活発な浮遊砂を伴う小規模河床波の線形安定解析
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(2) Tij(i,j=x,y)はReynods応. 2.2浮. 力 テ ン ソ ル で あ る.. 混 合 距 離 仮 説 を 用 い る とReynolds応. 力 テ ン ソ ル は次. 遊砂 の移 流 拡散 方程 式. 浮遊 砂 の移流 拡 散方 程 式 は次 の よ うに表 され る.. の よ う に 表 さ れ る.. (18). (4) 上 式 で は 流 れ の 支 配 方 程 式 と 同様 に,準. (5) (6). こ こ で υTは 渦 動 粘 性 係 数,lお れ 混 合 距 離 お よ び 水 深,底. よ びD,Z,Rは. 面 高 さ,基. 分 布 則 で 流 速 が ゼ ロ とな る高 さ.図‑1参 κ はKarman定. 数(=0.4)で. 照)で. 元 化 さ れ たxお. よびFyは. よ びy方. そ れ ぞ れUf0で. 無次. 向 の 浮 遊 砂 フ ラ ッ ク ス で あ り,. 次 式 で 表 さ れ る.. (7). (19). (8). (20). それ ぞ. 準 面 高 さ(対. 用 い て い る.ま たFxお. 定 常 の仮定 を. 数. あ り,. あ る.. こ こ でCは. 浮 遊 砂 濃 度 で あ り,υsは 浮 遊 砂 粒 子 の 沈 降. 速 度 で あ る.ま. た こ こ で は浮 遊 砂 の 拡 散 係 数 は 渦 動 粘. 性 係 数 υTと ほ ぼ 等 し い と仮 定 した. 式(18)‑(20)よ. ま た 上 式 で は す で に次 の よ うな 無 次 元 化 が 行 わ れ て. り浮 遊 砂 の 移 流 拡 散 方 程 式 は次 の よ う. に 書 き直 さ れ る.. い る.. (9) (10) (11). (21) ま た 浮 遊 砂 粒 子 の 無 次 元 沈 降 速 度 υsはRubeyの. 実験. 式 よ り次 の よ うに 表 され る.. (12) こ こ で(〜)は 有 次 元 の 変 数 を 表 し,Uf0(= よ びD0は. (22). )お. そ れ ぞれ 平 坦 床 基 準 状 態 に お け る底 面 摩 擦. 速 度 お よび 水 深,dsは の 密 度,gは. 河 床 材 料 の 無 次 元 粒 径,ρ. 重 力 加 速 度(=9.8m2/s)で. は水. こ こ でRpは. 粒 子Reynolds数. と呼 ば れ る無 次 元 パ ラ. メ ー タ で あ り,以 下 の 式 で 表 され る.. あ る.. 次 の よ う な 流 関 数 ψ を 導 入 す る.. (23). (13) こ こ で υ は 動 粘 性 係 数(=1.0×10‑6m2/s)で. 流 関 数 を用 い る と式(1)お. よ び(2)は. あ る.. 次 の よ うに書 き. 直 さ れ る.. 3.変. 数 変換. 水 面 お よび底 面 におい て境界 条 件 の適用 を容易 にす. (14). るた め に次 の よ うな変 数変換 を行 う.. (24) (25) (15) 上 式 か らPを. す る とxお. よ びyに. 関 す る微 分 は 次 の よ う に 変 換 さ. れ る.. 消 去 す る と次 式 が 得 られ る.. (26) (27). (16) こ こで(),xはxに. こ こで ▽2は ラ プ ラ シ ア ン で あ り次 式 で 表 され る.. 関 す る偏 微 分 を表 す.こ. の 変数 変換. に よ り境 界 条 件 を適 用 す る水 面 お よ び底 面 は そ れ ぞ れ. (17). ―728―. η=1お. よ び η=0に. 対 応 す る..
(3) また上 式の変数 変換 を用 い る と,無 次元混 合距離lは 次 の よ うに表 され る.. 他 の巻 き上 げ量式 を用 い る と,解 析結 果 も定 量 的 な影 響 を受 け る可 能性 が あ るが,そ れ につ いて は今 後 の課 題 で あ る.. (28) こ こで(R‑Z)/D<<1と. 5.掃. 流砂 の輸送. して 無 視 す る と上 式 は次 の 掃 流 砂 量 式 と し て,河. よ う に な る.. 床 の 局 所 勾 配 の 影 響 を 取 り入. れ た 次 のMeyer‑Peter&Muller式. を用 い る.. (29) (43) 4.境. 界 条件. こ こで Φ お よ びqBは. 水面 お よび底面 にお け る流 れ の境 界条 件 は次 の よ う. 掃 流 砂 量,Rsは. それ ぞれ 無次 元 お よび有次 元 の. 水 中 比 重(=1.65)で. あ り,掃 流 層 上 面. (η=ηb)に お け る無 次 元 掃 流 力 θbお よ び 無 次 元 限 界 掃. にな る.. (30). 流 力 θcは 次 式 で 表 さ れ る.. (44). (31) (32). (45). (33) (34) こ こ でUは びetsは. 流 速 ベ ク トル(=(U,V))で. あ り,ensお. よ. 水 面 に対 す るそれ ぞれ 法線 お よび接 線 方 向 の. 単 位 ベ ク トル,enbお. よ びetbは. こ こでBは. 掃 流 層 上 面 の 高 さ(図‑2参. 照),θchは. 坦 床 に お け る 限 界 無 次 元 掃 流 力(=0.047),μ 配 の 効 果 を 表 す パ ラ メ ー タ(=0.1)で 層 上 面 で の 無 次 元 勇 断 力Tbは. 平. は河床 勾. あ る.ま. た掃流. 次 式 で 表 され る.. 底面 に対 す る それ ぞ. れ 法 線 お よ び 接 線 方 向 の 単 位 ベ ク トル,Tは. (46). 応力テン. ソ ル で あ り,そ れ ぞ れ 次 式 で 表 さ れ る.. Colombini2)に. よ れ ば,掃. 流 層 厚 さhbは. 次 の よ うに. 表 さ れ る.. (35) (47) (36) (37). (48) こ こ でTrお. よ びTcは それ ぞ れ 基 準 高 さ に お け る勢 断応. 力 お よ び 限 界 勇 断 応 力 で あ る.掃 流 層 の 厚 さ は 摂 動 に. (38). よ っ て 変 化 しな い.す. な わ ちB‑Rは. 一 定(B0‑R0). で あ る とす る.そ の と き掃 流 層 上 面 の 位 置 ηbは 次 の よ. (39). う に 表 さ れ る.. (49). 同様 に水 面 お よび底 面 にお け る浮遊 砂 輸送 の 境界 条 件 は次 の よ うにな る.. (40) (41) こ こでFは. 浮 遊 砂 フ ラ ッ ク ス ベ ク トル(=(Fx,Fy))で. あ り,Esは. 浮 遊 砂 の 巻 き 上 げ 速 度 で あ る.巻. 度 に っ い て は様 々 な 式 が 提 案 さ れ て い るが,本. 6.河. 床高 さの 時間変 化. 河 床形状 の 時間 変化 は,浮 遊砂 を考 慮 したExner方 程 式 で次 の よ うに表 され る.. (50). き上 げ 速 研究で. こ こ で λpは 空 隙 率,Esお. よびDpは. それ ぞれ 浮遊 砂. は,従 来 の 実 験 結 果 を 良 好 に 表 す こ とが わ か っ て い る,. の 巻 き 上 げ 速 度 お よ び 沈 降 速 度 で あ り,次 の よ う に 表. 泉,田. さ れ る.. 中,坪 井,伊 達3)が 提 案 した 以 下 の 式 を用 い る こ. と とす る.. (51) (42). ―729―. (52).
(4) 図‑2掃. 上 式 を代 入 し,(50)を. 無 次 元 化 す る と,Exner方. 流 層 の 定 義2). 程式. は 次 の よ うに な る.. (53) こ こで 時 間tは 次 の 無 次 元 化 を行 っ て い る.. (54). 7.基. 本解. 7.1流. れ の基 本解. 図‑3砂. の粒 径 と原 点 お よび基 準 高 さの 関係. 安定 解析 の基本 状 態 は平 坦床 等流 状 態 で ある.基 本 状 態で は各 パ ラメー タは次 の ように表 す こ とがで きる.. (55). 従 来 の開水 路 乱流 で の対 数分 布則 を書 き表 す と次 の よ うにな る.. 基本 状 態 の とき流 れ の支 配方 程式 は次 の よ うに単 純. (63). 化 され る.. (56) こ こ で κsはD0で. (57). は κs/dsで. 無 次 元 化 し た そ れ ぞ れ 粗 度 高 さ,m. あ る.上. 式 よ りy=mds/30の. な の で,R0=mds/30と. (58) (59) 添 字0で. 表 され て い るの は 基 本 状 態 に お け る解 で あ る.. な る.通. と きU=0. 常m=1〜3の. を と る た め,.R0=ds/30〜ds/10程. 値. 度 とな る こ とが わ. か る.本. 研 究 で はm=2.5を. 採 用 し,R0=ds/12と. し た.こ. の と き 無 次 元 粒 径dsは. 式(62)よ. り以 下 の 式. で 表 さ れ る.. 境 界 条 件 は 次 の よ うに な る.. (64). (60) 式(56)‑(60)よ. り次 の 対 数 分 布 則 が 得 られ る. 通 常 の 混 合 距 離 モ デ ル で は,原. (61). 性 の た め に流 速 が 急 激 に減 少 し負 に 発 散 して し ま う.そ の た め,実. 上 式 を η=0か. ら η=1ま. で 積 分 す る と抵 抗 係 数Cr. 際 の 流 速 分 布 を 適 切 に表 す こ とは 出 来 な い.. そ こでy=0を. が 次 の よ う に 得 られ る.. 粒 子 の 最 上 点 よ りds/6だ. 均 を とっ た 場 合 の 河 床 面)に. (62). 照).こ. 基 本 状 態 に お け る水 深 平 均 流 速 で あ る.. ―730―. け下(体. 積平. 取 る こ と とす る(図‑3参. れ に よ り特 異 性 を 有 す る層 の 厚 さ は 河 床 近 傍. の ご く狭 い領 域 に 限 られ,そ こ こでUa0は. 点 近 傍 に お け る特 異. の 他 の領 域 で は実 際 の 流. 速 分 布 を 再 現 で き る と考 え られ る..
(5) 7.2浮. 遊砂 輸送 の基 本 解. 8.2流. 流 れ の基本 解 同様,浮 遊砂 濃 度分 布 の基本 解 を求 め. れ の摂 動解. 式(74)を. る.平 坦 床等 流状 態 の とき式(21)は 次 の よ うに単 純化. し,4の. され る.. 得 られ る.. 流 れ の 支 配 方 程 式(16)お. よ び(14)に. オ ー ダ ー で 整 理 す る と,O(A)に. 代入. お いて次式 が. (65). (75). こ こ で υT0は 次 の 式 で 表 さ れ る.. (66) 境 界 条 件 は 次 の 二 つ で あ る.. (76) こ こで ￡φお よ び1Pφ(φ=ψ,D,R)は るが,具. (67). 線 形 演 算子 で あ. 体 的 な 形 に つ い て は 省 略 す る.境 界 条 件(30)‑. (34)(式(32)は. 常 に 成 立 す る た め 不 要)か. ら は次 式 が. 得 られ る.. (68) こ こでCbは. (77). 底 面 近 傍 に お け る浮 遊 砂 濃 度 で あ る.平 坦. 床 等 流 状 態 で は,河 床 変 動 は 生 じ な い た め,浮. 遊砂 の. (78). 巻 き 上 げ 量 と堆 積 量 は 等 し い.し た が っ てCbは. 次のよ. (79). うに 表 さ れ る.. (80) (69). また 式(76)お. よ び(78)か. ら次 式 が 得 られ る.. (70) 境 界 条 件 の も とで,式(65)を. 積 分 す る と,平 坦 床 等 流. 状 態 の 浮 遊 砂 濃 度 分 布 と し て次 の よ うなRouse分. (81) ψ1をChebyshev多. 項 式展 開 を用 い て次 の よ うに表 す.. 布が. (82). 得 られ る.. (71). こ こ でTnはn次. のChebyshev多. 定 義 さ れ るChebyshev多. 項 式,ζ は[‑1,1]で. 項 式 の 独 立 変 数 で あ る.ま た. 計 算 精 度 を あ げ る た め に 次 の 変 数 変 換 を 用 い て い る. 8.線. 形 安定解 析. 8.1摂. 動展開. (83) 先 に 求 め た 平 坦 床 等 流 状 態 に お け る河 床Zに Z=AZ1の. 対 し,. 摂 動 を 与 え る.そ れ に 合 わ せ て 各 パ ラ メ ー. こ れ ら を 支 配 方 程 式(75)に Labatte点. 代 入 し た 後,次. のGauss‑. に お い て 式 を 評 価 す る.. タ を 次 の よ う に 摂 動 展 開 す る.. (84) そ れ ら を境 界 条 件(77)‑(80)お. よ び(81)と. 合 わせ る と. 次 の 線 形 代 数 方 程 式 系 が 得 られ る.. (72) こ こ でAは. 安 定 解 析 の ス キ ー ム で は無 限 小 で あ る と考 え る.ま Z1お. (85). 摂 動 の 振 幅 を 表 す パ ラ メ ー タ で あ り,線 形. よ びB1はR1と. 任 意 の 摂 動 は,様. た. 等 しい こ とに 注 意 す る.. (86). 々 な波 数 を持 っ た正弦 関数 あ るい. は余 弦 関 数 の 足 し合 わ せ で 表 さ れ る.そ. こ こで. (87). こで 単 一 波 数. に 注 目 し,摂 動 を 次 の よ う な指 数 関 数 で 表 し,normal mode. analysisを 行 う.. (73) こ こ で α お よ び Ω は 摂 動 の 波 数 お よ び複 素 角 周 波 数 で あ る.式(72)は. 次 の よ う に書 き直 さ れ る.. (88) (74). ―731―. 上 式 中の は ηを ζに変数変換 した線形演 算子 を表 して い る..
(6) 上式 を解 けば次 の よ うな解 が得 られ る.. (89) 上 式 よ りa0,a1,…,aNが. 求 ま り,式(82)よ. り次 式 が. 得 ら れ る.. (90) (91) 8.3浮. 遊 砂輸 送 の摂動 解. 流 れ の 摂 動 解 同様,式(74)を 代 入 す る と,O(A)に. 移 流 拡 散 方 程 式(21)に. お い て 次 式 が 得 られ る.. (92) 上 式 は式(90)お. よ び(91)よ. り以 下 の よ う に な る.. (93). (a)浮 遊 砂 項 な し. 境 界条 件 よ り次 式が 得 られ る.. (94) (95) こ こ でCφ,Sφ,β. φ(φ=ψ,D,R,C)は. 線形 演 算 子 で あ. る. C1に. つ い て も 次 の よ う にChebyshev多. 項式 で 展 開. す る.. (96) Gauss‑Labatte点. で 評 価 し,境 界 条 件 と合 わ せ る次 の. よ うな 式 が 得 られ る.. (97) こ こで. (b)浮 遊 砂 項 あ り. (98). (99). 図‑4式(103)よ り 得 ら れ る 増 幅 率 Ωiの 10,‑C‑1r=20,‑‑‑C‑1r=22.×:C‑1r= 20で. のdune,〇:(C‑1r=22で. 20で. のantidune,◇:C‑1r=22で. 8.4線. (100). 中 率 曲 線 図.Rp=. のdune,●:C‑1r= のantidune.. 形 安 定解析. Exner方. 程 式(53)に. 式(90)お. よび(91),(102)を. 代. 入 す る と,最 終 的 に複 素 角 周 波 数 Ω は次 の よ うな 関 数 形 で 求 ま る. 上 式 を 解 け ばb0,b1,…,bNは. 次 の よ う に 得 ら れ る.. Ω=f(α,Fr,Cr,Rp)(103). b=K‑1NR1(101) した が っ て 式(96)よ. り次 式 が 得 ら れ る.. こ こ で 求 め られ た Ω の 虚 部 Ωiが,摂. C1(η)=C*1(η)R1(102). 当 す る.. ―732―. 動 の 増 幅 率 に相.
(7) 9.結. 果 お よび考 察. 図‑4,5,6に,α‑Fr平. 面 上 に 描 い た 増 幅 率 Ωiの. 中 立 曲 線(Ωi=0)を. 示 す.Froude数. が 小 さ い領 域 と. 大 き い 領 域 に 摂 動 の 増 幅 率 が 正 とな る領 域,す. なわ ち. 河 床 が 不 安 定 とな る領 域 が 現 れ て い る.前 者 がduneに 後 者 がantiduneに. 9.1既. 対 応 して い る.. 存 の モデル との比 較. 図‑4(a)は. 泉1)に よ る掃 流 砂 の み を考 慮 した 既 存 の. モ デ ル を用 い た 場 合 の 中 率 曲 線 で あ り,図‑4(b)は. 式. (103)よ り求 め た,浮 遊 砂 を 考 慮 し た 本 モ デ ル を 用 い た 場 合 の 中 率 曲 線 で あ る.い ず れ もC‑1r=20お よび 22を そ れ ぞ れ 実 線 お よ び 破 線 で 示 して い る.ま た 同 時 にGuy,Simon. and. Richardson4)が. も プ ロ ッ トし て あ る.こ C‑1r=20お. よ び22で. こで,×. (a)Rp=5. お よ び ○は そ れ ぞ れ. のduneで. そ れ ぞ れC‑1r=20お. 行 った実験 デー タ. あ り,● お よび ◇ は. よ び22で. のantiduneを. 示 して. い る. 式(64)よ. りC‑1rの 増 加 は無 次 元 粒 径dsの 減 少 を意 味. す る.× お よ び ●はC‑1r=20,○. お よ び ◇はC‑1r=22. に 対 応 して い るた め,〇 お よび ◇が よ り粒 径 が 小 さ く浮 遊 砂 が 活 発 な 場 合 に対 応 して い る.す な わ ちGuyら. に. よ る実 験 結 果 で は,粒 径 が 小 さ くな る に した が いdune お よ びantiduneが. 発 生 す るFroude数. の 値 は減 少 し て. い る こ とが わ か る.し か し浮 遊 砂 を考 慮 して い な い 図‑ 4(a)で はC‑1rが 増 加 し粒 径 が 減 少 す る と,dune発. 生領. 域 は拡 大 し,dune発. 生 の 臨 界Froude数. は 増 加 して い. る.ま. 生 領 域 もFroude数. の高 い方 向 に. たantidune発. 移 動 して お り,実 験 結 果 と大 き く異 な る こ とが わ か る. 活 発 な浮 遊 砂 を考 慮 した 場 合,duneの さ くな り臨 界Froude数 よ りわ か る.一. 発 生 領 域 は小. (b)Rp=10. は減 少 して い る こ とが 図‑4(b). 方antiduneの. 発 生 領 域 はFroude数. 値 が 低 い 領 域 に 拡 大 して い る.以. の. 上 の こ とか ら,浮 遊. 砂 項 の 導 入 に よ っ て 実 験 結 果 が 良 好 に 表 され る よ う に な っ た.. 9.2抵. 抗 係 数Crに. 図‑5(a)お 10,20の. よ る比較. よ び(b),(c)は. そ れ ぞ れRp=5お. 場 合 の 図 で あ る.太 線,実. れ ぞ れC‑1r=18,20,22,24を 粒 子Reynolds数Rpが た が いdune発. 線,破 線,点. 小 さい と き,C‑1rの. る とC‑1rが 増 加 して も,dune発. 増加 に し. の 小 さ い領 域 に移 動. も減 少 す る.し. か しRpが. 大 き くな. 生 領 域 は波 数 の 大 き い. 領 域 に 移 動 す る もの の,臨 界Froude数 しな い こ とが わ か る.一. 線はそ. 示 して い る.. 生 領 域 はFroude数. し,臨 界Froude数. よび. 方antiduneの. は ほ とん ど変 化 場 合,Rpが. 小. (c)Rp=20. さ い と きの 発 生 領 域 に 大 き な 変 化 は 見 られ な い が,Rp が 大 き くな る とC‑1rの. 増 加 に した が い 臨 界Froude数. が 大 き くな る様 子 が わ か る.. 図‑5式(103)よ 線 実線. ―733―. り得 られ る増 幅 率 Ωiの 中 率 曲 線 図.太 破 線,点 線 は そ れ ぞれ(C‑1r=18,20,22,24..
(8) と した と き の 図 で あ る.実 線,破 Rp=5,10,20を 5,10,20は. 示 し て い る.な. 線. 点線 は それ ぞれ. お 式(23)よ. り,Rp=. そ れ ぞ れ 粒 径ds=0.1,0.2,0.3mmに. 対応. して い る. Rpが. 大 き くな る に し た が い,浮 遊 砂 の影 響 は 小 さ く. な り掃 流 砂 の み を 考 慮 した 既 存 の モ デ ル と ほ ぼ 同 様 の 結 果 が 得 られ る こ とが わ か る.こ. れ は河床 材 料 の粒径. が 大 き くな る と,流 砂 の 輸 送 形 態 は ほ ぼ 掃 流 砂 の み と な るた め で あ る.ま. たRpが. 域 は 縮 小 し,antidune発. 減 少 す る と,dune発. 生 領 域 は拡 大 して い る こ とが. わ か る.こ の こ と よ り活 発 な浮 遊 砂 はduneの 制 し,antiduneの. 10.結. (a)C‑1r=20. 生領. 形 成 を抑. 形 成 を促 進 して い る と考 え られ る.. 論. 活 発 な浮遊 砂 が河 床波 の形 成 条件 に どの よ うな影響 を与 え るか を 理 論 的 に解 明 す る た め,浮 考 慮 し た 線 形 安 定 解 析 を 行 っ た.解. 遊 砂 の影 響 を. 析 の 結 果,得. られ. た 成 果 は 次 の 通 りで あ る. ● 浮 遊 砂 が 活 発 に生 じ る よ う に な る と,duneの を 抑 制 し,antiduneの ●C‑1r=20〜22付. 形成. 形 成 を促 進 す る.. 近 で は,実 験 結 果 を 良 好 に 説 明. で き る. ●Rpが. 大 き くな るに した が い,掃 流 砂 の み を考 慮 し. た 既 存 の モ デ ル に 近 づ く.. 参 考文 献 1) 泉 典 洋: 混 合 距離 モ デル を用 いた河 床 デ ュー ンの弱非 線形 安 定解 析, 土 木学 会論 文 集, 第51巻, 2007.. 2) Colombini, M.: Revisiting the linear theory of sand dune formation, J. Fluid Mech, Vol.502, pp.1-16, 2004. 3) 泉. (b)C‑1r=22. 図‑6式(103)よ 線. 破線. 典 洋, 田 中. 仁, 坪 井 宏 介, 伊 達 政 直: 河 口 テ ラ ス の. 初 期 堆 積 形 状 に 関 す る実験, 土 木 学 会 論 文 集, No.740/II‑ 64, pp.109‑120, 2003.. り得 られ る増 幅 率 Ωiの 中 率 曲 線 図.実. 4) Guy, H.P., Simons, D. B. and Richardson, E.V.: Summary of alluvial channel data from flume experiments, 1956-61, Geological Survey Professional Paper, 462-I, U.S. Government Printing Office, Washington, 1966.. 点 線 は そ れ ぞ れRp=5,10,20.. 5) 泉. 典 洋, 山 口 里 美: 浮 遊 砂 を 伴 う デ ュー ン ー 平 坦床遷 移. 過 程, 土 木 学 会 論 文 集, No.796/II‑72, pp.53‑67, 2005. 6) 山 口 里 美, 泉 典 洋: デ ュ ー ンー 平 坦 床 遷 移過 程 に み ら れ る 亜 臨 界 分 岐 現 象, 土 木 学 会 論 文 集, No.740/II‑64,. 9.3粒. 子Reynolds数Rpに. 図‑6(a)お. よ び(b)は. pp.75‑96,. よる比 較 そ れ ぞ れC‑1r=20お. よ び22. ―734―. 2003. (2008年4月14日. 受 付).
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