分布定数回路とは

(1)

分布定数回路とは

立体回路

分布定数回路

集中定数回路

v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)

電圧、電流は回路部品内での位置には依存しない　　 v(t), i(t)

Maxwell 方程式を解かなけれ

ばならない ( 電磁気学の範疇 )

E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)

本章で扱う回路

これまでの章で扱ってきた回路

 x 

y z

x, y, z≧

y z x

x, y, z, d, l≪

 l d l d

d≪ l≧

電圧、電流は線路上の位置に依存　 v(z, t), i(z, t)TEM 波電圧 ( 電界 ) 、電流 ( 磁界 ) は回路内の位置に依存

波長 =c/f 　　 c: 光速度、 f: 周波数 c= 約 3×10⁸ m/s なので、

f=50Hz では　 =6,000 km f=300MHz では　 =1m

TE, TM 波

(2)

伝送線路

x=0

Z_L 受電端送電端

E

C G

R L

R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)

L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m)

G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)

x x

i

v+v v

i+i Rx Lx

Cx Gx

x

v+vi+i i v

(3)

線路の伝送方程式

) / (

} / ) (

{ )

(

t v x C v x G i

t i i x L i i x R v





































伝送路微小区間の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、

t C v x Gv

i

t i L i

i i x R

v



 

 









 





 

 ( )

) 従って、 (

t C v x Gv

i x

i

t L i x Ri

v x

v

x x



 

 

 





 

 

 











0 0

lim

lim 伝送の

基礎方程式 v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t)

2 2 2

2

2 2 2

2

) (

t LC i t

GL i RC

x RGi i

t LC v t

GL v RC

x RGv v



 



 



 



 



 



 



電信方程式あるいは伝送方程式基礎方程式第 1 式の両辺を x について微分し、第 2 式と以下の関係式より、

x t i x

t i t i i x

t i

x

x 





 













 











/ ) lim (

) (

0 0

電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。

電圧 ( 電流 ) が波動として伝送線路を伝搬していく様子を表す波動方程式

(4)

伝送方程式の定常解

t j x

e I x t i

e V x

t v





 ) , (

) , (

v(t, x), i(t, x) 正弦波交流 ( 高周波 ) の場合を考えると、

ここここ : 角周波数

V_x, I_x は位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない ( つまり、変数分離できる ) とするこの仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない

伝送の基礎方程式に当てはめると、

x x

x

x x

x

yV V

C j dx G

dI

zI I

L j dx R

dV











) (



x x

dx zyI I d

dx zyV V d



2 2

波動方程式を得ると表せる

ただし、 R + jL=z, G + jC=y と置いた上式より、

(8.8) 式

( 電信方程式からも直接導出できる )

(5)

波動方程式の解

x zy x

zy x

x zy x

zy x

e I e

I I

e V e

V V

 



 









0 0

波動方程式の一般解









0 0 0

0 ,V , I , I

V は積分定数

この一般解を (8.8) 第 2 式に代入すると、

y z V

I y z V

I₀^  ₀^ / , ₀^   ₀^ /

x x

x

x x

x

Z e e V

Z I V

e V e

V V



 















0 0 0

0

0 0

y z Z

yz

j  



  , ₀



Z₀: 特性インピーダンス　単位 : オーム () 従って、

ここで、

: 伝搬定数

: 減衰定数　単位 : ネーパ (Np)

: 位相定数　単位 : ラジアン (rad)

波長  =2/ 周期 T=1/f=2/

(6)

波の伝搬

) (

0 ) 0

( 0

0

) (

0 ) (

0

x t j x x

t j x t

j x

x t j x x

t j x t

j x

e Z e

e V Z e

e V I

e e V e

e V e

V































 

 













時間依存因子 e^j^^t を含む伝送式

e^j(^^t±^^x) は、∓ x 方向に進む角周波数 , 位相定数の正弦波を表す

x

何故なら、 e^j(^^t±^^x) =cos(t±x)+j sin(t±x)

e x

V₀^は波の振幅を表し、^ >0 (<0) なら、 x が増大する方向に振幅が増大 ( 減少 ) する

x

) ( v_p





v_p: 位相速度ここで、



 d v_g  d 因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度 : v_g という

(7)

波の伝

(

搬

) 0

) (

0

x t j x x

t j x t

j

xe V e e V e e

V ^  ^ ^ ^ ^^  ^ ^^ ^ ^^

-x 方向 ( つまり、送電端から受電端の方向 ) に位相速度 / こ進む波 ( 進

行波 ) で、  >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく

電圧波x 方向 ( つまり、受電端から送電端の方向 ) に位相速度 / こ進む波 ( 進行

波 ) で、  >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電

圧波

)}

( ) 1 {(

) 1 (

) (

0 0

反射電圧波入射電圧波

反射電流波入射電流波

反射電圧波入射電圧波





































V Z Z V

I I I

V V

V

x x

x x x

x x

x

0 0

, ,

Z e e V

I Z I

e e V

I I

e V V

x x

 





 



 











Z_L 受電端送電端

E

x

入射波反射波

ただし、

(8)

線路の縦続行列

x x

x

x x

x

e I Z Z V

I

e I Z V e

I Z V V















) 2 (

) 1 2 (

1

) 2(

) 1 2(

1

0 0 0

0 0

0

0 0 0

x I

Z x I V

x I

Z x V

V

x x



cosh sinh

sinh cosh

0 0

0

0 0 0

























 



 





l Z l

l Z

l D

C B A



cosh 1 sinh

sinh cosh

0

特性インピーダンス Z₀, 長さ l の線路に対する F 行列 Z_L

受電端送電端

E

l 送電端

E Z_L

受電端

D C

B V₀ A

I₀

受電端電圧 V₀ および電流 I₀ で、任意点の電圧、電流を表すと

) 2(

sinh 1

) 2(

cosh 1

x x

e e

x

e e

x











双曲線関数の公式

より、

1

,  

 D AD BC A

線路は、対称、相反 ( 可逆 ) 回路 V_x

I_x

x x=0

任意点 x での電圧 V_x 、電流 I_x は、

分布定数回路と は