線形弾性体線形弾性体応力テンソルとひずみテンソルソルの各成分が線形関係を有する固体. kl 応力テンソル O kl ひずみテンソル

(1)

Constitutive equation of elastic solid

(

ν

)(

ν

)

μ

(

ν

)

ν

λ

+

=

−

+

=

1

2 ,

2

1

1 E

E

Lame’s constant

ij kk ij ij

λ

δ

ε

με

σ

=

+

2 Hooke’s law

kl ijkl ij

E

ε

σ

=

linear elastic solid

(2)

線形弾性体

応力テンソル

σ

とひずみテン

ソル

ε

の各成分が線形関係を

有する固体．

応力テンソル

σ

とひずみテン

ソル

ε

の各成分が

線形関係

を

有する固体．

ε

_kl

σ

_ij

O

E

ijkl

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31 23 22 21 13 12 11

ε

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31 23 22 21 13 12 11

σ

応力テンソルひずみテンソル

(3)

線形弾性体の構成式

ε

E

σ

=

:

kl ijkl ij

E

ε

σ

=

指標表現シンボリック表現 11 1111 11

ε

σ

=

E

σ

₂₁

σ

₃₁

σ

₂₂

σ

₃₂

σ

₁₃

σ

₂₃

σ

₃₃

ε

₂₁

ε

₃₁

ε

₂₂

ε

₃₂

ε

₁₃

ε

₂₃

ε

₃₃

σ

₁₁

ε

₁₁

E

₁₁₂₃

E

₁₁₂₂

E

₁₁₂₁

E

₁₁₁₃

E

₁₁₁₂

E

₁₁₃₃

E

₁₁₃₂

E

₁₁₃₁

_E

3323

E

₃₃₂₂

E

₃₃₂₁

E

₃₃₁₃

E

₃₃₁₂

E

₃₃₁₁

E

₃₃₃₃

E

₃₃₃₂

E

₃₃₃₁

E

₁₁₁₁

12 1212 12

ε

σ

=

E

σ

₁₂

E

₁₂₁₂

ε

₁₂

ε

₁₁

σ

₁₁

O

E

1111

ε

₁₂

σ

₁₂

O

E1212

９成分８１成分９成分

＝

：

弾性係数テンソル

(4)

( l = n )

弾性係数テンソルの階数

ε

E

σ

=

:

kl ijkl ij

E

ε

σ

=

指標表現シンボリック表現テンソル積

E

ε

縮約４階のテンソル６（＝４＋２）階のテンソル mn ijkl

E

ε

縮約４（＝６－２）階のテンソル２（＝４－２）階のテンソル ( k = m )

E

ijkl

ε

kn

E

ijkl

ε

kl ２階のテンソルテンソルの商法則によりE は４階 のテンソルであることがわかる．

(5)

ひずみエネルギー密度関数の存在の仮定ひずみの定義式

弾性係数テンソル内の独立成分

σ

₁₁

σ

₂₁

σ

₃₁

σ

₁₂

σ

₂₂

σ

₃₂

σ

₁₃

σ

₂₃

σ

₃₃

σ

₁₁

σ

₁₂

σ

₃₁

σ

₁₂

σ

₂₂

σ

₂₃

σ

₃₁

σ

₂₃

σ

₃₃

ε

₁₁

ε

₂₁

ε

₃₁

ε

₁₂

ε

₂₂

ε

₃₂

ε

₁₃

ε

₂₃

ε

₃₃

ε

₁₁

ε

₁₂

ε

₃₁

ε

₁₂

ε

₂₂

ε

₂₃

ε

₃₁

ε

₂₃

ε

₃₃

E

₁₁₂₃

E

₁₁₂₂

E

₁₁₂₁

E

₁₁₁₃

E

₁₁₁₂

E

₁₁₃₃

E

₁₁₃₂

E

₁₁₃₁

E

₁₁₁₁

E

₃₃₂₃

E

₃₃₂₂

E

₃₃₂₁

E

₃₃₁₃

E

₃₃₁₂

E

₃₃₁₁

E

₃₃₃₃

E

₃₃₃₂

E

₃₃₃₁

９成分９成分８１成分６成分（対称テンソル）６成分（対称テンソル）角運動量保存則３６成分２１成分２成分（直交異方性であれば９成分）応力とひずみの対称性等方性 ijlk ijkl jikl ijkl

E

=

応力テンソルひずみテンソル klij ijkl

E

=

任意の座標変換において不変

(6)

一般化フックの法則

（ひずみから応力を計算）

一般化フックの法則

（ひずみから応力を計算）

tr

2

1

1 ⎟

_⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

ε

I

σ

ν

E

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

_ij _kk _ij ij

E

_ε

_δ

ν

ε

ν

σ

2

1

指標表現シンボリック表現展開表現

₍

₎₍

_{) (}

{

)

(

)

}

L

=

+

=

+

−

+

=

31 23 12 12 33 22 33 22 11 11

,

1 ,

,

1

2

1

1 σ

σ

ε

ν

σ

ε

ν

ε

ν

σ

E

(

)

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1

0

1

0

1

2

1

11 22 33 33 23 31 23 22 12 31 12 11 33 23 31 23 22 12 31 12 11

ε

ν

ε

ν

σ

E

Ε

と

ν

が独立な２成分

縦弾性係数

ポアソン比

等方線形弾性体の構成式

(7)

一般化フックの法則と弾性係数テンソルの対応

kl ijkl ij

E

ε

σ

=

(

)(

)

(

)

(

)(

)

11

(

)(

)

22

(

)(

)

33 33 22 11 11 11

2

1

2

1

2

1

2

1

1 ε

ν

ε

ν

ε

ν

ε

ν

ε

ν

σ

−

+

−

+

−

+

−

=

+

−

+

=

E

12 12

1 ν

ε

σ

+

=

E

1133

E

0

1113 1112

=

E

=

L

=

E

これら以外の成分は0． kl

E

₁₁

E

₁₂₁₁

=

E

₁₂₁₃

=

_L

=

0

と以外の成分は0． kl

E

₁₂ 1122

E

1111

E

1212

2 E

E

₁₁₂₃

E

₁₁₂₂

E

₁₁₂₁

E

₁₁₁₃

E

₁₁₁₂

E

₁₁₃₃

E

₁₁₃₂

E

₁₁₃₁

E

₁₁₁₁

E

₃₃₂₃

E

₃₃₂₂

E

₃₃₂₁

E

₃₃₁₃

E

₃₃₁₂

E

₃₃₁₁

E

₃₃₃₃

E

₃₃₃₂

E

₃₃₃₁ kl

E

₁₁ kl

E

₁₂ 一般化フックの法則弾性係数テンソル 1212

E

₁₂₂₁ 12 1212 21 1221 12 1212 12

2 ε

ε

σ

E

=

+

=

一般化フックの法則の式（左上）では，

σ

_ijに対する

ε

_ji成分（この例では

σ

₁₂に対する

ε

₂₁）の項がすでに消去されている．

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

_ij _kk _ij ij

E

_ε

_δ

ν

ε

ν

σ

2

1

(8)

弾性コンプライアンス係数テンソル

σ

C

ε

=

:

kl ijkl ij

C

σ

ε

=

指標表現シンボリック表現弾性係数テンソルEと同様に弾性 コンプライアンス係数テンソルC も４階のテンソルである．弾性コンプライアンス係数テンソル

ε

_kl

σ

_ij

O

E

ijkl

ε

_ij

σ

_kl

O

C

ijkl

(9)

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの

関係

（その１）

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの

関係

（その１）

ijkl ijkl

E

C

≠

1

33 33 12 12 11 11

ε

σ

_ij

=

E

_ij

+

E

_ij

+

_L

+

E

_ijkl _kl

+

_L

+

E

_ij 33 33 12 12 11 11

σ

ε

_ij

=

C

_ij

+

C

_ij

+

_L

+

C

_ijkl _kl

+

_L

+

C

_ij

ε

_ij

σ

_kl

O

C

ijkl

ε

_kl

σ

_ij

O

E

ijkl 弾性コンプライアンス係数テンソル弾性係数テンソル

(10)

例えば 2 12 1 11 1

b

y

b

y

x

=

+

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの

関係

（その２）

弾性コンプライアンス係数テンソルと弾性係数テンソルの

関係

（その２）

の関係は，以下の

_a

_ij

と

_b

_ij

の関係と同じである．

の関係は，以下の

_a

_ij

と

_b

_ij

の関係と同じである．

ijkl ijkl

E

C

≠

1

2 12 1 11 1

a

x

a

x

y

=

+

2 22 1 21 2

a

x

a

x

y

=

+

x

₂

=

b

₂₁

y

₁

+

b

₂₂

y

₂

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2 1 22 21 12 11 2 1

x

a

y

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

2 1 11 21 12 22 21 12 22 11 2 1

1 y

y

a

x

ij ij

b

a

≠

1

22 21 12 22 11 11 11

1 a

a

b

a

≠

=

−

(11)

一般化フックの法則

（応力からひずみを計算）

一般化フックの法則

（応力からひずみを計算）

tr

1 I

σ

ε

E

ν

₋

+

=

ij kk ij ij

E

σ

δ

ν

σ

ν

ε

=

1 +

−

{

(

)

}

L

=

+

=

+

−

=

31 23 12 12 33 22 33 22 11 11

,

1 ,

,

1 ε

ε

σ

ν

ε

σ

ν

σ

ε

E

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1

0

1

0

1

33 22 11 33 23 31 23 22 12 31 12 11 33 23 31 23 22 12 31 12 11

σ

ν

σ

ν

ε

E

Ε

と

ν

が独立な２成分等方線形弾性体の構成式

縦弾性係数

ポアソン比

(12)

と以外の成分は0．

C

₁₁₂₃

C

₁₁₂₂

C

₁₁₂₁

C

₁₁₁₃

C

₁₁₁₂

C

₁₁₃₃

C

₁₁₃₂

C

₁₁₃₁

C

₁₁₁₁

C

₃₃₂₃

C

₃₃₂₂

C

₃₃₂₁

C

₃₃₁₃

C

₃₃₁₂

C

₃₃₁₁

C

₃₃₃₃

C

₃₃₃₂

C

₃₃₃₁

一般化フックの法則と弾性コンプ

ライアンス係数テンソルの対応

一般化フックの法則と弾性コンプ

ライアンス係数テンソルの対応

kl ijkl ij

C

σ

ε

=

(

)

33 22 11 33 22 11 11 11

1

1 σ

ν

σ

ν

σ

ν

σ

ν

ε

E

−

=

+

−

+

=

ε

₁₂

1 ν

σ

₁₂

E

+

=

1133

C

0

1113 1112

=

C

=

L

=

C

これら以外の

C

₁₁_kl成分は0．

C

1211

=

C

1213

=

L

=

0

1122

C

1111

C

1212

2C

kl

C

₁₁ kl

C

₁₂ 一般化フックの法則弾性コンプライアンス係数テンソル ij kk ij ij

E

σ

δ

ν

σ

ν

ε

=

1 +

−

kl

C

₁₂ 1212

C

₁₂₂₁ 12 1212 21 1221 12 1212 12

2 σ

σ

ε

C

=

+

=

(13)

一般化フックの法則の偏差応力と偏差ひずみを用いた表現

G

E

ij ij

2

1 +

=

′

ν

ε

σ

G

E

G

E

m m m m m m

₂

1

2

1

31 31 23 23 12 12 33 33 22 22 11 11 31 31 23 23 12 12 33 33 22 22 11 11

=

+

=

−

=

−

=

−

=

+

=

′

=

′

=

′

=

′

=

′

=

′

ν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ν

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

G

E

2

1 +

=

′

ν

ε

σ

kk ij ij ij

σ

δ

σ

3

1 −

=

′

ε

_ij

ε

_ij

δ

_ij

ε

_kk

3

1 −

=

′

I

ε

tr

3

1 −

=

′

I

σ

tr

3

1 −

=

′

偏差応力偏差ひずみ平均垂直ひずみ平均垂直応力

(14)

ラメ（

_{Lamé）の定数}

ラメ（

_{Lamé）の定数}

ε

I

ε

σ

=

λ

tr

+

2 μ

ij ij kk ij

λε

δ

με

σ

=

+

2

(

)

(

)

(

)

31 31 23 23 12 12 33 33 22 11 33 22 33 22 11 22 11 33 22 11 11

2 ,

2

2 με

σ

με

σ

με

σ

με

ε

λ

σ

με

ε

λ

σ

με

ε

λ

σ

=

+

=

+

=

+

=

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

33 23 31 23 22 12 31 12 11 33 22 11 33 23 31 23 22 12 31 12 11

2

1

0

1

0

1 ε

ε

μ

ε

λ

σ

(

ν

)(

ν

)

ν

λ

2

1

1 +

−

=

E

(

E

+

)

=

G

=

ν

μ

1

2 ラメの定数

λ

と

μ

が独立な２成分

(15)

V

σ

_m

V+dV

σ

_m

σ

_m

σ

_m

σ

_m

σ

_m

ε

_v

=dV/V

体積弾性係数

(

1

2 ν

)

3 −

=

E

K

v m

K

ε

σ

=

33 22 11

ε

+

=

_kk v

(

₁₁ ₂₂ ₃₃

)

3

1

3

1 σ

σ

+

=

_kk m 平均応力体積ひずみ平均応力と体積ひずみの関係式材料を単位の体積ひずみだけ変形させるのに要する平均応力

(16)

G

K

E

ν

μ

λ

G and K

G K _G9GK₊₃_K ₂3

₍

K_G₊−₃2_KG

₎

G K G 3 2 −

E and

ν

₂

₍

₁E₊

_ν

₎

₃

₍

₁₋E₂

_ν

₎

E

ν

₂

₍

₁E₊

_ν

₎

₍

₁₊

_ν

ν

₎₍

E₁₋₂

_ν

₎

μ

and

λ

μ

λ

μ

3 2 +

(

)

μ

λ

μ

λ

μ

+ + 2 3

(

λ

μ

)

λ

+ 2

μ

λ

弾性係数間の関係

等方弾性体では独立な弾性係数は２つ等方弾性体における各弾性係数間の関係

(17)

構成式の行列表現

ε

E

σ

=

:

kl ijkl ij

E

ε

σ

=

指標表現シンボリック表現

(

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

12 31 23 33 22 11 1212 1231 1223 1233 1222 1211 3112 3131 3123 3133 3122 3111 2312 2331 2323 2333 2322 2311 3312 3331 3323 3333 3322 3311 2212 2231 2223 2233 2222 2211 1112 1131 1123 1133 1122 1111 12 31 23 33 22 11

2

2 ε

ε

σ

E

行列表現４階のテンソルである弾性係数テンソルは，本来であれば行列で表現することはできないが，応力テンソルとひずみテンソルを列行列の形に並べ替えることにより行列表現が可能となる． klij ijkl

E

=

(18)

Voigtの表記

(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

12 31 23 33 22 11 1212 3112 3131 2312 2331 2323 3312 3331 3323 3333 2212 2231 2223 2233 2222 1112 1131 1123 1133 1122 1111 12 31 23 33 22 11

2

2 sym.

ε

σ

E

行列表現

(

)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

6 5 4 3 2 1 66 56 55 46 45 44 36 35 34 33 26 25 24 23 22 16 15 14 13 12 11 6 5 4 3 2 1 66 56 55 46 45 44 36 35 34 33 26 25 24 23 22 16 15 14 13 12 11 6 5 4 3 2 1

sym.

ε

σ

c

E

行列表現（Voigtの表記） Voigtの表記に基づく添字の変更 6 12 5 31 4 23

,

2 ,

2

2 ε

=

ε

=

ε

=

ε

6

12

5

31

4

23

3

33

2

22

1

11 →

→

ε

_i

(i = 4 ~ 6)

：工学せん断ひずみ（

γ

_yz,

γ

_zx,

γ

_xy）と同じ

(19)

物体の対称性

物体（結晶，格子）をある軸周りに回転させたとき，

₂

π

_{/n [rad]で元と重}

なるとき，その物体は，

n回の回転対称であると言い，また，その回転

軸を

n回対称軸と言う．

物体（結晶，格子）をある軸周りに回転させたとき，

₂

π

_{/n [rad]で元と重}

なるとき，その物体は，

n回の回転対称であると言い，また，その回転

軸を

n回対称軸と言う．

Axis of

rotation

(n=6)

2回回転対称 3回回転対称 4回回転対称 6回回転対称

(20)

独立な弾性係数の個数

（その１）

独立な弾性係数の個数

（その１）

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 66 56 55 46 45 44 36 35 34 33 26 25 24 23 22 16 15 14 13 12 11 6 5 4 3 2 1 sym.

ε

σ

c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c 一般の線形弾性体独立な成分は２１個

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 66 55 44 33 23 22 13 12 11 6 5 4 3 2 1 0 sym. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ε

σ

c c c c c c c c c 直交異方線形弾性体（斜方晶系単結晶体）独立な成分は９個互いに直交する３本の２回対称軸を有する．

(21)

独立な弾性係数の個数

（その２）

独立な弾性係数の個数

（その２）

立方対称線形弾性体（立方晶系単結晶体）独立な成分は３個六方対称線形弾性体（六方晶系単結晶体）独立な成分は５個

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 44 44 44 11 12 11 12 12 11 6 5 4 3 2 1 0 sym. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ε

σ

c c c c c c c c c

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 12 11 44 44 33 13 11 13 12 11 6 5 4 3 2 1 2 0 sym. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ε

σ

c c c c c c c c c c 互いに直交する３本の４回対称軸を有する．６回対称軸を有する．等方線形弾性体独立な成分は２個

(

)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 5 4 3 2 1 12 11 12 11 12 11 11 12 11 12 12 11 6 5 4 3 2 1 2 0 2 sym. 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

ε

σ

c c c c c c c c c c c c

(22)

構成式の行列表現

（工学的表記，ひずみから応力を計算）

構成式の行列表現

（工学的表記，ひずみから応力を計算）

(

)

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

xy zx yz z y x xy zx yz z y x

G

E

γ

ε

ν

τ

σ

0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

2

1

2

1

2

1

行列表現（工学的表記） xy zx yz z y x

σ

τ

σ

τ

σ

τ

σ

₁₁

=

,

₂₂

=

,

₃₃

=

,

₂₃

=

,

₃₁

=

,

₁₂

=

2 ,

,

₂₂ ₃₃ ₁₂ ₂₃ ₃₁ 11 zx yz xy z y x

γ

ε

γ

ε

γ

ε

=

ひずみ（応力）テンソルの各成分と工学ひずみ（応力）の関係

(

+

ν

)

=

1

2 E

G

Ε

_{うち独立なの}とG と

ν

のは２つ横弾性係数と縦弾性係数，ポアソン比の関係

(23)

構成式の行列表現

（工学的表記，応力からひずみを計算）

構成式の行列表現

（工学的表記，応力からひずみを計算）

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

xy zx yz z y x xy zx yz z y x

G

E

τ

σ

ν

γ

ε

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

行列表現（工学的表記） xy zx yz z y x

τ

σ

τ

σ

τ

σ

=

12 31 23 33 22 11

,

2 ,

,

31 23 12 33 22 11 zx yz xy z y x

γ

ε

γ

ε

γ

ε

=

ひずみ（応力）テンソルの各成分と工学ひずみ（応力）の関係

(

+

ν

)

=

1

2 E

G

Ε

うち独立なのとG と

ν

のは２つ横弾性係数と縦弾性係数，ポアソン比の関係

(24)

各種等方材料の縦弾性係数とポアソン比

ジュラルミン：Al-Cu-Mg系アルミニウム合金物質名縦弾性係数 E (GPa) ポアソン比

ν

アルミニウム（Al） 70.3 0.345 金（Au） 78.0 0.44 銅（Cu） 129.8 0.343 鉄（軟鉄，Fe） 211.4 0.293 白金（Pt） 168.0 0.377 チタン（Ti） 115.7 0.321 ジュラルミン 71.5 0.335 ガラス（フリント） 80.1 0.27 ゴム（弾性） 0.0015 − 0.0050 0.46 − 0.49 ポリエチレン 0.4 − 1.3 _0.458 ポリスチレン 2.7 − 4.2 0.340

(25)

金属材料の代表的な結晶格子（結晶系）と座標系

体心立方格子（立方晶系）面心立方格子（立方晶系）最密六方格子（六方晶系）

x

1

x

2

x

3

fcc

hcp

x

1

x

2

x

3

(26)

各種単結晶金属材料の弾性係数

物質名結晶系温度 T (K)

c

11

(GPa)

c

33

(GPa)

c

44

(GPa)

c

66

(GPa)

c

12

(GPa)

c

13

(GPa)

アルミニウム（Al）立方晶

300 106.8

(=c11)

28.2

(=c44)

60.7

(=c12) 金（Au）立方晶

300 192.3

(=c11)

42.0

(=c44)

163.1

(=c12) 銅（Cu）立方晶

300 168.4

(=c11)

75.4

(=c44)

121.4

(=c12) マグネシウム（Mg）六方晶

298 59.7 61.7 16.4

(=(c11−c12)/2)

26.2 21.7

チタン（Ti）六方晶

298 162.4 180.7

46.7

(=(c11−c12)/2)

92.0 69.0

独立な成分は３個独立な成分は５個

(27)

ij ij kk ij ij

T

E

_ε

_δ

_β

_δ

ν

ε

ν

σ

2

1

1 ⎟

_⎠

−

Δ

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

等方線形熱弾性体の構成式

（ひずみと温度変化幅からひずみを計算）

等方線形熱弾性体の構成式

（ひずみと温度変化幅からひずみを計算）

指標表現シンボリック表現 ij ij ij kk ij

λε

δ

με

β

T

δ

σ

=

+

2 −

Δ

I

ε

I

ε

σ

=

λ

tr

+

2 μ

−

β

Δ

T

（ラメの定数を用いた表現）（ラメの定数を用いた表現）

I

ε

σ

tr

2

1

1 T

E

₋

_Δ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

=

β

ν

（応力）＝（力学的ひずみによって生じる応力）＋（熱ひずみによって生じる応力）温度変化幅

(28)

等方線形熱弾性体の構成式

（応力と温度変化幅からひずみを計算）

等方線形熱弾性体の構成式

（応力と温度変化幅からひずみを計算）

指標表現シンボリック表現

ε

1 σ

tr

σ

I

T

I

E

−

+

Δ

+

=

ν

α

ij ij kk ij ij

T

E

σ

δ

α

δ

ν

σ

ν

ε

=

1 +

−

+

Δ

μ

λ

β

α

2

3 +

=

線膨張係数（ひずみ）＝（力学的応力によって生じるひずみ）＋（熱によって生じるひずみ）温度変化幅物体の温度が1K上昇したときに生じるひずみ

dT

dl

l

⋅

=

1 α

(29)

各種材料の線膨張係数

物質名線膨張係数

α

(×10-6_K-1₎ アルミニウム（Al） 23.1 金（Au） 14.2 銅（Cu） 16.5 鉄（Fe） 11.8 白金（Pt） 8.8 チタン（Ti） 8.6 ジュラルミン 21.6 ガラス（フリント） 8 − 9 ゴム（弾性） 77 ポリエチレン 100 − 200 ポリスチレン 34 − 210

(30)

Rigid body Heat Constraint direction 1

熱応力

（１軸拘束）

熱応力

（１軸拘束）

１軸拘束

E

T

α

σ

₌

₋

Δ

_{：1Kの温度変動によって} 生じる熱応力

T

Δ

σ

( )

T

E

T

E

Δ

−

=

Δ

+

−

+

=

α

σ

α

σ

ν

σ

ν

ε

11 11 11 11

0

1

ΔTが正（温度上昇） のときに発生する応力は負（圧縮）

(31)

熱応力

（２軸拘束）

熱応力

（２軸拘束）

２軸拘束

E

T

ν

α

σ

−

=

Δ

1

1 (

)

( )

T

E

T

E

Δ

−

=

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

Δ

+

−

+

=

ν

α

σ

α

σ

ν

σ

ν

ε

1

0

1

11 22 11 22 11 11 11 Rigid body Heat Constraint direction 1 Constraint direction 2

(32)

３軸拘束

熱応力

（３軸拘束）

熱応力

（３軸拘束）

E

T

ν

α

σ

2

1

1 −

−

=

Δ

(

)

( )

T

E

T

E

Δ

−

=

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

Δ

+

−

+

=

ν

α

σ

α

σ

ν

σ

ν

ε

2

1

0

1

11 33 22 11 33 22 11 11 11 Rigid body Heat Constraint direction 1 Constraint direction 2 Constraint direction 3

(33)

0.01 0.1 1 10 100 1000 0.1 1 10 100 1000 10000

E

-6 -1 E=constant Low er t_he rma l stress Higher therm al s tre ss Al Ti Pt Cu Au PE PS

線形弾性体 線形弾性体 応力テンソル とひずみテンソルソル の各成分が線形関係を有する固体. kl 応力テンソル O kl ひずみテンソル

(

ν

)(

ν

)

μ

(

ν

)

ν

λ

+

=

−

+

=

1

2

,

2

1

1

E

E

Lame’s constant

λ

δ

ε

με

σ

=

+

2

Hooke’s law

E

ε

σ

=

linear elastic solid