右図のように、円周内に入射しその背面で等角度の法 則に従って反射される平行光線束を考える。すると反射 光線の包絡線として、くさび型のコースティクスが形成 される。なぜコースティクスが明かるく輝くかは、この曲 線に接して光線はほとんど一致しておりこの曲線上の点 の周りの小領域には、他の点の周りの小領域におけるよ
りもおびただしく多数の光線が存在するからである。
そこでこの包絡線を計算で求めてみる。
平面上に単位円周をとり、入射光線をθでパラメーターづける。
等角度の法則によワ反射光線XRの方程式は、 ．
（y−sine）cos2e ＝（x−cose）sin2e
一 一 丁「 冒 一山一
uo 一 ． 〔一． ． ゴ 『
一 一 L 一 」
幽ひ 一一一一7 ． −一＿ r． 一＿ 一＿ ．T@一「 L ． 一 τ一ヒ 一 一＿r 罰一山 一 ． 一 馳
︐
一． 一一 r一 一． r一 一＿
ｨ
一一
＼．一一』｝ 『 Tr←一
〆／
｝ 」一 一r一
誘｝ﾏ
＼
一 〇 ・ 一 ．
C 陣一 一一 ．
@ i 一
2！
● r
x
／一
mrr． mxo一
o
である。包絡線を求めるtaめにこの式を8で微分した式、
／R
（sv一 一一 sin e ）sin2 e ＋（x−cos 6 ）eos2 e ＝＝ 一 一il｝一｛cos e cos2 e ＋s in S sin2 e 1，
と連立してxsyを求めると、
x ：eos e 一 一 i｝一 eos e eos2 e
y＝ sin e 一一 一㊧黶@eos e sin2 e
x
﹄︑
−一2餅
c＝ （cose， sine）N を得る。これはネフロイド（nephroid）曲線
とよばれるものであり、この曲線は直径1
の円の欄植径春の棚がころがると
Y
き、小円上のある1点が描く図形である。実際にはネフロイド曲線の半分（上図では右半分）
だけが観察される。（残りの半分は虚光線の包絡線になっている。）
この理想化された分析を実際のコーヒーカップの場合にあてはめよう。そのためには、三 次元であることと、光線はある角度だけ傾いていることを考慮しなければならない。しかし 円筒上反射面は回転対称であるので、光線の入射面はコースティクス曲面を包絡すること がわかる。そして我々が観察するのは、これのある水平面（コーヒ．一の表面）での切り口であ
る。
一42 一一
次にこのコースティクスの問題に対して、フェルマv・・ の（最小時間）原理：「光のとる経 路は、それと同一の始点と終点をもつさまざまな経路の中で、光がそれを通り抜けるのに要 する時間が極値となるもの」を適用しよう。
今、右図のようにx軸上負の部分のはるか遠くの
ある点Dに発し、円周上高さyの点で反射して点（X
，Y）にいたる経路P（X，Y，y）よりなる族を考える。
これから、円の内部の各点（X，Y）に対し、 yによD パラメーター付けられた経路の1一パラメーター 族が得られる。実際の光線の経路となりうるための 十分条件は、フェルマーの原理よりDから（X，Y）
へ一 だけ反射して郵達する経路がある臨界性を
︸
（午γ）
ii
t t t T
． 踊 − 7 一 一 一
（5 ・o）
瑠⊥2
7
＝
︵
．︵ ⊥2 3
︶
Xもっことである。すなわち、その経路PIX謬，yのが方程式、
窪〈P（X貧Y謬）の長さ）（XsYeye＞＝0 4Y
を満たすことである。もし、D＝（一d，0）が十分遠くにあり、それから発する経路が我々 の問題としている領域では乎行であると見なせる（仮定できる）ならば、P（X§Y，勇の長
さは、
f。Y（・〉一（d一 一il一＋（h・）レ・）＋｛（X＋ 9 一〈1 一一一y・〉…）・＋（Y一・）・｝・／・
となる。これをyに関して4次、〈X，Y）に関して1次まで展開して高次を省略すれば、
Fxy（y）＝ 一一 il一 （1＋5x）y ＋ 一ii−Yy3＋Xy2−2Yy＋（d＋1一一X）
が得られる。さらにこれは、（X，Y）＝（0，0）の近傍では定数項を除いて局所的に
一（x4＋ax2＋bx）へ変換される。これは、くさびのカタストロフィーの局所幾何を指し示 している。すなわち、これらの光の1一パラ温品ーター族の包絡線、コースティクスはポテ ンシャル関数として（構造安定なカタストロフィー一一の一つである） くさびのタイプをもつ もの の分岐集合としてコーヒーの表面（コントロール平面）上にくさびの形となって現わ
れる。
一一一@43 一一一一
コースティクスの代表的な例には虹（［11］）があり、また光の代わりに音の反射・屈折に 対してもコースティクス（［31］）がある。さらに他の光学的カタストロフィーの例として蟹 気楼（［40］）がある。 また光学以外の物理学へのカタストロフィー理論の応用としては、
船の構造安定性に関するもの（［86】，［142］）、流体の運動に関するもの（［37］，［136］）、tZ・一・
ザー物理学に関するもの（［42］）などが知られている。
一一@44 一
〔2〕化学への応用 一相転移一（［23］，［39］，［97］，［109］）
ある気体をピストンつきの円筒に入れとおく。このピストンを操作して、温度Tを一定に 保ちっっ、ピストン内の気体の圧力Pと体積Vを変化させると、気体から液体へ、また逆 に液体から気体へと変化する。この変化を撞整（phase transition）という。この相転移 を行なうと右図のような等温P一一V曲線ができる。
曲線aは超臨界温度TaのときのP−V曲線であ り、曲線bは臨界温度Tbに保ったときのP−V
曲線である。一方曲線。は臨界温度以下の温度に 保った場合のP−V曲線であるが、この場合には圧力P，のところで曲線が不連続になっていて体積V
が急変する。
たとえば、曲線eの矢印に沿憐て次第にピスト ンを用いてその気体を圧縮すると、ある点Aに達し
＼A ＼
C
（Pe，Vo）
B殴・d
c Pkときピストンの圧力を加えても圧力は上がらず、気体の体積が急激に減少し気体の一一部 が液体になる。そしてその混合体の液体の割合が増えるにつれて、Vは小さくなり点Bで っVに完全に液体へと相転移する、それ以後は、ビス｝ンで圧すれば連続的に圧力が上が
警、体積も連続的に減っていくeこのA−Bが気体よ弓液体への体積の急変、あるいは密
度の急変つま窪輯転移のカタス1ロフィーを示している。この下横ス畢mフ4一はT。の
超臨界温度では起きない。すなわち、気体はピストンの圧力が大きくなると次第にVが小 さくなり液体へと連続的に相転移する。そしてカタストttフ4一が起こ喚始める温度が臨 界温度T，で、このときの（P，V）平面上の点を（PけV、、）で示し臨界点とよぶ．以下この 根転移のカタストmフィー一を調べる。円筒内の気体、液体の内部エネルギーをE，円筒の全システムのエントロピーをS，温度 をTとするとこのシステムの自由エネルギーFは、
F＝E一一TS
である。このFを用いてギブス関数（Gibbs functi。n）とよばれる関数、
G： R3 一一， R （P，T，V） 一． G（P，T，V）＝F十PV
が定まる。そのとき、このGに対してギプスの自由エネルギー最小原理（Gibbs free energy．minimum principle）：「システムの状態（［P ・T・V）はP・Tが与えられた場合
一45一一
G（P，T，V）を最：小にするVの値をとる。」が成り立つことが知られている。よってGは
（P，T）のつくる空間R2をコントロール空間、 V∈Rを状態空間とするポテンシャルであ る。まず平衡空間MGを考える。そこで理想気体に対するボイルの法則（PV＝RT）を超え た、相転移に関する状態方程式が必要になる。それは、ファン・デル・ヴァールス（van der Waals）方程式とよばれるもので気体のシステムについて、
（P＋ ＆， ）（V−B）＝RT
が成ウ立つ。ここでa，βは気体から定まる定数、Rはガス定数（Nを標本内の分子数、 k をボルツマン定数（1．380×10 ！6erg／deg＞としたとき、Nkである）である。このファン・デル
・ヴァーールス方程式を満たす（P，T，V＞はこのシステムの安定平衡点を与えているから、
この方程式を満たす（：P，T，V）は、
MG ：｛〈PeT， N7）E R3 i a，＋．li〈，rTm G（PfT，V）＝ O｝
鰭たす・つまり・㍗拠デ・いヴ㍗・・肪程式は表G謁であると考えてよv・・
ここで臨界点くP助丁。，Vのを求める。
辮＝0 よ・］ 毒（V・P一一aV＋2αβ）＝0
gggifll−G， ：o ＊e 3v2p一一a＝一r o
これらよりP一酌・V−3βとなり・P−2漁・T−2鹸となる．
つまり・（P・・T・・V・）＝：（2か・2瓶・3β）である．
次に、P・一塁T・＝＝ ；F−s一 ， v・一嬬とおくことにより、
（p ＋ ＆）（v 一 ｛1一 ）一一 一z8」一 T
一46 一一
を得る．次に変数としての獺V・を密度Xで置き搬る．つまりV ・ ftとおくこと
により、
（P・＋3X・）（麦一青）一号T・
となる。最後に、
p：P
1 ， t ：T 一一 1 ， x＝ X 一一 1とおくことにより、（P㌔T㍉X）を原点にうっすと、
・・＋8冾o・＋豊Li酔一一・
を得る。よって、
．一 St−2ppt 8 t十p s V ＝a ra
翌 @ 3
とおくことにより、
x： 十 ux十v ：O
を得る。これはまさに、くさびのカタストロフィーの曲面そのものである。すなわち、相 転移の過程を表hすギブス関数は、くさびのポテンシャル関数になっている。従って、相 転移は構造安定なくさびのカタストロフィーモデルを表わしている。
この相転移のシステムはギブスの自由エネルギー最小原理に従い、ポテンシャル
G（P，T，V）の極小値ではなく最小値を与えるVがその状態になるので、マックスウェル の規約に従っている。
一一@47 一一
〔3〕生物学への応用一蜂の社会一（［45］）
約20000種の蜂が知られているなかで、5％を除いたほとんどすべての種は単独種であり、
残りが社会的種で事実上群集をつくる。ここでは、この蜂の群集の出現と消滅に関するカタ ストロフィーについて考える。
十分な花の蜜を産するある環境が、B蜂／km2の密度を保つとする。するとN匹の蜂のひ とつの群集は面積N）Bkm2の領分によって平衡状態に達する。この領分の半径をRkmと
すると、大まかに、
N ＝＝ rr R 2 B （1）
と思門〉てよV㌔ここで明らかに翼≧1であるから，、