修士論文極低温極性分子の超微細構造に関する研究

(1)

修士論文

極低温極性分子の

超微細構造に関する研究

指導教員井上慎准教授

平成

23

^年

2

^月提出

東京大学大学院工学系研究科物理工学専攻

37-096539

^大麻浩平

(2)

(3)

i

第1章序論 3

1.1 研究の歴史的背景 . . . . 3

1.2 本研究の意義 . . . . 4

1.3 本論文の構成 . . . . 5

第2章理論的背景 7 2.1 振動と回転 . . . . 7

2.1.1 エネルギースケール . . . . 7

2.1.2 分子の振動状態 . . . . 10

2.1.3 分子の回転状態 . . . . 12

2.1.4 分子の超微細構造 . . . . 15

2.2 誘導ラマン断熱遷移(STIRAP)の理論的背景 . . . . 21

第3章実験装置 27 3.1 真空系 . . . . 27

3.1.1 実験の全体像 . . . . 27

3.1.2 真空系の全体像 . . . . 28

3.2 光源の準備 . . . . 29

3.2.1 光会合(PA:Photo Association)光源の用意 . . . . 29

3.3 イオン化検出 . . . . 31

3.3.1 イオン化信号 . . . . 31

3.3.2 Resonance-enhanced multi-photon ionizatin(REMPI) . . . . 32

第4章誘導ラマン断熱遷移にむけたULE Cavityの準備 33 4.1 光源に求められる性能 . . . . 33

4.2 Cavityを利用した光源作成 . . . . 34

4.3 Finesseの測定 . . . . 39

4.4 Zero-expansion Temperature測定の原理 . . . . 43

4.5 ULE Cavity用の真空装置 . . . . 46

4.6 Zero-expansion Temperatureの測定に利用した光学系 . . . . 50

(4)

ii

4.7 Zero-expansion Temperatureの測定 . . . . 55

第5章極低温振動·回転基底分子への誘導ラマン断熱遷移 61 5.1 典型的な実験のタイムチャート . . . . 62

5.2 ２光子共鳴の観測 . . . . 64

5.3 イオン化波長の特定 . . . . 71

5.4 振動·回転基底状態の確認 . . . . 74

5.5 信号の改善 . . . . 76

5.6 STIRAPによる遷移であることの確認 . . . . 79

5.7 遷移双極子モーメント(TDM)の測定 . . . . 82

5.8 コヒーレンスの確認 . . . . 87

5.9 STIRAPを用いた高精度分光 . . . . 90

5.10 状態の分離 . . . . 92

5.11 Rbの核スピンの影響 . . . . 95

5.12 さらなる分光 . . . . 96

第6章マイクロ波による超微細構造の分光 97 6.1 マイクロ波分光の原理 . . . . 97

6.2 マイクロ波分光にむけた装置の改造 . . . . 99

6.3 マイクロ波分光 . . . . 102

第7章まとめと今後の展望 105

謝辞 107

参考文献 111

(5)

iii

図目次

2.1 ２つの核の運動 . . . . 7

2.2 ２原子分子のモデル . . . . 12

2.3 ⁴¹K⁸⁷Rbの振動基底状態(N=0,1)おける分裂([1]より転載) . . . . 16

2.4 回転と電場勾配 . . . . 17

2.5 定性的な超微細構造の理解 . . . . 18

2.6 ⁴¹K⁸⁷Rbの振動·回転基底状態おける分裂. . . . 19

2.7 STIRAPを考える３準位系 . . . . 21

2.8 遷移時間を変化させた時のSTIRAPの効率 . . . . 26

3.1 実験の全体像 . . . . 27

3.2 真空槽と光のパス . . . . 28

3.3 PA用光源の概念図 . . . . 29

3.4 PA用光源のPLL回路 . . . . 30

3.5 Offset lockを行った際のBeat信号 . . . . 31

3.6 イオンのTOF信号 . . . . 32

4.1 Cavityを利用したSTIRAP光源： . . . . 33

4.2 Cavityの性質 . . . . 34

4.3 ULEガラスの熱膨張係数とその温度変化 . . . . 37

4.4 Finesse測定のための光学系の略図 . . . . 40

4.5 Finesse測定の信号 . . . . 41

4.6 添付されてきたミラーのcoatingデータ . . . . 42

4.7 Zero-expansion Temperature測定の概念図 . . . . 44

4.8 Zero-expansion Temperature測定系の略図 . . . . 45

4.9 真空装置の概観 . . . . 46

4.10 ULE Cavity用スペーサーの仕様. . . . 48

4.11 ULE Cavity周辺の光学系と防音箱 . . . . 49

4.12 インバー製の台上でAiry pointで支えられた”notched” ULE Cavity . . . . 49

4.13 Zero-expansion Temperature測定用の光学系 . . . . 50

4.14 PDH法によるCavityの微分信号 . . . . 52

(6)

iv

4.15 PDH法による飽和吸収信号とその微分信号 . . . . 53

4.16 飽和吸収分光の微分信号:EOMの周波数依存性を取り入れた場合 . . . . 53

4.17 EOMの温調 . . . . 54

4.18 EOMの内部 . . . . 54

4.19 参照用光源の温調:前から . . . . 54

4.20 参照用光源の温調:後ろから . . . . 54

4.21 Zero-expansion Temperatureをまたいだドリフトの様子. . . . 55

4.22 Zero-expansion Temperature測定の概念図 . . . . 56

4.23 典型的なZero-expansion Temperature測定の結果 . . . . 57

4.24 Zero-expansion Temperature測定の結果とT_zeroの決定 . . . . 58

4.25 ULE Cavityの長期安定度測定 . . . . 59

4.26 SpIDRによる線幅の細い遷移の分光から得られたULEのドリフト。 . . . 60

5.1 分光の状況 . . . . 61

5.2 典型的な実験の様子 . . . . 62

5.3 Depletion分光による信号 . . . . 65

5.4 SpIDRの概念図 . . . . 66

5.5 SpIDRに用いるイオン化波長 . . . . 67

5.6 Depletion及びSpIDRによる中間状態の分光の比較 . . . . 68

5.7 SpIDRによる中間状態の詳細な分光 . . . . 68

5.8 SpIDRによる２光子共鳴の分光手法 . . . . 69

5.9 SpIDRによるDark-resonanceの観測 . . . . 70

5.10 SpIDRによるEITの観測 . . . . 70

5.11 KRb分子のポテンシャル(抜粋) . . . . 71

5.12 15500cm⁻¹付近での光会合分子に対するイオン化スペクトル . . . . 72

5.13 振動基底状態をイオン化する波長の決定 . . . . 73

5.14 振動基底·回転第２励起状態への遷移 . . . . 75

5.15 励起状態の構造と１光子離調をつけた際の振動·回転基底状態の分子数 . . 76

5.16 PAとSTIRAPのタイムチャート . . . . 76

5.17 RF漏れを改善するために挿入したRF Switch . . . . 77

5.18 STIRAPの一光子離調依存性(RF Switch挿入後) . . . . 77

5.19 改善された信号(下段)と改善前の信号の比較(上段) . . . . 78

5.20 STIRAPで実際に用いる3準位系 . . . . 79

5.21 STIRAPにおける光強度の変化 . . . . 80

5.22 STIRAPにおける占有比の変化 . . . . 80

5.23 光強度を変化させたときの振動·回転基底状態の信号 . . . . 81

(7)

v

5.24 遷移双極子モーメント(d_t21)の測定 . . . . 85

5.25 遷移L1のDark-resonanceの幅と光強度の関係 . . . . 86

5.26 遷移L1のDark-resonanceの幅と光強度の関係 . . . . 86

5.27 遷移時間を変化させたときの信号強度 . . . . 88

5.28 光強度と遷移時間を変化させたときの信号強度. . . . 88

5.29 ラビ周波数とデコヒーレンス . . . . 89

5.30 サイドバンドを落とした光源でのSTIRAPの信号 . . . . 90

5.31 STIRAPによる始状態の転写 . . . . 91

5.32 振動基底·回転第２励起状態の構造 . . . . 92

5.33 基底状態Σ⁺, N = 2の超微細構造(核4重極モーメントが支配的な場合) . . 93

5.34 観測されたN”=2の分裂と計算値との比較 . . . . 94

5.35 中間状態による選択則 . . . . 94

5.36 励起状態Σ⁺, N = 1の超微細構造(核4重極モーメントが支配的な場合) . . 95

6.1 マイクロ波分光の手順 . . . . 97

6.2 マイクロ波分光によって得られる信号 . . . . 98

6.3 熱による分子の拡散 . . . . 98

6.4 チャンバーの改造 . . . . 99

6.5 改造後の真空槽の側面図 . . . . 100

6.6 改造後の真空槽の図(上から見た図) . . . . 101

6.7 マイクロ波分光による信号(１) . . . . 102

6.8 マイクロ波分光による信号(２) . . . . 103

6.9 マイクロ波分光による信号(３) . . . . 104

(8)

(9)

1

表目次

2.1 ⁴¹K⁸⁷Rbにおける核の性質及び結合定数[2] . . . . 16 4.1 650nmでのFinesseの測定 . . . . 40 4.2 900nmでのFinesseの測定 . . . . 42 5.1 v=91,N=0,X¹Σ⁺状態の精密分光と理論値の比較(F=0を基準としている) 91

(10)

(11)

3

第

1

^{章序論}

1.1

研究の歴史的背景

２０世紀の初頭には古典力学と電磁気学にだけにより自然を捉えようという試みには綻びが生じ始めていた。そのような状況の中でミクロな世界を記述する量子力学は産声を上げ、瞬く間に我々の自然への理解を深めた。同時に、我々がマクロなスケールに囲まれた日常生活の中で自˙ 然˙ に形成する自然観は訂正なくしてミクロな世界では通用しないこと˙ も分かった¹。

しかし、抽象的な波動関数を軸にすえた量子力学でなければ理解されない現象も多数存在する。定性的に考えるならば、波動関数の広がりが重なってくると粒子の統計性が姿を現し始める。その端的な例が、ボースの着想[3]を受けアインシュタインによる予言がなされたBose-Einstein凝縮である[4, 5]。このBose-Einstein凝縮の実現は、予言がなされてから約70年後の1995年に希薄な中性原子気体においてなされた[6, 7]。これは、ただちにノーベル賞を与えられたことからも大きなインパクトを世にもたらしたことが知られる²。

また、他の物理分野で理論的に予言されていながら[9]、冷却原子系で発見された現象としてFeshbach共鳴[10]やEfimov状態などが挙げられるように, 冷却原子系は理論的予言の検証と整合性いう点に非常に秀でている。

この背景として忘れてはならないのが、レーザーによる原子の操作性の高さである。冷却原子の研究は、そのほとんどがレーザー冷却[11]と磁気光学トラップ(MOT)[12] を用いている。レーザーによって原子の外部状態(並進)、内部状態を制御することが可能となりBose-Einstein凝縮の実現へとつながっていったのである。

現在では、系の次元[13]、相互作用の強さまでも制御可能[14, 15]となり、更にこれらのパラメータは連続的に変化可能である。これらの高い操作性が、超流動Mott絶縁体転移[16]、BEC-BCSクロスオーバー[17]、ユニタリー極限[18] に代表されるような冷却原子系の急速な発展を生み出した。そして、このような操作性の高さは他の物理系に類を見ない。

レーザーで自在に原子を操れることからも分かるように、原子とレーザーの相性の良

1とは言っても、量子力学から得られる結果を古典力学に対応させて理解しようと試ることも多々ある。

これは、我々がイメージし易い事が日常生活で体験できることであるからであろう。

2もうひとつの粒子であるフェルミオンにおいても1999年にフェルミ縮退が達成された[8]。

(12)

4 第1章序論

さは非常に素晴らしい。量子力学誕生の大きなきっかけとなったスペクトルという概念からも分かるように、原子のエネルギーは離散的である。そこで、理想的な単色光源であるレーザーを用いることにより特定の構造だけが”狙い撃ち”可能となったのである。

この発想は原子の構造を理解するのにレーザーが非常に有用であることも意味し、レーザーの誕生は分光の分野にも大きな発展をもたらした。特に冷却することにより熱運動によるドップラーシフトを抑制することが可能であり、精密な分光が可能となる。このような精密分光への応用のひとつの集大成として光格子時計が挙げられる[19, 20]。

これまでに述べてきたように冷却原子系は非常に多くの成果を生み出しており、これからもさらなる発展が期待される。しかし、我々の研究室では分子に着目してきた。これは、極性分子の示す異方的な相互作用と分子の豊富な自由度がもたらす新たな物理系に期待してのことである[21]。分子の豊富な自由度は時に構造の複雑さとして牙をむきレーザー冷却による直接冷却を困難にする([22]のような提案もあるが実現されてはいない)が、

Feschbach共鳴とSTIRAPを組み合わせた間接的な手法[23]により、2008年にJILAのグループが量子縮退近くまで冷却された振動·回転基底状態のフェルミオン分子(⁴⁰K⁸⁷Rb) を生成した[24]。また、STIRAPの過程でレーザーにより分子の内部状態を操る技術が必要なので、この手法によって冷却分子が生成された際には、分子の内部状態を操る技術が確立しているとも言える。本研究室においても、この手法を用いて振動·回転基底状態のボゾン分子(⁴¹K⁸⁷Rb)を生成しようと試みている[25, 26]。

分子を用いた実験には様々な提案がなされており[21]、固体のシュミレーションや超固体相の確認などの実験を行うには縮退領域の分子が必要になる場合もあるが、精密分光を行うには必ずしも必要ない。むしろ、分光を行うには解き明かしたい状態まで早く到達することが重要となる場面が多い。そこで、非常に早いレートで振動·回転基底状態の分子を生成できる手法を確立し、さらにこの構造を精密に測定しようというのが本研究の目的である。

1.2

本研究の意義

先ほど述べたように、本研究は２つのことを狙っている。１つは、高いレートで振動· 回転基底状態の分子を生成できる手法の確立であり、もう１つが分子の精密分光の実現である。

手法の確立としては、光会合とSTIRAPを組み合わせることとした。光会合を用いた理由としては、Feschbach共鳴によって分子を生成するのにかかる時間を省略できる利点が挙げられる。光会合により生成された浅く束縛された分子を振動·回転基底状態まで遷移させる手法として用いたのがSTIRAPであり、これは高効率でありながら短時間(us程度)で状態を変えられるという特徴がある。また、第5章で述べるようにSTIRAPは分光の手法としても用いることが可能である。さらに、本研究で確立したSTIRAPの技術は、

(13)

1.3. 本論文の構成 5

Feshbach分子を振動·回転基底状態へと遷移させる際にも利用できる。

また、もう一方の狙いである分子の精密分光の実現は、eEDM測定[27]、対称性の破れ

[28, 29]や物理定数の時間変化[30, 31]の検出といった用途への応用へと繋がることも期

待される。

本研究において具体的に行ったことは、

1. STRIAPに用いる光源を作成する際に用いたULE Cavityの準備 2. 光会合された分子をSTIRAPにより振動·回転基底状態へと遷移

3. STIRAPを用いた高精度な分光

4. マイクロ波分光による分子の超微細構造の観測

である。このうち、１、４については井上研究室助教の小林淳氏との共同実験であり。２、

３、４については井上研究室博士課程３年の相川清隆氏との共同研究である。また、２を達成する過程で励起状態の分光を高精度に行う必要があり

• 分子の励起状態を高精度で分光する手法の開発も本研究の一環として挙げられる。

1.3

^{本論文の構成}

本論文は以下のように構成される。

第1章「序論」

本研究の歴史的背景と、意義についてまとめ論文の構成について述べる。

第2章「分子の構造」

本研究の対象となる分子のエネルギー構造についてまとめる。２原子分子は原子が２つ合わさっただけであるが、原子と比較して非常に複雑な構造を有する。第2章では、２原子分子に重点を置いて解説を行う。また、本研究で利用する実験手法の1つである誘導ラマン断熱遷移(STIRAP)についても、基本となる考えやモデルから導出できる定量的結果をまとめる。

(14)

6 第1章序論

第3章「実験装置」

本研究を行った実験系について述べる。本研究の第5,6章のデータは全てイオン化検出を用いて得ており、この装置の特徴を中心にまとめておく。装置の改造をまたいで実験を行ったっために多少の変更があるが、第3章では本論文の第5章のデータを得た際の実験系について述べることとする。改造後の装置については第6章で触れたい。

第4章「誘導ラマン断熱遷移にむけたULE Cavityの準備」

光会合された浅く束縛された分子を振動·回転基底状態にまでSTIRAPを用いて遷移させる際には、光源を準備する必要がある。光源には、短期安定度と長期安定度がどちらも求められる。そこで、第4章では特に長期安定度に着目してどのような準備を行ったのか述べたい。

第5章「極低温分子の振動・回転基底分子への誘導ラマン断熱遷移」

第4章で準備したULE Cavityを利用して安定化した光源を用いて行った実験について述べる。本研究の意義で述べた光会合とSTIRAPを組み合わせた手法により、磁気光学トラップ中(MOT)の原子から全光学的に極低温振動・回転基底分子を選択的に生成すること目指し、これに成功した[32]。第5章では、いかにして振動・回転基底状態の分子に遷移した信号を得たのか述べた後に、STRIAPを特徴付けるパラメータの分光を行ったのでこれらの結果について紹介する。また、STIRAPの線幅を細くすることで分子の超微細構造が観測され、用いる中間状態によって出現する構造が変化するという結果についても述べる。

第6章「マイクロ波による超微細構造の分光」

第5章ではSTIRAPによって超微細構造の分光を行ったが、より細かな構造を分光す

るには他の分光手法が必要となる。そこで、我々はマイクロ波による分光を計画し実行した。第6章では、マイクロ波分光の原理、分光を行うための真空系の改造、そして得られた結果について述べる。

第7章「まとめと今後の展望」

本研究で得られた成果のまとめと、今後の展望について述べる。

(15)

7

第

2

^{章理論的背景}

2.1

振動と回転

本節では、２原子分子の構造について解説する。２原子分子は、原子が２つ合わさっただけであるが、原子と比較して非常に複雑な構造を有する。これは、分子のスペクトルが複雑になることを意味しており、分子の構造を把握することは得られるスペクトルを正確に理解する上でも重要となる。分子一般の解説としては、[33, 34, 35, 36]を挙げておく。

分子が原子と最も異なるのは核が複数あることである。本章で扱う２原子分子においても核が２つある。まず、この２つの核によって、どのような構造が出現するのかを考えたい。２つの核の運動は、図2.1 のように振動と回転の二つの自由度に分離される。分子の構造は、原子にも存在した電子状態に加えて、この新たな二つの自由度に由来する状態が出現するために複雑となるのである。

図 2.1: ２つの核の運動：回転と振動の自由度に分離される

2.1.1

^{エネルギースケール}

ここでは、大雑把にエネルギーのスケールを見積もってみることとする。電子状態については、電子を核間距離a程度に閉じ込めるから、不確定性原理により運動量は、p∼ ^~_a で与えられ、エネルギーは

E_e= ~²p² 2m_e

∼ ~²

2mea² (2.1)

程度と見積もれる。(ただし、me は電子質量)

(16)

8 第2章理論的背景

次に、振動については調和振動子を仮定して進める¹。調和振動の角振動数をω_N 、核の質量をMNとする。電子状態を変化させる手法として核を引き離すことを考えると、電子の広がり程度まで分子間距離を平衡位置から引き離せばよいと考えられる。このときの調和ポテンシャルの増加は ^M^N^ω₂^N²^a² と与えられ、これは電子状態の変化と同程度のエネルギー変化を与えると考えられるので、

1

2k_Na² ∼ 1

2M_Nω_N²a² ∼ ~²

2m_ea² (2.2)

が得られる。

よって、振動によるエネルギーEv は E_v ∼~ω_N ∼

rm_e

M_NE_e (2.3)

で与えられ、m_e とM_N の比を考慮すれば、エネルギースケールとして振動遷移¿電子遷移であることが分かる²。

また、回転のエネルギーE_rotについても古典的な長さaの物体の回転と考えれば、

Erot= L²

2I (2.4)

¡L≡Iω, I =MNa²¢

となり、角運動量Lの大きさを~程度であると考えれば、回転のエネルギーE_rotについて E_rot ∼ ~²

2M_Na² ∼ m_e

M_NE_e (2.5)

Erot ∼ rme

M_NEv ¡

式(2.5)を用いた ¢

(2.6) が得られる³。式(2.5,2.6)を用いると、M_Nはm_eの1800×A(A：質量数)倍程度なので、

各状態間のエネルギースケールの比は回転状態¿振動状態¿電子状態であることが分かる。よって、分子ポテンシャルは電子の状態ごとに大きく分裂しており、このそれぞれの中に振動状態があり、さらに細かな回転状態が存在するのである。

典型的な比としてq

me

MN ∼ ₃₀₀¹ を用いれば、電子遷移は光学遷移の領域なので∆E_e〜 h·300THzとして、∆E_v〜h·THz、∆E_rot〜h·GHzであることが見積もられる。温度Tではこれらの状態をどのように占有するのかを考えると、1mkは周波数に換算すると約21MHz

1実際の分子ポテンシャルにおいても、振動状態が低いときには、平衡位置からの変位が小さいため非調和項の影響が少なくこの仮定が良く成立する

2これは、重い核の反応は電子よりも遅いというBorn-Oppenheimer近似を正当化する結果でもある

3式(2.1)と同様に重さMN の物体がa程度に閉じ込められたと考えても同様の結果が得られる。この視

点にたてば、核の回転は質量が重い分量子効果が小さいとも言える。

(17)

2.1. 振動と回転 9

だから室温(〜300K)は、周波数に直すとh·6THz 程度となり、いくつかの振動状態状態と多数の回転状態励起状態にまで分布していることが分かる。

また、エネルギースケールの違いの他にも、回転には角運動量(N)が付随するが、振動には角運動量が存在しないことが挙げられる。

以下では、エネルギースケールの大きな方から順に個別に見ていくこととする。

(18)

2.1.2

^{分子の振動状態}

ポテンシャルのどこに振動によるエネルギー固有状態(振動状態)が現れるのかは、当然のことながらポテンシャルの形に依存する。１番単純なのは、調和ポテンシャルである。

しかし、現実の分子ポテンシャルは原子間距離(R)が近くなるとクーロン反発によりポテンシャルは急激に立ち上がり、R → ∞の原子に乖離した極限では一定のエネルギーに漸近していくので非対称である。さらに、R→ ∞の原子に乖離した極限では一定のエネルギーに漸近していくことは、R Àa_eqのところでは次第にポテンシャルの傾きが緩くなっていくことを示している。(ただし、a_eqは平衡状態での核間距離である。)

これらの事実は非調和項の重要性を示唆しているが、調和ポテンシャルの意義を否定しているわけではない。

例えば、分子ポテンシャル中の高いエネルギー状態(いわゆる”浅く”束縛された状態) で振動準位の間隔が小さくなるのは、高いエネルギー状態では非調和性によりポテンシャルの傾きが緩やかになり実効的に”ばね定数”が小さくなったものとして理解される。

∆E_v =~ s

k

µ (2.7)

V(R)∼ 1

2k(R)R²

(非調和項によりR Àaeqではk(R)が大きくなる) ここでは、µを有効質量として定義している。

また、調和ポテンシャルでの近似はR ∼ a_eqの周辺(つまり、低い振動状態)特に、今回のような振動·回転基底状態では、良く成立していると考えられる。

しかし、励起状態について考えると調和ポテンシャルには励起状態(分子ポテンシャルにおいては振動励起状態)の上限が無いという調和ポテンシャルでの近似が破綻する決定的な事実がある。そこで、分子のポテンシャルとして

U =U₀¡

e⁻²^R−R^a ⁰ −2e^R−R^a ⁰¢

(2.8) という経験的なMorseポテンシャルが用いられることがある。このポテンシャルがR=R₀ で極小値をもち、R→ ∞で0に漸近するのは直ちに確認される。Morseポテンシャルには、U₀, R₀, aを実験に合うように決めることで、非調和性を取り入れながら解析的にも扱えるという特性がある。

このMorseポテンシャルを断熱ポテンシャルとするとき、ポテンシャルには球対称性が

あるので処方箋にしたがって解いていく。波動関数は２原子核間の相対距離Rの関数として、球面調和関数YM(N)(θ, ϕ)を用いて

¡−~²

2µ+U(R)¢

u_N(R)Y_M^(N)(θ, ϕ) =Eu_N(R)Y_M^(N)(θ, ϕ) (2.9)

(19)

2.1. 振動と回転 11

を満たすから、

u_N(R) = 1

Rχ_N(R) (2.10)

とおいて変形すると

−~² 2µ

d²χ_N

dR² + ~²N(N + 1)

2µR² χ_N + (U −E)χ_N = 0 (2.11) となる。ここで、実効的なポテンシャルは

W =U +~²N(N+ 1)

2µR² (2.12)

である。このUにMorseポテンシャルを代入し、調和近似を用いて解く事を考えてWを最小点の周りで展開すると

W =W₀+µω²

2 (R−R₁)²+· · · (2.13) となる。ただし、最小点のR₁は

R₁ =R₀+ a² 2U₀

~²N(N + 1)

µR03 (2.14)

である。つまり、Nが大きい(これは、次節で見るように回転が速いことを意味する)ほどR1がポテンシャルの最小値R0から回転による実効的なポテンシャルを受けて大きくなることを意味している。また、W0, µω²については

W₀ =−U₀+~²N(N + 1)

2µR₀² − ~⁴N²(N + 1)²a²

4µ²R₀⁶U₀ (2.15) µω² = 2U₀

a² − 3~²N(N + 1)

µR₀³a + 3~²N(N + 1)

µR₀⁴ (2.16)

となるので、回転が速くなるとN(N+1)に比例する回転エネルギーに補正が必要になることも分かる。

χ_nについて解くべき方程式は、Wを式(2.13)のように展開したことで

¡−~² 2µ

d²

dR² + µω²

2 (R−R₁)²+W₀¢

χ_N =Eχ_N (2.17)

という調和振動子型になっているので、エネルギー固有値は E_ν =W₀+~ω¡

ν+1 2

¢ (2.18)

となる。また、固有関数χ_N,ν(R−R₁)はH_νをエルミート多項式として

χ_N,ν(R−R₁) =N_νH_ν(R−R₁)e⁻^2µω^~ ^(R−R¹⁾²χ_{N spin} (2.19) と表される。ここでは、N_νは規格化定数であり、χ_{N spin}は原子核のスピンの波動関数を示している。このχ_N,ν(R−R₁)を用いれば、全体の波動関数は電子の波動関数ϕ_e(R,r₁,r₂) との積として、

φ=ϕ_e(R,r₁,r₂)χ_N,ν(R−R₁)Y_M^(N)(θ, ϕ) (2.20) となる。

(20)

2.1.3

^{分子の回転状態}

回転のエネルギー

先ほどのMorseポテンシャルの部分で回転のエネルギーは導入してしまったが、本節

では回転する分子の模型を考えることにより改めて２原子分子の回転運動について見ていきたい。

古典的な回転により２原子分子を表現することを考えよう。ここでは、分子のモデルと

して図2.2(a)のように長さがrの棒の両端に質量の異なる原子が固定されているような分

子を考える。

(a) (b)

図 2.2: ２原子分子のモデル：重心周りの半径rの回転(a)は、換算質量を用いれば(b)のように簡単に記述される。

図2.2(a)のような回転は、数学的に図2.2(b)のような換算質量µ= _m^m¹^m²

1+m2 のひとつの物体の回転と等価である。このような回転運動は角速度で記述すると便利で、

ω= dφ dt = 1

r ds dt = v

r (2.21)

と書ける。ここで、物体の回転は一定の速度であることを仮定している。よって、運動エネルギー ¹₂mv²は一定でありこれを角速度で書き換えれば

E_rot= 1

2µr²ω² (2.22)

となる。µr²は慣性モーメントIとして知られており、回転運動においてこの慣性モーメントIと角速度ωは、それぞれ直線運動の質量mと速度vに対応する。

そこで、回転運動のエネルギーが直線運動の運動エネルギー _2m^p² のアナロジーとして得られることを見据えて運動量pに対応する角運動量Lを下のように定義しよう。

L=Iω (2.23)

ただし、ここでも速度が一般にベクトルなのに対応して、角速度もベクトルにした。

(21)

2.1. 振動と回転 13

すると、先ほどの運動エネルギー _2m^p² とのアナロジーから回転のエネルギーは Erot= L²

2I (2.24)

となる。

量子力学に移行するためには、式(2.24)で角運動量Lと位置rを演算子に修正して、

H_rot= Nˆ²

2µˆr² (2.25)

のエネルギー固有状態を求めればよい。(ただし、ここでは慣例にしたがって角運動量L を回˙ 転の角運動量˙ Nと修正した。)

このハミルトニアンの固有状態は、回転の角運動量Nˆ の固有状態| N, mn >であり、

回転のエネルギーは

E_rot=B_vN(N + 1) N = 0,1,2,3,· · · (2.26) B_v =< ψ(r)| ~²

2µˆr² |ψ(r)> (2.27) として与えられる。ここで定義されたB_vは回転定数と呼ばれており定義から分かるように分子の大きさを反映した量となる。また、各回転エネルギー状態Nには(2N+1)重の縮重度があることも分かる。

先ほど、室温では多数の回転エネルギー状態を占有すると述べたが、熱分布としてボルツマン分布を仮定し、角運動量Nの回転状態には2N+ 1の状態が縮退しているとすれば、熱平衡状態では

(2N + 1) exp¡

−B_vN(N + 1) k_BT

¢ (2.28)

のような分布が形成され、これは

N = rk_bT

2Bv

− 1

2 (2.29)

にピークを持っている。

実際には、式(2.15)から分かるように式(2.25)には高次の項も存在し

H_rot =B_vN²−D_vN²N²+· · · (2.30) と与えられる。第１項は導入したモデルで類推される回転のエネルギーを表し、第２項が回転による”歪み”を表している。

Dvは式(2.15)からも分かるように

D_v =< ψ(r)| ~⁴

2kµ²rˆ⁶ |ψ(r)> (2.31)

(22)

で与えられる。ここで、式(2.16)より得られる近似的な関係 k =µω² ∼ 2U₀

a² (2.32)

を用いた。

(23)

2.1. 振動と回転 15

2.1.4

^{分子の超微細構造}

本章の始めに述べたように、分子には電子状態、振動状態、回転状態が存在する。特定の電子状態のある振動状態に話を限定すれば、回転状態によるエネルギーが残る。ここからは、この回転状態とさらに細かな構造に注目していきたい。回転よりも細かな構造として分子の超微細構造が存在し、本論文の目的は冷却分子の特長を活かした高精度分光によりこのような構造を明らかにしていくことである。そこで、本節では分子の超微細構造について解説する。

核スピンを有する分子には超微細構造が存在し、既に[37]では振動·回転基底状態の超微細構造間のRF遷移を行っている。また、このような分子の超微細構造に関する理論計算も行われており、アルカリ２原子からなる分子では、等核分子については[38]が異核分子については[39, 2, 1]が参考になる。特に[2, 1] は我々が用いている⁴¹K⁸⁷Rbについても計算している。

分子のハミルトニアン

通常分子には多数の角運動量が存在し、これらの合成を相互作用の大きさを考慮しながら行わなければならない(フントの結合規則)。しかし、軌道角運動量L = 0かつスピン角運動量S = 0である¹Σ状態の２原子分子においては、前節で述べた回転の角運動量 N と核スピンI₁,I₂という３つの異なる角運動量のみを考慮すればよい。そこで、¹Σ状態の特定の振動状態にある分子が、外場のもとにあるときのハミルトニアンは

H =H_rot+H_hf +H_S+H_Z (2.33) と記述される。ここで、H_rot, H_hf, H_s, H_Zはそれぞれ回転、hyperfine、Stark、Zeemanによる効果を示しており、それぞれ

Hrot =BvN²−DvN²N² (2.34) Hhf =

X2

i=1

Vi·Qi+ X2

i=1

ciNi·Ii+c3I1·T ·I2+c4I1·I2 (2.35)

H_S =−µ·E (2.36)

H_Z =−g_rµ_NN ·B− X2

i=1

g_iI_i ·B(1−σ_i) (2.37) と与えられる。ただし、ここで用いたV_i,Q_i,E,Bはそれぞれ、核の位置での電場勾配、

核電気4重極モーメント、電場、磁場を表し、テンソルT は、スピン同士の直接の相互作用の角度依存性と間接的な相互作用の異方性を表している[40]。[2]によれば、各パラメータの値は表2.1のようになる。

(24)

I_K ³₂

I_Rb ³₂

g_K 0.143

g_Rb 1.834 B_v (GHz) 1.096 (eQq)_K (MHz) -0.298 (eQq)Rb (MHz) -1.520 σK (ppm) 1321 σ_Rb (ppm) 3469 c_K (Hz) 10.4 c_Rb (Hz) 413.1

c₃ (Hz) 21.3 c₄ (Hz) 896.2

g_r 0.0138

µ (D) 0.76

表 2.1: ⁴¹K⁸⁷Rbにおける核の性質及び結合定数[2]

分子の超微細構造

本研究で注目するのは、式(2.33)の第２項であるH_hf で表される超微細構造である。

この項は、Stark効果やZeeman効果が小さな時には支配的な項となる。実際にこの項を

41K⁸⁷Rbの振動基底状態分子において計算したものが、図2.3のようになることが[1]より分かる。

図 2.3: ⁴¹K⁸⁷Rbの振動基底状態(N=0,1)おける分裂([1]より転載)

(25)

2.1. 振動と回転 17

超微細構造の理解：電気4重極相互作用が存在する場合(N 6= 0)

表2.1からH_hfのうちで最も大きな寄与をするのは、式(2.35)の第１項で表される核の電気4重極モーメントと電子に起因する電場勾配との電気4重極相互作用である事が分かる。この核電気4重極モーメントによる分裂が存在するのは、電場勾配と核電気4重極モーメントが共に存在する時である。電子による電場勾配は電子の配置に異方性が生じるために生じるので、N 6= 0の時に電場勾配が生じる(図2.4)。

(a) (b)

図 2.4: 分子が回転すると回転により電子の分布が偏平し電場に偏りが生じる。

また、核電気4重極モーメントについてもI = 0の時には無くなることが直ちに分かる。さらに、I = 1/2においても核電気4重極モーメントがなくなることが知られている [41]。よって、N 6= 0、かつI 6= 0,1/2の時に電気4重極相互作用が存在し支配的であることが分かる。

さて、このように電気4重極相互作用が支配的な場合の超微細構造をどのように理解すればよいのか考えてみたい。表2.1からRbの核電気4重極モーメントの大きさは、Kの核電気4重極モーメントの大きさの約5倍であることが分かる。そこで、超微細構造がまずRbの核電気4重極モーメントによって分裂を起こして、その後Kの核電気4重極モーメントによって細かく分裂すると理解できないか考えたい。もしこのように理解できれば、全角運動量F 以外にも良い量子数FRb =IRb+N があることを示唆しており構造の理解の助けとなることが期待される。

図2.3は、H_hf を全てまじめに計算した場合の結果である。よって、このN=1の構造が上で述べたような分裂の様子によって説明可能かどうか調べてみることとする。１つの

(26)

核による分裂のみを考慮すればよい時、電気4重極相互作用のハミルトニアンは HEQ = (eQq)3(I·N)²+ ³₂I·N −I²N²

2I(2I−1)(2N −1)(2N + 3) (2.38) で与えられる[42]。ただし、(eQq)は電気４重極子結合定数である。ここでは、(eQq)Rbのみを考慮するとすればよいので

H_EQ = (eQq)_Rb3(IRb·N)²+³₂IRb·N −IRb2N²

2I_Rb(2I_Rb−1)(2N −1)(2N + 3) (2.39) となり、このRbの核スピンのみを考慮した簡単な構造はこの式を用いて計算可能である⁴。

図 2.5: 定性的な超微細構造の理解：Rbの核スピンによってFRbに分裂をした後にKの核スピンでF に分裂する。この構造は図2.3を再現するので、F_Rbも良い量子数であると考えられる。

4Kの核による電気4重極相互作用を取り込むには(eQq)Kを用い、NをIRb+N を合成したものに変更した上でもう一度式(2.39)を用いれば良いように思われるが、実際にはそうではないことに注意が必要である。このようにして求めた結果は定量的にずれるだけでなく、定性的にも出現するFの順序が誤った結果となる。

(27)

2.1. 振動と回転 19

実際に、式(2.39)を用いてRbによる分裂を計算すると、図2.5のようにF_Rb =I_Rb+N ごとに大きく3つに分裂すること、その時のF_Rbの順序が分かる。各F_Rb=I_Rb+Nは更に Kの核スピンにより分裂しているので、各F_Rbの値から出現する全角運動量F =F_Rb+I_K の値も定性的に求められる。

図2.3と図2.5を比較すると、Rbの核スピンによる大きな分裂があってそれぞれにK の核スピンによる分裂が存在するという様子、さらにそれぞれの分裂に現れる全角運動量 F の値が定性的に一致することが分かる。これよりF_Rbが良い量子数であることが示唆され、本論文では電気4重極相互作用が存在する場合(N 6= 0)には、全角運動量F の他にF_Rbを用いて状態を指定することとする。

超微細構造の理解：電気4重極相互作用が存在しない場合(N=0)

これまでは電気4重極相互作用が存在する場合(N 6= 0)についての超微細構造を考えてきたが、回転基底状態(N = 0)の分子の電子軌道は球対称なので電場勾配が存在せず、

電気4重極相互作用は起こらない。

そこで例えば本論文で扱う振動・回転基底状態(v = 0, N = 0)においては、式(2.35)の第４項で表される核スピン同士の磁気双極子相互作用が支配的となる。よって、外場が無い時の回転基底状態の分裂は結合定数c₄を用いて

< N = 0(I_KI_Rb)IM_I|c₄I_K·I_Rb|N = 0(I_KI_Rb)IM_I > (2.40)

= 1

2c₄[I(I+ 1)−I_Rb(I_Rb+ 1)−I_K(I_K + 1)] (2.41) のように表されるので、実験的にN=0の分裂を測ることで定数c₄が求められる。この分裂の大きさは、表2.1の値を用いると図2.6のように数kHz程度なる。これは、電気4重極相互作用による分裂と比較して約1/100程度とはるかに小さな大きさである。

図 2.6: ⁴¹K⁸⁷Rbの振動·回転基底状態おける分裂

(28)

振動・回転基底状態の分子の核スピン同士の磁気双極子相互作用によって生じる超微細構造のスケールは1kHz程度と、基底状態の原子の超微細構造の数GHｚ(典型値)と比較して６桁も小さい。一つの要因は、原子の超微細構造が電子スピンと核スピンによって生じるのに対して、ここで考えている分子の超微細構造が核スピン同士によって生じていることである。これで、おおよそ3桁分の差異が説明可能である。しかし、さらに3桁程度小さな理由が存在するはずであり、これは相互作用の仕方によっていると考えられる。原子のように電子と核の相互作用の場合には電子の軌道が核の位置にも存在する。一方で、

核スピン同士の磁気双極子相互作用においては２つの核同士は離れた位置に存在している為に相互作用が小さくなっていると考えられる。

このように、核スピン同士の磁気双極子相互作用という非常に弱い相互作用に起因する細かな構造を分光することも本論文の目的である。

(29)

2.2. 誘導ラマン断熱遷移(STIRAP)の理論的背景 21

2.2

^{誘導ラマン断熱遷移}

(STIRAP)

^{の理論的背景}

この節では、誘導ラマン断熱遷移(STIRAP: STImulated Raman Adiabatic Passage)の理論的背景について述べたい。まず、３準位系のハミルトニアンを導出し励起状態を含まないDark-stateがその固有状態として存在することを確かめる。さらに、Dark-stateを巧みに利用することでSTIRAPによる遷移が可能であることを確認し、３準位モデルから得られる定量的結果をまとめる。

３準位系のハミルトニアン

図 2.7: STIRAPを考える３準位系

STIRAPを考えるにあたって、図2.7のような３準位原子と２本のレーザーからなる系

を考える⁵。以下の議論はさらに多くの準位にも容易に拡張可能である。この３準位系の時間に依存したSchr¨odinger方程式

i~d

dtΨ(t) = (H~ _atom−d ~~E(t))Ψ(t)~ (2.42) を解きたい。Ψ(t)は３次元のベクトルで、その成分が３つの準位を表しており、H_atomは３×３の行列である。H_atomは原子系の情報を含んでおり、時間に依存しないSchr¨odinger 方程式Hatom,nn | n >=En | n >(n=1,2,3)を満たす。ここで、Enはレーザー光の無い場