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第７章 自然対流熱伝達

 伝熱工学の基礎： 伝熱の基本要素、フーリエの法則、ニュートンの冷却則  １次元定常熱伝導： 熱伝導率、熱通過率、熱伝導方程式  ２次元定常熱伝導： ラプラスの方程式、数値解析の基礎  非定常熱伝導： 非定常熱伝導方程式、ラプラス変換、フーリエ数とビオ数  対流熱伝達の基礎： 熱伝達率、速度境界層と温度境界層、層流境界層と 乱流境界層、境界層厚さ、混合平均温度  強制対流熱伝達： 管内乱流熱伝達、円柱および球の熱伝達、管群熱伝達  自然対流熱伝達： 垂直平板自然対流熱伝達、密閉層内自然対流、共存対 流熱伝達  輻射伝熱： ステファン-ボルツマンの法則、黒体と灰色体、輻射率、形態係数  凝縮熱伝達： 鉛直平板膜状凝縮、凝縮数、水平円管膜状凝縮、滴状凝縮  沸騰熱伝達： 沸騰曲線、気泡力学、沸騰熱伝達率

加熱物体周りの等温度線を示す干渉写真

（マッハツェンダー干渉計による計測結果）

垂直加熱平板 周りの等温線 水平加熱円柱 周りの等温線 水平加熱円柱群 周りの等温線

熱伝達率の導出

壁面近傍での流体速度＝０であるから、壁面から 流体への熱移動は熱伝導のみによって伝えられる。 0     y y T k q   一方、ニュートンの冷却則により、



 _



  h T T q _w





0      y w y T k T T h   だから



 _



  T T y T k h w 0 y   すなわち、熱伝達率hを求めるためには、 壁面の温度勾配を知ればよい。

運動方程式

境界層内で運動方程式 2 2 y u g x P y u v x u u            _           境界層外の圧力勾配 g x P       上式より





2₂ y u g y u v x u u           _          _ 浮力

浮力の評価

体膨張係数：



   _                                                       T T T T m m m V T T V V V T V P         





2₂ y u g T T y u v x u u          _          _ 温度変化_→浮力 とすると、境界層内では、密度



は一定

運動方程式の変形

y u v x u u       運動方程式の左辺 / y u v y v x u u x u u         _          y u v y v u x u u       _{ }  2 x u   2 0  v 連続の式

 

_

_

2 2 2 y u T T g x u        _{  }  運動方程式は となる。

 

y uv x u u     _  2

境界層内運動量積分方程式

 

_

_

_dy y u dy T T g dy x u       _          0 2 2 0 0 2

 

_

_

2 2 2 y u T T g x u        _{  }  運動方程式 を境界層内で積分すると、





        0 0 0 2               _{ }  y u dy T T g dy u dx d





0 0 0 2           _{ } y y u dy T T g dy u dx d       

エネルギー式

2 2 y T k y T v x T u c_p        _        2 2 y T y T v x T u           _ p c k  左辺 y T v y v x u T x T u                       y Tv x Tu     _ 

 

x Tu    よって、エネルギー式は、

 

2 2 y T x Tu      _

境界層内エネルギー積分方程式

 

dy y T dy x Tu          0 2 2 0





     0 0 _         y T dy T T u dx d





0 0       y y T dy T T u dx d    

 

2 2 y T x Tu      _ 以上のエネルギー式を積分すると、

温度分布の決定

  2 3 2 1 C y C y C y T    と仮定すると、境界条件が 0  y T Tw   y T  T   y T  0 よって、 w T C₁ 





 w T T C₂  2   2 3  w T T C     従って、

 





2 2 2 y T T y T T T y T _w w w         

 





                         _{ } 2 2 1   y y T T T y T _w

 

2 1              y T T T y T w

速度分布の決定

3 2 dy cy by a u u      と仮定すると、境界条件が 0  y   y   y 0  y 0  u 0  u 0   u









  



       g T_ T_w u （∵ y  0 で 、 _u  0 、_v  ₀ だから運動方程式より） よって 0  a





  2     g T T c w





    u T T g b w    4 1





    u T T g d w   4 1





2 1 4 _                y y u T T g u u _w 2

熱伝達率の導出

壁面近傍での壁面から流体への熱移動は 0     y y T k q   一方、ニュートンの冷却則により、



 _



  h T T q _w より



_



    T T y T k h _w y 0  





   k T T y T k h w y 0 _ 2      であるから

 

2 1       _       y T T T y T w

 

_

_

      T T y y T w  2 いま





0 0 0 2           

_

_

y y u dy T T g dy u dx d       

境界層内運動量積分方程式の変形

        u T T g u u_x w    4 2 2 1       _    y y u u x

 

2 1       _       y T T T y T w      1 3 ) ( 105 2 x w x g T T u u dx d           _  ：速度分布 温度分布： 境界層内運動量 積分方程式   2 1 4 _                y y u T T g u u _w 2

境界層内エネルギー積分方程式の変形

        u T T g u u_x w    4 2 2 1       _    y y u u x

 

2 1       _       y T T T y T w





0 0       y y T dy T T u dx d    





   2 ( ) 30 ) ( _  _    T T u dx d T T _w x w ：速度分布 温度分布： ：境界層内エネルギー 積分方程式

代表速度

と境界層厚さ

の決定

2 x u           u T T g u u_x w    4 2      1 3 ) ( 105 2 x w x g T T u u dx d           _    _{ C } dx d( )5 4 / 1 x ' C    4 / 1 2 2 / 1 1 x C x C u_x      x

u



4 1 4 4 3 3 4 5 ~ ~ 4 5 5 5 5 ) ( x x x C dx C d C dx d C dx d C dx d                            





未定係数

と

の決定

4 / 1 2 2 / 1 1 x C x C u_x      1

C





   2 ( ) 30 ) ( _  _    T T u dx d T T _w x w      1 3 ) ( 105 2 x w x g T T u u dx d           _  2

C

4 1 2 1 4 1 2 2 21 20 ) ( 936 . 3       _               













T T g C w 2 1 2 1 2 1 21 20 ) ( 164 . 5   _      _      











g T T C w

境界層厚さ

の決定

4 1 2 1 4 1 2 3 21 20 ) ( 936 . 3 _      _                         g T T x x w







4 1 2 1 4 1 Pr 952 . 0 Pr 936 . 3      Gr_x  x



プラントル数： グラスホフ数：



₂



3 Pr     x T T g Gr_x  w   

グラスフホフ数

Gr

_x

の意味

層流境界層から乱流境界層への遷移限界を与える 垂直平板の場合：







粘性力



レノルズ数

浮力

グラスホス数＝

 9 8 10 10   x Gr

熱伝達率の導出

壁面近傍での速流体速度＝０であるから、壁面から 流体への熱移動は熱伝導のみによって伝えられる。 0     y y T k q   一方、ニュートンの冷却則により、



 _



  h T T q _w





0      y w y T k T T h   だから







    T T y T k h _w y 0   すなわち、熱伝達率_{hを求めるためには、} 壁面の温度勾配を知ればよい。

熱伝達率とヌッセルト数の導出











k T T y T k h w y 0  2      ここで

 

2 1            



y T T T y T w

 

_

_

      T T y y T w  2 より であるから



 _



  T T y T k h w y 0  

熱伝達率とヌッセルト数の導出





4 1 2 1 4 1 Pr 952 . 0 Pr 936 . 3      Gr_x  x 











k T T y T k h w y 0  2      ここで より





4 1 2 1 4 1 Pr 952 . 0 Pr 936 . 3 2 _{   }     Gr_x x k h よって





4 1 2 1 4 1 Pr 952 . 0 Pr 508 . 0        Gr_x k hx Nu

自然対流における熱伝達率の実験式





m Gr C Nu    Pr レイリー数： ヌッセルト数 Pr   Gr Ra   2 3   T T x g Gr  w   グラスホフ数： Cとmは実験的に決定。ここで、 ヌッセルト数： k hx Nu  プラントル数： a   Pr

自然対流熱伝達率の実験式





m

Gr C

自然対流熱伝達率の簡易予測式

9 4 10 Pr 10  Gr   水平円柱 表面形状 水平円板 垂直平板あるいは 垂直円柱 加熱上向き平板または 冷却下向き平板 4 1 42 . 1          L T h _h  _0.95 _T 13 加熱下向き平板または 冷却上向き平板 層流 9 10 Pr   Gr 乱流 4 1 32 . 1          d T h 4 1 32 . 1          L T h 5 1 2 61 . 0 _         L T h  13 24 . 1 T h     13 43 . 1 T h    球  1₄ Pr 43 . 0 2    Gr Nu (1 Gr Pr 105)

問題

7-1

２５０℃、直径_{0.3048mの水平円管が、空気温度15℃の} 室内に置かれている。_{1m当たりの、自然対流による} 熱損失を、以下の関係式を用いて、求めなさい。 ただし、膜温度132.5℃における以下の物性値を使用 して良い。 ) K / 1 ( 10 47 . 2 5 . 405 1 T 1 687 . 0 Pr ) K m / W ( 03406 . 0 k ) s / m ( 10 26 . 26 3 f 2 6             





m Gr C Nu    Pr (1) 実験式： (2) 簡易予測式 4 1 3 1

密閉層内自然対流熱伝達

k h Nu     2 3     _  g T T Gr w    Pr

自然対流熱伝達率

 _Pr13 046 . 0   Gr Nu 熱流束 7 4 10 Pr 10  Gr    _Pr1_{4 Pr}0.012 0.30 42 . 0           L Gr Nu 000 , 20 Pr 1  10  L_  40 9 6 10 Pr 10  Gr   1 Pr  20 10  L_  40 みかけの熱伝導率（有効熱伝導率） ヌッセルト数 T₁ T₂ Nu k T₁ T₂ h A q _{   }   2 1 T T k A q e   k k Nu  e A q  L 1 T 2 T  n m e d L Gr C k k         Pr

密閉流体の自然対流熱伝達率の実験式





n m e d L Gr C k k         Pr

問題

7-2

二重ガラス窓がある。窓ガラスの大きさは_{0.5m四方で、} ガラス同士の間隔は_{15mmである。二重ガラスの間は} 空気で満たされているとする。 外気温が_{100℃のとき内部での温度を40℃に保つ時、} 両ガラス窓間の熱伝達量を求めなさい。 ただし、物性値は、両ガラス窓間の平均温度_70℃に おける以下の物性値を使用して良い。 ) K / 1 ( 10 915 . 2 343 1 T 1 7 . 0 Pr ) K m / W ( 0295 . 0 k ) s m / kg ( 10 062 . 2 ) m / kg ( 029 . 1 3 f 5 3                



 

n



m e C k Gr Pr L / d k      9 / 1 m , 4 / 1 n , 197 . 0 C    

問題

7-3

図に示すように、消費電力100 W の 白熱電球を考える。周囲温度がT₁ = 295 K で、 点灯時の電球表面温度はT₂ = 400 K であった。 自然対流による平均熱伝達率が = 7.1 [W/(m2･K)] のとき、対流による熱損失を推定せよ。 ただし，電球を直径

h

6 cmの球とする．

自然対流と強制対流の共存対流

（垂直管内の場合）

自然対流と強制対流の共存対流

（水平管内の場合）

定期試験



日時： 平成２７年６月２６日（金）

５・６

時限



場所： ３Ｂ４０２



教科書・資料・ノート等： 持ち込み不可



電卓： 持込可



提出物： 回答用紙＋授業アンケート用紙