Z x V x in
Z Z
Z Z
Z Z
x Z
Z x Z
x Z
x Z
Z
x Z x
x Z Z x
x Z
Z
x Z
x x Z
Z x
Z x Z
x Z
x Z
I Z V
L
) (
coth
) tanh
( coth coth
cosh ) ( sinh
sinh cosh
coth
) sinh cosh
sinh (
cosh sinh
sinh cosh
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0
0 0
よって、
0
0 Z I
V L l
Z0
I0 V0 x x =0
Zin ZL
演習問題
2. 全長 400km の線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端か
ら見たインピーダンスの値が j250Ω 、また受電端を開放した場合
、送電端から見たアドミタンスの値が j1.5×10-3 Ʊ であった。この 線路の伝搬定数 γ 、特性インピーダンス Z0 、および 1km 当たり のリアクタンス X 、サセプタンス B を求めよ。
解 ) Z0=408 Ω, γ =j1.37×10-6 m-1, X= 0.56 Ω/km, B= 3.4×10-6 Ʊ/km 1. 電源電圧 E, 内部インピーダンスが Z0 の電源に、伝搬定数
が , 特性インピーダンスが Z0, 長さ が l の線路が接続さ れている。これに等価な電圧源 を求めよ。さらに、線路が無 損失なら、それはどのように表わせるか ? ただし、 sinh(iθ) = i sinθ, cosh(iθ) = cosθ である。 l
, Z0 E
Z0
