宇宙物理学II

宇宙物理学

II

総研大 2008年度

小玉英雄

講義計画

1.

序論

1. 宇宙の階層構造 2. 宇宙の物質組成 3. 宇宙論の歴史

2.

膨張宇宙モデル

1. 一般相対論の復習 2. 定曲率空間 3. 一様等方宇宙 4. 様々な宇宙モデル 5. 初期特異点

3.

宇宙を測量する

1. 宇宙赤方偏移とホライズン 2. 宇宙パラメータの決定法 3. 宇宙の距離はしごとハッブル定数 4. 宇宙の加速膨張

4.

物質組成の進化

1. 熱化学平衡とSahaの式 2. 宇宙の熱史 3. 非平衡反応による粒子数の変化

5.

CMBで見る宇宙

1. 宇宙の晴れ上がり 2. 重力不安定とJeans長 3. 宇宙の音波 4. ゆらぎから銀河へ

6.

素粒子標準モデルでひもとく宇宙の歴史

1. 粒子反粒子プラズマ 2. ニュートリノの乖離とp/n比 3. 元素合成

7.

物質の起源を求めて

1. ダークマター 2. CPの破れとアクシオン 3. バリオン数の起源

8.

ビッグバンの起源に迫る

1. ビッグバンモデルの諸問題 2. インフレーション 3. 宇宙の創生

9.

参考文献

1.1

太陽と太陽系

紀元２世紀 天動説の完成（太陽と惑星系）



Ptolemy (Klaudios Ptolemaios)

90頃---168頃



『アルマゲスト』（最大の書）（正式な書名は、『メガレ・

シンタクシス / メガレー・シュンタクシス テース・アス

トロノミアース Megale Syntaxis tes Astronomias』

（天文学大全））

Tycho Brahe

1546－1601

1510年頃 地動説(太陽系)

 最初の宇宙原理



Nicolaus Copernicus

1473―1543

『天球の回転について』 （１５４３）



Galileo Galilei 1564－1642

望遠鏡の発見と活用．円運動に固

執し，Keplerの法則を受け入れず．

[ 1～10 au: 1au=149,597,870km ]

１６１８年 Keplerの３法則



Tycho Brahe 1546－1601

（

１‘の精度で実視観測

．年周視差が観測されな

かったため，地動説を否定）



Johannes Kepler 1571－1630

１６８７年

Newtonの運動３法則



Isaac Newton 1642－1727

第1法則 : 惑星は、

太陽

をひとつの

焦点

とする

楕円

軌道

上を動く。

第2法則 : 惑星と太陽とを結ぶ

線分

が単位時間に描

く面積は、一定である（面積速度一定）。

第3法則 : 惑星の

公転

周期の2乗は、軌道の

半長径

の3乗に

比例

する

銀河系

１８世紀

銀河系の概念

 Frederick William Herschel 1738－1822

反射望遠鏡（口径1.26m）による観測：天王星の発見(1781)，星雲の

カタログ，太陽系の固有運動，連星の発見，星数計測による天の川の 星分布図（銀河モデル），太陽光の赤外線成分の発見

１８３８年

年周視差の観測

 Friedrich Willhelm Bessel

１８４０年頃 写真乾板の導入

 J.J.M. Daguerre  John Herschel

Keyword: 等級と光度

 見かけの等級 m

もともと，最も明るい星を１等級，かろうじて見える星を６等級とした，星の明るさの分類 （「アルマゲスト」）． １９世 紀，天文学者Norman Robert Pogsonは，こと座ベガを０等として，明るさが1/00倍のときΔm=5と定めた．

 絶対等級 M:

星を10pcの距離においたとしたときの見かけの等級

M=m– 5 log₁₀ d / 10 pc M－M⊙= －2.5 log10 L/L⊙

 距離指数： m － M

 実視等級(visual magnitude), 写真等級(photographic magnitude), 放射等級（bolometric

magnitude）  UBV系： U(3650±700 Å), B(4400±1000 Å), V(5500±900Å) 絶対等級は MU, MB, MVと表示．対応する光度は，LU, LB, LV Johnson系では U, B, V, R （可視），I, J, H, K, L, M, N, Q （赤外）  色指数： U－B, B－V  光度の関係： L_B≒ 0.7 L_V , L_bol ≒ 2 L_V

系外銀河と宇宙膨張

１９１２-年 変光星の光度・周期関係

 H.S. Leavitt: 小マゼラン星雲内の25個のCepheid型変光星(1912)  H. Shapley: 球状星団のRR Lyrae型変光星(1916)  銀河ハロー内の球状星団分布(1918)

１９２４年

系外銀河の発見

 銀河群，銀河団という階層の認識

 星雲の存在は古くから知られており，銀河団についても距離を別にして星雲の集団として認識されていた．

例えば，乙女座銀河団(Virgo, 約20Mpc)は 1781年にCharles Messier(1730－1817)により発見されて いた．

１９２９年

宇宙膨張(Hubbleの法則)

 V. Slipher

系外銀河からの光のドップラー変移の発見（1912－）

 Edwin Powell Hubble 1889－1953

Wilson山天文台2.5m 反射望遠鏡による遠距離天体観測 変光星によるアンドロメダ銀河の距離決定

 Cepheid法による２４個の銀河（2Mpc以内）について距離と後退測度を決定

V Hubbleの法則

宇宙の大構造

１９８６年

宇宙の大構造: ボイド，フィラメント，グレートウォール



CfA survey 1977－1982, 1985-1995: 18,000 galaxies



Southern Sky Redshift Survey: -1998 ; 5,400 galaxies



Las Campanus 1987-1997: 26,000 galaxies



2dF －2003: 220,000 galaxies



6dF 2001-2005:150,000 galaxies



SDSS survey 2000－2005,2005-2008: 790,000 galaxies

宇宙の大規模構造



泡構造



銀河はフィラメントや面上のネットワークを作って分

布し，至る所にそれらに囲まれた銀河の非常に少

ない領域（ボイド）が存在．



ボイドの平均サイズは 22 h

₇₀-1

Mpc程度



宇宙のGreat Wall/Southern Wall



我々の銀河系から100Mpc程度の距離の北天に，

長さ100Mpc程度，厚み・太さ10Mpc程度の壁上の

巨大な銀河集団が存在(CfA2)．



南天にも類似の構造あり(SSRS2)．



Superclusters



Local Superclusters

Virgo clusterを中心とし，我々の銀河系はその縁

に位置する．



10

15

M

_⊙

程度の質量をもつ巨大な銀河の集団が点

在．

Great Wall

Local Supercluster

Perceus

Supercluster

銀河団



銀河団



50個～1000個程度の銀河集団



構成銀河は数百から千km/s程度の速度分散をもち，原子物質

の１０倍程度のダークマターを伴う．



1000万度から１億度程度の銀河間Ｘ線ガスを伴うものも多い．



銀河群



５０個以下の銀河集団



多量のガスを伴う（量は不明：ダークバリオン問題）．



我々の銀河とアンドロメダ星雲は他の４０個程度の小さな銀河

とともに局所銀河群を作る．

銀河についての基本情報



分類 (Hubbleタイプ）



楕円銀河(Elliptical galaxies)



S0型銀河（Lenticular galaxies)



渦巻き銀河(Spiral galaxies)：SA/SB



不規則銀河（Irregular galaxies)

楕円銀河



特徴

 ほとんどガスや塵を含まないPopII星の高密度星団．  高銀河密度領域に多く(40%)、低密度領域では10%程度．  軸比 1 – 0.3 (E0 – E7)

 表面輝度に対するde Vaucouleurs law (1948)

有効半径R_eは明るい銀河に対して、3h-1 _{kpc程度 [Kormendy} 1977]． 

内部運動

 回転はほとんどしていない．  速度分散はFaber-Jackson lawに従う． 

光度分布

渦巻き銀河

 特徴  大量のガスや塵を含み、PopI星が円盤状に集まった星団．中心部にバルジ と呼ばれるPopII星の球状星団をもつ．  低銀河密度領域に多く（80%）、銀河団コアなどの高密度領域ではわずか (10%)．  ディスクの表面輝度は指数則に従う． ディスクスケール Rd' 3h-1kpc, 中心輝度は I0' 140 L⊙pc-2  内部運動  回転運動をしており、回転速度は外部で一定となる。この値は、200 – 300 km/s  Subsystems  散開星団  ディスク内の若いPopI星の102-103_{個の集団．}  サイズは1-10pc.  年齢は <108年  我々の銀河内に105個程度．  球状星団  ガスや塵を含まないPopII星の104-106_{個の集団．}  中心密度は 104_M ⊙pc-3  サイズは <50pc.  年齢は 1010年程度  我々の銀河内に200個程度．

Milky Way

Dark Matter

我々の銀河の回転曲線

輝く物質量からの予想値

太陽の位置

渦巻き銀河には普遍

的にダークハローが

存在

Abell 520 (NASA/Chandra)

衝突銀河団では、高温ガス（赤）とダー

クマター（青）が異なる分布をしている。

リング状の分布をする銀河団

ダークマター

1.2

様々な天体

１９３１年

白色矮星の質量上限 S. Chandrasekhar

１９３２年

中性子の発見

 中性子星の存在予想（Landau）

１９３３年

ダークマターの発見

F. Zwicky Coma clusterの重力質量と光学的質量の違いに着目

１９３９年

重力崩壊 J.R. Oppenheimer, H. Snyder

１９４４年

星の種族

 元素の起源

Wilhelm Heinrich Walter Baade 1893－1960

 種族Ｉ : 銀河面に属する若い星． X=0.7, Y=0.28, Z=0.02  種族II: 銀河中心核や球状星団に属する古い星： Y=0.25±0.03, Z=2×10-3～ 2×10-5  種族III: 宇宙でできた第１世代の星

１９４６年

ビッグバン理論

George Gamov 1904－1968

１９５７年

元素の起源

Geoffrey Ronald Burbidge, Margaret Burbidge, William Alfred Fowler, Fred Hoyle (3α反応)

１９６２年

星の進化論

１９６２年

Ｘ線星の発見

 活動的天体，X線天文学，

Bruno Rossi

１９６３年

QSOの発見 Schmidt

１９６７年

電波パルサーの発見 A. Hewish, S.J. Bell

１９６０年代終 GRBの発見

１９７３－７８年 ブラックホールの発見（CygX-1）

宇宙進化モデル

１９６５年 CMBの発見

Arno Allan Penzias, Robert Woodrow Wilson

１９８１年

インフレーション宇宙モデル

１９９２年

COBE観測

CMBスペクトルの精密観測，温度非等方性の検出

１９９８年

宇宙の加速膨張の発見

Supernova Cosmology Project(Perlmutter et al)

High-z superova team (Riess et al),

１９９９年

インフレーション予言の確認

Boomerang; Boomerang3 2005

第２章

2. 1

2. 2

2. 3

一様等方宇宙モデル

Hubbleの法則(1929)

銀河の後退速度 / 距離

v= H

₀

r

宇宙の膨張と一様等方性

Robertson-Walker宇宙モデル

• 空間は一様等方で，一様な曲率 K をもつ

• 空間のサイズ a(t)が時間 t 共に増大

K=0

K>0

K<0

基礎方程式

時空次元 D=1 + n

 等長変換群 G=ISO(n), SO(n+1), SO(n,1) ) 空間は定曲率

 時空計量

 エネルギー運動量テンソル

 Einstein方程式 G_µν +

Λ

g_µν=

κ

2 T_{µ ν}

 エネルギー保存則 rν T_µν=0 

2. 4

宇宙パラメータ



宇宙膨張の方程式



エネルギー方程式



物質組成

密度パラメーター

ハッブル定数

wパラメーター(関数）

単純な宇宙モデル

w=一定のとき 特徴



Λ<0 の時，常に宇宙は有限時間で収縮を始

める．



Λ=0の時は，K=0ないしK<0なら，宇宙は膨張

を続ける．



Λ>0の時，Kがある正の臨界値より大きいと，

再収縮するとサイズが有限な最小値を持つ解

の２つが存在．

Friedmannモデル

(D=4, Λ=0, Ω

_M

=Ω

_n

+Ω

_r

)



Ω

_Μ

=1 (Einstein-de Sitterモデル: K=0）



Ω

_Μ

<1 (Openモデル; K<0）

平坦モデル

(K=0, w=一定)



物質優勢(4D,Λ=0): γ=2/3,

t

₀

=2/(3H

₀

)=9.3 Gyrs (0.7/h)



輻射優勢(4D ,Λ=0): γ=1/2,

t

₀

=1/(2H

₀

)=7 Gyrs (0.7/h)



Flat ΛCDM (4D, Ω

_M

=0.25):

t

₀

_{' 1.01 /H}

₀

=14Gyrs (0.7/h)

2. 5

時空特異点

 宇宙膨張の加速度 （宇宙項Λはρ = -P = Λと対応．）  宇宙の初期特異点  強エネルギー条件 が満たされれば、必ず有限な過去にa=0となる．すなわち，宇宙は有限な年齢をもつ．  Big-Rip特異点  w<-1のとき，α=-n(1+w)/2(>0) とおくと， より，有限な時間でスケール因子も密度も発散

Raychaudhuri方程式

強エネルギー条件

R

_µν

V

µ

V

ν

_¸0

が満たされるとき，



重力は引力となる．



一旦収束し始めた非回転的光線束（時間的測地線

束）は 有限時間内に「一点」に収束する．

Hawking-Penroseの特異点定理



強エネルギー条件（＋一般性条件）



因果性条件



強重力条件（捕捉的集合の存在）

の３つの条件が満たされるとき，無限に延長できない光的

ないし時間的測地線が存在する

第３章

3. 1

光の伝搬



光波面の方程式

RW計量が と表される座標系において， 

宇宙論的赤方偏移

動径距離χの位置から時刻 t およびt+∆ t に出た光が原点χ=0 に到達する時刻 をそれぞれ t₀, t₀+∆ t₀ とすると

これより，時刻 t に共動的天体から出た光の赤方偏移は

ホライズン



粒子ホライズン

 時刻 t の観測者を頂点とする過去の光円錐は  時刻 t までに観測できる球領域の共動半径 L_H（ｔ） は  L_H は次の条件が満たされると有限となる．  L_H（

ｔ

）は，初期面上の１点から出た光波面の時刻 t での共動 半径と一致する． 

Hubbleホライズン

 ゆらぎの力学的振る舞いなどでは，Hubbleホライズン半径 1/Hが上記のL_H(t)より重要となる．  Friedmannモデルでは，Hubbleホライズン半径は L_H(t) と同 程度となり，時間 t に比例して増大する． 初期面 宇宙晴上 り 現在 時間

宇宙パラメーターの決定法



幾何学測定



半径と円周長，半径と面積



半径と体積 （例えば，距離と銀河数の関係）



物質の存在量，組成の観測



電磁波（電波・赤外線・光・Ｘ線観測） ) ガスの量



銀河・銀河団の構造・運動，重力レンズ ) ダークマターの量



宇宙サイズの時間変化の観測



過去の宇宙膨張率 H の測定



宇宙膨張（進化）に依存した物理量（の関係）の観測



一般に，実際の観測量では，これらは複雑に絡み合う．

宇宙における天体までの距離測定



光度距離

固有光度 L，見かけの明るさ F

_obs

) L=4π d

L2

F

obs

) 光度距離 d

L



角径距離

固有径 D, 見込み角

θ ) D = θ d

_D

) 角径距離 d

D

:



一般に

固有量 + 見かけの量

⇒ 天体までの（様々な）距離

３．３

宇宙の距離はしごと

ハッブル定数

宇宙の距離はしご

方法 適用距離 年周視差測定 0～100pc 星団視差法 100pc～10kpc 散開星団主系列星 100pc ～ 50kpc Cepheid型変光星 10kpc～25Mpc Tully-Fisher法 10Mpc～200Mpc SN Ia 60Mpc～4000Mpc

Trigonometric Parallax



Hipparcos Satellite

1989.8.8 -- 1993.6

高精度視差観測衛星



角度精度 1/000''



118,274個の恒星の視差を観測



JASMINE

（Japan Astrometry Satellite Mission

for INfrared Exploration）

http://www.jasmine-galaxy.org/index-j.html

高精度赤外線位置観測衛星



角度精度 10 µs



１億個の恒星（銀河面の半分）を観測

予定

Star Cluster Parallax



散開星団の距離決定法



星団内の星の天球での運動方向の

交わり => 星団の運動方向



これと赤方偏移観測により，視線に

垂直な運動速度を決定．



この速度と天球上ので固有運動の

観測から距離を決定．



適用範囲；我々の銀河系内



標準距離指標のキャリブレーションに

利用



主系列星や赤色巨星の表面温度ー

光度関係



変光星の光度ー周期関係

Hyades: by Hipparucos

From Perryman et al.

(1998) A&A 331: 81:

Main Sequence Fitting



主系列星を含む星団の距離決定法



星団のHR図から主系列星を取り出す．



主系列星の温度ー光度関係と温度の観測から光度を決定



適用範囲：Magellan雲



キャリブレーションへの利用



SMC, LMC内のCepheid変光星の光度ー周期関係

Cepheid Variables



Cepheid型変光星の距離決定



周期光度関係

<M

_V

> = -3.53 log P + 2.13 (<B

₀

> - <V

₀

>) + f

f ~ -2.25: a zero point. P in days



適用範囲： 7Mpc (M101) on Ground; 25Mpc by

HST

Cepheidは超巨星であるため，遠方まで観測可能．

Hubble Key Project

H0= 71 ± 6 km/s Mpc

From 25 galaxies

Mould et al.(2000)

ApJ 529: 7867

RR Lyraes



RR Lyrae型変光星の距離決定



光度がほぼ一定：<M

_V

> = 0.75 ± 0.1



Cepeidより２等ほど暗い．

Planetary Nebulae



惑星状星雲を用いた銀

河の距離決定法



惑星状星雲の光度関数が

普遍的であることを利用



HII領域と比べて非常に明

るい[O III] l5007 輝線によ

るnarrow band観測が有

効



適用範囲；Virgo銀河団以

遠

Faber-Jackson Relation



楕円銀河の距離決定法



楕円銀河の光度Lと中心

速度分散

σの関係（L-σ

4

₎

を利用



適用範囲：

Tully-Fisher Relation



渦巻き銀河の距離決定法



渦巻き銀河のHI輝線の回転によるDoppler幅と絶対

光度の関係を利用



適用範囲： <200Mpc



問題点



分散が大きいため，銀河団内の５，６個の銀河のデー

タが必要



理論的根拠が不明

SNIa



Ia型超新星までの距離



光度曲線が、ピーク時の

色指数と光度減衰時間に

よりよく分類されることを用

いて，絶対光度を推定．



適用距離： >60Mpc



その他の距離指標



銀河の最も明るい星



HII領域



新星（ピーク光度と減衰時間相関）



銀河の表面輝度ゆらぎ



球状星団光度関数（普遍性）



渦巻き銀河の腕の太さ



Sosie法



銀河団の最も明るい銀河



GRBs

Hubble定数 by HST



Hubbleの法則

cz = H

₀

d (v/c

_{¿ 1)}



H

₀

の観測値

３．４

光度距離ー赤方偏移関係



赤方偏移 z と宇宙サイズ a の関係



距離と面積の関係

Flat ΛCDM models

Curved CDM models

Degeneracy

SNIa as a Standard Candle

Ia型超新星までの距離

 光度曲線が、ピーク時の色指数と光度減 衰時間により良い精度で分類されることを 用いて，絶対光度を推定．  適用距離： >60Mpc

これまでの観測

(High z) Supernova Search Team

1998 Riess AG et al

16 SNe Ia (z=0.16-0.62) + 34 nearbys 2004 Riess AG et al

16 SNe Ia (z>1.25 by HST) + 170 SNe

Supernova Cosmology Project

1997 Perlmutter S et al 7 SNe Ia (z=0.35-0.46) 1998 Perlmutter S et al 42 SNe Ia (z=0.18-0.83) 2003 Knop RA et al 11 SNe Ia (z=0.36-0.86, HST)

Supernova Legacy Survey 1st_yr

2005 Astier P

Supernova Legacy Survey

Dark Pie of the Universe

WMAP Collaboration: ApJ Suppl. 170:377 (2007) SDSS Collaboration: ApJ 633: 560 (2005) ダークエネルギー ダークマター 通常物質

第４章

4.1

現在の宇宙の物質構成



可能な成分



非相対論的: baryonic matter, light massive neutrinos; dark matters, (primordial) black

holes



相対論的: CBR(CMB, CIB, CXB), GW, massless neutrino



その他: Λ/Dark energy



エネルギー密度



h=0.696-0.762

) ρ

cr

=1.88

£ 10

-29

h

2

g/cm

3

= 2.77

£ 10

11

h

2

M

⊙

/Mpc

3

= 1.12

_{£ 10}

-5

_h

2

_m

p

/cm

3



Dominant components[ WMAP 3 yrs 1σ: flat power-law Λ CDM]

h

2

Ω

_b

=0.021-0.023, h

2

Ω

M

=0.114-0.134, Ω

Λ

=0.732-0.803



Radiations:

 CMB: T_CMB=2.735+/- 0.06 K (COBE) _{) h}2Ω CMB=2.39£ 10-5T2.74  IR/Optical/UV: Ω_ΙΡ+Ω_opt+Ω_UV» 5£ 10-7h-2  X: Ω_X» 6£ 10-9h-2 

エントロピー密度



CMB: s

_CMB

= 1440 T

_2.73

cm

-3 

Photon-baryon ratio: s

_CMB

/n

_b

=1.28

£ 10

8

(h

2

Ω

_b0

)

-1

cf. (s/n)

star

»30, s

opt

/s

CMB

» 10

-5

Baryonic matter



存在形態



星



恒星



中性子星・白色矮星・ブラック

ホール



褐色矮星



惑星・衛星



ガス



星間ガス



銀河群の暖かいガス



銀河・銀河団電離ガス



銀河・銀河団外ガス



Lymannα雲



組成



主要成分： 水素：ヘリウム＝１０：１

（個数比）



メタル



種族I: X=0.7, Y=0.28, Z=0.02



種族II: X=1-Y-Z. Y=0.25 +/- 0.03,

Z=2

_{£ 10}

-3

_{» 2£ 10}

-5 

重い元素間の相対比は種族によらない．



軽元素



He: Y

_p

=0.249 +/- 0.009



D/H = (2.78+/- 0.29)

£ 10

-5

,

(

3

_He/H)

p

» 10

-5 

(

7

Li/H)

_p

' 2£ 10

-10

Grevesse N & Sauval AJ: Adv. Space Res. 30: 3-11 (2002)

Solar Photospheric Abundance

Meteorite -Photosphere

4.2

熱力学



化学ポテンシャル



粒子の分布関数（Grand canonical ensemble)

自由粒子に対して，

 数密度

 エネルギー密度

近似式



Boltzmann近似:

mc

2

-¹

À T

ここで



光子型相対論的極限: TÀ |¹|, mc

2

熱化学平衡



一般論

全体でa種類の粒子A_i が互いに相互作用しているとする．起こりうる反応を，ki I(I=1,,b)を有理数の列 として，k_I

_¢

A ≡

∑

_i k A_i=

∑

_i ki_I m_i c2 ≡ Q Iと表す．ベクトル列 kIは一次独立にとることができる．このとき， n_iをA_i の粒子数密度として，c=∑_i li _n iの反応による変化は，∆ c/ l¢ kI．よって，独立な保存量（の密度） c_α=l_{α¢ nがa-b個存在．よって，反応が化学平衡にある条件を考慮すると，a個の独立な式} が成り立つ．これより，温度と保存量密度(c_α)が与えられると，すべての種類の粒子数密度(n_i)（および 化学ポテンシャルµ_i）が決まる． 

Sahaの式

化学反応 A + B + … $ C + … +Q に関して粒子数平衡が成り立つとき，自由エネルギーの極小条件より これより，非相対論的非縮対ガスに対して

，

電離平衡



水素



H

+

+ e

! H + γ, Q

_H

=13.6 eV に対して，X

_e

=n

_e

/n

_H

は

より，T

_rec

_{' 3800Kより高い温度では水素はほぼ完全電離する．}



ヘリウム



He

+

+ e

! He + γ : Q

_HeI

=24.6 eV

) T

HeI

' 7,000K

He

++

_{+ e}

_{! He}

+

+ γ: Q

HeII

=54.0 eV

) T

HeII

' 16,000K

よりHeの電離する温度はさらに高くなる．

4.3

宇宙の熱史（概要）



エントロピー密度

4.4

非平衡な粒子数変化



一般論



種類 i の粒子の数密度を n

_i

, その単位時間当たりの消滅率をα

_i

,

生成率を

β

_i

、宇宙膨張率をHとすると、

が成り立つ。ここで、

Γ

_i

, Λ

_i

は注目している相互作用系の温度T

と保存量密度c=(c

_α

)の関数。



宇宙膨張が無視でき、完全な化学平衡にあるとき、n

_i

=n

_i(0)

(T,c)（熱化学平衡値）が成り立つ。これより、Γ

_i

と

Λ

_i

の依存する

粒子数が化学平衡にあるなら、それらの間には

Λ

_i

_=n

_i(0)

Γ

i

の

関係が成り立つ。このとき、



Γ>> Hのとき

において、第２項は宇宙膨張より速くゼロに近づく。さらに、第３項と第１項の比は

H/Γ

_i

の程度となる。したがって、良い精度で n

_i

(t)=n

_i(0)

_{(t)が成り立つ。}



Γ<< Hのとき

より、a

3

_n

(0)

_{が単調減少のとき、}

よって、

なら、(a

3

_n)(t)

_{' (a}

3

_n)(t

0

) が良い精度で成り立つ。



粒子数の凍結

以上より、粒子の反応率が

Γ /H <1 となると、その粒子数が凍結される。

第５章

Cosmic Microwave Background



1950年代

George Gamov



Heの起源を熱い膨張宇宙モデルにおける

初期宇宙での核融合反応により説明（

BBN)．



数度Kに相当する熱的背景放射を予言．



1964年 A.A. Penzias, R.W.Wilson



宇宙から等方的にやってくる約３Kに相

当する熱雑音電波を発見（1978年ノーベ

ル賞）



1990年代 COBE実験(John R. Mather

& George Smoot; 2006年ノーベル賞)



CMBのスペクトルが非常に高い精度で

Planck分布に従うことを確立し，温度を

精密に決定：

T

CMB

=2.728+/-0.004K



CMB温度の異方性を発見．

ピーク振動数： 160GHz

ピーク波長：

1.87 mm

COBE FIRAS

問題

:ビッグバン宇宙

Q5-1. 現在の宇宙は，約2.74KのPlanck

分布をする熱放射により満たされて

いることが知られている(CMB)．光

子ガスのエントロピー密度が

T

3

_に比

例することを利用して，宇宙のエン

トロピーが一定とした場合のCMBの

温度Tとスケール因子aの関係を求め

よ．また，T=3000K, 3800Kとなる時

期の赤方偏移の値と時刻を求めよ．

（解答）

T

3

a

3

_=一定

_{) T/ 1/a}

z

dec

= 1,100,

t

dec

= 3.8

£ 10

5

yr

z

rec

= 1,400,

t

rec

= 2.1

£ 10

5

yr

Q5-2. 現在のCMBの密度パラメーは

h

2

Ω

CMB

=2.39

£ 10

-5

T

2.74

で与えられる

．これより，熱輻射のエネルギー密度

とダークマターのエネルギー密度が等

しくなるときのzと温度，時間を求め

よ．

（解答）

z

eq

=Ω

DM

/Ω

CMB

=5,000,

T

eq

=15,000K,

t

eq

= 4

£ 10

4

yr

Q5-3. 輻射のエネルギーが支配的な時期

において，スケール因子の時間依存性

を求めよ．

（解答）

½

_{/ T}

4

_{/ 1/a}

4

_より，

(

da/dt)2/a

2

₌

Heq

2

₍

aeq/a)

4

宇宙の晴れ上がり



宇宙の光学的厚み



現在から測った宇宙の光学的厚み

τ は、n

_e

を電子数密度、

σ

_T

をThompson散乱

断面積として

X

_e

として平衡値を使うと、x=T

_rec

/Tとして

より、T

_dec

_{'3030Kで τ'1となる。}



WMAPの観測値とCMBFIRSTから決めた値は，T

_dec

' 3000K.



現実の宇宙は，z<z

_r

=10.9(+2.7/-2.3)(τ=0.10+/-0.03)で再電離(WMAP3yr)．

Jeans Length



半径Lのガス雲（領域）において，

 ガスの圧力勾配 δP/L » cs2δρ/L  単位体積当たりの重力 Gρ δM/L2_{» Gδρ ρ L} 両者が等しい長さ ) Jeans長 LJ » cs/(G

ρ

)1/2 = cs tff  L < L_J のガス雲は膨張し密度勾配が減少  L > L_J のガス雲は重力収縮し，さらに密度 が上昇． 

一様なガス雲のゆらぎに対して，

 波長λ < L_Jのとき，音波として伝播  波長λ > L_Jのとき，重力収縮によりゆらぎ は成長

圧力

重力

L

Evolution of Scalar Perturbations



Gauge-invariant equations for scalar perturbations

where C

_K

=1-nK/k

2

_.



Adiabatic modes

Subhorizon scales



c

_s

k/aH

À1, cs

k

À K とすると

WKB approximation

より



Radiation-dominated stage

w

_{' c}

_s2

=1/n, ½

/ 1/a

n+1

) ¢: const



Matter-dominated stage



Before decoupling:

w,c

_s2

/ 1/a, ½/ 1/a

n

) ¢/ 1/a

1/4



After decoupling:

Superhorizon scales

 |K|/H2a2¿1, kÀ |K|, ¿_T=0 とすると， 新たな変数 ©, Zを により定義すると，ゆらぎの方程式は これより，¡=O(¢)とすると 

例えば，w=一定のとき：

Curvature and ¤



Curvature-dominated stage: w=c

_s2

=0, K<0



宇宙項の影響



摂動方程式は



この解は，A =C

₀

/(a

n

H

2

) より，



これより，¤優勢となると，¢は一定となる．

膨張宇宙における

Jeans長

H

2

= 8π G

ρ

_/3

_{) L}

J

¼ c

s

/H

Cf. ホライズン長 L

_H

_{¼ c/H}



L

_J

は宇宙の晴れ上がり直前

で最大となる．



晴れ上がり前： L

_J

¼ L

_H 

晴れ上がり後： L

_J

< 10

-5

L

_H

時間 t

長さ

宇宙の 晴上り 宇宙の 加熱 現在 熱い膨張宇宙

c

_s

/H

c /H

CMB

Doppler Peak



CMBの音波（振動部分）

の波長には最大値 L

_m

_{¼ L}

_J

(t

_rec

)が存在する．



CMB温度の天球上でのゆらぎは，（近似的に）離散値

角度 / 波長 ¼ L

m

/ n

に対応する角度で強い相関をもつ．



L

_m

は，宇宙の（晴れ上がり前後での）物質組成と物理だけで決まる．

WMAP Collaboration: ApJ Suppl. 170:377 (2007)

Cosmometry by CMB



Dopplerピークの位置は空間曲率を決める．



Dopplerピーク波長はほぼ物理で決まり，宇宙物

質組成に敏感でない．



晴れ上がり時でのDopplerピークの波長 L

_p

とそ

れを見込む角度

θ

_p

の対応は，主に空間曲率に依

存：



WMAP観測



1

st

Doppler peak l

¼ 200 , K¼ 0



観測値： |Ω

_K

| < 0.1

第６章

素粒子標準モデルでひもと

く初期宇宙

６．１

核種平衡



Z p+ N n

! X(Z,A) + QX

に対して，

より，一般に

程度の温度で原子核X(Z,A)は分解する．



例えば，



重水素： Q

_D

=2.22 MeV

) T

_D

' 74keV' 8.6£ 10

8

K



ヘリウム：Q

_He

=27.25 MeV

) T

_He

' 300 keV.

e

-

_-e

+

_平衡



対生成・消滅反応 e

-

+ e

+

$ 2γ について平衡が成り立つとすると，µ

_e

+µ

_e+

=0より，

Boltzmann近似が成り立つとき，X

_e+

=n

_e+

/n

_p

に対して，

ここで



これより，TがT

_e

' m

_e

c

2

/25

' 20 keV以上となると，陽電子が電子と同数程度となる．



さらに，Tがm

_e

c

2

' 500keVより十分大きくなると，電子と陽電子の数密度は，いずれも光子

の3/4倍に近づく．このとき，光子のもつエントリピーは光子，電子，陽電子に，1:7/8:7/8の割

合で配分される．

p-n平衡



p/nの比を変える反応は



これらの反応について平衡が成り立つと，

µ

_e

=µ

_ν

'0として，

したがって、T>>Q

_n

では陽子数と中性子数は同数となり、逆にT<<Q

_n

(た

とえば、T=T

_D

)では、中性子はほとんど存在しないことになる。しかし実際

には、ニュートリノとの相互作用が

T

_ν

>> Q

_n

で無視できるようになるので、

平衡の場合より長く中性子が残存する。

６．２

ニュートリノ反応



ニュートリノ数の凍結



反応断面積：

σ» G

_F2

E

2

» α

2

E

2

/M

_W2

.



宇宙膨張率との比較：

Γ' σ(T/~ c)

2

_c

_{) Γ/H' α}

2

_M

pl

T

3

/M

W4

' (T/T

ν

)

3

.

より，T<T

_ν

_{' 3MeVでニュートリノ数は凍結．}



正確には，e

-

+e

+

$ ν + ν’において，ν

_µ

,ν

_τ

はZ粒子のみが寄与するのに対し

て，

ν

_e

に対してはWも寄与するので反応率が６．３倍あり，ν

_e

の乖離温度は

(500M

_W4

_/M

pl

)

(1/3)

' 1.2 MeVと少し低くなる．



残存ニュートリノ



ニュートリノ乖離後，電子陽電子対消滅によりそれらの持っていたエントロ

ピーが光子に流れるため，ニュートリノ数と光子数の比は減少する．



現在非相対論的（m

_ν

> 2

£ 10

-4

eV)な残存ニュートリノ(HDM)のエネルギー

６．３

P/N比



中性子数の変化する反応

 X_p+X_n=1に対して ここで，  反応率  Aは中性子の寿命より決まる：  また，Γ_pとΓ_nは詳細釣り合いの原理より，Γ_p=exp(-Q_n/T)Γ_n で結ばれる．



中性数の変化



X

_n

の発展方程式は，x=Q

_n

/Tとして，

に従う．ここで，R

_n

は，全統計的重みNおよびτ

_n

, Q

_n

を用いて次のように表される：



β崩壊の寄与（R

_n

の第２項）を無視したとき，X

_n

はT<<T

_n

» Q

_n

で定数に近づく．ここ

で，



この近似値をX

_n(0)

とすると，

β崩壊を考慮したX

_n

の振る舞いは，T<<T

_n

で



T=T

_n

でのX

_n

の値は1/6程度

Big-Bang Nucleosynthesis



合成反応



重水素： Q

_D

=2.22 MeV

) T

_D

' 74keV' 8.6£ 10

8

K



ヘリウム：Q

_He

=27.25 MeV

) T

_He

' 300 keV



重い元素生成の障害



A=5,8に安定な原子核が存在しない。

4

_He

p+n

D

3

H

3

He

7

Li

7

Be

D D D D p p p p n γ n p α n _n p n e γ γ γ γ γ 3He 3He 3H 2p ν_ε e

Time Evolution

 軽元素の観測  He: Y_p=0.249 +/- 0.009  D/H = (2.78+/- 0.29)£ 10-5  ( 3He/H)_p» 10-5  ( 7Li/H)_p' 2£ 10-10  エントロピーへの制限

4.5 < η

₁₀

=10

10

_{£ η < 6.5 (95%CL): η=n}

B

/n

γ

.

 バリオン密度パラメータで表すと

0.017 < Ω

_b

h

2

< 0.024 (95%CL) Cf. Ω

lum

' 0.0024 h

-1  Cf. 星でのヘリウム合成  SN rate:τ» 30yr, SN爆発をする星の質量 M » 10M_⊙、爆発で放出される重い元素の割合Z_SN» 0.6、銀河のガスの 総量 M_{G » 10}11_M ⊙とすると，宇宙年齢の間に宇宙空間に放出される重い元素の量Zは，  これは，種族Iの重元素組成を説明する．また，星の中での元素合成により観測されるヘリウムの量をとうてい説明で きないことも意味する．

PDG2006：review on BBN

Comparison bewteen calculations and

observation

第７章 物質の起源を求め

て

Quark-Hadron Transition



バッグモデル



ハドロン相：



クォーク相：



自由エネルギー



転移温度



バッグモデル



Lattice QCD: T

_QH

'160 MeV (相転移でない可能性大）

Philipsen O: PTP Suppl.

174:206 (2008)

Dark Matter



分類



HoT DM: m<100MeVのニュートリノ（実質的にν

_e

,ν

_µ

,ν

_τ

のみ）

最初輻射と熱化学平衡にあり，相対論的な時期でかつQH転移の

後に輻射と乖離



Warm DM:

QH転移の前に輻射と乖離することを除いて，Hot DMと同様



Cold DM: neutralinos, axions, …

WIMPs

 熱化学平衡値 粒子数が保存量でないとき，µ_X=0より  粒子数の凍結  粒子数の時間変化の方程式は，n_X=n_X’ として，  反応断面積が hσ vi= α₀(T/m_X)nと振舞うとすると，n_X/n_γ=(g_X/2)(3/4)F Y, x=m_X/Tとおくとき，  これより，凍結後の時期（x>x_*>1）での粒子数変化は  粒子数の凍結は，T_X' m_X/20で起きる．  密度パラメーター

７．２ ＣＰの破れとアクシオ

ン

Axion

電磁場との相互作用および質量が次式で与えられるとする．



密度パラメーター

 QCD axion (g_aγ» 10-3/f_a)に対し，PQ対称性の自発的破れのスケールをf_a，axion場の振幅に対応

する初期位相をθ_iとして、

ここで，κ_a=0.5_{»3 [PDG2006]}



観測的制限

 球状星団の水平分枝星（Heコア燃焼段階の星）の寿命推定より，ｇ_aγ<1/1010 GeV.  CAST実験：太陽からのアクシオンがCAST実験で検出されていないことより，

m_a<0.01 eVに対して，g_aγ<8.8 _£10-11 _GeV-1_(95%CL) [CAST Coll: JCAP 04:010 (2007)]

GUT

Standard model

GUT

Coupling Constant Unification

Standard Model

MSSM

Electroweak Transition



対称性の自発的破れ: U

_Y

(1)

£ SU(2) ) U

_em

(1)

 Weak boson Z, Wに質量を与える．  レプトンとクォークに質量を与える． 

Chiral Anomaly

 バリオンカレントを とおくと，カイラルアノーマリーより  巻き付き数 が変化すると，バリオン数も変化する： ∆ B=n_f ∆ n_w .

Baryogenesis



Sakharovの３条件



B非保存反応



CとCPの破れ



非平衡反応



GUT baryogenesis:

η » 0.01ε



SU(5): ∆(B-L)=0

 Heavy gauge bosons X: (3,2,-5/6) ! l_Ld_R (1/3), q_L’u_R’(-2/3), q_Le_R(2/3)

 Heavy higgs bosons H: (3,1,4/3)! u_r e_r(1/3), q_Ll_L(1/3)d_R’u_R’(-2/3),q_K’,q_K’(-2/3)



SO(10): ∆(B-L)≠0



Electroweak anomaly



Winding numberの変化は，バリオン数の変化を生む：

∆ B=∆ B

₅

=n

_f

∆ n

_W

.



10

13

GeV> T>T

_c

' T

_EW

で , spherelonの励起により

∆ B=∆ L を保って，

バリオン数とレプトン数が変化．

) B-L=0なら B=L=0に緩和．

よって，バリオン数がEW転移の後に残るためには，B-L≠0が必要．



逆に，レプトン数を生成しB-L≠0とできれば，EW転移の後にバリオン数が残

る．(Leptogenesis)

Cline JM: Baryogenesis, hep-ph/0609145

第８章

８．１

平坦性問題



（古典的な）宇宙の始まり



Einstein方程式



Planck時での空間曲率

平坦性問題は，宇宙初期に

エネルギー密度

ρ

_m

が曲率 K/a

2

_{より緩やかに減少する（i.e. 宇宙}

の加速膨張）

時期が十分長く続けば解消される．

Planck定数 h, 光速 c, 重力定

数 G

Planck時間

t

_pl

_{¼ 10}

-43

_s

Planck長

L

_pl

_{¼ 10}

-33

_cm

Planckエネルギー E

_pl

_{¼ 10}

19

_GeV

_{¼ 10}

32

_K

Planck時の曲率半径 > 10

30

_L

pl

ホライズン問題



Friedmannモデルを仮定すると



ホライズン問題も，

宇宙初期に宇宙膨張が加速する時期

が十分長く

続く 解消され

初期面 宇宙晴上り 現在 時間

我々がCMBで観測する領域のサイズ

は，宇宙晴上りの時点で，ホライズン

サイズの５０倍程度

観測領域で，CMB温

度ゆらぎは 10

-5

_程度

宇宙の一様等方性は，宇宙誕生時の

初期条件．量子論と整合しない．

宇宙膨張の起源

宇 宙の膨張速度 インフレーション 熱いビッグバン宇宙 現在の 宇宙の 加速 膨 張 暗黒時代 宇宙時間

なぜ宇宙は膨張を始めたのか？

宇宙構造の起源



Friedmannモデルを仮定すると、

宇宙誕生時のゆらぎのスペクトルは



観測は

「曲率ゆらぎがすべてのスケールで一定」(Harrison-Zeldovichスペクトル）を支持。

L

モノポール問題

素粒子標準モデルの構造と

限界

大統一理論

宇宙初期での相互作用

の分化

宇宙相転移

位相的励起の過剰生

成（モノポール、宇宙

ひも，ドメインウォー

ル）

バリオン数生成

相互作用強度 重力 U1 SU₂ SU₃ 電磁力 1012_{K 10}15_{K 10}28_{K 10}32_K GUT ??? QH WS 温度 GUT

インフレーション

真空のエネルギー

８．２

インフレーションモデル

宇 宙の膨張速度 インフレーション 熱いビッグバン宇宙 宇宙時間

宇宙初期での

加速膨張

• ビッグバンの起源

• 平坦性問題

• ホライズン問題

• モノポール問題

• 宇宙構造の起源

解

決

インフラトン =重力が斥力となる物質

宇宙加熱（graceful exit）問題

新インフレーションモデル カオスインフレーションモデル

量子ゆらぎから銀河へ



インフレーション時



インフラトンの量子ゆらぎは，波長が1/Hとな

るときにほぼ一定の振幅をもつ（モデル依

存）．



ゆらぎは，波長が 1/H を超えると，それに伴

う曲率が時間的に変化しなくなる．

インフラトンの量子ゆらぎはスケール不変な

宇宙ゆらぎを生成する．

同様に，インフレーションによりスケール不

変な重力波背景放射が生成される．



インフレーション後



インフラトンのゆらぎは再加熱により通常の

物質密度のゆらぎに変化し，CMBの

スカラ

型ゆらぎ

を生み出す．



重力波背景放射は宇宙晴れ上がり後，

CMBに

テンソル型ゆらぎ

を誘起する．

_{時間 t}

長さ

宇 宙の晴上り 宇 宙の加熱 現在 熱い膨張宇宙

予言



現在の宇宙は非常に平坦で

ある．



宇宙構造の種となるゆらぎは

Zeldovichスペクトルとなる．

曲率ゆらぎはスケール不変

, n

s

¼ 1

WMAP data:

n

_s

= 0.951

+0.015 -0.019

課題



インフレーションの詳細は不明



加速膨張の程度，期間



インフラトン場のエネルギース

ケール



インフレーション後の加熱機構は不明



特に，再加熱温度と時間



基礎理論（重力を含む統一理論）のみに

基づいたインフレーションモデルは作ら

れていない．

Cf. 加速膨張に対するNo-Go定理

Future Experiments



Projects



Beyond Einstein (USA)



Cosmic Vision P. (ESA)



インフレーションのメカニズムを探るには，

重力波の観測が決定的．



CMB円偏光成分(Bモード)観測：

Polar Bear, Quiet (羽澄G）

Inflation Probe …



重力波の直接観測：

LISA, DECIGO

2010年代後半から宇宙物理学は黄金

期を迎えるであろう！

参考図書

全般



高原文郎著： 宇宙物理学 （朝倉書店，1999）



佐藤文隆著： 岩波講座現代の物理学１１ 宇宙物理 （岩波書店，1995）



湯川秀樹，林忠四郎，早川幸男編：岩波講座 現代物理学の基礎１２ 宇宙物理学（岩

波書店，1973）



小玉英雄著： 相対論的宇宙論 （丸善，1991）



小玉英雄著： 宇宙のダークマター （サイエンス社，1992）



シリーズ現代の天文学 全１７巻 （日本評論社，2007－）

星の構造・進化



Clayton DD: Principles of Stellar Evolution and Nucleosynthesi (UCP, 1983)



Kippenhahn R, Weigert A: Stellar Structure and Evolution (Springer, 1994)



Shu FH: Physics of Astrophysics I Radiation & II Gas Dynamics (University Science

Books, 1991, 1992)



Gallart C, Zoccali M, Aparicio A: The Adequacy of Stellar Evolution Models for the

Interpretation of the Color-Magnitude Diagrams of Resolved Stellar Population, Ann.

Rev. Astron. Astrophys. 43: 387-434 (2005).



Shapiro SL, Teukolsky, SA: Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars (John Wiley

参考図書



中性子星



Haensel P, Potekhin AY, Yakovlev DG: Neutron Stras 1 Equation

of State and Structure (Springer, 2007)



太陽ニュートリノ・ニュートリノ物理



Fukugita M: Astrophysical Neutrinos and Nucler Physics, Trends

in Nuclear Physics (CIII Corso, 1989)



Strumia A, Vissani F: Neutrino masses and mixings and …,

hep-ph/0606054.



Particle Data Group:

http://pdg.lbl.gov/2007/reviews/numixrpp.pdf



銀河系



Binney J & Tremaine B: Galactic Dynamics (Princeton U Press,

参考図書



宇宙論



Particle Data Group Live

http://pdglive.lbl.gov/listings1.brl?exp=Y



Kolb EW, Turner MS: The Early Universe

(Perseus Books, 1993)



Liddle AR, Lyth DH: Cosmological Inflation and

問題３



4

Heの光分解が起きる温度をSahaの式を用いて推定



問題４



宇宙の晴れ上がり近傍での水素の電離率X

_e

=n

_e

/n

_H

の時間変化を数値的に求め，Sahaの式を用いた場

合と比較せよ．



水素中性化以降でも有限な電子密度が残ることを考

慮して，現在から過去向きに測ったCMB光子の光学

的深さを時間の関数として求めよ．



残留自由電子とCMBとの相互作用を考慮して，宇宙

の晴れ上がり後でのバリオン的物質の温度変化と

Jeans長の変化を求めよ．



問題５



宇宙進化に伴う統計的重みg(T)の時間変化を温度の

関数として求めよ．