分布定数回路

山田 博仁 Electric Circuits

電気回路 学

分布定数回路

コンピュータサイエンスコー ス、ナノサイエンスコース 4

セメ開講

理想線 路

R = G = 0 と仮定すると、無損失 ( = 0) かつ無歪となり、理想線路と呼ばれている LC

j LC C

j G L j R

j    



    (  )(  )   ²  よよよよ  0,   LC,

よよよよよよ

R と G を一定として L および C を変化させた場合に、 が極小に なる条件は、 をL または C で微分して、

C L C

j G

L j

Z R 



 



 よよよ 0

2 0

2 Z

j L

j R

C j G j

j L L L













 



 



 



 



  0



 L

 よよよよよよよよ Z₀ よよよ

) / ( 1

) / ( 1

0 j C G

R L j G

Z R







 

 よよよよよよ

G C R

L  よよよよよ Z₀ よよよよよよ

C L G

Z₀  R 

よよよよ _min  RG,   LC

C で微分した場合も同様に、 2 j2 Z⁰ C

j G

L j R j

j C C

C













 



 



 



 



 となり、

上記の条件が満足されれば が極小になる

無歪線 路

t A₀ t₀ t

f(t) g(t)

) (

)

(t A₀ f t t₀

g  

( ) ⅰ 減衰定数 ( 或いは増幅利得 ) が周波数に無関係に一定 (A₀ は周波数に依らない ) 無歪線路の条件

( ) ⅱ 位相定数は周波数に比例する ( 或いは、位相速度 v_p が一定である )

p

p v

v

f 





  2  2 

伝送線路のパラメータとしてこの条件を与えるには、

よ が一定

・  が  に比例

・ Z₀ が一様

G C R

L  は無歪の条件でもある

Z₀₁ Z₀₂ Z₀₃

一様でないと不連続点で反射が起こる t

t + t

装荷線 路

無装荷ケーブル

　松前重義氏がその発明と実用化に大きく貢献 　興味がある方は、以下のページを参照

装荷ケーブル

松前重義 1901-1991

http://www.u-tokai.ac.jp/about/movie/history/index.html

よよよよよよよよよよよよ G が非常に小さいため　　　　　　となり、無歪や減

衰極小条件からは大きくかけ離れたものとなっている。そこで、　　　

　　　に近

づけるために、線路の途中に L を装荷したものを装荷ケーブルと言い、

伝送距離を大きく延ばすことができたために、真空管が発明される以前 には広く使われていた。しかし、真空管による電気信号の増幅が可能に なってからは、次第に下記の無装荷ケーブルに置き換わっていった。現 在ではさらに同軸ケーブルによる伝送が主流となっている。

G C R

L 

G C R L 

L

L L

L

複合線 路

0 02

2 02

2 2

2

01 1 01

1 1

1

0 2

2 1

1

Z I V Z

I V I

Z V Z

I V I

V V

V V

V



























 





 











x x

x x

x x

x x

x x

x x

Z e e V

Z e V

I e

I x I

Z e e V

Z e V

I e

I x I

e V e

V x

V e

V e

V x

V

2 2

2 2

1 1

1 1

2 2

1 1

02 2 02

2 2

2 2

01 1 01

1 1

1 1

2 2

2 1

1 1

) (

, )

(

) ( ,

) (

























 

 





 

 









































2 種類の線路の縦続接続

ただし、

Z_L

Z₀₁ ₁ Z₀₂ ₂

x = 0 +x

V₁(x) I₁(x)

V₂(x) I₂(x) V₀

I₀

各々の線路上の電圧、電流 接続点 (x = 0) で

の電圧、電流

(9.1) 式 (9.2) 式



V2



V1



V2

Z₀₁ ₁ Z₀₂ ₂



V1



I1



I1 I^2 I₂^

電圧および電流 ベクトルの方向 電圧波および電 流波の進行方向 および

複合線 路

負荷インピーダンス Z_L が第二の線路の特性インピーダンス Z₀₂ に等 しいか、或いは第二の線路が無限に長いとき、第二の線路上に反射波 はない。

0 0

2 2









I V

0 02

2 2

01 1 01

1 1

1 0

2 1

1 , I

Z I V

Z V Z

I V I

V V

V

V^  ^  ^  ^  ^  ^  ^  ^  ^ 

Z Γ Z

Z Z

V

V 



 





01 02

01 02

1

1 Γ

V V I

I_^   _^  

1 1 1

電圧反射係数 1

電圧透過係数

電流反射係数

電流透過係数 従って、

両式より　　　　　を消去すると、V₂^, I₂^

Z Γ Z

Z V

V  

 





2 1

01 02

02 1

2 Γ

Z Z

Z Z

V Z V I

I  

 

 ^_





2 1 /

/

01 02

01 01

1

02 2

1 2

両式より　　　　　を消去すると、V1^, I1^

) / ,

/

(I₁^ V₁^ Z₀ I₁^  V₁^ Z₀

Z₀₂ 即ち、

x=0

Z₀₁ ₁ V₀ Z₀₂ ₂

I₀



V1 _

V2



V1



I1 I^2



I1

複合線 路

接続点における電圧 V₀ および電流 I₀ によって、各線路上の電圧および電流を表せば、

) 1

/(

), 1

/(

) 1

/(

), 1

/(

0 ,

, 0 ,

0 1

0 1

0 1

0 1

2 0

2 2

0 2

Γ ΓI

I Γ

I I

Γ ΓV

V Γ

V V

I I

I V

V V











































x x

x x

x x

I e x e I

V x V

Γ Γe e

I x I Γ

Γe e

V x V

2 2

1 1

1 1

0 2 0

2

0 1 0

1

) , (

) (

1 )

, ( 1

) (



















 



  ^{ }

上式を (9.1) 式、 (9.2) 式に代入して、

より、

一様な線路上の任意の点には入射波と反射波が存在するかも知れないが、一様 な線路の途中で反射波が生じることはなく、その反射波は、線路の不連続点 ( 受電端とか接続点とか ) において発生した反射波が、その点を通って送電端 の方へ戻っていく途中のものである。

入射電圧波 反射電圧波

入射電流波 反射電流波

3 種類の線路の縦続接 続

x n

x n n

n x

n x n

n x V e ⁿ V e ⁿ Z I x V e ⁿ V e ⁿ

V ( )  ^{ }  ^{ } , ₀ ( )  ^{ }  ^{ }

負荷を第 3 の線路の特性インピーダンス Z₀₃ に等しいとすると、

第 2 と第 3 の線路の接続点 (x = -l) における反射係数  ₂₃ は、

02 03

02 03

23 Z Z

Z Γ Z



 

第 1 と第 2 の線路の接続点 (x = 0) より右を見たインピーダンス Z_i は、

l l

i Γ e

e Z Γ

I Z V

2 2

2 23

2 23 02

2 2

1 1 )

0 (

) 0 (











 



各線路上の電圧 V_n(x) (n = 1, 2, 3) および電流 I_n(x) (n = 1, 2, 3) は、

Z₀₃ x = 0

Z₀₁ ₁ Z₀₃ ₃

Z_i

l Z₀₂ ₂

x = - l

₂₃

無反射

3 種の線路の縦続接

従って、 x = 0 の点において、第 1 の線路から見た反射係数  は、

続

) 1

}(

) (

){

1 (

) 1

1 ( ) 1

(

1

12 23

12 23

23 12

12

2 12 23 12

2 23 12

12

2 23 12

2 23 12

01 01

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

Γ e

Γ e

Γ e

Γ e

e Γ e

Γ Γ

e Γ Γ Γ

e Γ Γ

Γ

e Γ Γ

e Γ Γ

Z Z

Z Γ Z

l l

l l

l l

l l l l

i i















 









 



 























 



















01 02

01 02

12 Z Z

Z Γ Z



  ただし、

3 種の線路の縦続接 続

Z₀₃ x = 0

Z₀₁ ₁ Z₀₃ ₃

l Z₀₂ ₂

x = - l

₂₃

Γ23

 )

(Γ₁₂

 e^2l e^2l

 ) 1

(  Γ₁₂



Γ23

 e^2l

)  1

(  Γ₁₂ 2 次反射 

Γ23

 e^2l

 )

(Γ₁₂



e^2l

 3 次反射 (1 Γ₁₂)

) 1

}(

) (

){

1

( _{12 23 23 12 23 12}

12 Γ e ² Γ e ² e ² Γ e ² Γ e ² Γ e ² Γ

Γ

Γ    ^{ l  l}  ^{ l  l}  ^{ l  l}  

01 02

01 02

12 Z Z

Z Γ Z



 

02 03

02 03

23 Z Z

Z Γ Z



  ただし、

1 次反射

送電端より

Γ12



1 受電端へ

1 次伝達波

) 1

(  Γ₂₃



2 次伝達波

) 1

(  Γ₂₃



3 次伝達波

) 1

(  Γ₂₃



複合線路と縦続行 列

Z₀₁, ₁ Z₀₂, ₂

l₁ l₂

1 1

1 1

D C

B A

2 2

2 2

D C

B A

































 



 







 







 





2 2 2

2 02

2 2 02

2 2 1

1 1

1 01

1 1 01

1 1

2 2

2 2

1 1

1 1

cosh 1 sinh

sinh cosh

cosh 1 sinh

sinh cosh

l Z l

l Z

l l

Z l

l Z

l D

C

B A

D C

B A

D C

B A

















インピーダンス整 合

Z₀₁, ₁ Z₀, ₀ l

Z₀₂, ₂

Z₁ Z₂

例 9.1.1

0 0

02

0 0

02 0

1 tan

tan Z l j

Z

l j

Z Z Z

Z 

 





0 0

01

0 0

01 0

2 tan

tan Z l j

Z

l j

Z Z Z

Z 

 





特性インピーダンスが Z₀₁ および Z₀₂ の線路の間に、特性インピーダ ンス Z₀, 伝搬定数  ₀ = j, 長さ l の無損失線路を挿入し、

Z₀₁ の線路との接続点から右方を見たインピーダンスを Z₁ Z₀₂ の線路との接続点から左方を見たインピーダンスを Z₂

02 2 0

1 Z

Z  Z

01 2 0

2 Z

Z  Z となり、Z₀²  Z₀₁Z₀₂のとき、Z₁  Z₀₁ Z₂  Z₀₂ となる

これを、インピーダンス整合と呼ぶ

ここで、 l = /4 であるように長さを定めれば、 であるから、

2 4

2  



 l   

12/10 出題レポート問題の解

全長 400km の線路がある。その受電端を短絡した場合、送電端から見

説

たインピーダンスの値が j250Ω 、また受電端を開放した場合、送電 端から見たアドミタンスの値が j1.5×10^-3 Ʊ であった。この線路の伝 搬定数 γ 、特性インピーダンス Z₀ 、および 1km 当たりのリアクタ ンス X 、サセプタンス B を求めよ。

Z₀

 400km

Z_S = j250 Ω よよ

よよ

Y_o = j1.5×10^-3 Ʊ  Z₀



 

















 



 





0 0

0

0

cosh 1 sinh

sinh cosh

I V l

Z l

l Z

l I

V

l

l  





V₀ = 0

I₀ = 0 l = 400km

V_l I_l

V₀ = 0のとき    



250

0 tanh

0 0

j l I Z

Z V

l V l

s 

I₀ = 0 のとき ^{3 1}

0 0

10 5 . 1 1 tanh

0















 l j

Z V

Y I

l I l

o 

12/10 出題レポート問題の解 説

上式を解いてやれば、 X= 0.56 Ω/km 、 B= 3.4×10^-6 Ʊ/km が求まる 従って、 Z₀  Z_s Y_o  408

375 . 0 tan

)

tanh( jl  j l  j

また、 ^Zs^Yo ^





375 . 0 1tan_1



  l 375

. 0 )

tanh(

tanh l    j l  j 従って純虚数となるためには、 α = 0 でなければならず、

よって、 γ ≈ j1.37×10^-6 m^-1 α = 0 ということは、 R = G = 0 、つまり、無損失線路である





 

  408

0 B

X jB

G

jX Z R

1 6m 10 37 . 1 )

)(

(        ^{ }

 R jX G jB XB j XB j



従って、