学術論文平面宇宙ロボットの滑らかな時不変フィードバック制御
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(2) 400. ラ ン ジ ャ ン ・ム カジ ー. 掃. 部. 雅. 幸. 泉. 田. 啓. を 制 御 に 拡 張 す る もの で あ り,非 ホ ロ ノ ミ ッ ク系 の 制 御 に 本 質. た だ し,h3=(h3. 的 に 新 しい 方 法 を もた ら す.. マ ニ ピ ュ レ ー タの 姿 勢 空 間 にお け るh3の. この 論 文 の 構 成 は,以 下 の とお りで あ る.2章 ル と数 学 的 準 備 に つ い て 述 べ る.滑 3章 で 示 す.閉 す る.目. で は,系 の モ テ. を 二 つ 提 案 す る.四. 論 を7章. 拘 束 は 非 ホ ロ ノ ミ ッ ク で あ る と演. の 非 ホ ロ ノ ミ ッ ク な性 質 は,式(1)を. て 積 分 して も理 解 で き る.積 分 す る と △ θ=∫P(h1dφ1+h2dφ2(4). と な る が,Pは. で 示 す.. 化 は,φ1と. らか に,方. φ2の 両 端 値 の み な らず,経. 路Pに. して 知 られ る 向変 数 θ の変 依 存 して い る.. も し,経 路 が 閉 じて い る と,θ の 変 化 は. 台 座 の リ ン ク と2回 転 関 節 を持 つ2リ. 外 力 と外 トル クが 作 用 し な い の で,多 動 量 が 保 存 さ れ る.初. マ ニ ピ ュ レ ー タの 姿 勢 空 間[17]と. φ1‑φ2平 面 に お け る 経 路 で あ る.明. の モ デ ル と数 学 的 準 備. ン クマ ニ ピ ュ レ ー タか. ら構 成 され る 平 面 宇 宙 ロ ボ ッ ト(Fig.1)を. 〓(5). 考 え る. 体 系 の 並 進 と回 転 の 運. 期 時 刻 に お い て,全. 動 量 が と も に零 と仮 定 す る.こ. で 与 え られ る.こ. 系 の 並 進 と回 転 の 運. の 並 進 運 動 量 の 保 存 は,ロ. トの 質 量 中 心 が 慣 性 的 に不 動 で あ る こ と を 意 味 す る.そ. 領 域,式(5)中. ボ ッ. 上 で,h3が. あ る. 一 次Lie括. の よ う に 表 せ る.. θ=h1(φ1,φ2)φ1+h2(φ1,φ2)φ2(1). 閉 じた 経 路,SはCで. 弧 積h3は. ,φ1‑φ2平. 面 の 特 定 の 点 で は零 で あ る.. そ の よ うな 特 異 点[11]の 軌 跡 はFig.2に. リンクの幾何学 パ ラ メー タ. と慣 性 パ ラ メ ー タ か ら計 算 で き る.状 態 変 数x△=(θ 制 御 入 力u1△=φ1,u2△=φ2に. ロ ボ ッ トの 運 動 計 画 問 題[23]や. φ1φ2)T,. 均 値 定 理 を用 い,式(5)を. 示 さ れ て い る.こ. の曲. 線 と呼 ぶ.平. 面宇 宙. 制 御 問 題 を考 え る 際,こ. の 曲線. を考 慮 す る こ と は 重 要 で あ る.説. 対 し,状 態 方 程 式 は 次 式 と な る. 面. 立 変 数 φ1と φ2の 閉. 属 変数 θ が変 化 す る こ とは 明 らか で. 線 を ゼ ロ ホ ロ ノ ミー(zero‑holonomy)曲 関 節 角 の 解 析 関 数 で,各. 囲 まれ た. 方 向 に依 存 し,移 動. 時 計 方 向 で は負 と な る.φ1‑φ2平. 恒 等 的 に零 で は な い の で,独. ル ー プ 運 動 に よ っ て,従. 節 角 φ1と φ2か ら な る よ う に 選 ぶ こ と が で き る(Fig.1). ン ク系 の 角 運 動 量 保 存 則 は,次. こ で,Cは. の 符 号 は 閉 じた 経 路Cの. 方 向 が 時 計 方 向 だ と正,反. れゆ え. 系 の 一 般 化 座 標 を,台 座 リ ン ク の 方 向 θ,マ ニ ピ ュ レー タの 僕. h1とh2は. 時 間に関 し. で は修正 制御 器. 運動 量保存. こ の3リ. 図(Fig.2)は,h3. の う ち の 二 つ は 修 正 制 御 器 に よ る もの で. 2.系 2.1角. り,式(1)の. 繹 で きる.こ. つ の 異 な っ た 場 合 に対 す る シ ミ ュ レ ー シ ョ. ン を6章 で 示 す が,そ あ る.結. の 定 理[22]よ. で 立証. 標 の 関 節 位 置 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミ ー 曲線 に近 い と き に,収. 束 率 が 悪 い と い う 問 題 を 克 服 す る た め に,5章. φ1‑∂h1/∂ φ2)で あ る.. が 恒 等 的 に は零 で な い こ と を 示 して い る.そ れ ゆ え,Frobenius. らかで時不 変 の制御 方 法 を. ル ー プ 系 の 平 衡 状 態 へ の 漸 近 収 束 は4章. 0 0)T,h3△=(∂h2/∂. 明 の た め に,積 分 法 の 第 一 平. 次 の よ う に 書 き換 え る.. .x =h1u1+h2u2(2)h. 1△=(h1 2.2一. 1. 次Lie括. 式(2)中. 0)T,h2△=(h2. 0. 1)T 〓こ こ で,φ1*,φ2*は,閉. 弧 積 運 動 と ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲 線. の ベ ク トルh1とh2のLie括. 線Cが. 弧積 は. Fig.. JRSJ Vol.16No.3. A planar. space. robot. with three. の 場 合,△ θ は 零 に な る の で,関. 運 動 に よ っ て,こ い.ま. Fig. 1. 118. 曲. 節 の 閉ル ープ. の 宇 宙 ロ ボ ッ トの 方 向 を変 え る こ と は で き な. た,h3(φ1*,φ2*)が 小 さい 場 合 も方 向 転 換 は 困 難 で あ る.. 2. Contour holonomy. links. な か に あ る 点 で あ る.閉. ゼ ロ ホ ロ ノ ミ ー 曲 線 を横 切 る 場 合,h3(φ1*,φ2*)は 零 か. も しれ な い.そ 〓 (3). 曲 線Cの. plot. of. h3. in. the ƒÓ1-ƒÓ2. space. and. the. zero-. curve. Apr.,1998.
(3) 〓. 平 面 宇 宙 ロ ボ ッ トの 滑 ら か な 時 不 変 フ ィ ー ドバ ック制 御. 3.滑 3.1問. 401. らか な時 不 変 フ ィ ー ドバ ック 制 御 法. 題定 義. フ ィー ドバ ッ ク漸 近 安 定 化 問 題 は,状 目 標 値xd=(θdφ1dφ2d)Tへ. を 設 計 す る 問 題 と定 義 され る.状. と定 義 す る と,フ (〓)→(0. 態x=(θ. φ1φ2)Tを. 漸 近 安 定 化 す る 制 御 入 力u1,u2 態変 数の誤 差 を. ィー ドバ ッ ク漸 近 安 定 化 は,t→. ∞ の とき. 0 0)と す る 制 御 入 力 を 設 計 す る 問 題 で あ る.. 3.2極. 座標 へ の変換. 関 節 変 数 の 誤 差 を 直 交 座 標 と して 取 り扱 い,そ う に,rと. れ ら を次 の よ. ψ の 極 座 標 に 変 換 す る.. 〓(6). 式(6)で. 表 さ れ る逆 変 換(r,ψ)→(φ1,φ2)は. れ る.し. か し,順 変 換 は,r=0で. 定 義 され な い.ほ. Interpretation. 式(10)を. 至 る所で定 義 さ. あ る(φ1,φ2)=(0,0)で. か の す べ て の 点 で,順. Fig. 3. of radially. isometric. orientation. 微 分 す る こ と に よ り,β が 次 の よ う に得 ら れ る.. は. 変 換 を次 の よ う に 定 義. す る. 〓(11) 〓(7) η3と. 式(6)と. そ の 微 分 を式(1)に. の 極 座 標 表 現 を得 る の で,簡. η4を. 代 入 す る と,角 運 動 量 保 存 則. 潔 に標 記 す る と次 の よ う に な る.. 〓(12). θ=η1(r,ψ)r+η2(r,ψ)ψ(8). と定 義 す る と,式(11)は,次. の よ うに 書 き換 え ら れ る.. 〓(9). 3.3動. 径 不 変向 角:定 義 と解 釈. 〓(13). 新 しい変 数,動 径不 変 向角 β を次 の ように定義 す る.. 注1:η1が. 複 雑 な た め,式(10)の. た 解 が 得 られ ず,β 〓(10). し,β. た だ し,式(10)の. 右 辺 第 二 項 は,関 節 変 数 を 直 線 的 に 目 標 値. を計 算 す る 際 に は 数 値 積 分 し て い る.し. は θ,φ1,φ2の. 3.4フ. 右 辺 第二項 の積分 の 閉 じ か. み に 依 存 す る 静 的 な 変 数 で あ る.. ィー ドバ ック制御 法. まず,式(6)と. 式(10)を. 用 い て,等. 価 な シ ス テ ム を作 る.. に 移 動 させ る と生 じる 方 向 の変 化 で あ る.関 節 変 数 がFig.3の Aか. らBへ. 至 る 開 い た 経 路Pに. 沿 っ て 動 くと き の β の 変 化 は. y=g1v1+g2v2(14) こ こ で,〓. で. あ り,〓 式(14)に. と 定 義 さ れ る.フ 対 してt→. 変 数v1とv2を. と き(θ,φ1,φ2)=(0,0,0)で. こ こで,OABOは. 経 路Pの. ψ=ψ1と. 交 わ り に よ っ て で き る 閉 じた 経 路,Sは て 囲 ま れ る 領 域 で あ る.明. ψ=ψ2の. 動 径 線 との. 閉経 路OABOに. え,β. は 開 経 路ABに. で あ る.こ. れ が,β. 関 す る 幾 何 学 的 位 相 を 表 す.定. を. 日本 ロ ボ ッ ト学 会 誌16巻3号. あ る.滑. す る制御. 際(β,r)=(0,0)の. らか で 時 不 変 の フ ィー ド. 次 の よ う に 提 案 す る.. よっ. 〓(15). ら か に,関 節 が 通 過 す る 経 路 が 開 経. 路 で あ って も,β の 変 化 は 面 積 分 に よ っ て 評 価 で き る.そ. β は 原 点(φ1,φ2)=(0,0)を. ∞ の と きに(β,r)→(0,0)と. 設 計 す る こ と で あ る.実. バ ッ ク 制 御v1とv2を. ィー ド バ ッ ク制 御 は,. 〓(16). れゆ. 義 よ り,. た だ し,β. は 式(10)よ. り 求 め る.ま. た,次. の 仮 定 を お く.. 通 る各 動 径 方 向 の線 に 沿 っ て 一 定. 動 径 不変 向角. と呼 ぶ 理 由 で あ る.. r(0)≠0,h3(φ1d,φ2d)≠0(17). 119. 1998年4月.
(4) ラ ン ジ ャ ン ・ム カ ジ ー. 402. 制 御 器 パ ラ メー タ α,β,n1,n2は た 正 の 数 で あ る.σ. 正 の 数,σ. の 適 切 な 選 び 方 は,4章. 掃. 部. 式(16)の. 制 御 変 数v1,v2と. 間微 分 に よ っ て 関 係 づ け ら れ る.そ. 式(6)の. を安 定 化 す る こ と は で き な い.そ. 点,ま. た. れ ゆ え,閉. の こと. 二 つ の 仮 定 は,実. 定 義vi=rよ. 界 か つ φ1と. か ら,rは. 大域 的 かつ 一様 に終 局的 有界 で あ るこ とが分 か って η3と 式(3)のh3の. 一 様 有 界 で あ る.ゆ. β=η4ψ=‑γ を得 る.上. の 不 安 定 な平 衡 点. ら に,式(15)か. と き に 制 御 変 数 はv1→0と 至 る と こ ろ 定 義 さ れ,r→0の 定. こ の 章 で は,式(18)の. とsinψ. 定 義1(登. の. 局 所 的 正 定 関 数Vを. 用 領 域):ゼ. (φ1d,φ2d)を 含 み,あ. れ ゆ え,u1と. 解 析. ロ ホ ロ ノ ミー 曲 線 は,h3(φ1,φ2)の. ら ゆ る点 でh3(φ1,φ2)がh3(φ1d,φ2d)と. 用 領 域 で,変. 証 明:定. 系 の状 態. 数 η4はh3(φ1d,φ2d)と. 義 よ りr>0で. な の で,式(22)よ. η3はh3(φ1d,φ2d)と. よ り,命 題 は 明 らか で あ る.□. 域 的 か つ 一 様 に終 局 的 有 界 で あ る.. 定 理1:(β. の ス カ ラ ー 関 数 を考 慮 す る.. (A)動 V(r)=1/2r2(19). とrの. の. (A)変 〓(20). す る.す. る と,Vと. 易 に 分 か る:(i)す. 数 δ を 点(φ1d,φ2d)と. てV(r1)<V(r2),か. な 正 の 数Eと. よ. つ(ii)す. 対 し. べ て のr∈Mfに. あ る.微. 小. と な る よ う に選. 軌 道 は 有 限 時 間 内 にN,={r∈R:r≦. な か に 閉 じ こ め られ る.補. 時 間 に お い て,動. そ の微 分 が次 の 条 件 を満 たす こ とは 容. ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 との 最 小. 第 二 の 仮 定 よ り,δ>0で. 制 御 器 パ ラ メ ー タ σ を σ+E=δ り,rの. に 入 り,NEの. の 補集 合 と. べ て のr1∈Mとr2∈McEに. す る と,. 零 へ 漸 近 収 束 す る.. ぶ.注4よ. σ√tank[n1β2]}. ら の 距 離 が 正 の 微 小 量〓. η4の 定 義. 零 へ の 漸 近 収 束). 距 離 とす る.式(17)の. ⊃MをMか. 同 じ符 号 を持 つ.式(12)の. 証 明:. 用いると. り小 さ い す べ て の 点 の 集 合 と し,M〓CをM〓. り,登 用 領 域 で. 仮 定 の 下 に 制 御 入 力 を式(15)(16)と. 極 座 標rは. ∞ の と. 関 し て 一 回連 続 偏 微 分 可 能.系. じた 有 界 集 合M={r∈R:r≦. 同符 号 を. 径 不 変 向 角 β は 零 へ 漸 近 収 束 し,か つ. (B)式(17)の. 以 下 の 条 件 を満 た す:(a)V≧0,(b)r→. 微 分 は,式(15)を. 符号. 持 つ.. 制 御u1,u2が,式(2)の. 軌 道 は,大. 用 い る と,文 献[22]. 同 じ符 号 を 持 つ 単 連 結 領 域 で あ る.. 極 限 で 消 失 す る. 性. ≠0. の 違 い に よ り,φ1一φ2平 面 を 二 つ の 領 域 に 分 け る.登 用 領 域 は,. ら 分 か る よ う に,. な る.そ. 径 不 変 向 角 β(t)は,任. の 不 安 定 性 定 理 よ り,明 ら か で あ る.□. 補 題1:rの. を定 義 し,M〓. の 定 義 よ り,. 動 的 シ ス テ ム の 平 衡 点r=0は,β. (θ,φ1,φ2)を 目標 値 に漸 近 的 に収 束 させ る こ と を証 明 す る.. と な る.閉. り,η4. で は 不 安 定 で あ る.. 補 題4:登 4.安. ∞,(c)Vはrに. え に,式(12)よ. 制 御 変 数v2=ψ. 式 の 右 辺 が 有 界 な の で,動. 証 明:式(19)の. 項 は 有 界 な ま ま で あ る.さ. き にV→. 関 係 を計 算 す る と. η4sign[h3(φ1d,φ2d)]tanh[n2β](22). 補 題3:式(15)の. 制 御 器 は 滑 ら か で 至 る と こ ろ で 定 義 さ れ る.. 軌 道 に 沿 っ たVの. 題1. 意 の 有 限 時 間 に お い て 有 界 で あ る.□. 常 に零 で は な い こ と を. は 変 数 ψ は 定 義 で き な くな る が,cosψ. 関 数Vは. φ2に お い て 周 期 的. 図 か ら 明 ら か で あ る.補. と き にr=0. 保 証 す る.. 証 明:次. 径不 変 向角 な わ ち,β(t). れ は,Fig.2のh3の. も一 様 有 界 で あ る.式(13)と. 用 上 の問題 にな. り,β ≠0の. れ は,式(16)のv2が. 注3:式(18)の. 用 い る と,動. で あ る.こ. と な る の で,η3は. 標 の 関節位 置が厳 密 にゼ ロ ホ ロ ノミー曲線 の上 に来 ない ため に. u2は. 制 御 入 力v2を. 意 の 有 限 時 間 に お い て 有 界 で あ る.す. η3=rh3(21). に系 の 軌 道 が と ど ま ら な い こ と を保 証 す る.第 二 の 仮 定 は,目. r→0の. な か に と ど ま る こ と も意 味 す る.. の 状 況 を 除 い て は,. は不 安 定 な平 衡 点 で あ る.第 一 の 仮 定 は,こ. T=0で. rの 軌 道 が 有 限 時 間 はNEの. 厳 密 に零 で あ る 領 域 は 大 き さ. を持 た な い の で,式(17)の. 必 要 で あ る.こ. 同 様 にNE. 一 様 な 終 局 的 有 界 性 は,. ループ 系 の平衡 点. の 注 と6章 の シ ミュ レ ー シ ョ ン結 果 で 説 明 す る.. ら な い.式(15)と. 対 す るM,と. の で,rの. い る.式(12)の. 点 か ら,原 点 へ 系 の 状 態. 任 意 の 系 の 状 態 か ら平 衡 状 態 に漸 近 的 に 収 束 で きる.こ. 注2:r(0)とh3(φ1d,φ2d)が. σ}を 考 え,Mに. は 有 限 発 散 時 刻 を持 た な い.. の 漸 近 安 定 性 を 要 請 し な い こ と に す る.こ. は,次. 啓. 証 明:式(3)のh3は,有. 制 御 は,初 期 時 にr=0の. つ φ2(0)=φ2dの. 田. を定 義 す る と,N,⊃MEな. β(t)は,任. u2=sinψv1+rcosψv2. は,φ1(0)=φ1dか. 泉. 補 題2:式(16)の. 時. れ ゆ え,制 御 入 力 は. u1=cosψv1‑rsinψv2(18). で 与 え ら れ る.式(18)の. 幸. N={r∈R:r≦. は適 切 に選 ばれ. で 述 べ る.. 宇 宙 ロ ボ ッ トに 対 す る実 際 の 制 御 入 力 で あ る 式(2)のu1, u2は,式(15)と. 雅. 題2よ. δ}. り,こ の 有 限. 径 不 変 向 角 β は 有 界 で あ る.rがNEに. 入っ. た 後 に,β. が 漸 近 的 に零 に収 束 す る こ と は,次 式 の リヤ プ ノ ブ. 関 数V1を. 用 い て 得 られ る.. 対 して. V1=1/2β2(23). 〓ゆ え に,rの 献[24]よ. 軌 道 が 大 域 的 か つ 一 様 に終 局 的 有 界 で あ る こ と は 文. 式(16)を. 用 い る と,V1の. 微分 は. り結 論 づ け られ る.□. 注4:rの. 一 様 な 終 局 的 有 界 性 は,rの. はMEの. な か に と ど ま る こ と を 保 証 す る.閉. JRSJ. 式(13)と. Vol.16No.3. 軌道が 有限時 間 〓(24). じた 有 界 集 合. 120. Apr.,1998.
(5) 平面 宇宙 ロボ ッ トの 滑 らか な 時不 変 フ ィー ドバ ッ ク制 御. と な る.V1は と が,以. 負 定 で あ り,t→. 下 の4項. ∞ の と き に β →0と. なる こ. か ら結 論 で き る:(i)βtanh[n2β]は. 正 定,. (ii)η4はh3(φ1d,φ2d)と. 同 符 号,(iii)h3(φ1d,φ2d)≠0,(iv). β ≠0な. 明 らか で あ り,(iii)は 式(17)の. ら η4≠0.(i)は. 定 に 基 づ く.(ii)は 補 題4お. よびNEが. と い う事 実 に 従 う.補 題3よ. β ≠0な. ら η3=rh3≠0が. 至 る と こ ろ,η3は. ら ばr=0は. 仮 定 よ りr(0)≠0で あ る.そ. 仮. 登 用領 域 の なか にあ る. り β ≠0な. な平 衡 点 で あ り,式(17)の 登 用 領 域 内 で はh3≠0で. れ ゆ え,登. 存 在 す る.さ. 同 じ符 号 で あ る.い. 不安 定 あ る.ま. た,. 用領 域 内で は. ら に,登. 用領 域 内の. ま や(iv)は,式(12). Fig. 4 Two different strategies for avoiding a zero surface integral; (a) first order Lie bracket motion, (b) second order Lie bracket motion. の η4の 定 義 よ り明 らか で あ る. (B)時. 刻t=0か. ら 開 始 し たrの. で 定 義 し たNEに. を 考 え る.こ. 値 を お の お のP0,P1,P2,… β(ti),2=0,1,2,…. 注4. れ ら の 時 刻 の β(t)の. と 表 す.言 で あ る.(A)よ. で β(の は 単 調 減 少 す る.そ β(t)≦Piで. 軌 道 が,t=Tに. 入 る と す る.T=t0<t1<t2<…. の 時 刻 列t0,t1,t2,…. 置 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲 線 に近 い と き だ け 使 わ れ る べ きで,そ. い 換 え る と,Pi=. 場 合 に 速 い 収 束 率 が 期 待 で きる.第 り,∀t≧T=t0. れ ゆ え ∀t∈[ti,∞)に. あ り,Pi≧Pi+1,i=0,1,2,…. 集 合Si={r∈R:r≦. 御 器 と同 様 に 一 次Lie括. おいて. は 二 次Lie括 で あ る.閉. σ√tanh[n1Pi2]}を. 5.2第. 定 義 す る.. とす る と,Ui+1⊂Ui,i=0,1,2,…. と な る.再. ら始 ま る 時 刻 列 を つ くる.時 刻tiに. の と き β(t)≦Piな. の で,補. 界 性 に よ り,t=tiか. 題1の. 対 して,∀t≧ti. 一修 正制 御器 の 制 御 器 は パ ラ メ ー タ σ の 制 約,す. に 起 因 し た 遅 い 収 束 率 に悩 ま さ れ る.こ. す る 一 方 法 は,β. 軌 道 はUi. の 選択. が 結 果 的 に単 調 減 少 す る よ う,関 節 経 路 を 有 限 期 間 は 完. 全 に登 用 領 域 に 閉 じ こ め る た め に 用 い られ た.こ. 大 域的 かつ 一様 な終局 的有. ら 始 ま る 有 限 期 間 の 後 にTの. に 閉 じ こ め ら れ る こ とに な る.こ. は,β. 二修 正制御 器. 弧 積 運 動 を用 い る.. な わ ち σ<δ. 帰 的 に時 刻. の. 一 修 正 制 御 器 は提 案 した 制. 弧 積 運 動 を 用 い る が,第. δ が 微 小 で あ る と,3章. Si⊂Ui={r∈R:r≦E+σ√tanh[n1Pi2]},i=0,1,2,…. t0=Tか. 403. の 限界 を克服. へ の 単 調 減 少 の 要 請 を外 す こ とで あ る.そ. う. す る と σ へ の 制 約 が な くな り,関 節 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 の 両. の 期 間 をti'と 表 し〓. 側 に動 け る よ うに,制. 御 器 を修 正 で き る.し. か し,β の 大 き さ. が 大 局 的 に 減 少 す る こ と を保 証 す る た め に,登 用 領 域 の 関 節 経 を定 義 す る.こ で あ る.い. ま やrの. 意 の κ>0に. 零 へ の 収 束 を 証 明 で き る.与. 対 し て,E+σ√tanh[n1PI2]<κ. E=κ/2とi=Iを. 注5:定. 閉 じこ め られ,r(t)∈UIと お い て,r(t)<κ. き にr→0と. 理1の(A)の. る と,σ. で,σ. 軌道は. な る.そ. れ ゆ え,. で あ り,こ の こ と はt→. 〓(25). た だ し,制 御 器 パ ラ メ ー タn3は. を σ=0.9δ. 式(17)の. の制御. に は 選 択 の 自 由度 が あ る.こ. ニ ピ ュ レー. つの修正 制御器. れ ゆ え,目. マ ニ ピュ レ ー タ の 関 節 制 限 を 回 避 す る よ う に σ を 自 由 に 選 べ る.そ. の 代 わ り,4章. の 議 論 は,も. 目標 の 関 節 位 置 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 に 近 い こ とは,δ が 微 小. 束 を 保 証 で き な い.修. 今 後 に研 究 す る余 地 が あ る が,こ. の た め に マ ニ ピ ュ レ ー タ関 節 は微 小 な 運 動 を 生 じ,台 座. の 遅 い 方 向 転 換 と遅 い 収 束 と い う結 果 に な る.続. 日本 ロ ボ ッ ト学 会 誌16巻3号. の制御 器 に比. べ て 速 い収 束 率 が 期 待 で き る.ま た,制 約 が 取 り除 か れ た の で,. お け る 制 御 器 の 限 界 に 関 す る 注 釈 を解 明 す る.. 二 つ の 修 正 制 御 器 を提 案 す る.こ. 標姿 勢 がゼ ロ ホロ ノ. 記 の 制 御 器 は3.4節. で あ る こ と を 意 味 し,相 対 的 に 選 ば れ る σ は さ ら に 小 さ くな る.そ. れ に よ り,マ ニ ピ ュ レー. もは や 関 節 経 路 が 登 用 領 域 に と ど ま る必 要 は な い の で,σ<δ と い う制 限 は 取 り除 か れ た.そ. 案 された制御 器 の限界. 3.4節 の 注2に. 常 に正. さ な 面 積 を周 回 し よ う とす る.. が必 要 なだけ なの. の 状 況 で は,マ. ミー 曲線 に 近 い 場 合 に は,上. 5.1提. ω ∈(0,2)は. タ は 登 用 領 域 で 大 き な 面 積 を ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲 線 の 反 対 側 で 小. タの 関 節 動 作 範 囲 の 制 限 を付 加 的 に考 慮 す る こ とが で きる. 5.二. 制 御 器, 制 御 変 数v1,. 正 の と きに は 大 き な値,同. 項 が 負 の と き に は 小 さ な値 と な る.こ. とす. の よ う に 選 ぶ.. が 微 小 で は な い と き,0<σ<δ. 正 で あ る.式(16)の. 実 際 の 入 力u1,u2と. で,sign[h3(φ1d,φ2d)]h3(φ1,φ2)が. ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 の 最 短 距 離 で え ば,E=0.1δ. 仮 定,式(18)の. v2と の 関係 は 前 の ま ま で あ る.式(25)の. 書 か れ る.δ は 関 節 空 間 の 目. δ よ り小 さい 微 小 数 で あ る.例. の 式(15). ∞ の と. 証 明 に基 づ く と,式(15)中. 標 点(φ1,φ2)=(φ1d,φ2d)と. 注6:δ. る と,rの. の 目的 で,3.4節. の 制 御 器 を 次 の よ うに 修 正 す る.. な る こ と を 意 味 す る.□. 器 パ ラ メ ー タ σ は,σ=δ‑Eと. あ り,Eは. な け れ ば な ら ない(Fig.4(a)).こ. え られた 任 と な る よ う,. 選 ぶ こ とが で き る.す. ∀t>tIでUIに ∀t>tIに. 路 の 面 積 分 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミ ー 曲 線 の 反 対 側 の 面 積 分 よ り大 き く. の 時 刻 列 に お い て,Pi+1≦Pi/2≦P0/2i+1. 5.3第. く二 つ の 節 で,. れ ら の 制 御 器 は,目. はや 閉 ループ 系 の状 態 の収. 正 制 御 器 の 閉 ル ー プ 系 の 安 定 性 解 析 は, の 論 文 で は行 わ な い.. 二修 正制 御器. 第 二 修 正 制 御 器 の 発 想 は,二 次Lie括. 標 関節位. 弧 積 運 動 に 基 づ く もの. で あ り,面 積 分 の 値 を大 き くす る た め に,ゼ. 121. ロ ホ ロ ノ ミー 曲線. 1998年4月.
(6) 404. ラ ンジ ャ ン ・ム カ ジ ー Table. 1. Initial. Fig. 5. を 横 切 る 際 にFig.4(b)の で,誤. 差 変 数 φ1,φ2を. こ と に よ り,3.4節. and. Time. よ う に 回 転 方 向 を変 え る.そ. 掃. final. 部. 雅. 幸. 泉. configurations. histories. の 目的. 田. of the. of the state. 啓. space. robot. variables. こ れ に よ り,Fig.4(b)の. 次 の 座 標 ξ1,ξ2に 回 転 一 次 変 換 す る. 都 度,回. の 制 御 器 を修 正 す る.. よ う に,ゼ. ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 を横 切 る. 転 方 向 を 変 え る経 路 が 得 られ る.ま. 器 と同 様 に,パ. ラ メー タ σ の 制 約 σ<δ. た,第. 一修 正制 御. は 取 り除 か れ,σ. を. 関 節 制 限 を 回 避 す る よ う に 選 ぶ こ と が で き る. 〓(26). 6.数 Fig.4(b)に が,目. 示 す よ う に,二. 次Lie括. 弧 積 運 動 を 射 影 した 経 路. Table1の. 標 姿 勢 に 最 も近 い 点 で ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 に 直 交 す る よ. う に λ を 選 ぶ.次 r,ψ(極. 段 階 と して,次. 座 標 で は な い)に. 値 シ ミュ レ ー シ ョン. 宇 宙 ロ ボ ッ トの 初 期 と最 終 の 姿 勢 に 対 す る,四 つ. の 異 な っ た シ ミュ レ ー シ ョ ン を示 す.ケ. の 関係 を 用 い て ξ1と ξ2を. ー ス(A)と(D)は,両. 端 で の 関 節 位 置 を 変 え る こ と な く台 座 の 向 き を 変 更 す る.ケ. 変 換 す る.. ス(B)は,両. ξ1=rcosψ(27). 更 す る 姿 勢 変 更 で あ り,ケ ー ス(C)は,関. ξ2=rsin2ψ. す べ て が 両 端 で 異 な る,一 般 的 な 姿 勢 変 更 で あ る.目. 節 位 置 と台 座 方 向 の. 置 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲 線 か ら離 れ て い る の で,ケ 式(15)と る.し. 式(16)の. 制 御 器 と式(17)の. か し,実 入 力u1,u2と. は,式(26)と. 式(27)に. 仮定 はそ の ままで あ. 制 御 変 数v1,v2の. (B)で. 関 係 式(18). は,3.4節. 節 と5.3節. が あ る.. ケ ー ス(A):こ. 〓(28). Vol.16No.3. は,そ. ケ ー ス で,:Fig.5に. れ ぞ れ5.2 状 態変数. 関 節 変 数 の 経 路 を示 す. の 場 合,(φ1(0),φ2(0))=(0,0)ま. あ り,式(17)の. 置 を(φ1,φ2)=(‑60.01,‑60.00)す. 122. 標 関節位. ー ス(A)と. 標関 節位 置 が ゼ ロホ ロ. ー ス(C)と(D)で. の 制 御 器 を用 い る.全. の 時 刻 歴,Fig.6に. r(0)=0で. JRSJ. の 制 御 器 を用 い る.目. ノ ミー 曲線 に 近 い の で,ケ. 基 づ い て 以 下 の よ うに 変 更 す る 必 要. ー. 端 で の 台 座 方 向 を変 え る こ と な く,関 節 位 置 を 変. たは. 最 初 の 仮 定 に反 す る.初 期 関 節 位 な わ ち(φ1(0),φ2(0))=. Apr.,1998.
(7) 405. 平 面 宇 宙 ロ ボ ッ トの 滑 らか な時 不 変 フ ィー ドバ ッ ク制 御. Fig. 6. (0.01,0.00)に. 単 に 置 き換 え て,こ. Trajectories. in the shape space of the manipulator. の 問 題 を 解 決 す る.こ. ミュ レ ー シ ョ ン に は,σ=51.5°(0.9ラ. で あ る.図. のシ. ジ ア ン)と い う値 と3.4. 領 域 の 外 に 出 る た め,β ケ ー ス(D):こ. 節 の 制 御 器 を用 い る.初 期 時 刻 に お い て β が 零 値 で な い た め に,点r=0が. 不 安 定 で あ る こ とは,Fig.6(A)か. ケ ー ス(B):こ とい う値 と3.4節 比 較 す る と,ケ (B)で. ら分 か る.. の ケ ー ス で は,σ=57.3°(1.0ラ. 曲 線 上 に あ る.前. ジ ア ン). の 制 御 器 を用 い る.Fig.6(A)とFig.6(B)を ー ス(A)で. は時 計 回 りで あ る.こ. れ は,両. の ケ ー ス と 同 様 に,(φ1d,φ2d)=(0.01,0.00). と 仮 定 す る こ と に よ り,式(17)の. 第 二 の 仮 定 を 満 足 し,. sign[h3(φ1d,φ2d)]=‑1と. ー ス(A)と. れ らの図 か. の 問 題 を 解 決 で き る.シ ジ ア ン)と. と し,. れ は,目. 7.結 れ は,本. い収束 の ため. (φ1d,φ2d)=(0.01,0.00)と. 御 法 を 初 め て 提 案 した.平 い が,実. 標 関節位 置 を. す る こ と に よ り,こ. ジ ア ン)と い う値 と5.2節. 器 を 用 い る.Fig.6(C)か い る こ とが 分 か る.こ 被 い,ゼ. ら,rが. に 選 ん だ.. らか で 時 不 変 の フ ィー ド バ ッ ク制. 衡 姿 勢 を 漸 近 安 定 化 す る もの で は な. 質 的 に 任 意 の 姿 勢 か ら平 衡 状 態 へ 系 の 状 態 を 漸 近 的 に. 学 的 に 示 され,後. の 結 果 は,ま. 遅 い 収 束 率 に悩 ま さ れ,実. 零 に 収 束 す る前 に 振 動 して. 用 的 で は な い.こ. の 変 更 に よ っ て 容 易 に 修 正 で き た.二. れ は,制 御 器 が 登 用 領 域 で 大 きな 面 積 を. ず数. に 数 値 シ ミュ レ ー シ ョ ン で確 か め られ た.目. 標 関 節 位 置 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲 線 に 極 め て 近 い 場 合,制. の第一修 正 制御. 御器は. の 問 題 は,制 御 器. つ の 修 正 法 を 示 し た が,. 修 正 制 御 器 を用 い た 閉 ル ー プ シ ス テ ム の 安 定 性 は 評 価 して お ら. ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 の 反 対 側 で は小 さ な 面 積 を被 うた め. 日本 ロボ ッ ト学 会 誌16巻3号. を60°. 収 束 さ せ る こ とが で き る 方 法 を提 案 した.こ. の 問題 を解. 決 で き る.目 標 関 節 位 置 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 に非 常 に 近 い の で,σ=86°(1.5ラ. ロ ホ ロ ノ ミー. 本 論 文 で は,浮 遊 す る宇 宙 平 面 ロ ボ ッ トの 姿 勢 変 更 の た め に,. 第 二 の 仮 定 に 反 す る.. な る よ う に,目. り,ゼ. 論. 既 存 の 制 御 器 とは 異 な る,滑. 標 関 節 位 置 が ゼ ロ ホ ロ ノ ミー. 曲 線 上 に あ る 場 合 で,式(17)の sign[h3(φ1d,φ2d)]=‑1と. ミュ レー シ ョ ンで は,σ=86°(1.5ラ. ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲 線 の 傾 き を 考 慮 して,λ. に は こ の よ うな 方 法 が 必 要 で あ る. ケ ー ス(C):こ. な る よ う に,. す る こ と に よ り,こ. い う値 を 用 い る.Fig.6(D)よ. 端 におい て両. 質 的 に制 御 器 が 滑 ら か で な い こ と意 味 す る が,速. た はr(0)≠0と. 曲線 と交 わ る都 度,関 節 経 路 が 方 向 を変 え て い る こ とが 分 か る.. 零. 零 に 収 束 させ る た め で あ る.目 標 位 置 に 向 か っ て 関. β と も,要 求 基 準 の 収 束 を 達 成 で き る.こ. 同 様 に,こ. 第 二 の 仮 定 に 反 す る.. 初 期 関 節 位 置 を(φ1,φ2)=(0.01,0.01)と. ら,関 節 経 路 が 目標 姿 勢 に螺 旋 形 を描 い て 収 束 し て い な い こ と. 変 数rと. な る.ケ. (φ1(0),φ2(0))=(0.00,0.01)ま. ケ ー ス の 目標 関 節 位 置 が. 節 が 動 径 方 向 に動 く と き β は 変 化 し な い の で,終. は 単 調 減 少 しな い.. の ケ ー ス の 目 標 関節 位 置 も ゼ ロ ホ ロ ノ ミー. に も 注 意 され た い.こ れ は,β の 収 束 判 定 基 準 を約0.5° 一 度 β が この 値 を 下 回 る と ,制 御 器 パ ラ メ ー タn1とn2を に してrを. の ケ ースで は関節 経路 が登 用. の ケ ー ス の 初 期 関 節 位 置 は,式(17)の. は 進 行 方 向 が 反 時 計 回 り,ケ ー ス. ゼ ロ ホ ロ ノ ミー 曲線 の 反 対 側 に あ る か らで あ る.こ. を 示 して い な い が,こ. ず,今. 123. 後 の 課 題 で あ る.. 1998年4月.
(8) ラ ン ジ ャ ン ・ム カ ジ ー. 406. 参. 考. 文. 掃. 部. 雅. [11]. 献. 幸. 泉. E.G.. Y.. Nakamura. ning. of. and. Space. Trans.. on. 514,. R.. Mukherjee: •gNonholonomic. Robots. via. Robotics. and. a. Path. Bidirectional. Plan-. Approach,•h. Automation,. vol.RA-7,. [12]. IEEE. no.4,. 啓. Papadopoulos: •gPath. Exhibiting on. [1]. 田. Planning. Nonholonomic. Intelligent. 山 田:. for. Behavior,•h. Robots. and. Space. Proc.. Systems,. Manipulators. IEEE/RSJ. pp.669-675,. Conf.. 1992.. 宇 宙 ロ ボ ッ トの ア ー ム 運 動 に よ る 本 体 の姿 勢 制 御. ,計. 測 自. ,計. 測 自. 動 制 御 学 会 論 文 集,vol.29,no.4,pp.447‑454,1993.. pp.500[13]. 1991.. 秋 山,坂. 和:. 宇 宙 ロ ボ ッ トの 非 線 形 計 画 に よ る 軌 道 計 画. 動 制 御 学 会 論 文 集,vol.31,no.2,pp.193‑197,1995. [2]. R.W. tion,•h. Brockett: •gAsymptotic Differential Geometric. Stability Control. and Feedback StabilizaTheory, Brockett, R.W.. [14]. 船 木,羅:. 宇 宙 ロボ ッ トシ ス テ ム の 可 制 御 性 に 関 す る一 考 察. 本ロボット et. al.. (eds.). vol.. Birkhauser,. 27. of. Progress. in. Mathematics,. pp.181-283, [15]. 1983.. C.. Fernandes,. 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