板 画鋲 1ーーーーーーーーーー夢
Y
§3 初等カタストロフィーの分類
この節ではトムの主定理を述べ、その証明を与える。その定理では余次元4以下のカタ ストロフィーの分類を与えるが、定理2．1．17で見たようにこれは開折次元4以下の 安 定 開折を与える関数芽の分類を与えている。
理2．3．1（トムの主定理，［20］定理15． 1，［82］第7章主定理） 余次元が1以上4以下の 特異点は、他の変数における非退化二次形式の和と±1による積を除いて次表の関数の標準形
の一つと右同値：である。
鰍元麟の騨形1
1 i x3
安定開折
工棚く姻
＝
断 ．÷一十．隷＋vx 丁一十鍵 ）
ツバメの尾（swaiioectaii） 一＝
1
双二型へそ（hyperb◎夏ie umhilic）
婆
4 皿マ粥・「「マ薦梓，、。・＋・y一，＿覇「薇塵へそ（P、．・。。b。ll＿鵬副
trrT． ．一一．m．．一一．．．．．．．． ．nF ． ．． ．．．．一．LLt t．．rrnd．一uttTtLm．．．一．一 denysu一
画
証明の前に次を注意しておく。 〈a．q〉＝＜en／kxi＞e 〈R）とすると、
eodin自写≦4 o di m（m（R） ／ ？ 〈eq 〉）S 4 一一・ m（ lt ）S f．n一． 〈ae 〉
一→ m侮）6⊂m（n）〈∂η〉 → ηは6一確定
であるから、余次元が4以下のときには6次以下の多項式を考えればよい。
（証明）
定理2．1．13より安定開折は表の形になることが直接導かれる。従ってこの表がすべての 可能な場合を含んでいることを示せばよい。
（1）corank q＝1のとき：
ここで、ηは±xnに右同値である。以後右同値を記号〜で表わす。
従ってcodimη≦4であるならばη〜x3，x4，x5，x6である。
（fi）￠oranRη＝2のとき：
定理2．1．16よりcodim P≧3 となるからcodi隣η＝：3または4の場合を考えればよい。
一36一
P（x，y）… j3（η） とする。
これは定理2．1．15より、三次の同次多項式としてよいから、PはC上で三つの線形因子に 分解する ：
P（x，y） ：（aix十biy）（a2x十b2y）（a3x十b3y）．
次の四つの場合について議論すればよV㌔
（A）三つのベクトル（ai，bi）∈C2〈i＝1，2，3）がC上で組ごとに一次独立のとき。
（B＞三つのべク｝ルのうち二つのベクトルが一次独立で、他の一つのベクトルが先のう ちの一つのベクトルの何倍かになっているとき。つまり、
P（KeY） ・・（aiX÷hiy）（a2x十b2の2 s （aisbi）と（a2fb2＞は一一次独立
のときである。定数を除いて因数分解は一意であB、：Pは実多項式であるから、共役因子 を考えることによB〈a；ehi）は実数で選ばれる。
lC）すべての（ai，b董）が一次従属で、すべで⑪でないとき、このとき、
P（xsy） ：（ax十hy）3 （a，b）ER2．
（D）P（x，y）＝0 のとき。
（a）（ai，bi）（i・・1，2，3）をすべて実数と仮定する。 alx十bly，a2x十b2yを新しい座標 に選ぶ変換を考えることにより、
P（x，y） v xy（ax十by） a ，b＃O
を得る。このとき、
xy（a×＋by） v xy（x＋y） 一 ×（x2 一一 y2）＝x3−ky2．
一一一 37 一一一
この多項式は3一確定で、η〜x3−xy2（楕円型へそ）である。
（β）二つの（ai，bi）が複素共役であると仮定する。このとき、
P（xsy） ：（atx＋biy）（a2x＋h2y）（一a2x＋b2y）
である。この式の最後の二つの因子の積はXfyの正の二次形式である。適当な座標変換で これらは x2十y2 になるので、
P（x，y） v （ax＋hy）（x 2＋y2）
となる。次に座標を回転することで（axr＋by）はex（￠葬のの形になるので，
P（xt，｝ ） za・ （ax ntF， k y）（x2＋y2） pa e x（x2＋y2） 一一・ x（x2＋y2） ＝x3＋×y2 H一・ x 3＋y3
となる。x・3牽y3も（a＞同様3一確定である。従ウて、3−x3＋ジ（双曲型へそ）となるe 以上で（A）の場合を終える。
（B）の場合
：P（Xsy）＝；（atX十k，y）（駄2x十切y）2〜x2y
となるが、x2yは有限確定ではない。しかし7は有限確定だから、 x2yには同値でないジェット をもたなければならない、kを」陶一 X 2 yとなる最大の数であると仮定する。一一一 me性を失うこ となくhをk＋1次（k≧3）の同次多項式として、jkη＝x2ys jk＋1η＝x2y＋h（x，y）とできる。
Ol ，ψをk−1（≧2）次の同次式としたとき、Φ：（x，y）→（x＋φ，y＋ψ）という形の微分同 相写像で9を変換する。原点におけるΦのヤコビヤンは単位行列である。このとき、
jk手1η。tp ・X2y＋X2ψ＋2xyφ＋h（X，Y）
を得る。
φ，ψを適当にとることによって、xyまたはX2で割り切れるhのすべての項を除くことが 可能である。このことから、
jk＋i e o rp ＝ x2y十ayK i （afO）
一3g 一一
がわかる。これは（k十1）一確定であるので、
ny rvx2y＋ayk＋1 一vx2y±yk＋1
である。k≧4ならばcodimη≧5であるから、k＝＝3であり、η 一 ×2y十y4〜x2y一〆（放物型へ
そ）となる。
以上で（B）の場合を終える。
（C）の場合
P（x，y） ＝： （ax十by）3 ・一s／ x3
であるから、」3ny鵠x3としても…般性は失なわれない。このとき、
1吻＝＝ x3十h（x，y） ここでh（Xsy）は4次の同次式
である、さらに、
ci i m ，i U nK 2） ww一 9 s
dlm於く∂η〉＝dlm l3＜X2十鮎顕2＞≦4
より、
dira j3m（2）／〈6u ＞15 〉 i｛t
となる。
従ってこの（C）の場合はcodimη≦4を満足しないので不適である。
（D）の場合
P（x，y）：：0ならばη∈m（2）4である。ゆえに、〈∂η〉⊂m（2）3となりd油（m（2）ん（2）3）＝5で ある。従ってこの場合も、（C）と同様不適となり除かれる。
以上で、主定理の証明を終える。
一39 一一
§4 その他のカタストロフィー
前節では余次元が4以下のカタストロフィー（初等カタストロフィー一）の分類を行なった が、この節では余次元が5以上のオタストロフィーについて、その結果を述べる。
余次元が5まkは6の特異点の安定開折は有限個であり、実際に分類されている（［100］，
［70］）e
しかし余次元が7になると安定開折の個数は連続濃度現われることが知られている（［2】，
［96］，［100］）。このこのことを示す余次元が8のときの例は、以下のようにホイットニーに よって与えられているe
定理2，4。1（［S． 2］第8章定理1。1＞tERをパラメーーター一とする二変数の関数芽、
錠（x謬〉＝＝・xy（x一の（x−ty＞
を考える。そのとき、
11）蓬）〈s， 〈t＜1であればぽsとftは右同値ではない。
〈2）t≠傷ま：歪 ならば、㈹議膿錠騙8 である。
一般にfとgが右同値でなければ、それらの開折も同値ではありえないので、この定理 は余次元8以上誇関数芽の安定開智の岡同類の個数も連続濃度あることを示している。
一40一