構造安定写像とカタストロフィｰ

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(1)昭秘62年度. 学位論文構造安定写像とカタス｝urフィー. 兵罐教育大学大学院. 学較教育観究料. 教科・領域教育強攻. 自然系：一x. 越86黎ε＃A. 佑藤完治.

(2) 次. 目. ぺv・・ジ. 序章・・・・・・・… ◆◆◆・ー一一一一“一“一一一“一一“一一一 1. 一一一一一第一章写像の構造安定性. 一一一. 一一一 “ “ 一一一一 “ 一 “. ・・ 5 − 5. §ユ. 写像空問と位相・・…. 一 “ “. 一一一一一一一 “ 一一一. g2. 陰関数定理とモー一 Xの補題. 一一 “. 一一一 “ 一一一一一一一一一. 93 94 gs. ホイットn一の平面写像定理. “ 一. 一一一 “ 一一一一一一一一. 不安定性定理・・・…. 一 “ e. 一 “ 一一一一一一 “ “ 一 “ 一. 安定性定理・φ・・…. さ o o. 一一一一 “ “ 一一 e “ “ 一一. ・ 9. 12 19 22. 第二章初等カタストロフィー・。・。・。。…. “ の ■ φ ゆ 9 や o ㊥. §i カタストロフィー理論のための数学的準備. φ ◎ ④ ・りや ○ ■ ◎ φ. 〔！〕カタストロフィー一理論の諸概念 …. ■ o ■ ψ ● 曲レ o φ ■ ゆ. 〔2〕開折と余次元・・・・・・・・…. ● Q ■ 曝 φ ◎ φ ■ o 争. §2 ジーマンのカタストcrフィー…マシン . 。・・. 一 “ 一一 e − e “ 一. §3 初等カタストロフィーの分類 eee4・・. や噂 e φ ② ㊧ゆ磁 →. §4 その他のカタストロフィー・… 。・・. 浄争 ψ ◎ ウ 9 φ o φ. 23 23 23 25 29 36 ，i o. 第三章カタストロフィ・…e理論の応用。・・・・・・… e ・o・“・ 4！. §ユ自然科学への癒用 … Φ’・”eu’”9 ・e・“一 41 〔1〕物理学への応用一コースティクスー・・…. ・…. 〔2〕化学への癒用一相転移一一・・・・・・…. ．・… 45. 〔3〕生物学への応用一二の社会一。。。・・…. … e・ 48. §2 社会科学への応用・・・・・・・・・…. 一一一一一一一一. “ 51. 〔1〕心理学への応用一飲酒運転一・…. “ 一 “ “ 一一一一. @ ． 41. ・ 51. 〔2〕政治学への感用一ストライキー・・…. 一一一一一. 〔3〕経済学への応用一経済成長とインプレー・. 一一一一一. ．・ 53. §3 応用に対する注意と批判・・・・・・・・… ◆. ・． 55 ．・．・・ 57. 終章。・・… 。・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・… 59 引用。参考文献・・… ◆・・・・・・・・・・・・・・・・・… 60. 一〇一.

(3) 序章 1972年にフランスの数学者ルネ・トム（Ren6 Thom）によって書かれた「構造安定性と形態形成」（Stabilitb structurelle et morphog6曲se）という本が出版された。. この本の中でトムは「カタストロフィー理論」という新しい話題に冨んだ理論を創始しkの. である。この理論は数学のみならず自然界も含めてこの世界における各種の過程のモデルの一般論を、現代数学の粋を援用して展開し新しい世界像・自然界の建設を目指すもので. ある。ユ6世紀にニュートン・ライブXッツによって発見されta微分・積分が自然界における連続現象のみを記述してきたのに対し、これは広く不連続現象をも取り扱う方法を与えているのである。. カタストロフィーとはギリシャ語のkataStrogehbを語源：として、（1）急激で広範囲にわたる惨事s大災害、（2）終局，大詰め；（特に）非劇的な結末s破局、（3）一般に不幸，不運，災難，. 失敗，行詰ま臥大しくじり、（4）（演劇）カタストロフィーs大詰め、（5）突然の変動，（特に. 地殻の）激変，カタルシス、・・等の意味がある（小学館ランダムハウス英和大辞典）。例え. ば、カタストロフィーと呼ばれる不連続現象には、自然科学における水の相転移、磁性体の磁化、弾性体の座屈、地磁気の反転、タンパク質の変性、および人文科学における政治体制の革命や株式市場の暴落、刑務所の暴動等Vがある。八一ストtt？イー理論は、アメ1藷力の数学者ホイット轟一（H鼠sl群 Wiiitney）によってはじめられt微分トポロジーという分野の中の「実特異点論」、および「力学系」の言葉（考. え）を用いて記述されている。しかし、その思想は古くギリシャの前ソタラテスの哲学者. ヘラクレイトスにまで逆のぼる。ヘラクレイトスはr自然現象の発展を支配する力学的状況は基本的には、人間および社会さらには生物等の発展を支配する力学的状況と同じものである。」（［80］p．14）という意味の言葉を述べでいるが、これはこの世界の生物の関連す. る現象も、無生物の関連する現象もすべて一つであるという見解である。このヘラクレイトスの思想をトムが定式化したといえるであろう。実際Fム自身がカタストロフィー・理論を考えた動機として次の三つをあげている。. （エ＞1955年に発表されたホイットニーの平面写像に対する構造安定性が今日のトムの定理の数学的着想を促進した。. （2）1961年にイギリスのジーマン（E．C． Zee隣an）が発表した論文「頭脳と視覚認識のトポロジー」をみて、トポロジーが数学以外の科学の分野に応用される可能性のあることを知った。. （3）同じく196ユ年に西ドイツの博物館で、カエルの発生の模型を見てその変化の不思議さに打たれた。. トムはこれらの動機をもとに構造安定の概念を背景とした大きな枠組みをつくり発展させて不連続現象をも扱うカタストロフィー理論を構成した。それを著わしたのが上述の本で. 一一一. @1 一.

(4) ある。この本に書かれたカタストロフィー理論ならびにその背景の構造安定性の概念を理解したいということが、この研究の直接的動機である。. カタストロフィー理論を勉強ならびに研究していく上で注意しなければならない点は、トムはカタズトロフィー理論というものを科学的データを系統化し分類するための言葉あるいほ方法として提供していることである。理論の出現があまりにも話題に富んだ（sen−. sational）ものだったので間違った認識にもとずく過度の期待をもkれたり、誤解のために起こる批判を多く生むようなかたちで理解されがちである。ここで、その「構造安定性と形態形成」の中で述べられたトムの見解をあげておく。「私が提供するものは、科学的理. 論ではなく方法である。モデル構成の第一歩は与えられた形態の経験とよく調和する力学的モデルの描写をするとであり、これはまた考察している現象の理解の第一歩である。・・・. 艨Xは理論家が（カタストtr 7イー理論によって描写された特定の過程の）定量的モデ. ルを開発することを：望むこともできようが、しかしそれはあくまでも望みにすぎない。』（［110］，［lle’］，［123’］ p．36）．. 次に簡単な物理的な例をあげて、カタストロフィー現象を具体的に観察する。これはジー・. 麻唐ﾌカタス峰mフ4一マシ；’ （1126］，［81］r［89 ．1 ，［91］s〔92］）とよばれるものである。. 材料はゴムバンド2本s戴一ル紙，画鋲3っ，台にする適当な板を一枚用意して、次のように作成したものである：. c. ゴムバンドを等長に線状にたたんで、そのときの線分の長さを単位の長さ3とする。（もちろんたたむときゴム輪. は、バンドは伸ばさない）。その時、台となる板は. 大体横4で縦8の大きさがよい。次に直径が2である円板をS：一 hiル紙から切り取り一一一一■本の画鋲を. この円板の中心に通し、この円板を三板のほぼ中円板. 心Xに固定する。円板は画鋲を中心として自由に. t 1 t. ！. 回転するようにしておく。もう一つの画鋲を中心. ！. x U. Xよウ下方3の点Yへ固定する。第三の画鋲を. z. 円板の縁の点Zに円板の下方より上方へと通し、. tl. ／. lt. この画鋲とYに固定しte鋲の間に一本のゴムバンド. をかける。さらにもう一本のバンドの一端をZの画鋲に固定してかけて、他点Cほ手で持つ。（図ユ）. 実験の仕方は、Zにかけたゴムバンドの端点Cを手に持って板上をあちこちと（ふたつのゴムバンドはたるませないでいつも伸ばしながら）一様にゆうくり. と動かすだけである。この時円板の位置の動きは自. Y. 由端Cの位置の動きによって完全に決まるので、こ. 図1. 一一. Q一.

(5) e. のCがのっている板の平面をコントロール平面という。例えば図2で、直線1，（1，はXからの距離が約2．2以内）に. 2. 沿ってCを右から左へと移動させると、円板ほ端点Cの動き. L. に沿ってゆつくワと少しずつ右から左へと回転する。同様な. から3．6までの問の直線1，上に沿ってCを右から左へと移動さ. 円. 板x. ても観察することができる。ところが、Xからの距離が2．2. レZ. 動きがXからの距離を約3．6以上に離した直線上をCが動い. e. ’. せると最初はその動きに合わせて円板もゆっくりと回転し. ’. ているが、Cがある点を通過すると円板が急に大きく回転する現象を見出だすことができる。この円板の急激な回転は、円板の位置が瞬問的に大きく変化するために起こるの. であるvこうした一瞬に起こる大きな変化がカタストロフィーである。詳しい考察は第二章§2で論ずるが、ジーマンのカタストロフィーマシンに現われる不連続現象ほカタス. Y. トurフィ・…理論におけるギトムの主定理」（seven ele齢就a理. ￠農繍s疑銀hes）によって完全に記述される（カタストttフィ. 図2. ー言語で表現される）のである。. トムの主定理は、、 f構造安定な状況のもとで、また我々の糧界つま輔寺空間驚（灘ン｝tt 一ル空間の次元が爆以下〉では、V’ 一一マンのカタストロフィーマシンで起きたようなカタ. ストロフィーは有限で7っのタイプしかない」ことを主張したのである。そして、その7. つのタイプを定式化したのである。実際ジーマンのカタス｝ロブt一マシンに現われるカタストロフィー一は7っの中の一」っ、くさび勧sののカタストロフィ・・…■と呼ばれ、応用上も. 重要な意味を含んでいる。ここで、「構造安定な状況」というものの“感じ（nuanee）”をつかむために、野口・福田著「初等カタストロフィー」（［82］，［110］）第一章の一部を引用する：. 『科学の実験について考えてみる。科学者は宇宙全体を観察することはできないから、. その内部の変化が外部の宇宙の変化と比較的無関係である、あるサブシステムを取り出し. て考える。実際には時空問R4にある、ある箱Bを考えその中にサブシステムSを隔離して考える。次にシステムSにある状態aを準備する。このaをその初期状態あるいは初期条件という。観察者は箱Bの中を、状態aを準備した後ある期悶、観察または実験をする。この実験者は「この実験を他の科学者が、他の時間に他の場所で、箱Bと合同な箱B’の中. でシステムSをaの状態に準備して観察すれば、必ず自分が行なった実験つまり箱Bの中で起きたものと同じ現象を観察するであろう」と期待する。またもしそうでなければ、彼. の実験は無意味なものになってしまう。しかし、どんなに注意してシステムSを隔離したとしても、外界の影響を零にすることはできないし、また初期状態aをまったく同じには一3一.

(6) 再現することは不可能なことである。従って準備の段階のこの初めの相違はシステムの進展に確実に影響を及ぼす。しかしこの影響によって実験の結果に質的な差が現われてしまっては実験は意味のないものになってしまうのである。つまり「システムSの状態aから後の進展は初期条件の摂動及び外界の影響の摂動に関して、少なくとも質的安定性をあらわす」ことが前もって認められている場合にしか実験は有効ではないわけである。これがシステムSの構造安定性と呼ばれる性質である。』。. 従って我々が科学の対象とすることができる現象は、その現象を取り囲む条件の小さい摂動に関して質的に安定している構造安定な現象だけということになる。逆にトム自身、この世に現われている現象はほとんど構造安定性をもっているものであるという思想である。それは、「ほとんどすべての自然の過程は、ある種の局所的正則性を示し、それらは言葉によって支配される繰り返し現われる要素の区別を可能にする。もしそうでなければ、この過程は完全に混沌とし．ていて、これについて話をすることすらできない。蝦UOI，［110’］e［！23］）と論諺ていることからも分かる。ここで、質的に安定しているとwうこと. が重要である。二つの実験で定量的には同じ結果が得られないとしても、定性的に岡じ結果になればよいことを言っている。これがカタストロフィー理論の記述にトポロジー（数学における定性的側面）が習いられるゆえんである。. 最後に本論文の構成であるが、まず第一章では可微分写像空間の中での安定写像空間の稠密性について論じる。次いで第二章においでは、カタストロフィー理論における諸概念とジーマンのカタス｝ロフィ・一iマシンの解析を通して諸概念の意味を説明し、その後で “トムの主定理（カタストttフs一の分類定理〉”について証明を与える。そして第三章にお. いては、カタストcrフィー理論の旛用を自然科学，社会科学の各分野から各三っずつ紹介する。終章では、今後の研究の課題等について述べ、最後に引用・参考文献を掲げる。. 一4一.

(7) 第一章写像の構造安定性この章では、可微分写像空間に安定写像の概念を導入し、安定写像空間がその中で稠密な開集合であるかどうかを論じる。なぜ稠密な開集合を扱うかというと、後述の定理1．1． 3からわかるように可微分写像すべてを扱う（分類する）ことは不可能だからである。従ってそのような“ほとんどすべて（generic）”ということを問題にしたのである。§1では、写像空回における定義・概念などを述べる。§2，§3では、安定性に関するモース関数の結果、ホ. イットニーの平面写像の結果を述べ、§4では不安定性に関するトムの結果を述べる。ホイットn一の結果とトムの結果については、Br挽ker［20］を参考にしてその証明を与えておいた。そしてこの章の最後の§5では、C。．安定性に関するマザー（J。 Mather）が与えk決定的. な結果とトムのC。安定性に関する結果を紹介する。. §！写像空間と位相. この節では、写像の構造安定性を論じる上で必要となる概念や記号などを導入する。. 最初に可町回多様体と多様体間の冊封楚写像の定義をする。. 定義1，1．1 ハウスドルフ空間Mに対して、次の条件（1）∼（3＞を満たす加算族￡扇＝｛（U爾∼％）｝c，EAを籔のC「級塵標近傍系（C「一。。ordiRate neighbourhood system）と. いい、Mが以下のCLi琴座標野傍系をもっとき、Mをm次元C「級多様体（C「一一thaRifol〈S）という。. （1）｛UCt｝CtEAはMの開被覆である．. （2）ア4はUdからRmのある開集合の上への同相写像（homeomorphism）である．. （3）UCtnUe≠φなる任意のa，βξAに対して、 9eogct−i 1 g．（u．fiu，）： Pct（UctnUB） ’一’ 9B（UctnUB）. はC「級同相写像である． U．. Mの次元をd泌Mで表わす。. q．. M. q”. ㊥轡即し一5 一一.

(8) 定蓋山⊥良 M，Nをそれぞれmtn次元のC「級多様体で、その座標近傍系をそれぞれ｛（U．，9￠）｝ Ct∈A，｛（V…，ψ…）｝｛∈1 とする。そのとき、写像f：M→Nが点p∈Mで. cs級（s≦r）であるとは、 p∈U．，f（p）∈Viなるある番号αと1に対して、 ψ・．f．P ・”秒。（U。∩f−i（V、））：9・（U・∩f−t（V・））→ge i（V・）. がcs級であるときにいう。. 喋 ∫ 翻κ. ／略. ・笏. ノー1（u）. 忽. ∬. び二〆. 声. ！、・弓. ∩. べ ψ. 多様体および写像がぴ級であるとき、それぞれ可微分多様体（differentiable manレ lold＞、可微分写像（differentiable map）といい、本稿においてM，Nは可微分多様体を表わすことにする、ここで，. C。。（M，N）＝・｛fif：M→N C。α級写像｝. とする。. 可微分多様体および可微分関数について、次のホイットニーの定理が成立する。. 定理1．1．3（ホイットニー，［20］定理3，3） C co級多様体Mの任意の閉集合Aに対して. C。o級関数 f：M→R で f一’（0）＝A を満たすものが存在する。次に、写像に対し芽の概念を定義しておく。. 定義1．1．4 X，Yを位相空回、 x∈Xとする。 XからYの中への写像全体の集合をM（X ，Y）で表わし、 f， gをM（X，Y）の元とする。 xの近傍Wが存在して、 f【w＝g lwとなる. とき、fとgは点xで同じ芽（germ）をもっという。. 一6一.

(9) 同じ芽をもっという関係は同値関係であり、M（X，Y）∋fの属するこの同値関係による. 同値類のことをfのxにおける写像芽（map germ）といい、 fで表わす。今後、写像f. と写像芽fを同一視して同じ記号fを用いることにする。次に部分多様体の定義をするために写像の階数、挿入、埋込みについて定義する。. 定義1．1．5 可微分写像f：Rn→RPとするとき、 xにおけるfの階数（rank）とは行列Df（x）の階数であり、 Rkxfで表わす。また一般に定義1．1．2におけるf：M→Nの点pにおける階数Rkpfは、ψ1。f。ヂ∼のpにおける階数である。. 定義エ．1．6 m次元多様体Mからll次元多様体翼へのC。ひ級写像fが、 Mのすべての. 点pにおいてR齢f＝m なる性質をもっときfをMからiNへの挿入（緬随ersめのという。￡が挿入でさらに1対ヱの写像であるとき、fをMからNへの埋込み（emkedd ；’ ng）という。. ここで部分多様体の定義をする。. 定義1。1。7 Mをm次元C働級多様体とするとき、Mの部分集合Sが次の2条件を満たすとき、SをMの余次元kの部分多様体（submanifold of eodimensiOii k）というe （1）Sは（m−k）次元のC￠co級多様体である．. （2）包含写像t：S→Mは埋込みである。次に、ぴ（M，N）にホイットn 一・位相（Whitney topol。gy）とよばれる位相を導入する。. 以下この位相で考えるものとする。. 定義1．1．8 自然数kと連続関数e：Rn→R＋に対し、 U（e ，k）でC。e（Rn，RP）の部分集合｛f・＝（fl，・・，fp）εC。。（Rn，RP）目α1≦k， xξRnに対しlDCtfs（x）1くe（x）｝（j pt一一 1，．．．，p）. を表わすことにする。これら｛U（ε ，k）｝を零写像の開近傍基としてC co（Rn，RP）の中に入れた位相をホイットニー位相という。. 一般1のC。。（MsN）について考えるとき、 M，Nはそれぞれあるユークリッド空PS Rn，. RPの中に埋め込まれているので、そこから誘導された位相でC⑳（M，N）のホイットニー位相を定義する。. 一一. Vk一.

(10) 次に、C。co（M，N）における写像の同値の概念を導入する。. 定義1．1。9 C co（M，N）∋fi，f2がC。。一同値（C。。一equivalent）で. あるとは、ある微分同相写像（diffeomorphism）h：M→M，. k：N→Nが存在して f2。h＝k。f1となるときいう。つまり右の図式を可換にするような微分同相写像h，kが存在することである。. MしM. fi S X р煤@f2. N．N k. また、定義1．1．9で微分同相写像h，kを同相写像におきかえて得られる同値関係をC。一同値（co−equlvalent）という。. C co（M，N）D fi ，f2が同値であることをfi∼f2で表わす。. 次に、先のホイッ｝・k 一t位相に関してC CO（M，N）における安定写像（stakle煎即蘭聡）の概念を与える。. 定義1e1。10 C oo（M，N）野が安定写像であるとは、 fのある近傍Uが存在して、任意. のgeUに対してg∼fとなるときいう。こ脅定義鴻おけるgとfの國値関係は、C偽一同値esときfをC⑳安定写像、 C￠一同値のときには。。安定写像（またほ位相安定写像、竜◎齢且ogiea妻レsも麟嚢e般a基瞬”9）という。. 〈注意）定義1，、 1．10は、写像を少ts摂動死せても写像のタイプには変化のないものを‘5安定ss kいっているのである。. ここで、. S。。（M，N）＝｛f∈C。o（M，N）IfはC。e安定写像｝. S。（M，N）＝｛fEC。。（M，N）lfはco安定写像｝とする。. 以上を準備して次に、構造安定性問題を述べる。［C。o構造安定性問題］ S。。（M，N）はC。。（M，N）の中で稠密な開集合であるか。. ［co構造安定性問題］ S。（M，N）SS C co（M，N）の中で稠密な開集合であるか。. S co（M，N）およびso（M，N）が開集合であることは、安定写像の定義から明らかであるので問題になるのは稠密性だけである。. 一8一.

(11) §2 陰関数定理とモースの補題カタストロフィー理論の基盤になっている数学的拠り所の一分野が、可微分写像の特異点論である。そこでこの節でほ、最初に可微分写像に対する特異点、正則点などの概念を定義する。次に、特異点でない場合すなわち、正則点の場合に可微分写像のタイプを特徴付ける定理（surjective mapping theorem，injective mapping theorem）を述べ、可微分写. 像のタイプを特徴付ける。これらの定理は、逆関数定理（inverse function theorem）とそれから導かれる陰関数定理（lmplieit function theorem）の応用として与えられる。最：後. に、特異点分類の第一渉であるモースの結果を掲げる。. まず正則点、特異点などの定義をする。. 定義1。2．1 f：M→NをC・ oo級写像とし、 dim M謹砺dim N：llとする。このとき点P∈Mがfの正墨（regular point）であるとは、Rkpf ”田h1価磁）となるときにい. ㍉点pEMがfの正則点でないとき、点pをfの特異点（singular point）という。M≧n のときには、特異点のことを臨界点（eritical paint） 2！もVう。. 次に、逆関数定理、陰関数定理およびそれらから導かれる二つの定理を述べる。. 定理1．2。a ［逆関数定理］ fをRnの開集合UからRn自身の中へのC「級写像（1≦r≦。。）とする。Uの点ai：：おけるヤ＝ビ行列式が⑪でないならば、fはaで局所び級同相写像である。すなわち、aの近傍V（（＝U）とf（a）の返傍Wが存在しで、 fivはVか. らWの上へのC「級同相写像となる。. 定理1．2．3 ［陰関数定理】fをRn＝Rn−P×RPの点a＝（b，c）の近傍からRPの中へのC「級写像とする。ここでn＞P，f（a）＝0とする。 aでのDfの階数がPならば. aの近傍U（⊂Rn）とRn口Pの点bの近傍からRPの点。の近傍への局所C「級写像g が存在して、U∩f一1（0）はgのグラフとなる。. 定理1．2．4 ［surjective mapping theorem］ fをRnの点aの近傍からRPへのC「. 級写像でn≧pとする。aでのDfの階数がpならば、 fはa（∈Rn）のある近傍をf（a）（∈RP）のある近傍の上へ写像する。. 一一. X一一.

(12) 定理1．2．5 ［injective maPP董ng theorem】fをRnの点aの近傍からRPへのC「. 級写像でn≦pとする。aでのDfの階数がnならば、 aの近傍U（⊂Rn）が存在して、 f』は単射（injective）になる。. 以上の定理1．2．4，1．2．5より、正則点の分類に関して次の定理が得られる。まずm≦n. のとき、‘：Rm→Rnを、 t （×i，．．．，xm ）＝：（x”’ ． ’，xm ，e，．．・，O）. で定義される自然な埋込み、m≧nのときは、 rr ；R． hi→Rnを、. 霧（Xlド・㌧x恥）＝（x！ド・。，x琵）. で定義される自然な射影とする。. 定理1．2。6 C。co級写像f：M→Nの正則点pξMに対して次のことが成り立つ。篤醤の次元をそれぞれmfnとする。（2）iR≦諏愈らばfat涙点嫉瓢におけるfの状態）は ‘atOξ正抑にCつ。一同値である。. （2）m≧nならばfatpはπatO∈R neにC。“一同値であるe この定理よ9、正則点における可微分写像のタイプは非常に簡単であることがわかる。しかし持異点の分類となると、定理Ll．3から暗示されるようにすべてを分類することは不可能である。そこでよく現われる（generlc）特異点の分類を研究することになるeその方向の第一歩は次に述べるモースの結果である。. 鍵エp∈Mが関数f：M→Rの臨界点とする。このときpがfの拠臨界点（n。ndegenerate critical point）であるとは、 pにおけるfのヘッシアン行列が正. a2f 則のときにいう；つまり、ヘッシアン行列をH釧p＝［ Ip］とおくとき、 det（Hflp） axi8xi ≠0 と同値である。また、pが非退化臨界点でないときには退化臨界点（degenerate eritical point）という。. 関数f：M→Rの非退化臨界点pにおけるタイプ（fatp）は、次のモースの補題（ Morse lemma）より完全に決定される。. 一10 一一.

(13) 定理ユーゐ旦（モ・一一 Xの補題，［75］，［73］）Pを可微分関数f：M→R（Mの次元はm）. の非退化臨界点とする。そのとき、pの局所座標系｛U（Xlt… tXm）｝（すべての1で Xi（p）＝◎を満たす）で、U上次の等式が成り立つものがある：. f ＝ f（p）’xi2−x22一．．．一一 x￡2＋x￡＋！2＋・・・＋xm2 ．. このことから、関数に関してC。co構造安定性問題が肯定的に解ける。. 定理1．2．9 （［82］5章系3．10）Mをコンパクト多様体とすると、 C。o（M，N）の中で稠密な開部分集合である。. 一11一. S◇co（M，R）は.

(14) §3 ホイットニーの平面写像定理ここでは、ホイットニーの平面写像定理（1955年）とその証明を述べる。もともとのホイッ 5ニーの証明は長い論文［121］であったが、トムが示唆したマルグランジュ（B．Malgrange）の予備定理（preparation theerera）を用いる短い証明［61］を解説する。. 定理1．3．エ（［20】定理8．4） C。ひ（R2，R2）に稠密な開部分集合Tが存在して、すべ：て. のf∈Tに対して任意のx∈R2で芽f：（R2， x）→（R2， f（x））は次の（D∼（m）のどれか1つと同値である。. （Df：R2→R2；（x，z）→（x，z）（正則点）（豆）f：R2一→R2；（x， z）→（x， z2）（折り目，f◎ld）（遜＞f：R2→R2；（Xfz＞・→（Xtz3一一・xz）（くさび㌧￠u＄P＞。. この定理から、S。。lR㍉R2）はC coIR㍉R2）で稠密であることがわかる。定ag 1．3。1を証明するために次の二つの補助定理と予備定理を証明なしで準備し、またいくつかの記号を定義する、. 補助定理1β謁 x慧Y：：獄とし、x：｛〈x’・1 ，x2）iXlξRrl罵1認lyY＝1（Ys，Y2］＞1 ぬξR，1 ＝：．1 ，21 とする。そして（野（X，Y）ヨf ：（f1ぽ2）とすると、fの各近傍におい. て R紙蓉罵R庭ag量紬X」〉（x）≠0であるようなg・＝（g！e92）EC。c（R㍉R2）が存在する。. 補助定理1．3．3 R2＝｛（x，z）｝x，z∈R｝の開部分集合をUとする。 f：U→Rを微分可能とし、K（⊂U）をコンパクトとする。すべてのa∈Uで次の（1）∼（皿）のいず. れかを満たすようなK上ではfに任意に近い関数g：U→Rが存在する。（1） agYsz（a）SO ，（ll） a2g／3z2（a）fO ，. （ma29／axaz（a）＝0かっa39／az3（a）≠0．. 次に、マルグランジュの予備定理を述べるために必要な記号、用語を準備する。. 記号1．3．4 ・ε（n）：可微分写像芽（Rn，0）→Rの環．・m（n）：ε（n）の極大イデアル、すなわち｛f∈ε（n）【f（O）＝ O｝．バムムム. ・ε（fl）：形式巾級数の環、 ε（n）の元をf，g… で表わす．バハヘムバ. ・m（n）：ε（n）の極大イデアル、すなわち｛f∈ε（n）lf（0）＝0｝．. 一12一.

(15) 可微分写像芽f：（Rn，O） → （RP，0）は多元環の準同型、 f＊：ε（P）→ε（n）. φ →φ。f を定義する。？：（R ll，0）→ （RP，0）についても同様に準同型？＊：￡（p）→￡（n）が定義される。. 任意のε（n）一加群（ε（n）一moduie）Aはa∈ε（P）とa∈Aの積a・aを α・a＝ fX（a）aで定義するときε（p）一封群となる。このことを、 Aをf＊を通じてε（p）一群｝こなる（ε（p）一一 moduie via fX）という。. ここで、マルグランジュの予備定理を述べる。. 定理1．3．5（マルグランジ．x ，［55］，［56L［57］，〔20］定理6．7＞f：（Rn，⑪）→ぐRP，⑪）. バを可微分写像芽とする。f㌔f＊を上のようにすると、次は同値である。（1）φls・・。，φkξε（のはf＊を通じてε（p）一加群としてε（n）を生成する．（2）φle… ，φk は芦を通じてε（p）一加群としでε（11）を生成する。（3）φls… sφk は実ベクトル空間ε（n）／f㌔（p）ε（n）の生成元1こなる。ハムムム . ムム. （4）φIs… sφk は実ベクトル空間εくn）／f㌔（p）ε（n）の生成元になるe. ここで、. jk：ε（n）→ε（n）／m（n）k＋！. としたとき、f∈ε（n）の像jk（f）をfのk一ジェット（k−jet）という。また、 m（n）k. の元fは位数kまで0になるといい、位数kまで0になる芽を。（k）で表わす。以上を準備して定理1．3．1を証明する。. 補助定理1．3．2により、次の条件を満たすような写像F：R2→R2からなる集合ほ C。o（R2，R2）の稠密な開部分集合である：. 各Fに対してコンパクト集合｛Knln∈N｝の加算族と各nに対してKnの近傍Un が存在して以下の（1）∼（iv）を満たす。. （1）Knの内点はR2を覆う．. 一m. @13一.

(16) （ii）Unはコンパクトな閉包をもつ．（iii）｛Un l R∈N｝は局所有限（locally finite）である．. （iv）もしR2＝｛（x1，x2）｝であるならば、「各nに対して各a∈Knに対しaFi／∂Xi（a） ≠0」という性質をもつ（i，j）（i，j∈｛1，2｝）が存在する。. Knの全体に対し、 Knの任意の点では局所座標変換になっているような、写像（x1，x、） →（Xk，Fi）を選ぶことができる。この写像はもとの芽を（Xl，x2）→（Xl，f（Xl，x2））の形にうっす。. （iv）より、すべてのa∈Knに対しGがFに十分近いときaGi／∂x3（a）≠0 となる。このようなGに対して、Gに（Xtsx2）→（Xlsg（Xi，x2））という形を与えるような座標変換. が存在する。もしGがFに近ければ、gもfに近い。もとの写像を帰納的にU齢上このような方法で変えていく。この方法をn回用いると、おれ. 補助定理！．3．3の条件は黒K島上で満たされる。このことが』；Kiに対してなされ、. 更に、すべてのa∈Kmと各mに対して上のG聾」）が考えられるすべてのmに対しては、 aFi／aXs（a）≠0であるくらい少ししかFが動いていないと仮定する。次に、補助定理1．3。 3の条件がKn÷、上で満たされ、かっ下の条件（1）∼（3）も満たすようにFをUn＋1上わずかだけ動かす：（1）その写像（補助定理1．3．3のg）はもとの写像（f）の定めでおいた近傍内にある．. （2）補助定理1．3。3の条件は』｛KinUh＋1上で満たされている。（3）すべてのIAと適当な（し」〉に対し、すべてのa∈Kmに対して、 aF｛、ノ∂X」（a）≠◎ である。. このような手続きを終えたとき、｛Un｝n∈N｝は局所有限なのでFは局所的には単に有限回しか変化させていない。従って、上の手順の極限は微分可能写像であり、この写像は局所的には、（Xsy）→（x，f（x，y））（但し、fは補助定理1．3．3の条件を満たす）という形に変換される。. 以上で大域的には、S co（R2，R2）がC co（R2，R2）で稠密になることの証明をした。. 証明の二番目のステップは次を示すことである。. Tの中の写像は局所的には上で考えた三つの型すなわち、正則点，折り目，くさびのいずれかにうっされることを示す。. 従って写像芽 F ：（R2，0）一（R2，0）；（x，z） di一．（xsf（x，z））. を考えよう。但し、fは次のいずれかの条件を満たすものとする：. 一一. @14 一一一.

(17) （ 1 ） af／6z （O）＃ O. （ll）af／azω）＝Oかつa2f／az2（の≠◎ （皿） af／∂z（O）＝∂2f／6z2（0）＝＝O h、っ ∂2f／∂x∂z（O）≠0， a3f／∂z3（0）≠0 ●. （1）の場合：Fは正則である。F”iを用いて局所的に像空間を変換することによりFは恒等写像になる。. （R）の場合：f（◎，z）＝z2q（z）ここでq（O）≠0である。. 従って、二つのイデアル＜x，f＞e（2），＜x，z2＞ε（2）は等しく予備定理i，3．5によ喚、F＊を. 通してε（2）一加群として関数1，zはε（2）の生成元である。特に芽がに対し、ある芽Φ（x，Y）sΨ（x，y）が存在して. z2 ＝： ep （．x‘sf（xsz））＋ 2 llf （x，f（x，z））z. とかかれる。. この恒等式の二階のテイラー級数展開は二階の位数の多項式問の恒等式であり、その係数は相等しい。従って次を得る。. ￠〈O，O）＝＝ W（O，O）＝ O ， S ep ／cdy（O） tE O ∂Ψ（｝《雪f〈xsz））ノCz（⑪）＝二∂Ψ、ノ∂y（⑪）．δf／a冠く0）＝・O. これは、. h（x，z）：（x，z−W（x，f（x，z）））. k〈x，y）＝：〈x，￠（x，y）＋W2（x，y））. とおくとき、h，kが座標変換であることを意味している。このとき、次の図式は可換である：（x，z）一一一一一一一：h：一一一・一（x，z”diw（x，f（x，z）））. Fl，」，（id，id2）（x，f（x，z））一（x， tp（x，f（x，z））十W2（x，f（x，z）））．. k 従ってFは折り目の写像（x，2）→（x，z2）と同値である。. 一一 15 一一.

(18) UIL＞．Q一揚金：（9）と同様に予備定理1．3．5より、Φ，Ψ，0が存在して、. 23＝Φ（x，f（x，z））十Ψ（x，f（XtZ））z十3e（x，f（x，z））z2. となる。この恒等式は原点におけるジェット問の恒等式を導く。ユsZ，z2の係数を比較することによって Φ（0）＝Ψ（0）＝e（0）＝Oであり、θ（O，f（O，z））はzの少なくとも三階までは0になる。従って、. （X，Z）→（X，Z−e（X，f（X，Z））〉. は座標変換である。この座標変換によってfは次の図式で与えられる関数fTにうっされる：. α. （x，z）一→（x，Z−S〈x，f（x，z）））＝（x，2）. f＼／f・・ foa−i. 頁x蜜2）竃fTぐx蒜）. fTも（1聾）におけるfの条件をみたしている。なぜなら、関数fTω，勃瓢fT（Ogz一・e⑩，f（O ， 2，）））. は丁度三階の位数まで◎になり、：3fT，ノ雛（㌫乏）抵丁度一階だけ0になるからである。このこ. とは念一ジェットの係数を比較することによつでわかる：. ババ. E（x，z）＝・z＋elx＋c2x2＋c3xz m。d賠（2）3. より、. 2（X，E）＝乏一eiX一（C2−Cle，）X2−C3X彦 mod叙2）3．. 一方、. f（x，z）＝flx十f2x2十f3xz mod 宕1（2）3．. 従って、. 一16一.

(19) バババ. fT（x，z）＝f（x，z（x，乏））. ＝＝flx十（f2−f3c1）x2十f3x三… 鋤od 倉1（2）3 ．. ここで、仮定よりf3は0ではない。そこで新しい座標で考えると、. 乞3＝（z−e）3＝z3−3z2e＋3ze2−03. ＝Φ＋Ψz＋3ez2−3z2e＋3ze2−e3 ＝（Ψ＋3e2）（z−e）＋（Φ＋2e3＋Ψe）＝Ψ，7＋rp 1．. これは最初からe＝・◎としておいても構わないことを示している。すなわち、. z3 ・ep（x，f）＋Ψ（x，f）z （＊）. Φ（o，o）＝Ψ（o，o）＝o. である。. 次に定義域llXl，x2｝｝，値域｛（Ylsy2）｝における座標変換を次で与えよう：. （Al. ｶ1→瞥∵剛. 丁 →憐綱．これらが、座標変換であることは次のようにしてわかる：まず、. ？（。，，。、）・flx1＋f、x、2＋f，xlx、＋f、x23＋x1・。（2） m。面（2）・. （‘旦し、f3，f4…≠0）ム . ム. ム . ノへ. Φ（X”y）＝・b1×1＋b2y mod m2. Ψ（Xlty）＝elXI＋c2y m。d M2. とおける。さらに、. 一17 一一一.

(20) ムバハム. （C）x23＝Φ（x1sf（x三，x2））＋Ψ（xl，f（xl，x2））x2. であるa（C）においてXlの係数比較よりb、≠O、 xlx2の係数比較より（c1＋e2fi）＋b，f，＝＝Oが導かれる。従って、c玉十。2f1≠Oとなる。（すなわち、（A）は座標変換となる。〉. 次に、Xlの係数は、 b，十b2f，でこれは0であるから、ロ bl b2｝＝＝blc2−b2Ci＝＝一一b2fle2−b2c！＝＝一b2（f1￠2十。匪）≠0 ，、，、｝. 「となる。（すなわち、（B）は座標変換となる。）. （＊）｝りG；（R2，0）→（R2，⑪）を（恥動→（島デー難）とするとN次の図式が可換になる：. 〈A）. （x、sx2）一一一一一“（Ψ（x三，f（x垂，x2＞），x2）篇（ry，Y）. F↓ ↓G （Xi sf（．N’ ！ tX2 〉） ew’）（W C’ Xi ，f（Xi ，X2）），Φ（x重，f（x1，x2）））・＝（Lサ3畷ラ）. （B）. 従って、（皿）のときも示された。. 以上でホイット轟一の定理の証明を完了する。. 一一. @18 一一.

(21) §4 不安定性定理 §2，§3では関数、平面写像の場合には、S。e（M，N）he C co（M，N）で稠密であるこ. とをみてきたが、果たしてすべての場合に稠密であろうか。この節では稠密でない例を掲げる。それは1959年にトムが、“二次形式のペンシル（pen−. ciD”という概念を用いて証明した次の定理である。. 定理1．4．1 （トムの不安定性定理，［113］，［20］定理10。6）M，Nをその次元がn2（n≧3）. の可微分多様体とするとき、S⑳（M，N）はC。。（M，N）で稠密でない。. これを証明するためにいくつかを準備する。. 定義1．4．2. （1＞FはKerl）f①）上の二次形式全体が作るベクトル空間とする。 CはCo短r Df（O）の双対空間（＝｝｛o販（C欲er Df（O）fRn））とする。. 写像L翼C→FをLe（a）＝ a・li2f，で定義しSとき、写像Lfを♂島に対する二次形式のペンシルという、，. ｛2）F（k）はRk上の二次形式が作るベクトル空問、 H（e，k）：＝ LA（RC，F（k））：Rk上の二次形式の。次元ペンシル全体のベクトル空間とする。ここで写像、. 〈GL（csR）×GL（k，R））〉〈H（e，k）一M， H〈c，k）. を、. （gcXgk）（Lc（vc）vx）fiE Lc（gc一！ vc ）（gk一’ vit），（vcERC，vkERk，LcEH（c，k））. で定義する。. （注意）H（c，k）上の中のペンシル上の軌道は、 C。e一同値の意味で芽fのうまく定義された不変量である。. 助定理1．4．3（［82】5章補助定理2．4）. LA（n，m）＝H。m（Rn， Rm）：実（m×n）行列全体が作るベクトル空間、. LA（1｝，M）⊃LA（n，m，r）を階数rである行列が作る部分集合とする。. ．一. @19一.

(22) このとき、LA（n，m，r）はしA（n，m）の可微分部分多様体で、 r≦min（晦n）に対し余次元（n−r）（tn 一一 r）をもつ。. 定義1．4．4 M，Nをそれぞれm，n次の可微分多様体とし、写像f：M→N を可微分写像とする。. （1）0≦i≦m に対して、. 2i（f）＝｛xEMI an−Rkxf ：i］. とおく。. xEΣi（f）のとき、 fほxξMにおいてΣiの特異点型をもっという。（2）fが部分多様体U n−kIこ聾に横断的（tr融svers駐Dであるとは、 f（x）GUであるよう. な任意のxに対して次の条件が成立するときいう：（Y！s・・㌔yn）をf（x）の近くでUが Y1・＝”… ：Yk＝◎で定義されるようなf（x）での局所座標、（Xl，… ，XM）をxGMでの座標系とするとき、行列（8（Yi。f）〆6x3〈x））〈1≦1≦k貝≦」≦m）が階数kをもつ。. （定理1．4。1の証明）. GL（n，R）XGL（n， R）の次元は2n2である。一方F（n）の次元は対称R×・”．行列と同じであるからか（1・一i一 1）である。従って伽H（…）” 一li−n・（・＋1）となる・ここで・≧3である. か晴（・＋1＞≧2とな・、. dim （GL（n，R）×GL（nsR））＝＝2n2S−il｝．n2（n＋1）＝dim H（n，n）. である。等号成立はn＝3のときのみで、この場合恒等写像としてペンシル上に作用するスカラーの組（α、α一1）からなるGL（3，R）XGL（3，R）の一次元部分群であることがわかる。従って、n≧3に対してGL（n，R）XGL（n，R）の作用の軌道は、 H（n，n）のものより. 次元が小さい。すなわち余次元は1以上である。ここでO∈MにおいてΣnの特異点型をもつ写像f：M→N （dimM ・dimN ＝＝n2）を考える。さらに、局所ユークリッド座標が導入されたときに0の近傍上でfの微分はLA（n2，n2，n2−n）に横断的な写像を定義すると仮定する。. fに課したこれら二つの条件はその一次と二次の微分に関する条件である。従って、これらの条件は二階の位数の多項式を用いることで満たされる。. 一20 一一.

(23) 今、局所座標系においてΣn（f）＝Df”t（LA（n2sn2fn2 一”n））である。従って、補助定理1．. 4．3より eodim LA（n2，n2，n2一一・n）＝l12であるから、そしてfの横断性の条件よD dimΣn（f）＝0がわかる。 LA（n2，n2）上Df（0）のまわりで座標（Yls… sYn4）を、 LA（n2，n2，n2一一・’ n）がy1＝＝… ＝Yn2 ＝ Oで定義されるように選ぶ。横断性によって0に. おける次の合成写像の微分は同型である：. Bf Proj U ”一’，｛（yi，・ ’ ・，yn4）｝ ”．’” ｛（yi， ’ ’ ’ ，yn2 ）｝. （但しUは、0∈Mの座標近傍である。）. 従ってもしUが十分小さければ、この合成は逆写像定理により微分同相写像で、 0＝Σn（f）＝・ U ＝＝（pr。Df）一匹（0）∩U となる。もしfを少し変形しでも、合成が0のま. わりの小さな近傍U’⊂U上で微分同相であるという性質は変わらない。もしllが、二次の同次多項式のみ異なるfの近似とするとO∈Σn（h＞である。いずれの場合もΣn韓）は昏の近くにある乳Pの中で一点である。. 従って、もし安定写像の集合S。。（M，N）が稠密ならば、今述べた性質をもつ安定写像を. さがすことが可能である。ここで0はΣ魅（f）の孤立点でd2恥とd2f。を作る二次の項に磐ける変化を用いることによD、それら跨〈）L（恥鉛〉＜GL（B， R）1こおける作用でH（n，n＞. 跨異なる軌道にあるようなfにいくらでも近いkをさがすことができる。なぜなら、これらの軌道はH（恥のですべて測度0の部分集合であるからであるe従って、fIv は安定ではない。これで局所的にはfは安定ではないことがわかっk。次に、大域的に安定でないfが存在することを示す。. まず写像fを、その微分がいたるところLA（n2，n2sn2−fi）と横断的で、M∋0のまわり. で局所的に上の写像f luのようなものを選ぶ。近似hを以下のように選ぶ：hとfほ U上のみで異なりd2h。の軌道はΣn（f）のすべでの点においてfの二次微分を含むすべての軌道から異なる。. 従って、上の議論よりfとhは大域的に同値ではない。つまりfは大域的に安定ではない。（証明終わり）. 一一. @21 一.

(24) §5 安定性定理第一章の終わりのこの節ではC。。（M，N）におけるS。。（M，N）およびso（M，N）の稠密性に関する決定的な結果を述べる。. C。。安定性に関しては、次のマザーの決定的な結果がある。. 定理1．5．1（［61］∼［66］，［82］4章定理6．4）M，Nをそれぞれ次元がmtnの可微分多様体とする。S co（M，N）がC。“（M，N）で稠密である必要十分条件は組（m，n）が次の不等. 式①∼⑤のうちの一つを満足することである。. ①m＜6／7n＋8／7でn一膿≧4 ②rA＜6〆7 n＋9／7で3≧fi 一m≧o ⑧lt＜8でit 一一 m＝一一 1. ④fi＜6で駐一魏謹一2. ⑤nく7でn−m≦一3 図1 （注意！上の①”・F⑤を満たすく日用）の作る領域（図1）を“”iee diraensi◎葺ヨ”とよぷ、. 次に、C。安定性に関してトムが示した証明のアウトラインに従ってマザーが示した次の定理がある。. 定理1．5．2（［68］）Mがコンパクトのときには、M，Nの次元のいかんにかかわらず S。（M，N）は常にC。。（M，N）の中で稠密である。. 一一. Q2一一.

(25) 第二章. 初等カタストロフィー. この章では、まず§1においてその前半ではカタストロフィー理論における諸概念を定義し、後半では§3のための数学的準備およびいくつかの定理を述べる。次に§2においては、序章に掲げたジーマンのカタストロフィーマシンに対して、§1前半で定義した諸概念のもつ意味を具体的に説明しながらその解析を行なう。そして§3において“破局（カタストロフィー）”は7っのタイプ（この7っを初等カタストロフィーtという）しか現われないという有名な“トムの主定理（初等カタストロフィーの分類定理）”を述べ、その証明を与. える。最後に§4では、初等カタストvフィー以外のカタストロフt一について述べる。 §1 itタストロフィー理論のための数学的準備. この節の前半〔1〕においては、カタストVフィー理論の構造を述べるteめに必要になる数学的諸概念を定義する。また後半〔2〕においては、カタストロフィー理論の数学的裏付けとなる実特異点論の諸概念およびそれらに関する諸定理を述べる。この節における定理等には証明は与えないが関心のある方はBrb醜er［20］，野口・福田［8幻を読まれることを勧ぬます。. 〔1〕丁字ストesフィー理論の諸概念. カタストVフィVef・・理論は、ある状況のもとで起こるくカタストmフ4一）現象を調べるものである。そこに起こりうる行動や状況の集合を行動空間（bekavlour space）とよび、簡単. のためにn次元ユークリッド空聞Rnで考える。一般にはn次元多様体でよV㌔そして行動空間の点x＝（Xlf… rXn）を鰍（behaviour variable）という。次に行動や状態の要因がいくつか考えられるbけだが、これらの要因はコントロール要因とよばれ、この集合をコントロール（eontrol space）とよび、ここでも簡単のたあにR「で考えるe そしてcrントロール空間の点u＝（Ult… tUr）をコントロール変数（control variable）. という。またコントV一ル空間の次元rをコントロール次元（または開折次元）とよぶ。. 関数F Rn×R「→R に対し、 MF＝：｛（x，u）1 gradx F ：O｝＝｛（x，u） 1 aF／axi（x，u）＝・．．＝ criF／axn（x，u）：O｝，’＝Rn×Rr. 一一. @23 一一.

(26) をカタストロフィー多様体（catastrophe manifold）または平衡空間（equillbrium space）という。またこのFをポテンシャル（ポテンシャル関数）という。. 自然な射影RnXR「→R「のMFへの制限写像 X．： M．． Rr. をカタストロフィー写像（catastrophe map）という。. MF上の点が安定平衡点（stable equilibrium）とは、そのポテンシャルF（Xsu）が極小値. を与えるときにいい、その条件は∂2F／ax2（x，u）＞0である。安定平衡点の集合をGFで. 表わしWWFSとよぷ。すなわち、 Gド監｛（Xyのi∂F！ax（x雪u）騙O，∂2F！∂x2（x，し遷）〉⑪｝. である。；のG。の境界ΣFを特異集合（slngular三ty set）とよぷ。つまりΣFは次のように. かかれる；. Σ。霊1（x，u）1∂F／∂x（x，の嵩∂2F／3x2（x，讐）認。｝。. このとき、ΣFは写像為の特異点の集合になっている。次に、ΣFの為による像潔F（ΣF）を為の分岐集合（bifuy’eatloit set）といい、BFで表わす。BFi＃ Xドの特異値の集・合であり、. BF＝・｛u∈R「 iヨxξRn； ∂F／ax（x雪u）＝∂2F／∂x2（x，の＝0｝. である。. 一一一. Q4一.

(27) 〔2〕開折と余次元最初に§3の分類定理を証明するために必要になる“k一確定“という概念を定義し、それに関する結果を述べる。. ε（n，m）を芽（Rn，0）→Rm全体の作るベクトル空間とし、. 8（n）＝｛f∈ε（ntm）lf（0）＝Oかっf’iが存在する。｝. とする。. 定義2。1。1 芽f。，Lξε（恥のが右同値（rlg焼e雛i》讃囎t）であるとは、f◎。h ・f，とな. るh磯建⇔）が存在することである。. 定義2、1．2 芽fξε（R）がk一確定（トdetermlned）であるとは、fと同甑一ジェットをもつすべての芽・gEε〈n）がfに右同値であるときにいう。つまv）jkf ＝＝ jkgとなる任意. のgξξ（のに対しf竃g噸となるh噸31n）が存在することである。またfEε（nlは、ある. kが存在してト確定となるときに有限確定（finitely慮term沁eむであるという、定理2．1．3（［20］定理11。3） fξε（魏）に対し、. m（n） ic i’：’ na （n）〈 etlaxi 〉十 fn （n）k＋1. ならば、fはk一確定である。ここで、＜∂f／∂Xi＞は＜6f〆∂xl，… ，∂f／∂Xn＞e（n）を表わす。. 系2．1．4（｛20】系11．9，11．10）f∈ε（n）に対し、次のことが成立する。. （1）jit＋i（f）がk一確定ならばfはト確定である。（2）m（n）k⊂m（n）〈af／∂Xi＞ならばfはk一確定である。（3）fがk一確定ならばm（n）k÷1⊂m（n）〈∂f／∂x…〉である。. （注意）上の（2），（3）よりf∈ε（n）が有限確定であることとε（n）／（Df）＊m（n）ε（n）が. 有限次元であることは同値である。. 次に開折の定義をする。. 一25一.

(28) 定義凱旦芽f∈ε（n）はf（0）＝Df（O）＝Oのときi臨藍（singularity）とよぷ。. 定義2．1．7 PEm（n）を特異点とするとき、ηのr一開折（r一一（parameter）unf．olding）と. は・ff f∈・（・＋・）でflR・x｛。｝＝ηを思すものである・この開折を（「・f）で表bL・. rをfの屋甑という。定義2．1．8 （r，f），（s，9）をηの二つの月島とする。このとき射（morphism）とは、次の条件を満たす組（φ，Φ，α）のことである。. （i）芽φ∈ε（n十rsn十s）はid：Rn→ Rnの開山である。（2）芽Φeε（r！s）は、πs・φ＝Φ。πrを満たす。ここで、πr：Rn＋「→ R「，. πs ：Rn＋s→ RSは自然な射影である、（3）芽αξ蝋r）はf ・g。 g6＋鋲πrを満たす。. 騰雛のことを図式でかくと姻である・. ^R∼＼. ／ Tf一 a o ff r’SXX−xxEl a 1 （Rn＋r ，o ））；（Rn＋s ，o）. ffrl 一一一H’N） s？rs （ R r， Q ）一：，（ R 9・， O ）. ep. 定義2e1．9 tlの二つの開折（r，f）s（s，9）に対し定義2。i．8のような射（φ，Φ，a）が存在するとき（r，f）は（φ，Φ，a）によって（s，s）から誘導された写の二折という。. ηの開折（r，f）は、ηの任意の開折が適当な財によって（r，f）から誘導されるときに普遍開折（versal unfoIding）という。また普遍壷折（r，f）において、rが最小のとき（r，f）を一意. 普遍二折（universal unfolding）という。. 定義2．1．10 η∈m（n）のr一能折fがr一安定論折（r一一stable unfolding）であるとは、. RnXR「の原点の任意の近傍U（⊂：Rn×R「）とfの任意の代表元f∈C。。（U，R）に対して、fのC。co（U，R）におけるホイットニー位相での近傍N（f）が存在して次の条件を満k すときにいう：任意の写像9∈N（f）に対して、点（a，b）∈Uが存在して9の（＆ゐ）における関数芽 g ：（R”XRr，（a，b））．（R，g（a，b））. ほ開折としてfに同値である。一一26一一.

(29) このとき次の定理が成り立つ。. 定理2．1．11（［82］7章§3定理1）k一確定である関数η∈m（n）のr一開折f∈ε（n＋r）に対して次の条件は同値である。（1）fはηの普遍回折である。（2）fはr一安定四折である。. 最後に余次元、余階数を定義しそれらと開発との関係を述べる。. 定義2．1．12 特異点η∈ma（n）に対し、ηの余次元（c。dimens亘on）codi』きηを. e◎毒蝦癩論k（il）（n）！〈：卿∼∼∂x｛〉εm＞）. で定義する。. 定理2．1。ユ3（［20｝定理14．8）甑ヂ・晦r｝（c＝ m（fi））を融（の／〈a射∂x監〉頓質）の基に. 澱する代表元の系としたとき、. f（x，の瓢mpω＋b，（x鴻＋… ＋br（x）穫r. で定義されるηの町彫fは一一意普遍開折である、. 定義2．1．14特異点η∈m（n）の余階数eorankηは、ヘッシアン行列（∂2η／∂Xi∂Xi（0））の. 余階数で定義する。. 定理2．1．15（splitting lernma；［20］定理14．12）ηξm（n）が余階数n−rの特異点なら. ばηは次の形の芽に右同値である：. q（xi，・・ ’，xr）＋ g（xi，’ ’ ’，xn）．. ここで」2ζ＝0であり、qは非退化二次形式である。定理2．1．16（［20］14．13）特異点η∈ca（n）の余階数をrとするとき、ηの余次元は. 1のる綱．特に、ηの余階数が3以上ならばηの余次元は6以上である。一一一” 27 ny.

(30) 定理2．1．17（［82】7章§4補助定理4．3）. 特異点ηに対して次の条件は同値である。. （1）ηのr一一安定開折が存在する。. （2）ηの余次元はr以下である。. （注意）この定理2．1．17と定理2．1ほ1より、時間空間であるコントロール空間の次元が高. 々4次である場合には、余次元が4以下の場合を扱えばよいことになるのである。. 一一. @28一.