20180126slide 資料置き場 hustat2017 20180126slide

(1)

統計学：復習と練習問題

担当者：

高木

真吾

http://sites.google.com/site/hustat2017/

(2)

試験について

(3)

試験について

試験について問題１：確率変数の復習問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均）問題３：仮説検定（母集団比率）問題４：分割表の検定

http://sites.google.com/site/hustat2017/ 統計学総復習 – 3 / 57

■

参照物の持ち込み不可

■

試験時間は

90 分（２月２日１０

:

３０から１２：００）

．

■

試験範囲は，標本理論，母数の推定（信頼区間の推定）

，仮説検定（母集団平

均・分割表）

■

（第８回以降に相当）

(4)

問題１：確率変数の復習

(5)

正規分布表の利用，確率変数の標準化

■

確率変数

◆ 実現する前はどういう値が出るかは不明

◆ どの値がどういう確率で実現するかに関する規則は分かっている

◆ この規則をあらわしているものが（連続型確率変数の場合は）密度関数

■

標準正規分布（平均０，分散１）に従う確率変数の密度関数は次の図

■

正規分布に従う確率変数の確率密度は，二つのパラメータ

µ

と

σ

2 に

依存

■

ある区間，たとえば（

-2 ,0

）という区間のどこかで実現する確率の大き

さは，この区間の面積に対応している．

■

正規分布の数表は，標準正規分布に従う確率変数について，ある点ｃよ

(6)

図１：

µ

と

σ

2 を変化させた

■

_µ

と

σ

2 はそれぞれ平均（中心の位置）

，分散（散らばりの程度）を示す

-4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

正規分布に従う確率変数の密度関数

x

cbind(y1, y2, y3)

µ =0 , σ

2

=1

µ = −2 , σ

2

=0.25

µ =1 , σ

2

(7)

図２：正規分布に従う確率変数の密度関数と

確率

■

正規分布に従う確率変数

X

は，ある区間

(

a, b

)

で

,

どういう確率で実現

するか

◆ 確率１．

Pr[

−

2 < X <

0 ]

，２．

Pr[

X >

2 ]

■

つまり確率の大きさは，図の面積で表現される（曲線全体では１）

．

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

正規分布に従う確率変数の密度関数

x

(8)

数表の利用

■

正規分布の表から

Pr[

Z

≤

1 .

96 ] = 0

.

5 + 0

.

475 = 0

.

975

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Pr[ X > 1.96 ], Pr[ X < -1.96 ]

x

y1

µ =0 , σ

2

=1

■

_Pr[

_Z

_≥

₁

_.

_{96 ]}

＝？

(9)

数表の利用

■

正規分布の表から

Pr[

Z

≤

1 .

96 ] = 0

.

5 + 0

.

475 = 0

.

975

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Pr[ X > 1.96 ], Pr[ X < -1.96 ]

x

y1

µ =0 , σ

2

=1

■

_Pr[

_Z

_≥

₁

_.

_{96 ]}

＝？

= 1

−

0 .

975 = 0

.

025

(10)

数表の利用

■

正規分布の表から

Pr[

Z

≤

1 .

96 ] = 0

.

5 + 0

.

475 = 0

.

975

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Pr[ X > 1.96 ], Pr[ X < -1.96 ]

x

y1

µ =0 , σ

2

=1

■

_Pr[

_Z

_≥

₁

_.

_{96 ]}

＝？

= 1

−

0 .

975 = 0

.

025

(11)

確率変数の標準化（基準化）

■

平均や分散がどのようなものであっても，その確率変数から平均を引き，

標準偏差で割ると平均が０，分散が１になる

■

例）確率変数

X

について，平均

E

[

X

] =

µ

，分散

V

[

X

] =

σ

2 とする

■

例）このとき，

Y

=

X

₋

µ

√

σ

2

とする

■

例）新しく定義された

Y

は必ず平均０，分散１となる（

E

[

Y

] = 0

,

(12)

問題１：解答例

次の確率を求めてください（空欄を埋めてください）

■

確率変数

X

が標準正規分布に従うとき（

X

∼

N

(0

,

1)

）

，

1. Pr[

X

_≤

0 ] =

0.500

2. Pr[

X

_≤

1 .

96 ] =

1-

Pr[

X

≥

1 .

96 ]

= 1-0.025 = 0.975

3. Pr[

X

_{≥ −}

1 .

96 ] = Pr[

X

_≤

1 .

96 ]

= 0.975

4. Pr[

₋

1 .

00 _≤

X

_≤

1 .

96 ]

= Pr[

X

_≤

1.96 ]

₋

Pr[

X

_≤

-1.00

]

=

0.9750 - 0.1587 = 0.8163

◆ ただし，

Pr[

X

≤ −

1 .

00 ]

については，

Pr[

X

_{≤ −}

1 .

00 ]

=

Pr[

X

_≥

1 .

00 ]

(13)

図解：

Pr[

−

1 .

00 < X <

1 .

96] = Pr[

X <

1 .

96]

₋

Pr[

X <

₋

1 .

00]

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 Pr[-1.00<X<1.96] = Pr[X<1.96] - Pr[X<-1.00]

x

y1

µ =

0 ,

σ

2

(14)

図解：

Pr[

X

≤ −

1 .

00] = Pr[

X

≥

1 .

00]

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 Pr[Z>1.0]=1-0.8413=0.1587 (Pr[Z<1.0]=0.8413)

x

y1

(15)

問題１：解答例

■

確率変数

X

が平均１，分散４の正規分布に従うとき（

X

∼

N

(1

,

4)

）

，

1. Pr[

X

_≤

0 ]

という確率を求めてください．このとき，

Z

=

X

−

1 r

4 とおく

と，

Z

∼

N

(0

,

1)

なので，

Pr[

X

_≤

0 ]

=

Pr





X

₋

1 q

4 ≤

0 q

−

1

4 



=

Pr

h

Z

_≤

- 0.5

i

=

0.3085

(16)

図解：

Pr[

X

≤ −

0 .

50] = Pr[

X

≥

0 .

50]

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 Pr[Z>0.5]=1-0.6915=0.3085 (Pr[Z<0.5]=0.6915)

x

y1

(17)

問題１：解答例

■

確率変数

X

が平均１，分散４の正規分布に従うとき（

X

∼

N

(1

,

4)

）

，

2. Pr[

₋

1 _≤

X

_≤

1 .

96 ]

という確率を求めてください．

Pr[

₋

1 _≤

X

_≤

1 ,

96 ]

=

Pr





-1

₋

1 q

4 ≤

X

q

−

1

4 ≤

1.96 q

−

1

4 



=

Pr

h

-1.00

_≤

Z

_≤

0.48 i

=

Pr

h

Z

_≤

0.48 i

₋

Pr

h

Z

_≤

-1.00

i

=

0.6844-0.1587 =0.5257

■

.

Pr[

Z

≤ −

1 .

0] = Pr[

Z >

1 .

0] = 0

.

1587

(18)

図解：

Pr[

X

≤ −

1 .

00] = Pr[

X

≥

1 .

00]

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 Pr[Z>1.0]=1-0.8413=0.1587 (Pr[Z<1.0]=0.8413)

x

y1

(19)

問題２：標本分布・信頼区間・仮説検

定（母集団平均）

(20)

母集団平均・分散の推定

■

母集団（母集団平均

µ

，母集団分散

σ

2 ）

■

標本：

{

X

1 , X

2 , . . . , X

n

}

■

標本平均

¯

X

=

1 n

n

X

i

₌₁

X

i

(1)

■

標本分散

S

2 =

1 n

₋

1 n

X

i

₌₁

(

X

i

−

X

¯

)

2 (2)

■

これらは母集団平均

µ

，母集団分散

σ

2 の良い推定値（傾向的には偏りが

(21)

問題２：解答例（標本平均・標本分散の値）

センター試験の英語について，ある高校で無作為に

5 人の得点調査をしたところ

{

138 ,

120 ,

112 ,

140 ,

125 _}

という結果であった．

■

標本平均の値，標本分散の値を求めてください

¯

x

=

1

5 (138 + 120 + 112 + 140 + 125) = 127

s

2 =

1

5 ₋

1 {

(138

−

127)

2 + (120

₋

127)

2 +

_{· · ·}

+ (125

₋

127)

2 _}

(22)

復習：標本分布１

■

母集団分布が正規分布で記述されるとき，無作為抽出による大きさ

n

の標本を

{

X

1 , X

2 , . . . , X

_n

}

とすると

◆ 母集団分散

σ

2 をそのまま用いる場合：

¯

X

₋

µ

p

σ

2 /n

∼

N

(0

,

1)

(3)

◆ 母集団分散

σ

2 を

S

2 で置き換えて用いる場合：

¯

X

₋

µ

p

S

2 /n

∼

t

(

n

−

1)

(4)

(23)

ｔ分布に従う確率変数

■

ｔ分布に従う確率変数は，どういう値でもとる事ができます

■

ただしどういう値が実現しやすいか，というパターンは確率密度として

与えられます

■

ｔ分布に従う確率変数の確率密度は，１つのパラメータ

自由度

k

に依存

します

■

ｔ分布に従う確率変数の確率密度は，中心は常に０，パラメータ

k

で散

らばりを決めます

(24)

k

を変化させた図

■

k

が小さいとき散らばりが大きい，

k

を大きくすると標準正規分布に近づく

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t分布に従う確率変数の密度関数

x

cbind(y1, y2, y4)

(25)

母集団平均の信頼区間：

S

2 を用いる１

■

母集団分布が正規分布

■

母集団平均

µ

について知りたい

■

母集団分散

σ

2 の値を

S

2 で置き換える

■

このとき『母集団平均に関する信頼係数

0.95 の信頼区間』を求める

■

＜重要＞スライドの（

4 ）式から

T

=

¯

X

−

µ

√

S

2

_/n

∼

t

(

n

−

1)

■

つまり上の

T

は自由度

n

−

1 のｔ分布に従う．

■

数表の自由度

n

−

1 の欄から

Pr[

T > t

0 .

025 ] = 0

.

025 ，

Pr[

T <

−

t

0 .

025 ] = 0

.

025 という点を探して，

Pr

"

−

t

0 _.

025 ≤

¯

X

₋

µ

p

S

2 /n

≤

t

0 .

025 #

(26)

図解

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3 自由度４: Pr[ -2.776 < T < 2.776 ]

x

cbind(y1)

自由度４のt分布

(27)

母集団平均の信頼区間：

S

2 を用いる２

■

一般公式：

Pr

"

−

t

0 _.

025 ≤

¯

X

₋

µ

p

S

2 /n

≤

t

0 .

025 #

= 0

.

95

◆ 例として，

n

= 5

を想定して数表を使うと以下の関係がわかる．

Pr

"

−

2 .

776 _≤

_p

X

¯

−

µ

S

2 /

5 ≤

2 .

776 #

= 0

.

95

◆ ここで自由度

n

−

1 = 4

の欄から

Pr[

T >

2 .

776] = 0

.

025 ，

(28)

母集団平均の信頼区間：

S

2 を用いる３

■

このとき，

Pr

"

−

t

0 _.

025

· r

S

2 n

≤

X

¯

−

µ

≤

t

0 .

025

· r

S

2 n

#

= 0

.

95 Pr

"

−

t

0 _.

025

· r

S

2 n

≤

µ

−

X

¯

≤

t

0 .

025

· r

S

2 n

#

= 0

.

95 Pr

"

¯

X

₋

t

0 _.

025

· r

S

2 n

≤

µ

≤

X

¯

+

t

0 .

025

· r

S

2 n

#

= 0

.

95 ■

つまり

µ

は次の区間の中に含まれている確率が

0.95 である．

"

¯

X

₋

t

0 _.

025

· r

S

2 n

,

X

¯

+

t

0 .

025

· r

S

2 n

#

(5)

(29)

問題２：解答例（母集団平均の信頼区間）

■

_n

_{= 5}

，

x

¯

= 127

,

s

2 = 142

のとき，母集団平均

µ

に関する，信頼係数

0.95 の信

頼区間の値を求める

母集団平均を

µ

，標本平均を

X

¯

，標本分散を

S

2 とすると，

T

=

¯

X

−

µ

√

S

2

_/

5 とおくと，

この

T

は

自由度

n

−

1 = 5

−

1 = 4

のｔ分布

に従う．ここから数表を用いて

Pr

"

-2.776

_≤

_p

X

¯

−

µ

S

2 /

5 ≤

2.776 #

= 0

.

95

(30)

問題２：解答例（母集団平均の信頼区間）

この式を変形して

0 .

95 =

Pr

"

-2.776

_≤

_p

X

¯

−

µ

S

2 /

5 ≤

2.776 #

=

Pr







¯

X

₋

2.776 v

u

t

S

2

5 ≤

µ

≤

¯

X

+

2.776 v

u

t

S

2

5 





となるので信頼係数

0.95 の信頼区間は







¯

X

₋

2.776 v

u

t

S

2

5 ,

¯

X

+

2.776 v

u

t

S

2

5 





(31)

問題２：解答例（母集団平均の信頼区間）

■

_n

_{= 5}

，

x

¯

= 127

,

s

2 = 142

のとき，母集団平均

µ

に関する，信頼係数

0.95 の信

頼区間の値を求める

したがって先ほど計算した標本平均の値，標本分散の値を用いて信頼係数

0.95 の信

頼区間の値は







x

¯

−

2.776 v

u

t

s

2

5 ,

x

¯

+

2.776 v

u

t

s

2

5 





=





127 −

2.776 v

u

t

142

5 ,

127 +

2.776 v

u

t

142

5 



=

(

112.21 ,

141.79 )

(32)

仮説検定

■

仮説検定とは

◆ 帰無仮説（問題２では，

µ

= 131

.

08 ）

◆ 対立仮説（問題２では，

µ

6 = 131

.

08 ）

の二つをデータから判断してどちらがもっともらしいかを見る方法である

■

具体的には，

『帰無仮説が正しい』という仮説を棄却するか，しないかで判断する

◆ 『帰無仮説が正しい』という仮説を棄却：対立仮説の方がもっともらしい

◆ 『帰無仮説が正しい』という仮説を棄却できない：帰無仮説の方がもっとも

(33)

検定の手順

1 二つの仮説を立てる

2 有意水準を定める

◆ 仮説検定では，

「帰無仮説が正しいとしても，非常に小さい確率で発生す

るかもしれないが，普通は対立仮説が正しいから起きるような自体」

がお

きたら帰無仮説を棄てて，対立仮説を採用するという考え方

◆ 上のごく小さい確率＝有意水準，通常は５％か１％と定める．

(34)

検定の手順

4 棄却域を決める

◆ 棄却域とは，

帰無仮説が正しいとき検定統計量の実現値が出にくく

，

対立

仮説が正しいときには実現しやすい領域

となるように選ぶ

5 検定統計量の値が棄却域に含まれるかどうかをみる

◆ 棄却域に含まれるとき，帰無仮説を棄てる

(35)

問題２：解答例（仮説検定

H

0 :

µ

=

µ

0 ,

H

₁

:

µ

₆

=

µ

₀

のタイプ）

全国の受験者の平均は

131.08 点であった．この学校の平均は

131.08 と異なってい

ると言えますか？

1 母集団平均を

µ

とし，帰無仮説

H

0 :

µ

= 131

.

08 ，対立仮説

H

1 :

µ

6 = 131

.

08 とする

2 有意水準は問題から５％と与えられている

3 検定統計量を

T

=

¯

X

−

131 .

08 s

S

2 /

5 とすると，この検定統計量は

◆ 帰無仮説

H

0 が正しいとき，

自由度

n

−

1 = 4

のｔ分布

に従い，

◆ 対立仮説

H

1 が正しいとき，

(36)

問題２：解答例（仮説検定

H

0 :

µ

=

µ

0 ,

H

₁

:

µ

₆

=

µ

₀

のタイプ）

全国の受験者の平均は

131.08 点であった．この学校の平均は

131.08 と異なってい

ると言えますか？

4 有意水準が５％なので，棄却域は（

−∞

, -2.776

）あるいは（

2.776 ,

∞

）

となる．

5 検定統計量の値は，

t

=

127 _q

−

131.08 142 / 5

=

-0.7656

という結果から棄却域に

含まれない

．したがって帰無仮説

H

0 :

µ

= 131

.

08 は

棄却されないので

，この学校の平均点は全国平均とお

(37)

問題２解答図解（仮説検定

H

0 :

µ

=

µ

0 ,

H

₁

:

µ

₆

=

µ

₀

のタイプ

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 x

H

0

:µ = µ

0

が正しい

Pr[T>2.776]=0.025

Pr[T<-2.776]=0.025

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：

µ

<

µ

0

H

1

が正しい：

µ

<<

µ

0

H

1

が正しい：

µ

>

µ

0

H

1

が正しい：

µ

>>

µ

0

-6

-4

-2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

(38)

問題２：解答例（仮説検定

H

0 :

µ

X

=

µ

Y

,

H

₁

:

µ

_X

< µ

_Y

のタイプ）

同校の昨年度の平均は

5 人について調べたところ平均値は

135 点，分散値は

140 で

あった．変化はあったか？

1 今年度の母集団平均を

µ

X

，昨年度の母集団平均を

µ

Y

．帰無仮説

H

0 :

µ

_X

=

µ

_Y

，対立仮説

H

1 :

µ

X

< µ

Y

とする（帰無仮説

H

0 :

µ

_X

−

µ

_Y

= 0

，対立仮説

H

1 :

µ

X

−

µ

Y

<

0 ）

2 有意水準は問題から５％と与えられている

3 検定統計量を

Z

=

¯

X

₋

Y

¯

s

S

_X

2 /

5 +

S

_Y

2 /

5 とすると，この検定統計量は

◆ 帰無仮説

H

0 が正しいとき，

近似的に標準正規分布

に従い，

◆ 対立仮説

H

1 が正しいとき，

(39)

平均の差：図解

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 x

H

0

:µ = µ

0

が正しい

z = -1.64

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：

µ

<

µ

0

H

1

が正しい：

µ

<<

µ

0

H

1

が正しい：

µ

<<<

µ

0

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

(40)

問題２：解答例（仮説検定

H

0 :

µ

X

=

µ

Y

,

H

₁

:

µ

_X

< µ

_Y

のタイプ）

同校の昨年度の平均は

5 人について調べたところ平均値は

135 点，分散値は

140 で

あった．変化はあったか？

4 有意水準が５％なので，棄却域は（

−∞

,

−

1 .

64 ）となる．

5 検定統計量の値は，

t

=

_q

127 - 135

142 / 5+ 140/5

=

-1.065

という結果から棄却域に

含まれない

．したがって帰無仮説

H

0 :

µ

X

=

µ

X

は

棄却されないので

，この学校の平均点は昨年同様であると

(41)

問題３：仮説検定（母集団比率）

(42)

母集団比率の推定

■

母集団（母集団比率

p

）

■

標本：

{

X

1 , X

2 , . . . , X

n

}

■

標本平均

¯

X

=

1 n

n

X

i

₌₁

X

i

(6)

■

回答が１か０なので，結局は１と回答した人の割合になっている

(43)

復習：標本分布３

特に比率の場合は，分散の与え方に特徴があり，

■

母集団比率

p

を分母にそのまま用いる場合：

¯

X

₋

p

(1

₋

p

)

/n

∼

N

(0

,

1)

(7)

■

分母も推定値で置き換える場合：

¯

X

₋

p

_¯

(44)

問題３：解答例（仮説検定

H

0 :

p

=

p

0 ，

H

₁

:

p < p

₀

のタイプ）

■

内閣を支持するかどうかについて，無作為に

500 人に対して調査を行った．そ

の結果

218 人が支持すると回答し，

282 人が支持しないと回答した．この結果

から支持率が５０％未満であるといえるかどうかを有意水準５％の仮説検定に

よって確認してください．

1 真の支持率（母集団比率）を

p

とし，帰無仮説

H

0 :

p

= 0

.

5 ，対立仮説

H

1 :

p <

0 .

5 とする．

2 有意水準は問題から５％と与えられている．

3 検定統計量を

Z

=

¯

X

−

0.5 s

0 .

5 _·

(1

₋

0 .

5)

/n

とすると，この検定統計量は

■

帰無仮説

H

0 が正しいとき，

近似的に標準正規分布

に従い，

(45)

問題３：解答例（仮説検定

H

0 :

p

=

p

0 ，

H

₁

:

p < p

₀

のタイプ）

■

内閣を支持するかどうかについて，無作為に

500 人に対して調査を行った．そ

の結果

218 人が支持すると回答し，

282 人が支持しないと回答した．この結果

から支持率が５０％未満であるといえるかどうかを有意水準５％の仮説検定に

よって確認してください．

4 有意水準が５％なので，棄却域は

（

−∞

,

−

1 .

64 ）

となる．

5 検定統計量の値は，

z

=

_q

218 /

500 −

0.5

0 .

50 _·

(1

₋

0 .

50)

/

500 =

-2.86

という結果から棄却域に

含まれている

．したがって帰無仮説

(46)

問題３解答図解（仮説検定

H

0 :

p

=

p

0 ，

H

₁

:

p < p

₀

のタイプ）

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 x

H

0

:

p

=

p

0

が正しい

z = -1.64

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4 H

1

が正しい：p < p

0

H

1

が正しい：p << p

0

H

1

が正しい：p <<< p

0

-8

-6

-4

-2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

(47)

問題４：分割表の検定

(48)

２次元分割表

二つの属性

A

，

B

で分類された表：２次元分割表

Table 1:

２次元分割表

B

1 B

2 A

1 X

11 X

12 X

1 _,

_•

A

2 X

21 X

22 X

2 _,

_•

(49)

例：

■

理科系，文科系学部に進学した学生それぞれ

5000

人を対象として，漢文に対す

る苦手科目について調査した．次の表から理系文系間に差はないと言うことは

できるでしょうか？

Table 2:

文理別，漢文への好き嫌い

好き

嫌い

計

(50)

２次元分割表

■

_A

1 に分類される確率：

Pr[

_A

1 ]

:

p

1 _,

_•

=

X

1 _,

_•

X

■

_A

2 に分類される確率：

Pr[

_A

2 ]

:

p

2 _,

_•

=

X

2 _,

_•

X

■

_B

1 に分類される確率：

Pr[

_B

1 ]

:

p

_•

_,

1 =

X

_•

,

1 X

■

_B

2 に分類される確率：

Pr[

_B

2 ]

:

p

_•

_,

2 =

X

_•

,

2

(51)

２次元分割表

『

A

1 に分類されるか

A

2 に分類されるか』という事象と『

B

1 に分類されるか

B

2 に分類されるか』という事象が独立ならば，

■

_A

1 かつ

B

1 に分類される確率：

Pr[

_A

1 ∩ B

1 ] = Pr[

A

1 ]

×

Pr[

B

1 ]

:

p

1 _,

_•

×

p

_•

_,

1 ■

_A

1 かつ

B

2 に分類される確率：

Pr[

_A

1 ∩ B

2 ] = Pr[

A

1 ]

×

Pr[

B

2 ]

:

p

1 _,

_•

×

p

_•

_,

2 ■

_A

2 かつ

B

1 に分類される確率：

Pr[

_A

2 ∩ B

1 ] = Pr[

A

2 ]

×

Pr[

B

1 ]

:

p

2 _,

_•

×

p

_•

_,

1 ■

_A

2 かつ

B

2 に分類される確率：

(52)

２次元分割表

Table 3:

列効果と行効果が独立な場合の２次元分割表

B

1 B

2 計

A

1 X

· p

1 _,

_•

· p

_•

_,

1 X

· p

1 _,

_•

· p

_•

_,

2 X

1 _,

_•

A

2 X

· p

2 _,

_•

· p

_•

_,

1 X

· p

2 _,

_•

· p

_•

_,

2 X

2 _,

_•

計

X

(53)

２次元分割表

■

列効果と行効果が独立であるとき，

◆ 『

A

1 に分類されるか

A

2 に分類されるか』という事象と『

B

1 に分類され

るか

B

2 に分類されるか』という事象が独立であるとき，

■

以下のような関係が近似的に成り立つ

(

X

11 −

X

· p

1 _,

_•

· p

_•

_,

1 )

2 X

_·

p

1 _,

_•

· p

_•

_,

1 +

(

X

12 −

X

· p

1 ,

•

· p

• ,

2 )

2 X

_·

p

1 _,

_•

· p

_•

_,

2 +

(

X

21 −

X

· p

2 ,

•

· p

• ,

1 )

2 X

_·

p

2 _,

_•

· p

_•

_,

1 +

(

X

22 −

X

· p

2 ,

•

· p

• ,

2 )

2 X

_·

p

2 _,

_•

· p

_•

_,

2 ∼

χ

2 (1)

つまり，列効果と行効果が独立であるとき，上の統計量が自由度１のカイ二乗

(54)

問題

■

理科系，文科系学部に進学した学生それぞれ

5000

人を対象として，漢文に対す

る苦手科目について調査した．次の表から理系文系間に差はないと言うことは

できるでしょうか？

Table 4:

文理別，漢文への好き嫌い

好き

嫌い

計

(55)

２次元分割表

Table 5:

文理で好みに差がないときの期待度数

好き

嫌い

計

文系

1550

3450

5,000

理系

1550

3450

5,000

(56)

問題

0 好みに差がないとき，調査対象から一人の人を選ぶとき，その人が

『文系であ

るか理系であるか』という事象

と

『好きか嫌いか』という事象

は独立になる

◆ 文系である確率，理系である確率，好きである確率，嫌いである確率はそ

れぞれ

p

1 _,

_•

=

5000

10000

=

1

2 , p

2 ,

• =

5000

10000

=

1

2 , p

• ,

1 =

3100

10000

=

31

100 , p

• ,

2 =

6900

10000

=

69

100

◆ 文系であるか理系であるか』という事象と『好きか嫌いか』という事象は

独立であると仮定の下でのそれぞれのセルの期待度数は

(1,1)

セル

:

10000

×

p

1 ,

• ×

p

• ,

1 = 1550

,

(2,1)

セルも同じ結果

(1,2)

セル

:

10000

×

p

1 ,

(57)

問題

1 帰無仮説

H

0 ：漢文の好みに文理間で差はない，対立仮説

H

1 ：差がある．

2 有意水準は問題から５％と与えられている．

3 検定統計量は先ほどの式を用いて

◆ 帰無仮説

H

0 が正しいとき，

自由度１のカイ二乗分布

に従い，

◆ 対立仮説

H

1 が正しいとき，

自由度１のカイ二乗分布より大きい値が出やすい

．

(58)

問題

4 有意水準が５％なので，棄却域は

(3

.

84 ,

∞

)

となる．

5 検定統計量の値は，

(1

,

600 ₋

1 ,

550)

2

1 ,

550 +

(3

,

400 ₋

3 ,

450)

2

3 ,

450 +

(1

,

500 −

1 ,

550)

2

1 ,

550 +

(3

,

500 ₋

3 ,

450)

2

3 ,

450 =

4.675 という結果から棄却域に

含まれる

．したがって帰無仮説は

(59)

試験について

■

参照物の持ち込み不可

■

電卓も使用不可

◆ 大雑把に計算すれば十分

◆ 棄却域に入るか否か，信頼区間なら平方根を開く必要なし

■

試験時間は

90 分．

■

試験範囲は，標本理論，母数の推定（信頼区間の推定）

，仮説検定（母集団平

均・分割表）

◆ 範囲外：ハンドアウトに含めていない内容（有限母集団（非復元抽出）

，最

尤法）