非慣性系座標の
LES による一様流中角柱の空力不安定振動の計算
LARGE EDDY SIMULATION OF AEROELASTIC INSTABILITY OF RECTANGULAR CYLINDERIN UNIFORM WIND USING NON-INERTIAL COORDINATE SYSTEM
野田 博１） 中山 昭彦２）
Hiroshi NODA1)and Akihiko NAKAYAMA2)
ABSTRACT
Large eddy simulation of the flow past a rectangular cylinder using a non-inertial coordinate system fixed on the moving cylinder is described. It is well known that treatment of conditions at outer boundaries is very important for efficient calculations, particularly in non-inertial coordinate system with rotation, in which case the velocity in the region far from the origin can become very large. In this paper, boundary conditions at the outer boundaries are also treated carefully. Then, unsteady wind forces and the unforced vibration responses of rectangular cylinder (B/D=2) in heaving and torsional modes were calculated using this system. It is found that, the computations predict the aero-elastic instabilities well, and the validities of this method are confirmed.
Key Words: LES, Non-inertial coordinate, Aero-elastic vibration, Heaving mode, Torsional Mode １．はじめに 計算機の顕著な発達に伴い，数値流体計算(CFD)が研究開発あるいは耐風設計など様々な分野に応用されてい る。CFD は大規模な実験施設を要することなく空気力学的検証が可能であるばかりでなく，流れに関する種々の物理 量を可視化することができ，対象とする現象を様々な観点から容易に観察することが出来るという利点がある。 橋梁断面の空力特性の検討する場合，橋梁断面に作用する静的空気力特性の把握のほか，振動する橋梁断面 の空力不安定特性を再現する必要がある。CFD で振動物体を取り扱う方法としては，ALE 法を用いて物体の移動に 伴い相対速度分をLagrange 的に取り扱う方法 1),2),3)，空間と時間に関して逐次座標変換を行う一般座標を用いる方 法4)，座標を固定し移動する物体周りの境界条件をIB 法で適宜設定する方法5),6)などがある。また移動物体に原点 を固定した移動座標系すなわち非慣性系座標を用いる方法 7),8),9)もある。橋梁断面の空力特性を検証する場合， 様々な橋梁断面について風速を変えて計算する必要があり，膨大な計算時間を要する。従って，計算機の発達した 今日においても，より効率的な手法が求められる。この観点においては，物体振動に伴い物体とともに座標が変化す る非慣性系座標を用いる方法が，時間も含めた一般座標を用いる方法や ALE 法などのように計算格子を逐次再構 築する必要が無いため，有効な計算方法といえる。しかし，これまでの非慣性系座標を用いた計算は，並進振動のみ 1） 近畿大学 建築学部建築学科 教授 （〒577-8502 大阪府東大阪市小若江 3-4-1） 2） 一般財団法人 建設工学研究所 （〒657-0038 神戸市灘区深田町 4-1-1） 第23回 風工学シンポジウム（2014）
の場合や7),8),9)，計算領域外側の境界条件が不明確9),10)であったりする。 本研究では，並進移動ならびに回転移動する物体に固定された非慣性系座標によるLES の基礎方程式を誘導し， 橋梁断面の空力特性検討を想定した物体の風直交方向ならびに捩れの空力不安定振動を行った。ここで，回転移 動を伴う非慣性系座標によるLES では，基礎方程式の誘導と同様に計算領域外側の境界条件を非慣性系座標で表 すことも重要である。特に座標原点から離れた遠方では風速分布が慣性系座標と大きく異なる為，丁寧な取扱いを 要する。本研究では併せて非慣性系座標の境界条件を誘導し振動物体の数値流体計算を行いその有用性を示す。 ２．基礎方程式 ２．１非慣性系座標におけるLES 運動方程式と連続の式 慣性系座標(静止座標)xiと運動物体中心を原点とした非慣性系座標(移動回転座標)𝑥𝑥�𝑖𝑖ならびにそれぞれの座標系 での風速と境界条件の関係を図-1 に示す。ここで，i=1~3 で，i=1：静止時の主流方向，i=2：鉛直上方向，i=3：奥行方 向とする。本論文では，物体の運動はx1,x2の2 方向の並進運動と x3軸廻りの回転運動のみとする。ここで，𝑥𝑥�𝑗𝑗はその 原点が静止座標系上の位置roi(t)に移動し，x3軸廻りにθ(t)だけ回転(反時計方向を正)したものとすると，これら 2 つの 座標系の関係は以下となる。 j ij oi i r t Q t x x = ( +) ()~ ， ~xi=Qji(t)
(
xi−roi(t))
， − − = 1 0 0 0 ) ( cos ) ( sin 0 ) ( sin ) ( cos ) ( t t t t t Qij θ θ θ θ (1),(2),(3) また，慣性系座標での速度ベクトルu と非慣性系座標での速度ベクトル𝑢𝑢�i 𝑖𝑖の関係は以下となる。 k ij oi j ij i dt x dQ dt dr u Q u = ~ + + ~ (4) 慣性系座標と非慣性系座標での流体の運動方程式は慣性項のみが異なり，粘性項と圧力項は変わらない。境界 条件は，物体表面および物体から離れた遠方位置(計算領域境界)での風速ともそれぞれの座標から見た位置と相 対風速で与えられることになる。LES では空間フィルター平均を各物理量に施すが，瞬時々々の空間フィルター平均 は座標の運動には依存しない。従って，運動物体に固定された非慣性系座標𝑥𝑥�𝑖𝑖でのフィルター平均風速𝑢𝑢�𝑖𝑖とフィルタ ー平均圧力p についての運動方程式と連続の式は下式となる。 j ij j j i i a i x x x u x p Dt u D ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ 2 ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ν τ ρ ， ~ 0 ~ = ∂ ∂ i i x u (5)，(6) ここで， ok m l jlm ijk k j ijk oi j i j i a i u r dt r d x u u t u Dt u D + +ε
ω
+ε
ε
ω
ω
∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 (7) である。(D/Dt)a は非慣性系座標(移動回転座標)で の 実 質 微 分 ，ωiは回 転 角 速 度 ベ ク ト ル で 成 分 は (0,0,ω)=(0,0,dθ/dt)，τij はサブグリッド応力成分，ρ,ν はそれぞれ空気密度と動粘性係数である。εijkはレヴ ィ・チビタ記号(交替テンソル)である。 ２．２境界条件 一様流中の2 次元角柱周りの流れの計算の場合， 慣性座標系での計算領域外側境界条件は，風上流 入面(x1=x1in)ならびに上下の境界面(x2=x2up,x2dn)で はx1方向に一定風速Uin，風下流出面(x1=x1out)では 自由流入流出条件と設定出来る。すなわち， 図-1 慣性系(静止)座標と非慣性系(移動回転)座標の関係風上流入境界(x1=x1in) ： u =1 Uin，u2=u3=0 (8)，(9) 上下境界(x2=x2up ，x2=x2ｄｎ) ： 同上 風下流出境界(x1=x1out) ： 0 1 = ∂ ∂ x ui (10) これら境界条件を非慣性系座標における境界条件に変換する。風上流入境界ならびに上下境界は，(4)式，(8)式， (9)式により下式の通りに得られる。 θ θ θ θ ~ cos sin cos ~ 1 2 2 1 U ddt x drdt drdt u o o in + − −
= ， ~ sinθ θ~ 1sinθ 2cosθ
1 2 U ddt x drdt drdt u o o in − + − − = (11),(12) 0 ~ 3 3=−drdt = u o (13) また，非慣性系座標での自由流入流出境界は，(4)式，(10)式より下式の通りに得られる。 θ θ θ tan tan ~ ~ ~ ~ 2 1 1 1 dt d x u x u − ∂ ∂ = ∂ ∂ ， dt d x u x u θ− θ ∂ ∂ = ∂ ∂ tan ~ ~ ~ ~ 2 2 1 2 ， 0 ~ ~ 1 3 = ∂ ∂ x u (14),(15),(16) 物体近傍の風速の境界条件は，物体に対し常に法線方向の風速分布を基準に設定する為，慣性系座標と非慣 性系座標は同じ条件式となる。また圧力p についても(5)式より圧力勾配項は慣性系座標と非慣性系座標で同じため， 2 つの座標系で同じ境界条件となる。 ２．３物体の運動方程式 物体の運動は，x1,x2の2 方向の並進運動と x3軸廻りの回転運動とすると，振動方程式は下式となる。 ) ( ) ( ) ( ) (t c X t k X t f t X mij i + ij i + ij i = i (17)
{
}
T i t X t X t t X()= 1(), 2(),θ() ， T i dt t d dt t dX dt t dX t X = (), (), () ) ( 1 2 θ ， T i t ddtX t d dtX t ddt t X = 2 22 2 2 2 1 2 () , ) ( , ) ( ) ( θ (18),(19),(20) − − = I m s m s m s m m s m mij 1 2 1 2 0 0 ， = θ c c c cij 0 0 0 0 0 0 2 1 ， − − = θ k k e k e k e k k e k kij 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 0 0 ，{
}
T i t f t f t f t f()= 1(), 2(), θ() (21),(22),(23),(24) ここで，X1(t),X2(t),θ(t)はぞれぞれ x1方向,x2方向の物体変位とx3軸廻りの回転角，f1(t),f2(t),fθ(t)はそれぞれ x1方向， x2方向の風力とx3軸廻りの捩れモーメント，m, I はそれぞれ物体質量と原点廻りの慣性モーメント，c1,c2,cθはそれぞれ x1方向，x2方向，x3軸廻りの減衰係数で各方向の速度(角速度)にのみ依存すると仮定，k1,k2,kθはそれぞれ x1方向， x2 方向，x3軸廻りの剛性，s1,s2は原点と重心の距離，e1,e2は原点と剛心の距離，である。今回の計算では， s1=s2=e1=e2=0 と仮定し，各方向の振動方程式は独立して計算する。 ３．計算手法ならびに計算条件 本論文で対象とした振動は，B/D=2(B:流れ方向長さ，D:見付け幅)の 2 次元長方形角柱の風直交方向振動と捩れ 振動である。計算はそれぞれ独立に計算し，その再現性を検証した。計算条件並びに計算領域を表-1，図-2 に示す。 SGS 成分の乱流モデルは，標準スマゴリンスキーモデル(Cs=0.13)を用いた。計算方法の詳細は，Nakayama and Noda12)を参照されたい。物体近傍の計算格子幅は，x 1,x2方向で 1/20D，x3方向では 1/5D である。レイノルズ数 (Re=UinD/ν，ν:動粘性係数)は 2.2×104とした。本計算では，無次元風速(Vr=Uin/(nB)，n:強制振動計算時は加振 振動数nm，自由振動計算時は物体固有振動数nm)の変化は，Uin=1 と一定とし振動数 n を変えて再現した。 物体の振動応答計算にはNewmark-β法を用い，βの値は1/6(線形加速度法)とした。紙面の都合上図示しないが， 物体を置かずに計算格子のみ強制回転させた計算を行い，物体近傍相当位置での一様流の確保を確認している。４．計算結果 ４．１静止時の風圧分布 本論文の数値流体計算で用いた計算格子幅は，最近の既往の研究に比べると比較的粗いため，まず静止時の風 圧分布特性を確認した。平均風圧係数分布Cpiと変動風圧係数分布Cpi'を既往の実験結果13)とともに図-3 に示す。 前面の風圧分布は，平均ならびに変動ともに実験結果と良い一致を示す。側面ならびに背面の平均風圧係数Cpiは， 実験結果に比べて負圧が大きく，特に背面の負圧の過大評価が顕著である。それに併せて，背面の変動風圧係数 も若干実験結果より大きい。これは，剥離渦の巻きこみが計算のほうが実験に比べ若干物体に近い位置に形成され ているためと考えられる。この側面と背面の負圧の過大評価は，本計算よりも計算格子の細密な既往の LES 計算結 果 14)でも生じており，本計算独自の傾向ではない。変動風圧係数Cpi'については側面並びに背面共に概ね実験結 果と一致しており，本計算の物体静止時における計算の再現性が認められた。 ４．２強制振動時の非定常空気力係数 強制加振時における非定常揚力の変位比例成分CFR，速度比例成分CFI，位相差βFならびに非定常空力モーメン トによるそれら(CMR,CMI, βM)を下式の通り定義15)する。 BL U F C in R LR =1 ρ/2 2 ， BL U F C in I LI =1 ρ/2 2 ， L B U M C in R MR=1 ρ/2 2 2 ， U B L M C in I MI =1 ρ/2 2 2 (25),(26),(27),(28) ∫ = T m R T f t tdt F 2 0 2()sinω ， = ∫ T m I T f t tdt F 2 0 2()cosω ， = ∫ T m R T f t tdt M 0 ()sin 2 ω θ ， = ∫ T m I T f t tdt M 0 ()cos 2 ω θ (29),(30),(31),(32)
(
I R)
L=tan−1F /F β ， βM =tan−1(
M /I MR)
， F t A t m F sinω ) ( = 0 ， M(t)=AM0sinωmt (33),(34),(35),(36) ここで，f2(t)は強制加振時の風直交方向風力，fθ(t)は強制捩れ振動時の捩れモーメント，F(t)は風直交方向(x2方 向)強制加振力，M(t)は x3軸廻りの強制モーメント，ωmは加振角振動数(=2πnm)，T は評価時間である。 風直交方向強制加振時の無次元風速Vr (=Uin/nmB)と非定常空気力の関係を図-4 に示す。図中には既往の実験 結果 16)も併記する。計算結果は，Vr=2 の変位比例成分 CLR以外はCLR,CLI,βF共に概ね計算結果と良い一致を示 している。速度比例成分CFIに着目すると，空力不安定振 動の要因となる正の値が実験結果と同様に Vr=2.75 なら びにVr=4.5～8 の範囲で生じている。これらの無次元風速 は渦励振ならびにギャロッピングの発振風速に対応する。 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 Cp Exp.13) Cp' Exp.13) Cp Cal. Cp' Cal. Cp,Cp'front side rear
図-3 平均ならびに変動風圧係数分布 計算領域 計算格子数 Re数 乱流モデル 計算時間 時間間隔 x1×x2×x3=32D×22D×4D Nx1×Nx2×Nx3=187×123×21 Re=22000 標準Smagorinsky Model(Cs=0.13) 500(強制振動時),1000(自由振動時) 0.002 空間差分 移流項 3次風上(UTOPIA) その他 2次中心 時間進行法 Adams-Bashforth法 圧力解法 HSMAC法 最小格子幅 dx1=0.05D,dx2=0.05D,dx3=0.2D ) / (UinDν ) / (tUin D ) / (dtUin D 表-1 計算概要 流入境界: 物体壁面境界:No-slip x2方向境界: 流出境界: 0 1 1= ∂ ∂ x u x3方向境界:Periodic D 22.0D 11.0D 21.0D B=2D 注)計算領域と角柱の スケールは異なる x1 x2 座標原点 0 , 2 3 1=Uinu =u =pin= u 0 1 2= ∂ ∂ x u 0 1 3= ∂ ∂ x u x1 x3 0 , 2 3 1=U u =u = u in L=4.0D 図-2 計算領域ならびに境界条件
Vr＝2 の変位比例成分 CLRの値は，計算結果と実験結果で大きく差異が生じ，特に符号も異なっている。しかし， 加振振幅は異なるが他の既往の実験結果 17)では本計算結果と同様に大きな正の値が生じており，この付近の現象 については慎重な判断を要する。 捩れ強制加振時の無次元風速と非定常空気力の関係を図-5 に示す。図中，既往の実験結果18)も併記する。捩れ 強制加振の計算結果は，風直交方向強制加振と同様に，Vr=2 の変位比例成分 CMR以外は，CMR,CMI,βM共に既往 の実験結果を概ね再現している。風直交方向強制加振と同様に速度比例成分 CMIに着目すると，渦励振が生じる Vr=3 付近と Vr=8 以上で実験結果と同様に空力不安定振動の要因となる正の値となっている。 以上のことから，本論で示した非慣性系座標による LES 計算は，矩形断面構造物の風直交方向ならびに捩れ方 向の非定常空気力を良好に再現していると言える。物体と共に回転する非慣性系座標においては，回転中心から遠 い位置で回転による見かけの風速が大きくなり慣性系座標と大きく異なる風速分布となる。本論で示した境界条件 ((11)式~(16)式)ではその見かけの風速が忠実に考慮されているため，並進運動と回転運動を伴う物体に固定された 非慣性系座標によるLES 計算を良好に行うことが出来る。 ４．３自由振動時の風直交方向変位ならびに捩れ角 風直交方向(x2方向)ならびに捩れ方向(x3軸廻り)の自由振動計算の計算条件を表-2 に示す。風直交方向自由振 動時のスクルートン数 Sc(=2mδ/(ρBDL),m:質量，D:見付面積，B：奥行，L:スパン方向長さ，ρ:空気密度，δ=2πh， h:減衰定数)は 3.0，捩れ自由振動時のスクルートン数 Sc(=2Iδ/(ρB2D2L),I:慣性ﾓｰﾒﾝﾄ)は，5.5 とした。これらは既往 の実験結果 19),20),3)に合わせて設定した。ここで，風直交方向自由振動と捩れ自由振動はそれぞれ別々に計算して いる。また，早期に空力不安定振動を発生させるために計算初期に強制加振を加えた。加振振幅と加振時間は，風 直交方向振動時では0.1D~0.2D，無次元時間 T(=tUin/D)=0~10，捩れ方向ではそれぞれ 0.01~0.09rad.，T=0~5 であ る。計算結果の振幅は，T=600~1000 の x2方向変位X2並びにx3軸廻りの捩れ角θの標準偏差を 2倍した値とした。 風直交方向に自由振動をする場合の無次元風速(Vr=Uin/n0B)と無次元振幅(X2/D)の関係を図-6 に示す。図中には 既往の実験結果19,20)も併記する。実験結果では，Vr=2 付近から渦励振による空力不安定振動が始まり，Vr=2.75 付 -180 -90 0 90 180 0 2 4 6 8 10 12 Exp.18) Cal. Vr β M[deg.] -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0 2 4 6 8 10 12 Vr CMI -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0 2 4 6 8 10 12 Vr CMR 図-5 捩れ強制加振時の非定常空気力係数 (a) 変位比例成分 Vr 捩れ強制加振時の非定常空気力係数 (b)速度比例成分 (c)位相差 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 0 2 4 6 8 10 12 Vr CLR -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 0 2 4 6 8 10 12 Vr CLI -180 -90 0 90 180 0 2 4 6 8 10 12 Exp. 16) Cal. Vr βL[deg.] (a) 変位比例成分 (b)速度比例成分(b) Vr (c)位相差 図-4 風直交方向強制加振時の非定常空気力係数
近でピークとなる。Vr=4 付近で一旦振幅は小さくなり，Vr=6 付近以降風速が高くなるに従いギャロッピングによる大振 幅が発生する。本論の計算結果は，ギャロッピング時の振動振幅が若干大きいが，概ね実験結果を再現している。 x3軸廻りに捩れ振動をする場合の無次元風速と捩れ角θの関係を図-7 に示す。図中既往の実験結果3)も併記する。 図-7 より，捩れ自由振動も計算結果は実験結果と良い一致を示している。捩れ自由振動においても高風速域のフラ ッター振動振幅が若干実験値に比べて大きいが，橋梁の耐風設計で重要となる空力不安定振動の発振風速は定量 的にもよく再現されている。 ５．おわりに 本論では，物体に固定した非慣性系座標での LES の基 礎方程式を示すと共に，非慣性系座標の計算領域外側の 境界条件を明記した。本論で示した計算手法により辺長比2 の風直交方向と捩れ方向の強制加振振動時ならびに自由 振動時の計算を行った。計算結果はいずれも既往の実験結 果と良い一致を示し，本論で示した非慣性系座標系での LES の有用性が認められた。 本研究は JSPS 科研費<基盤 研究(C)25420599>の助成を受けたものです。 Sc数 風直交振動(x2方向) 捩れ(x3軸)振動 減衰定数:h 物体密度: 慣性ﾓｰﾒﾝﾄ:I 375[kg/m 3] 538.67[kgm2/m] 空気密度: 3.0 5.5 1.0[kg/m3] 0.000637 0.00325 初期加振振幅 0.1D~0.2D 0.01~0.09[rad.] ρ b ρ 表-2 自由振動計算時の条件 参考文献
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