通信デバイス工学

(1)

通信デバイス工学

山田博仁

(2)

講義について

1.

講義スケジュール

4/10

講義について、通信デバイスとは、無線通信デバイス

(WiFi

と

IoT)

4/17

無線通信デバイス

(ZigBee

とセンサー

NW)

4/24

ソフトウェア無線

(SDR)

5/1

その他無線通信デバイス

(RFID

など

)

5/8

通信ネットワークの現状

5/15

半導体光デバイスの基礎

5/22

物質の発光現象、物質と電磁場との相互作用　　

5/29

2 準位系での相互作用と光増幅のメカニズム　　

6/5

レーザー

6/12

電磁場の量子化と全量子論

6/19

半導体中での光学遷移、フォトダイオード、

LED

6/26

半導体レーザー、光増幅器

7/3

非線形光学

7/10

光変調器、光スイッチ、波長フィルターと光合分波器　　

7/17

その他の光デバイス、まとめ

7/24

予備日

2.

質問等　

E-mail: [email protected]

、電気系

2

号館

202

3.

号室講義資料のダウンロード　

URL: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe

(3)

国内のネットワークトラフィックの推移

国内のインターネットトラフィックの総量は、 2015 年 11 月時点で約 6.5Tbps

現在もなお、年率約 40% で増加

出典: H28 年度版情報通信白書

(4)

海底光ケーブル網

出展　 https://personalpages.manchester.ac.uk/staff/m.dodge/cybergeography/atlas/cables.html

(5)

出展: http://premium.nikkeibp.co.jp/ftth/part2/top_f.html

身近になった光ファイバー通信

FTTH(Fiber To The Home):

フレッツ光

(NTT), au

ひかり

(KDDI)

などがサービスを展開

光回線終端装置 (左 )

とルーター (右)

AV 機器のデジタル入出力ケーブル

AV機器のデジタル入出力ケーブルとコネクタ

(6)

適用分野が広がりつつある光通信

サーバーの

Backplane

(

オレンジ色のケーブルは光ファイバー

)

光通信は今や、サーバーの筺体間データ通信から、パソコンにも

SONY VAIO Z

に搭載されたユニバーサルバスインターフェース

(Light

Peak)

(7)

ボード間光伝送用パラレル光モジュール

10Gbps, 12ch(120Gbps)

パラレル光モジュール

Avago

製

MicroPOD

^TM

IBM Power775

スパコンに搭載

Power775

のシステムボード

スーパーコンピューターのボード間データ通信にも光通信が

リボン光ファイバー

(8)

車載光ネットワー

ク

(9)

LSI チップ内光配線

グローバル電気配線層

ローカル配線

Tr

層層

・高速データ通信

・電磁ノイズの低減

・消費電力の低減光配線層

LSI

チップの断面

(

出展

:

米

Intel

社

) 130nm 6

層銅配線

・クロック周波数高速化の限界

-

バッファ導入による回路複雑化、

　　　　　　　消費電力増大

-

クロック高速化によるノイズ問題顕在化

LSI の性能限界が近年顕在化

電気配線の限界マルチコア化の流れ

・コア間、プロセッサ -メモリ間データ伝送

　の高速化限界、多層配線の限界

光配線のメリット

(10)

適用分野が広がりつつある光通信

筐体 ( ラック ) 間　→　ボード間　→　チップ間　→　チップ内 ( 素子間 )

出典: C. Gunn, “CMOS Photonics™ Technology Enabling Optical Interconnects” Luxtera, Inc.

Light Peak Infiniband

DDR(20Gbps)AWG24 20mまで

Active optical cable (AOC) 100mまで

MicroPOD

光インターポーザ

(11)

ネットワーク機器の電力消費の予

国内のインターネットトラフィックは年率測 40% で増加ネットワーク機器の消費電力もそれに伴い増加すると仮定すると、 2020 年頃には、 2007 年の年間総発電量を超える見通し

http://www.aist-victories.org/jp/about/outline.html

(12)

光通信に用いられる各種光デバイス

1.

受動光素子

(passive optical device, passive photonic device)

2.

能動光素子

(active optical device, active photonic device) -

発光ダイオード

(LED: light-emitting diode)

-

半導体レーザー

(semiconductor laser, LD: laser diode) -

光増幅器

(optical amplifier)

-

光導波路、光ファイバー

(optical waveguide, optical fiber) -

光分岐器

(optical splitter)

-

光方向性結合器

(optical directional coupler) -

光波長フィルター

(optical wavelength filter)

-

光波長合分波器

(wavelength multiplexer/demultiplexer) -

偏光子

(light polarizer)

-

光波長板

(wave plate)

-

分散制御素子

(dispersion control device) -

光減衰器

(optical attenuator)

-

光アイソレーター

(optical isolator) -

光サーキュレーター

(optical circulator)

-

光スイッチ

(optical switch, photonic switch)

-

受光素子、光検出器、フォトダイオード

(PD: photo detector, photo diode)

光通信に用いられる各種光素子

(

光デバイス

)

講義でカバーするデバイス

3.

その他の素子

(

波長変換素子、コヒーレント受信器など

)

(13)

21 世紀の文化と生活を支える各種光デバイス

- CCD

イメージセンサー

(charge-coupled device image sensor) - CMOS

イメージセンサー

(CMOS image sensor)

-

太陽電池

(solar cell, photovoltaic cell) -

光電子増倍管

(photo-multiplier)

-

撮像管

(image pick-up tube)

- CRT

、ブラウン管

(CRT: cathode-ray tube, Braun tube) -

液晶ディスプレイ

(liquid crystal display)

-

プラズマディスプレイ

(plasma display) -

有機

EL(organic light emitting display)

-

各種光記録媒体

(CD, DVD, BLD,

ホログラム、フィルム、バーコード

) -

医療用、加工用などの各種レーザー

(

気体、固体、液体レーザー

)

-

非線形光学素子

(non-linear optical device)

光通信以外の用途にも用いられる各種光素子

(

光デバイス

)

これらのデバイスを総称して、「フォトニックデバイス」と呼んでいるフォトニクス分野は、日本が未だに強い技術競争力、産業競争

力を維持している数少ない分野

21

世紀の「産業の米」となるかも

?

(14)

エレクトロニクス ( 電子工学 )

フォトニクススピントロニクス

GMR HDD MRAM

光スピニクス

電子管

,

ダイオード

, Tr, FET, LSI

トンネル効果素子

スピニクス ( マグネティクス )

( 磁気工学 )

HDD

レーザー

LD, LED

光磁気ディスク

フォトニックデバイスとは

光ディスク磁気テープ

ディスプレイ

光ファイバー太陽電池

フォトエレクトロニクス ( オプトエレクトロニクス )

電子の電荷を操作

フォトンを操作

物質のスピンを操作

エネルギーと数振幅と位相

電磁波電圧と電流

受光素子

,

光検出器

CCD, CMOS

センサー

?

電子のスピンと電荷を操作磁気記録

フォトンと電子の電荷を操作

未開拓

電子の波動関数を操作

(15)

半導体光デバイスの基礎

光デバイスに用いる半導体に求められる性質

主な半導体材料の光吸収係数

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 波長 : λ (μm)

光吸収係数: α (cm-1 )

T = 300K 10⁵

10⁴

10³

10²

Si

InP GaAs

Ge In_0.53Ga_0.47As

受動素子

(

非発光素子

)

、光導波路

・動作波長帯で透明であること

能動素子

(

受発光素子

)

・動作波長帯で適度な光吸収係数を有する、

　つまり光との相互作用が可能なこと

・

pn

接合が得られる

(

電流注入素子が　実現可能な

)

こと

・非線形光学効果が小さいこと

(

非線形光学素子は別である

)

・材料分散もなるべく小さい方がよい

・発光素子の場合は、発光遷移確率が　高いこと

(

直接遷移型半導体

)

・複屈折もなるべく無い方がよい

(

偏波無依存

)

(16)

半導体のバンド構造

半導体とバンド構造

結晶中の電子の波動関数

(

電子状態

)

は、ブロッホの定理によると、

波数と呼ばれる量子数によって規定される。このことが、エネルギーと波数との関係

(

分散関係

)

が原理的に示せることを保障している。

バンド理論においては、このエネルギーと波数との関係を、エネルギーバンド

(

バンド構造

)

と呼ぶ。

Si

内の電子エネルギーの分散関係

バルク

Si

では、ホール

(

正孔

)

は

Γ

点付近に分布しているのに対して、電子は

X

点付近に分布するので、間接遷移バンドギャップは約型半導体

1.1eV

ホール

電子

(17)

半導体のバンド構造

化合物半導体のバンド構造

GaAs

の電子エネルギーの分散関係

InP

の電子エネルギーの分散関係

GaAs

も

InP

も、電子、ホール共に

Γ

点付近に分布

ホール電子

(18)

半導体のバンド構造

Ge

のバンド構造

Ge

の電子エネルギー分散関係

Ⅳ 族半導体である

Ge

も間接遷移型であるが、歪を加えると、直接遷移

like

になる

近年、

Ge

による半導体レーザー

(

低温、パルス発振

)

が実現された

(19)

半導体光デバイスの基礎

材料分散

セルマイヤー

(W. Sellmeier)

の式

分散とは ‥‥ 物質を電磁気学的に特徴付けている誘電率

(

屈折率

)

、透磁率などが、それと相互作用する電磁波の周波数

(

波長

)

に依存すること

( ), ( )

),

(    

 n

構造関係式は、

D   (  ) E , B   (  ) H

共鳴周波数付近では、誘電率

(

屈折率

)

も大

きく変化する。一般的に、線形応答における周波数応答関数の実部と虚部の間には、クラマース・クローニッヒ

(Kramers-Kronig)

の関係が成り立つ。

媒質中の光の分散について，波長と屈折率との間の関係を現象論的に導いた式

 _





₂ ²₂

2

1

i

A

i

n  



ここで

λ

_i

= c/ν

_i であり、

c

は真空中の光速、

ν

_i は媒質の共鳴振動数で、

A

_i は

定数である ^Si ^{の誘電関数} ⁽ ^電子系^)ε ^{の第一原理計算}

Calc.

(20)

半導体光デバイスの基礎

複屈折

複屈折とは‥‥異方性媒質においては誘電率

(

屈折率

)

や透磁率がテンソルとなる

 







 







 







 







 

 





 







z y x

zz zy

zx

yz yy

yx

xz xy

xx

z y x

E E E D

D D



(

構造関係式

)

結晶などは光学異方性媒質

方解石の複屈折複屈折結晶において、光を入射しても光が分かれな

い

(

即ち複屈折が生じない

)

方向を光学軸

(optic axis)

という。

(

通常の結晶の

c

軸に相当

)

光線が結晶に入射すると、図のように

2

つの光線

(

常光と異常光

)

に分離する場合がある。このうち、

電場の振動面に光学軸がある

と、

Snell

の法則に従わない異常光

となる。

光学軸 (c 軸)

入射光線

常光異常光出射光線

(21)

半導体光デバイスの基礎

非線形光学効果

非線形光学効果とは ‥‥ 物質の誘電率

(

屈折率

)

、透磁率などが、電場や磁場の強さに依存する現象

) ( ),

( ),

( E n E  H



構造関係式は、

D   ( E ) E , B   ( H ) H

全ての物質は、多かれ少なかれ非線形性を有している。特に電場

(

光

)

が強い場合に非線形性が現れる。波長変換デバイスなどでは、非線形光学効果を用い入射光が弱い場合、光の電場る。

E

に比例した分極

P (

線形分極

: linear

polarization)

が誘起される。

E P  

₀

 )

, ( )

, (

) , ( )

, ( )

, ( ) 1

(

) , ( )

, ( )

, (

0

0 0

0

t t

t

t t

t

e e

r

x P x

E

x E x

E x

E

x E x

E x

D























線形分極

入射光が非常に強くなると、電気感受率が電場に依存するようになる。

E P  

₀

 ( E )

:

電気感受率

       

 E EE EEE

E )

₀ ⁽¹⁾ ⁽²⁾ ⁽³⁾ ⁽⁴⁾

(     



(22)

半導体光デバイスの基礎

直接遷移型および間接遷移型半導体における電子遷移

間接遷移型半導体では、光の放出または吸収にフォノン

(

格子振動

)

が介在

(23)

物質の発光現象

物質における光の吸収と放出

(

発光

)

全ての光は原子から生まれる

!!

太陽からの光‥‥太陽の中での水素原子の核融合蛍の発光‥‥有機物の生化学反応による

物が燃える時の発光‥‥有機物の化学変化による

LED

などの発光‥‥半導体結晶の中での電子遷移

物質の発光現象を扱うには、物質と光

(

電磁波

)

との相互作用メカニズムについて学ばなければならない。

量子電子工学

(Quantum electronics)

という学問分野

基底準位励起準位励起状態

基底状態原子核

光

光 ΔE = hν

ΔE ν

しかし何故、物質から光が放出されるのだろうか

?

元始、女性は太陽であった　

(

平塚らいてう

)

原子、それは全ての光の源

(

母

)

である

(24)

物質の発光現象

+e

電子

-e

陽子

ラザフォードの水素原子の模型

m r v ω

ラザフォードが提唱した原子は、古典電磁気学に依

ると不安定であり、電磁波

(

光

)

を放出しながら

10

^-

11 秒程度の短い時間で潰れてしまうことが予測される。

(

私の電磁気学Ⅱの最終回の講義資料を参照

)

この矛盾を解消するために、量子力学が誕生

ボーアの水素原子の模型

+e

陽子

-e

ボーアが提唱した原子の模型は、電子は原子核の

周りを物質波という形で定在波を形作って回転している。そしてその波が丁度「量子条件」によって規定される離散的な状態しか許されないため、

安定に存在するというもの。また電子が、ある定常状態から別の定常状態へ移行

(

遷移

)

するときに

、放射（吸収）される光の振動数は、振動数条件

(ΔE = hν)

を満たすというもの。

そもそも、電子が状態間を遷移する時に何故光が放出

(

吸収

)

されるのだろうか

?

では、光の放射と吸収とで、一体どちらが起きるのか

?

(25)

光の吸収および発光現象を扱う理論

自然放出までを説明できるよう、つまり物質と電磁場との相互作用を厳密に扱うには、電磁場をも量子化した全量子論モデルで扱う必要がある。

古典論半古典論全量子論

電磁場物質

量子論

古典論古典論古典論量子論量子論解析モデル

説明可光の吸収

説明可説明可

誘導放出説明不可

自然放出説明不可説明可

説明可説明可説明不可物質と電磁場との相互作用を扱うには、以下の

3

つの方法が考えられる。

1.

物質、電磁場共に古典論で扱う方法

(

古典論

)

つまり、半導体のバンド構造などは考えず、電磁場は波動

(

電磁波

)

として扱う方法。このモデルでは光の吸収は現象論的に扱えるが、発光現象は説明できない。

2.

物質は量子論で扱い、電磁場は古典論で扱う方法

(

半古典論

)

つまり、半導体中の電子は量子化され、エネルギーバンド構造を為す。

一方電磁場は波動として古典論で扱う方法。このモデルでは光の吸収、

誘導放出

(

レーザーなどの原理

)

は扱えるが、自然放出は説明できない

3.

物質、電磁場共に量子論で扱う方法。

(

全量子論

)

物質と電磁場との相互作用を扱うモデルとその適用範囲

(26)

半古典論

まずは半古典論により、物質と電磁場との相互作用を扱ってみよう

(27)

電磁場の記述

電磁場と物質との相互作用を理解するためにはまず、電磁場の記述の仕方や基本的性質を理解しておく必要がある。

古典的電磁場を記述する基本法則である

Maxwell

方程式は、

0 ) , (

) , (

) , ( 1

) , ) (

, (

) , ) (

, (

2













 

 

 

 







 







t t

t t v

t t t

e

e e

x B

x E

x i i E

x x E

B

x x B

E









と書き表わせる。

また、電場

E

と磁場

B

は、電磁ポテンシャル

A(x, t), ϕ(x, t)

によって以下のように表わせる。

A A B

E     



 

  ,

t

従って、上に示した一連の

Maxwell

方程式は、場の量としての電場

E

と磁場

B

を用いる代わりに、

A

と

ϕ

による式に置き換えることができる。

(28)

電磁場の記述

t t t

t ' t

t t

' 

 





 ( , )

) , ( )

, ( ),

, ( grad )

, ( )

,

( x

x x

A x

A    

さらに電磁ポテンシャルには任意関数

χ

だけの不定性があるので、任意のスカラー関数

χ(x, t)

を用いて、

) 0 , ) (

, (

div 



 

t

^L

t

L

x x

A  

電磁ポテンシャル

A

_L と

ϕ

_L を、の関係を満たすように

χ(x, t)

を選んだ場合を、ローレンス・ゲージと呼ぶ。この場合には場の方程

式は、以下に示す

A

_L と

ϕ

_L それぞれに対する簡単な波動方程式に帰着する

。

) , 1 (

) , ( ),

, ( )

,

(

₂

2 2

2

t t t

t

t A

^L

x t i

^e

x

^L

x 

^e

x

 





    

 







 





 



 







 



或いは、ダランベール演算子

(d‘Alembertian)□

を用いて

と置き換えた電磁ポテンシャル

A’

と

ϕ’

を用いても場の方程式の性質は変わらない。このような関数

χ(x, t)

をゲージ関数と呼び、上のような新たな電磁ポテンシャル

A’

と

ϕ’

を選ぶことをゲージ変換と呼ぶ。

ローレンス・ゲージは、ローレンツ変換に対して不変であるため、相対論で用いられる。

) , 1 (

) , ( ),

, ( )

,

( t

_e

t

_L

t

_e

t

L

x i x x x

A 

 

  



 □

□

ローレンス条件

(29)

電磁場の記述

A B

E A









 

 t

従って、電場

E

と磁場

B

は、ベクトルポテンシャル

A

から、

の関係により、導出できる。

の条件式を満たすように選ぶゲージをクーロン・ゲージ

0 (Coulomb gauge)





 A

i A   





 



 

 

 

 







 









t t

²

2

ローレンス・ゲージ以外にも、ベクトルポテンシャルの波動を横波に限定し、

と呼ぶ。この場合、場の方程式は以下のようになる。

さらに、電荷

ρ

_e も電流

i

_e も存在しない自由空間においては、場の方程式は

0 ,

Const.

₂

2

  

 







 



 A

 t



となる。この場合、ローレンス条件を満たしており、

ローレンスゲージでもあるが、放射ゲージと呼ばれる。

ベクトルポテンシャル

A

のみによって電磁場が記述でき、スカラーポテンシャルについては扱う必要はないので、簡単。今後はこのクーロン・ゲージ

(

放射ゲージ

)

を用いることとする。

このように、クーロン・ゲージをとれば、

真電荷がゼロの場合

(

放射ケージ

)

、電磁場はベクトルポテンシャル

A

のみで表せる。

ただし、スカラーポテンシャル

ϕ

は全空間において一定値となる。

(30)

荷電粒子と電磁場との相互作用

電磁場内に

1

個の荷電粒子

(

電子

)

が存在するときの粒子系のハミルトニアンは、

 e m e

H  (  )

²

 2

1 p A

で与えられる。

(

導出は各自試みられよ

)

ここで

p

は、電子の運動量演算子、

m

は電子の質量、

ϕ

はスカラーポテンシャル、

e

は電子の素電荷、そして

A

はベクトルポテンシャルである。

このうち、電磁場が無い中に電子のみが存在する成分

H

₀ を、主ハミルトニアンまたは無摂動ハミルトニアンと言い、電子と電磁場の双方の寄与からなる成分

H

_int を相互作用ハミルトニアン

(Interaction Hamiltonian)

と言う。即ち、

2 2 int

2 0

int 0

2

) 2 2 (

2 1

) 2 (

1 A p

A A p p

A p

m e m

H e

m e H

H H

e m e

H



























となる。

H

_int の最後の項は、

A

² に比例することから高次の過程

(

非線形光学過程

)

であり、その確率は最初の項よりも通常は小さいので、ここでは無視することにする。

(31)

相互作用の電気双極子近似

荷電粒子は、電磁場の正弦波的変動のための周期的な位置変動をするものと仮定

.

0

.

* 0

0

e

ⁱ ^t

 e

ⁱ ^t

 e

ⁱ ^t

 C C

 r

^

r

^^

r

^

r

そして、粒子の運動をニュートン力学的に求めると、

) ( i

₀

e

ⁱ ^t

i

₀^*

e

ⁱ ^t

m

m  

^

 

^^

 r r r

p 

と書かれる。さらにベクトルポテンシャルを

t i t

i

e

^



^^

 A

₀

A

₀^*

A

と置くと、電場は、

t i t

i

i e

e t i



 

^



 

 

 A A

₀

A

₀^*

E

と書かれる。従って、

E R

E r

A r A

r p

A A p































 e

i i

m m e m

H e ( ) ( )

2

⁰

* 0

* 0 0

int

 

と書ける。ただし、

R = er

で、電気双極子能率

(electric dipole moment)

と呼ばれている。

E

+e

−e

e

^−iωt

e

^+iωt

r

電気双極子

e

^i2ωt や

e

^−i2ωt の項は

、時間積分すると消える

原子の分極

E

電子雲

の偏り

r

(C.C.

は複素共役のこと

)

(32)

相互作用の電気双極子近似

) 2 (

int

  p  A  A  p m

H e

相互作用ハミルトニアン

には、電場による影響

(

クーロン力

)

と磁場による影響

(

ローレンツ力

)

の両方が含まれているはずであるが、上で導いた荷電粒子との相互作用の式では、電場による影響

RE

しか含まれていない。これは、荷電粒子の運動の形態を、

のように、ある限られた場所での振動と仮定したためである。もし荷電粒子に平行運動のような運動形態を仮定したならば、磁場による影響も含まれてくるはずである。

t i t

i

e

^



^^

 r

₀

r

₀^*

r

このように相互作用を、電場のみに影響すると仮定して

RE

のように近似することを、電気双極子近似という。近似による変位の部分を電場で展開すると、電気四重極子や電気八重極子のような多重極の分極が現れることもある

。

工学で扱う物理現象は非常に複雑なものが多い。従って、全ての物理現象を取り入れた完璧な理論を構築することは不可能である。

良きエンジニアとは、それら複雑な物理現象の中で、何が本質的に重要かを見極め、近似をうまく使い、無視できる物理現象は思い切って無視し、シンプルな理論を構築できる人である。ただし、どんな近似を使ったのかは決して忘れてはいけない。

皆さんへのメッセージ

(33)

半導体中での電気双極子

半導体中では、電子とホールが分極

(

電気双極子

)

を作る

+

ホール

電子

−e

電気双極子

+e

半導体中における電気双極子

伝導帯

価電子帯ホール

電子

電気双極子

E

(34)

補 ) ディラック記法





n

 a

と表せる。

波動関数

ψ(x)

状態ベクトル



ディラック記法

複素関数ヒルベルト空間の複素ベクトル

ケット・ベクトル





n

x

a

x ) ( )

( 



波動関数は、完備直交関数

φ

_n

(x)

を状態ベクトルは、完備直交ベクトル　　　を

用いて用いてと表せる。

n

複素共役をとると、





n

x

a

x ) ( )

(

^* ^*

*





随伴ベクトル

(

複素共役をとって転置したもの

)

を、





n

n a

^*

となる。



と書く。

ブラ・ベクトル

  ^

  † ^{ }   ^ ^†

これらのベクトルは、互いに随伴

or

エルミート共役ダガー



 ( x )  x

波動関数

ψ(x)

と状態ベクトル　　とは



の関係にある。

座標ベクトル　　を用いて

x

量子力学おいて状態は波動関数

ψ(x)

として与えられた。ディラックの記法においてこれは状態ベクトル



で与えられる。波動関数や状態ベクトルは、確率振幅を意味する。

(35)

補 ) ディラック記法

2

つの波動関数を



 

 







n

n n

n m

m n

n m

m n

n n m

m

b a

dx b

a

dx b

a dx

x x

*

* 2

*

1

( ) ( )





2

つの状態ベクトルを





n

n n n m

n m

n n m

m

b a

n m b a

n b m

a

* ,

*

* 2

1



関数の正規・

直交性より

ベクトルの正規・直交性より



 ^



n n m

m

m b n

a

₂

1

, 

 n m ,

状態ベクトルの内積

は、完備直交ベクトル

(

基底

)

波動関数の内積



 ^



n

n n m

m

x b

a

x   



₁

( ) ,

₂

( )

n

m



 ,

は、完備直交関数

(

基底

)

n

mn

m  

は、正規化されているとする

n

m ,

n

m



 ,

は、正規化されているとする

mn n

m

x  x dx 

  



^*

⁽ ⁾ ⁽ ⁾



mn



mn

(36)

補 ) ディラック記法

 

n n

n n i

f

b a b

a b a b a b

b b b a a

a

₃ ₁^* ₁ ^*₂ ₂ ₃^* ₃ ^*

2 1

*

* 3

* 2

*

1

, , ,     

 





 













行ベクトル

列ベクトル

ブラケット



_f



_i ²

状態の生起確率

(

密度

)

を表す

)

2

( x



やは、



ケット・ベクトルは始状態を、i



fブラ・ベクトルは終状態を表す

(

ベクトルの内積

)

恒等演算子

j j

j

x

x I ^ 

シュレディンガー方程式

) ( )

( t

i t t

H  



  



 A ˆ

物理量

A

に対する期待値は、

　　を物理量

A

の演算子とすると

A ˆ

(37)

量子統計と密度行列

電流値など、多くの粒子

(

電子

)

が関与する物理量は、多くの粒子による統計的な平均値となる。また単一事象において、複数回観測

(

測定

)

を行った場合の期待値なども統計的な扱いが必要となる。そのような多数の粒子或いは多数回の測定についての統計的性質について扱う。まず、

ν

番目の粒子または

ν

回目の測定における状態を、





n

C

⁽ ⁾

)

( 



と書くこととする。

ここで　　は、一つの粒子のみが存在する場合のエネルギー固有状態である。

完備性

(completeness)

が仮定されているので、　　の

1

次結合によって任意

の　　　　をつくれるはずであり、　　には添え字 ^(ν) はいらない。

n

n 

⁽^⁾

n





m n

m

n

C n A m

C A

,

) ( )*

( )

(



  



ある物理量に対する演算子を

A

とすると、 ν 番目の粒子における期待値は、

となる。

次に、粒子の集団全体における期待値の平均

(ensemble average)

を求める。

 ^



⁾

1 P

(

ν

番目の粒子が寄与する割合

(

粒子の抽出確率

)

を

P

^(ν) と置くと、全ての粒子に対する抽出確率は当然、

である。

(38)

量子統計と密度行列

集団全体における期待値の統計平均

(

アンサンブル平均

)

は、



 ^



m n

m

n

C n A m

C P A

P A

, ,

) ( )*

( ) ( )

( )

( ) (



 



と書ける。

ここで、以下のような書き換えを行う。

m n m

n mn

nm

n A m P C C C C

A A

A  ,  ,  

⁽ ⁾ ⁽ ^)* ⁽ ⁾



^*









ρ

_mn を要素にもつ行列

ρ

を密度行列

(density matrix)

と呼ぶ。

 





 









22 21

12 11



密度行列を用いると、





 



 

 

 

 



m

m n

m n m

n

nm mn

m A m m

A n n m

m A n n m A

A



, ,

と書き改められる。





n

n n

 I

は恒等演算子

(identity operator)



m

m A

m 

は行列

ρA

の対角要素を全て足し合わせたもの、即ち

Trace

であり、

) ( Tr A m

A m A

m



 

 

と表わすことができる。また、　　　　　　　である。

Tr (  )  1

(39)

密度行列の運動方程式

密度行列

ρ

の性質が分かれば、集団内の個々の粒子についての状態

や抽出確率

P

^(ν) を知らなくても、統計性を含めた期待値

を知ることができる。そこで、密度行列

ρ

を表現する方程式、つまり

ρ

が従うべき方程式を求めてみる。

) (

 A

n P

m n

P m

m n P

C C

P

_n _m

mn

 



 

 











) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

) ( )

( ) ( )

( )*

( ) (

従って密度行列は、　　　　　　　と書くことができる。

まず、密度行列の行列要素の定義式を、以下のように書き直す。











⁽ ⁾

P

⁽ ⁾ ⁽ ⁾ この式の両辺を時間

t

で微分すると、

 

 





 

 







 



dt P d

dt P d dt

d

⁽ ⁾ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ₍ ₎ ⁽ ⁾

となる。

ただし、抽出確率

P

^(ν) の時間依存性はないとしている。

(40)

密度行列の運動方程式

 ^ ^   ^ 



 



1 , 1

) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

i H H

i H

i P H

i P H dt

d









 



 

 

 

) ( )

(





 H

dt

i  d 

シュレーディンガー方程式　　　　　　および、そのエルミート共役

dt H

i d 

⁽^⁾

 

⁽^⁾

 

より、

となる。

これは、密度行列の時間発展を表す式であり、密度行列の運動方程式或いは、量子リウヴィル

(Liouville)

方程式もしくはリウヴィル

-

フォン・ノイマン方程式とも呼ばれる。

(41)

双極子との相互作用がある場合の密度行列

電子系の主ハミルトニアンを

H

₀ とし、電気双極子能率を

R

とする。前に述べたように、電場が存在するときの相互作用ハミルトニアン

H

_int は、−

RE

となり、電子系全体のハミルトニアン

H

は、

RE H

H H

H 

₀



_int



₀



となる。

これを、密度行列の運動方程式に代入すると、

     

   ^R ^R  ^E

H i i H

RE i RE

H i H

dt d



 























1 1

1

0 0

となる。

ここで、最後の ≈ では、１個の電子が存在する領域が電磁波の波長に比べて十分に小さく、その範囲内で電場の分布は一定と見なせることを仮定している。

実際、気体原子に束縛されている電子の存在範囲はせいぜい数

Å

程度であり

、また半導体中の電子に至ってもせいぜい数十

Å

程度である。それに対して

、相互作用する光の波長は数千

Å

もあるので、この仮定は妥当である。

(42)

双極子との相互作用がある場合の密度行列

次に、密度行列の行列要素に対する方程式を導出する。エネルギー固有状態には時間依存性が無いので、

dt n m d n

dt m d dt

d 

_mn

   

と表すことができ、従って、











 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 









l l

mn

E n l l R i m

E n R l l i m

n H l l i m

n l l H i m

E n l

l R

i m E n R l l i m

n H l l i m

n l

l H

i m

E n R i m

n H i m

dt d



 



1 1

0 0

と書くことができる。なお、ここで用いている固有状態は、主ハミルトニアン

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