対称拡散過程の熱核評価、ハルナック不等式の安定性とその応用

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対称拡散過程の熱核評価、ハルナック不等式の安定性とその応用

熊谷隆

京都大学数理解析研究所

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熱核、ハルナック不等式の研究の歴史は長い。特にガウス型の熱核評価については、大変多くのことが知られている。一方、８０年代後半以降のフラクタル上の解析学の発展により、広い範疇のフラクタル上の拡散過程が、通常の拡散より拡散が ^C 遅い^D いわゆる劣拡散型であり、その熱核は劣ガウス型の評価をもつことが明らかになってきた。このような現象は、理想的な形のフラクタルだけでなく、臨界点における確率モデルをはじめとした、さまざまな複雑系の上で観察されることが予想され

ており（^E^£F,G¿oÞIH 等参照）、これらを数学的に解析するためには、劣拡散型の拡散過程を持つ空間を含

むような広い範疇での大域解析学の展開と、モデルごとに洗練された手法の確立が必要となる。ここ数年間で、この方向性に沿った研究はかなり進展し、基礎的な部分はある程度の形をなしてきた。

本稿は、この方面の近年の研究をまとめることを目的として書き始められたものである。本稿の目標（注：あくまで目標で、達成されていない部分も多い）は、以下のとおりである。

１）ガウス型の場合の、典型的な技法を整理する。^J 第２章

２）測度付き距離空間やグラフの上の局所正則ディリクレ形式という範疇で、一般化された放物型ハルナック不等式、劣ガウス型の熱核の評価と同値な条件をまとめ、そこで用いられる技法を整理する。（特に、安定性を持つ同値条件についてまとめる。）^J 第３，４章

３）再帰性が強い拡散過程の場合に、より検証が容易な同値条件をまとめ、そこで用いられる技法を整理する。^J 第５章

４）臨界点における確率モデルの例で、実際に劣ガウス的な熱伝導を導くために必要となる解析的、

確率論的手法を整理する。^J 第６章

当該研究は、古典的な手法をふんだんに取り入れつつ、新たなアイディアによって古典的な手法ではカバーできない部分を補うという形で進んでおり、全体像を理解するには多くの素養が必要となる（著者自身も素養不足に悩まされることが多い）。そこで、それぞれの証明をできるだけ解剖学的に展開し、どのような条件から何が導き出されるかを整理した形にするよう心掛けることとした。こ

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れにより、用いられる手法が少しは分かり易くなり、他の問題への応用も比較的容易になるのではないかと思われる。現段階ではまだまだ整理不足であるので、機会があればさらに改訂を行いたい。第３，４章の結果は、主に^E,G9£$´,G9£$¿#GÆ¿! ,G¿£G+¿D¡ G+¿_¿H

で得られたものである。第５章の結果は ^E^£vÞG+ÞH、第６章の結果は ^E^£ÉH による。また、 ^,7°²Ç¦ には熱核の^¸º¹_¨\¶ 評価の一般化と、上からの評価の同値条件に関する最近の結果をまとめ、本章で省略した様々な証明を載せた。

執筆を開始してすぐに（実際には開始する前から）、このような広大な目標をわずか数週間で達成するのは不可能であることに気がついたが、あえて予稿の締め切りまでに可能な限り作成することにした。結果、現段階では完成にはほど遠いものとなった。サマースクールの予稿としてはあまりに詳細な議論が書かれており、^,° ²©w½«w°¸§ª_©w°B¨

としてはまだ大変粗削りな原稿である。誤植、ミス等も多く含まれるものと思われる。（もしシリアスなミスを発見されたら、教えて頂きたい。）

サマースクールでは、上述した１）〜４）それぞれを大体一回の講演で紹介したいと考えている。

講演では、本稿に書かれた内容のエッセンスをできるだけ分かり易い形で紹介する予定なので、４日間では内容的にハードかも知れないが、お付き合い頂けると幸いである。

本稿を通じて、集合^. 上の関数に対して、が存在して ^ç7é ^ç7é ^ç7é が任意の^@. について成り立つとき、と書くこととする。

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対称拡散過程の熱核評価、ハルナック不等式の安定性と その応用