物理学概論 (’19 年度 )

物理学概論

(’19

)

(到達目標)

物理学という科学的方法を用いた自然の理解の全体像を学ぶ。実験も 行い、楽しみながら実際の現象に親しむ。

(スケジュール)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

(参考書等)

・「物理入門」浦尾亮一著 裳華房

・「物理学入門」原 康夫 学術図書

・「物理学講義」加藤潔著 培風館 そのほか必要に応じて紹介します。

(成績評価方法)

平常点

(授業・実験への出席・参加状況、ミニレポート提出状況)

2

レポートにより総合的に評価する。

（ホームページ）

講義ノート、ミニレポート問題、期末レポート問題等は、林の個人ホー ムページの「講義内容」

http://lab.twcu.ac.jp/lim/sub4.html

の所に、また休講等の急なアナウンスは個人ホームページの「トップペー ジ」

http://lab.twcu.ac.jp/lim/index.html

3

5

第

1

19

「電磁気学」である。そこで、まず力学について学ぶことにしよう。力学 とは、物体に力が働いた時に、それによって物体がどの様に運動するか を決める法則を与えるもので、物理学の基本とも言える。

現実的な物体は大きさを持ち、その運動は複雑で扱いにくい。例えば 野球のボールは、球の中心

(重心)

「質点」

という理想化された物体の運動を考える。以下特に断らない限り、「物体」

と言った場合にはこうした質点を想定している。

1.1

まずは、最も簡単な場合として一つの直線上を運動する 

「直線運動」

について考えてみよう。直線に沿って

x

表す

“位置座標”は質点の x

t

置座標を

x(t)

等速運動（等速直線運動）の場合には、x(t)を

t

（横軸に

t、縦軸に x

− t

になる （図

1.1

∆t

x

∆x

1.1

∆x

∆t (1.1)

6

1

図

1.1:

x − t

であるが、一方これは質点の速度

v (velocity,

v = ∆x

∆t . (1.2)

なお、物理量は長さ、時間といったものなので、単位をどうとるか（メー トルかフィートか）により数値は異なる。こうした量を

“次元を持った量”

という。この講義では

「MKS単位系」

を用いる： 

長さ：

m (メートル)

質量：

kg (キログラム)

s (秒)

1.2

1.2.

7

− t

t

速度が時間的に変化する場合にはグラフは一般に図

1.2

t

− t

t

t

v(t)

(図 1.2

t

x(t)

t

∆t

x

∆x

dx

dt = lim

∆t→0

∆x

∆t = lim

∆t→0

x(t + ∆t) − x(t)

∆t (1.3)

であるが、これは図

1.2

t

v(t) = dx

dt . (1.4)

古典的な力学の理論（ニュートン

(Newton)

(m/s)

なお、接線の傾きに正負があるように速度にも正負があることに注意 しよう。v(t)

> 0

t

x

x

< 0

x

v(t) = 0

質点は瞬間的に静止している。これに対して、「速さ」は運動の方向に関 係なく常に正であり、速度の絶対値

| v(t) |

(N.B.)

この様に、速度は速さだけでなく運動する方向も表していることにな るが、一般的な

3

「速度ベクトル

~ v」

で与えられ、運動方向は

~ v

v

v = | ~ v | (1.5)

で表される事になる（後述）。 

x

1

x(t) = 2t ³ − 3t ²

8

1

図

1.2:

x − t

れる運動があったとする。この場合の速度は

v(t) = dx

dt = 6t ² − 6t = 6t(t − 1) (1.6)

= 0, 1

0

t > 1

x

< t < 1

x

x(t)

| v(t) |

所で、速度は

x

v

x

v(t)

a

b

∫ _b

a

v(t)dt = [x(t)] ^b _a = x(b) − x(a) (1.7)

a

b

a = 0, b = ³ ₂

x(0) = x( ³ ₂ ) = 0

≤ t ≤ 1

x

1.3.

2

9

≤ t ≤ ³ ₂

x

− 1

2 × [0 − ( − 1)] = 2 (m)

一般に、時刻

a

b

(1.7)

| v (t) |

∫ _b

a | v(t) | dt (1.8)

と与えられる事が分かる。まず、この定積分は

| v(t) |

t

t = a, t = b

a ≤ t ≤ b

∆t

N

| v(t) |

t

| v(t _i ) | ∆t

→ ∞

∑ N i=1

| v(t _i ) | ∆t → ^{∫ b}

a | v(t) | dt (1.9)

1.3

| v (t _i ) | ∆t

∆t

a

b

1.3

2

車でアクセルを踏むと速度が増す。つまり物体に力を与えると加速す る。力学ではこの関係（ニュートンの第

2

加速度とは、単位時間当たりの速度の増加（速度の時間的変化率）で あると言えるが、速度の時と同様に、ある時刻での（瞬間的な）加速度

a(t) (acceleration)

a(t) = lim

∆t → 0

∆v

∆t = dv

dt = d ² x

dt ² (1.10)

ここで

(1.4)

x(t)

意しよう。加速度の単位は

(m/s ² )

x(t) = t ³ + 2t ²

10

1

図

1.3:

には

a(t) = d ² x

dt ² = 6t + 4 (1.11)

となり、この場合、加速度は時間と共に増加する。

1.4

例えば、地上で自由落下する物体（落体）の速度

v

t

(“v − t

9.8 (m/s ² )

g

g = 9.8 m/s ² . (1.12)

一般的に一定の加速度

a (a :

a

= 0

v 0 (“初速度”)

v(t) = at + v ₀ (1.13)

1.4.

11

a = ^dv _dt

a

（不定）積分で与えられる。よって

v(t) =

∫

a dt = at + c (c :

) (1.14)

= 0

v(0) = c

c

v ₀

v = ^dx _dt

x(t) =

∫

v dt =

∫

(at + v ₀ ) dt = 1

2 at ² + v ₀ t + x ₀ (1.15)

x ₀

x(0) = x ₀

t = 0

で与えられる。

この様に、初速度

v ₀

x ₀

「初期条件」

を与えると、x(t)、つまり運動が完全に決定されることになる。

例として落体の運動を、鉛直上向きに

y

y(t)

a = − g

y(t) = − 1

2 gt ² + v ₀ t (1.16)

となる（ただし、初期位置を原点にとり、y(0) = 0とした）。v

0 = 0

0 > 0

“投げ上げ”の場合になるが、この様に考えると一

つの式

(1.16)

を覚える必要はないのである。

13

第

2

実際の物体の運動は直線上に限定されず、３次元空間（点の位置座標

が

(x, y, z)

して平面上の（2次元的な）運動に限定して考えてみよう。

既に述べたように、3次元的な運動や平面上の

2

~ v(t)

v(t)

v(t) = | ~ v(t) | . (2.1)

x − y

= 0）を考えると、物体の位置は、原点から

~ r

(x, y)

~ r(t) = (x(t), y(t)). (2.2)

t

~ r(t)

t

~ v = d~ r

dt = lim

∆t → 0

∆~ r

∆t = lim

∆t → 0

~ r(t + ∆t) − ~ r(t)

∆t (2.3)

で与えられる。(2.2) を

(2.3)

t

~ v = lim

∆t → 0 ( x(t + ∆t) − x(t)

∆t , y(t + ∆t) − y(t)

∆t )

= ( dx dt , dy

dt ). (2.4)

なお、(2.3)で

∆t

r

t

~ v

14

2

ていることが分かる。また、

v (t) = | ~ v(t) | = lim

∆t → 0

| ∆~ r |

∆t (2.5)

において、

∆t

| ∆~ r |

| ∆t |

t

同様に、加速度は速度の時間微分で与えられるが、加速度もやはりベ クトル（加速度ベクトル）である：

~a(t) = d~ v

dt = d ² ~ r dt ²

= ( dv _x dt , dv _y

dt ) = ( d ² x dt ² , d ² y

dt ² ). (2.6)

さて、直線運動だと速さ一定の等速直線運動では加速度はゼロである が、平面上の運動においては、等速運動でも加速度ゼロとは限らない。そ れは、速さが一定でも運動方向が変われば速度ベクトルは変化するから である。この例として代表的なのが等速円運動である。そこで以下でこ の運動について考えてみよう。

x − y

r

v

「等速円運動」 

を考える。この場合、運動の軌道は円なので速度ベクトルは円の接線方 向を向く。また、図を描いてみると分かるように、∆tの間の速度ベクト ルの変化

∆~ v = ~ v(t + ∆t) − ~ v(t)

これを、微分を用いた計算で確認しよう。まず、円運動の場合は、物体 の位置を表すのに

(x, y)

(r, θ)

r

(セータ)

x

x = r cos θ

y = r sin θ (2.7)

であり、円運動の場合には

r

位置ベクトル

~ r(t) = (x(t), y(t)) = (r cos θ(t), r sin θ(t))

t

~ v = d~ r

dt = ( dx dt , dy

dt ) = r( d cos θ

dt , d sin θ

dt ) = rω( − sin θ, cos θ) (2.8)

15

^dx _dt = ^dθ _dt ^dx _dθ

また、

ω = dθ

dt (2.9)

であり、ωは単位時間当たりの角度の進みを表し 

「角速度」あるいは「角振動数」

と呼ばれる。~

v · ~ r = 0

v = | ~ v | = rω | ( − sin θ, cos θ) | = rω (ω > 0

(2.10)

ω

ω

rω

= 0

θ = 0

θ = ωt (2.11)

と書ける。

同様に、加速度ベクトルは

~a = d~ v

dt = − rω ² (cos θ, sin θ)

= − ω ² ~ r (2.12)

となり、加速度の方向は中心方向で、またその大きさは

a = | ~a | = ω ² | ~ r | = rω ² (2.13)

a = | ~a(t) | = rω ²

~a(t)

(2.14)

となる。後で述べる様に、力学における「ニュートンの第２法則」より 物体に働く力は加速度に比例するので、これは、等速円運動の場合には 物体には中心に向く力（向心力と呼ばれる）が働くことを意味する（等 速でない円運動の場合には角速度が変化するので、接線方向の力も存在 することになる）。

16

2

2.1

原点を中心とする半径

A

ω）この

運動を

x

“射影”して見よう。すると、射影された影は x

動し、円運動が

t = 0

y

t

x

x = A sin(ωt) (2.15)

となる。この影の運動の事を 

「単振動」あるいは「調和振動」

と言う。ここで、A は振動の振れ幅を表すので

“振幅 (amplitude)”

「単振動子」あるいは「調和振動子（harmonic oscillator）」

とも言う。

単振動の往復の時間を周期

T

T = 2π

ω (2.16)

で与えられる。実際、(2.15) の関数の周期も容易に

^2π _ω

17

第

3

いよいよ、力学の主題と言える、力が働いた時に物体がどの様な運動 をするか、という事について考えてみよう。古典的な力学を完成させた のはニュートン

(I. Newton)

「ニュートン力学」

について学ぶ。 

3.1

理想化された、摩擦のない

“滑々の”台の上で物体をある初速度で運動

「物体に力が働かなければ、物体は等速直線運動をする」 

と言える。これは元々ガリレオが主張した事で、

「慣性の法則」

と呼ばれている。「慣性」とはそれまでの運動状態を保持しようとする性 質の事である。例えば、ひもに結ばれた物体が円運動している時にひもが 切れると円の接線方向に物体が飛んで行くが、これは慣性のために、そ の時の速度を維持し続けようとするからである。

では、物体に力が働くとどうなるであろうか？ ひもに結ばれた物体が 等速円運動している場合を考えると、物体は、ひもから引っ張られるの で、中心に向かう力（“向心力”）を受けるが、一方、前章で学んだよう に物体の加速度も中心方向を向く。つまり、力の働いた方向に速度が変 化し、加速度が生じる、と言えそうである。

また、同じ力で物体を押したとしても、質量の大きな（重い）物体ほ ど、その速度はあまり変化せず加速度は小さくなる。よって、質量とい うのは 

18

3

“加速され難さ”

を表している。

まとめると、加速度は力に比例し物体の質量には反比例しそうである。

これを法則の形で表すと

~a = F ~

m → F ~ = m~a. (3.1)

ここで、

F ~

(force)、また m

(mass)

この法則は力学で最も重要な関係式であると言え、

「ニュートンの運動方程式」

と呼ばれる。（3.1）より

a = | ~a | = ^| _m ^{F ~ |} = ^F _m

~a

F ~

「力の働いた方向に加速度が生じる」

事も分かる。 

また、力の性質としては、物体

A

B

F ~

B

A

− F ~

(interaction)」

とも呼ばれる。この

“お互い様”の法則を

「作用・反作用の法則」 

と呼ぶ。 

ニュートン力学は上記の様な「3つの運動法則」、即ち

1.

2.

3.

に基づいて構築されたものである。特に

2

3.2

地表で質量

m

= ma (F = | F ~ | , a = | ~a | )

a = g (g :

mg (3.2)

3.2.

19

例えば富士山頂では、重力の大きさは

0.1

y

y

x

質量

m

(x − y

x, y

F ~ = (0, − mg)

~a = (a x , a y )

F ~ = m~a → (0, − mg) = m(a _x , a _y ) → a _x = 0, a _y = − g (3.3)

まず鉛直方向を考えると、y 方向には

− g

初速度ベクトルの

y

v _0y

y = − 1

2 gt ² + v _0y t (3.4)

と時刻

t

y

a _x = 0

x

x = v _0x t (3.5)

が得られる。なお、(3.4)、(3.5)において、物体は

t = 0

原点

(地表の一点)

v ₀

の初速度で打ち出されたボールを考えると、v

0x = v 0 cos θ, v 0y = v 0 sin θ

(3.4)、(3.5)

t

x = v ₀ (cos θ)t, y = v ₀ (sin θ)t − 1

2 gt ² (3.6)

となる。ここで物体の位置ベクトルは 

~

r = (x, y) = (v ₀ (cos θ)t, v ₀ (sin θ)t) + (0, − 1

2 gt ² ) (3.7)

v 0 t

¹ ₂ gt ²

20

3

(3.6)

t = _v ^x

0

cos θ

t

y = − g

2v ₀ ² cos ² θ x ² + (tan θ)x (3.8)

「放物運動」

の軌道に他ならない。(3.8)より、同じ初速でボールを最も遠くまで飛ば そうとすると、（空気抵抗等を無視すると）仰角

θ

45

21

第

4

ニュートンは、水平に投げ出す（「水平投射」と呼ばれる）物体の初速 を次第に大きくすると、地球が球形であるために、いずれは地表に落下 せず、地球の周りを周回する様になると考えた。ニュートンは、これと 同様に、地球の周りを回る月も、地上の木から落ちるリンゴの様な落体 と同様にいわば

“地球に向けて落下し続けている”

と考えたという。そして、地表でリンゴが落ちるのも、月が地球に向かっ

て

“落ちる”のも、また惑星が太陽に向かって “落ちる”のも、全て同じ物

理法則に従っている事を見抜いたのである。それが、すべての質量を持 つ物の間に普遍的に働く

“万有引力”に関する

「万有引力の法則」

である。

実際、ニュートンは、仮に月が地球からの万有引力を受けないと、1秒 経つと円軌道のある点

(図 4.1

P)

4.1

Q）に達すると考え、その点（Q） から円

(Q’)

(QQ’)

1 mm)。この落下距離と地上のリンゴの 1

1

2 g = 4.9 m

ずっと離れているからであると考え、万有引力の法則を発見したと言わ れている。

ニュートンに依れば、質量

M, m

A, B

r

F = G M m

r ² (逆二乗則)

(4.1)

の大きさの万有引力が働く。ここで

G = 6.67 × 10 ^{− 11} (m ³ /(kg · s ² )) (4.2)

22

4

図

4.1:

は「重力定数」あるいは「万有引力定数」と呼ばれる。作用・反作用の法 則により、A, B の受ける引力は

A, B

g

G

R _E

M _E

mg = G M _E m

R ² _E → g = G M _E

R _E ² (4.3)

と表される

(右辺を計算し、確かに重力加速度となることを確かめてみよ

0.1

(4.3)

R _E

R _E + 3776

(3776 m

万有引力の法則を用いて、太陽の周りの惑星の運動に関するケプラー の第

3

2

3

23

ω、

円の半径、つまり太陽と惑星との距離を

r

= ma (m :

a = rω ²

G M _S m

r ² = mrω ² → ω ² = GM _S

r ³ (4.4)

の関係が得られる。ここで

M _S

T

T = ^2π _ω

T ² = (2π) ²

GM _S r ³ → T ² ∝ r ³ (4.5)

3

(4.5)

25

第

5

この章では、物理で大変重要な役割を演じる

「エネルギー保存則」

について考えよう。 

5.1

まずは「仕事」という概念について考えよう。簡単のために、一定の 力、したがって一定の加速度

a

x

v、位置座標 x

a

t

積分すれば得られ、 

a(定数) → v = at + v ₀ (v ₀ :

→ x = 1

2 at ² + v ₀ t (最初原点にいたとする) (5.1)

2

t

v

x

(5.1)

t = ^{v −} _a ^v

x = v ² − v ₀ ²

2a → v ² − v ₀ ² = 2ax (5.2)

^m ₂

1

2 mv ² − 1

2 mv ² ₀ = max = F x (5.3)

F = ma

K

K = 1

2 mv ² (5.4)

26

5

W

W = F x (力 ×

(5.5)

K − K 0 = W (5.6)

つまり 

「された仕事の分だけ物体の運動エネルギーは増加する」

ということを言っていることになる。

なお、３次元空間に拡張すると、力

F ~

∆W = F ~ · ∆~ r (5.7)

と定義される。ここで、∆~

r

“変位ベクトル”

である。実際、等速円運動では

F ~

∆~ r

(5.7)

5.2

次に「位置エネルギー」を導入しよう。

例えば、ある人が物体

(質量 m)

O

h

P

mg × h = mgh (5.8)

である。

そこで

「人が物体に働く力に逆らって、基準点からある位置まで物体を運ぶ時 に物体にした仕事

=

と定義し位置エネルギー（potential energy）を

V

h

V = mgh (5.9)

であると言える。

5.2.

27

P

P

O

mgh

(5.7)

この自由落下について

(5.6)

v

として 

1

2 mv ² = mgh (5.10)

 となるが、この関係は

「運動エネルギーの増加

=

と見なせるので、運動エネルギー

K

V

“力学

「力学的エネルギー

E = K + V

と言うことができる。これが

「エネルギー保存則」

である。

エネルギー保存則は、上述のような一定の力で生じる等加速度運動の 場合だけでなく、力が場所に依り変化する一般的な直線運動の場合にも

（実際には

3

x

V (x)

V (x) =

∫ _x

0

( − F (x ⁰ )) dx ⁰ = − ^{∫ x}

0

F (x ⁰ ) dx ⁰ (5.11)

− F (x ⁰ )

F (x ⁰ )

∆x lim → 0

∑

i

( − F (x i ))∆x (5.12)

と書けるので、基準点（この場合は原点）から座標

x

( − F (x i ))∆x

なお、位置エネルギーは力を積分して得られるので、逆に力は位置エ ネルギーの微分で書けそうである。実際

(5.11)

dV

dx = − F → F = − dV

dx (5.13)

28

5

3

F ~ = − grad V

V = ( ^∂V _∂x , ^∂V _∂y , ^∂V _∂z )

例として、バネによる力（弾性力）による位置エネルギーを考えよう。

この場合、

“自然長”より x

F = − kx (k (> 0)： バネ定数)

これを

(5.11)

V (x) = − ^{∫ x}

0

F (x ⁰ ) dx ⁰ = − ^{∫ x}

0

( − kx ⁰ ) dx ⁰ = k

∫ _x

0

x ⁰ dx ⁰ = 1

2 kx ² (5.14)

29

第

6

波動（波）というのは振動が空間を伝わって行く現象である。例えば ピアノの弦の一点をハンマーで叩くと、弦の叩かれた部分は振動を始め、

それによりその周りの部分も引っ張られて振動を始める。こうして振動 が次々に弦を伝わって行くことになる。これが波動である。池の一点に 小石を落した時に同心円状に広がる水の波、また音波、光（電磁波の一 種）、等もみな波動である。 

例えば、海面に出来る波は三角関数を用いて次の様に表すことが出来 る（図

6.1

y = A sin { 2π( x

λ − f t) } (λ :

f :

A :

(6.1)

y

t、座標 x

(6.1)

t = 0

= A sin( ^2πx _λ )

x

が

λ

“進む”と y

位の状態（変位が最大、最小の

“山”や “谷”の様な）を位相（phase）と言

2

(6.1)

λ

また、(6.1)で

x = 0

= − A sin(2πf t)

= 0

f

“波形”が岸に向かって動

なお、(6.1) で表される波は

sin

「正弦波」

と呼ばれる、cosを用いることも可能であり、最も一般的には、それらを

30

6

図

6.1:

= 0

合成（“三角関数の合成”と同じ）して得られる:

y = A sin { 2π( x

λ − f t) + ϕ } (6.2)

ϕ

t = 0, x = 0

“初期位相”と呼ばれる。 

さて、λ と

f

v = f λ. (6.3)

ここで

v

「波の基本式」

と呼ばれている。実際、波がある方向に進行する時、波長

λ

海面のある点は上下に一回振動するので、単位時間に

v

^v _λ

f

f = v

λ → v = f λ (6.4)

31

この波の基本式を用いると、正弦波

(6.1)

y = A sin { 2π

λ (x − vt) } (6.5)

とも書けることが分かる。これは考えてみると当然の結果である。(6.5) をグラフにかくと、これは

y = A sin( ^2π _λ x)、即ち t = 0

x

vt

v

波は時刻

t

vt

x

33

第

7

7.1

波には一般にそれを伝える物質である「媒質」(その振動により波が生 じる)が存在する。（ただし、光（電磁波）の場合には、何も存在しない 真空中でも光は伝わる！）例えば、

海面に出来る波：海水, 音波：空気, 等々.

上で議論した海面に出来る波の場合には、海面の変位の方向、あるい は媒質の各点の振動方向は、波の進行方向と直交している。この様な波 を

「横波

(transverse wave)」 

と言う。では媒質の振動方向が波の進行方向と同じ（平行）である場合 はあるだろうか？答えは

Yes

「縦波

(longitudinal wave)」

と言う。

音波が縦波の典型的な例である。例えばスピーカーから発せられる音 で、その周りの媒質（空気の分子）が振動し、その振動する方向に次々に

（ドミノ倒しのように）振動が伝わる。各場所での空気分子の振動による

（波の進行方向の）変位を縦軸にとって書くと、横波と同じように図

6.1

右下がりに

x

x

である事が分かる。こうした理由で、縦波は

「疎密波」

34

7

7.2

7.2.1

池の水面に出来る波を考える。波の進行方向にスリット（すき間の開 いた障壁）を置いてみると、スリットの裏側にまで波が回り込む（図

7.1

「回折」

と言う。粒子であれば、すき間を通り抜けても直進するのでスリットの 裏側に回り込むことは有り得ない。つまり、「回折」は波（波動）に特有 の現象である。

図

7.1:

所で、海面の波や図

7.1

2

“山”）を連ねた図形は同心円

3

「波面」

と言う。