山田 博仁 Electric Circuits
電気回路学
情報コース 4 セメ開講
分布定数回路
学習範囲と今後の講義日 程
8 章 分布定数線路
8.1 線路の伝送方程式 8.2 伝送方程式の定常解 8.3 波の伝ぱん
8.4 線路の縦続行列 8.5 波の反射
8.6 反射係数
8.8 理想線路、無ひずみ線路、 RC 線路 8.8.1 理想線路
8.8.2 減衰極小条件 8.8.3 無ひずみ線路
9 章 分布定数回路としての線路 9.1 複合線路
9.2 無損失線路と反射波、
インピーダンスの測定 9.2.1 伝送式
9.2.2 電圧、電流の円線図
9.2.3 定在波比
9.2.4 定在波による負荷の測定
教科書 : 電気回路 – 三相・過渡現象・線路 - 喜安、斎藤 著 朝倉書店
今後の講義日程
第 8 回 ( 12/14 ) 、第 9 回 ( 12/21 ) 、第 10 回 ( 1/11 ) 、第 11 回 ( 1/18 ) 、 第 12 回 ( 1/25 ) 、まとめ ( 2/1 ) 、補講 ( 2/6 ) 、試験 ( 2/8 未定 )
※ 2/6 の補講は、人数限定 ( 十数名 ) で行います。事前に申し込み必要
分布定数回路と は
立体回路
分布定数回路
集中定数回路
v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)
電圧、電流は回路部品内での 位置には依存しない v(t), i(t)
Maxwell 方程式を解かなけれ
ばならない ( 電磁気学の範 疇 )
E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)
本章で扱う回路
これまでの章で扱ってきた回路
x
y z
x, y, z ≥
y z x
x, y, z, d, l≪
l d l d
d≪ l ≥
電圧、電流は線路上の位置 に依存 v(z, t), i(z, t)TEM 波 電圧 ( 電界 ) 、電流 ( 磁界 ) は回路内の位置に依存
波長 = c/f c: 光速度、 f: 周波数 c = 約 3×108 m/s なので、
f = 50Hz では = 6,000 km f = 3GHz では = 10 cm
TE, TM 波
伝送線路
x=0
ZL 受電端 送電端
E
C G
R L
R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m) C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)
x x
i
v+v v
i+i Rx Lx
Cx Gx
x
v+vi+i i v
線路の伝送方程 式
) / (
} / ) (
{ )
(
t v x C v x G i
t i i x L i i x R v
伝送路微小区間の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、
t C v x Gv
i
t i L i
i i x R
v
( )
) 従って、 (
t C v x Gv
i x
i
t L i x Ri
v x
v
x x
0 0
lim
lim 伝送の
基礎方程式 v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t)
2 2 2
2
2 2 2
2
) (
) (
t LC i t
GL i RC
x RGi i
t LC v t
GL v RC
x RGv v
電信方程式あるいは伝送方程式 基礎方程式第 1 式の両辺を x について微分し、第 2 式と以下の関係式より、
x t i x
t i t i i x
t i
x
x
/ ) lim (
/ ) lim (
) (
0 0
電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。
電圧 ( 電流 ) が波動として伝送線路を 伝搬していく様子を表す波動方程式 の一種
伝送方程式の定常 解
t j x
t j x
e I x t i
e V x
t v
) , (
) , (
v(t, x), i(t, x) 正弦波交流 ( 高周波 ) の場合を考えると、
ここここ : 角周波数
Vx, Ix は位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない ( つまり、変数分離できる ) とする この仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない
伝送の基礎方程式に当てはめると、
x x
x
x x
x
yV V
C j dx G
dI
zI I
L j dx R
dV
) (
) (
x x
x x
dx zyI I d
dx zyV V d
2 2
2 2
波動方程式を得る と表せる
ただし、 R + jL=z, G + jC=y と置いた 上式より、
(8.8) 式
( 電信方程式からも直接導出できる )
波動方程式の 解
x zy x
zy x
x zy x
zy x
e I e
I I
e V e
V V
0 0
0 0
波動方程式の一般解
0 0 0
0 ,V , I , I
V は積分定数
この一般解を (8.8) 第 2 式に代入すると、
y z V
I y z V
I0 0 / , 0 0 /
x x
x
x x
x
Z e e V
Z I V
e V e
V V
0 0 0
0
0 0
y z Z
yz
j
, 0
Z0: 特性インピーダンス 単位 : オーム () 従って、
ここで、
: 伝搬定数
: 減衰定数 単位 : ネーパ (Np)
: 位相定数 単位 : ラジアン (rad)
波長 =2/ 周期 T=1/f=2/
波の伝 搬
) (
0 ) 0
( 0
0
) (
0 ) (
0
x t j x x
t j x t
j x
x t j x x
t j x t
j x
e Z e
e V Z e
e V I
e e V e
e V e
V
時間依存因子 ejt を含む伝送式
ej(t±x) は、∓ x 方向に進む角周波数 , 位相定数の正弦波を表す
x
何故なら、 ej(t±x) =cos(t±x)+j sin(t±x)
e x
V0は波の振幅を表し、 >0 (<0) なら、 x が増大する方向に振幅が増大 ( 減少 ) する
x
) ( vp
vp: 位相速度 ここで、
d vg d 因みに、波の包絡線 の形状が伝わる速度 を群速度 : vg という
波の伝
(搬
) 0) (
0
x t j x x
t j x t
j
xe V e e V e e
V
-x 方向 ( つまり、送電端から受電端の方向 ) に位相速度 / こ進む波 ( 進 行波 ) で、 >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく 電圧波+x 方向 ( つまり、受電端から送電端の方向 ) に位相速度 / こ進む波 ( 進 行波 ) で、 >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく 電圧波
)}
( ) 1 {(
) 1 (
) (
) (
) (
) (
0 0
反射電圧波 入射電圧波
反射電流波 入射電流波
反射電圧波 入射電圧波
V Z Z V
I I I
V V
V
x x
x x x
x x
x
0 0 0
0 0 0
0 0
, ,
Z e e V
I Z I
e e V
I I
e V V
e V V
x x
x x
x x
x x
x x
ZL 受電端 送電端
E
x
入射波 反射波
ただし、
線路の縦続行 列
x x
x
x x
x
e I Z Z V
e I Z Z V
I
e I Z V e
I Z V V
) 2 (
) 1 2 (
1
) 2(
) 1 2(
1
0 0 0
0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
x I
Z x I V
x I
Z x V
V
x x
cosh sinh
sinh cosh
0 0
0
0 0 0
l Z l
l Z
l D
C B A
cosh 1 sinh
sinh cosh
0
0
特性インピーダンス Z0, 長さ l の線路に対する F 行列 ZL
受電端 送電端
E
l 送電端
E ZL
受電端
D C
B V0 A
I0
受電端電圧 V0 および電流 I0 で、任意点の電圧、電流を 表すと
) 2(
sinh 1
) 2(
cosh 1
x x
x x
e e
x
e e
x
双曲線関数の公式
より、
1
,
D AD BC A
線路は、対称、相反 ( 可逆 ) 回路 Vx
Ix
x x=0
任意点 x での電圧 Vx 、電流 Ix は、
