例：

２次元分割表

試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定

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■ A ^{1 に分類される確率：}

Pr[ A ¹ ] : p ¹ _{, •} = X ¹ _{, •} X

■ A ^{2 に分類される確率：}

Pr[ A ² ] : p ² _{, •} = X ² _{, •} X

■ B ^{1 に分類される確率：}

Pr[ B ¹ ] : p _{• ,} ¹ = X _{• ,} ¹ X

■ B ^{2 に分類される確率：}

Pr[ B ² ] : p _{• ,} ² = X _{• ,} ²

X

２次元分割表

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『 A ^{1 に分類されるか} A ² に分類されるか』という事象と『 B ^{1 に分類されるか} B ² に分類されるか』という事象が独立ならば，

■ A ^{1 かつ} B ^{1 に分類される確率：}

Pr[ A ¹ ∩ B ¹ ] = Pr[ A ¹ ] × Pr[ B ¹ ] : p ¹ _{, •} × p _{• ,} ¹

■ A ^{1 かつ} B ^{2 に分類される確率：}

Pr[ A ¹ ∩ B ² ] = Pr[ A ¹ ] × Pr[ B ² ] : p ¹ _{, •} × p _{• ,} ²

■ A ^{2 かつ} B ^{1 に分類される確率：}

Pr[ A ² ∩ B ¹ ] = Pr[ A ² ] × Pr[ B ¹ ] : p ² _{, •} × p _{• ,} ¹

■ A ^{2 かつ} B ^{2 に分類される確率：}

Pr[ A ² ∩ B ² ] = Pr[ A ² ] × Pr[ B ² ] : p ² _{, •} × p _{• ,} ²

２次元分割表

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Table 3: 列効果と行効果が独立な場合の２次元分割表

B ¹ B ^{2 計}

A ¹ X · p ¹ _{, •} · p _{• ,} ¹ X · p ¹ _{, •} · p _{• ,} ² X ¹ _{, •} A ² X · p ² _{, •} · p _{• ,} ¹ X · p ² _{, •} · p _{• ,} ² X ² _{, •}

計 X _{• ,} ¹ X _{• ,} ² X

２次元分割表

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■ 列効果と行効果が独立であるとき，

◆ ^『 A ^{1 に分類されるか} A ² に分類されるか』という事象と『 B ^{1 に分類され} るか B ² に分類されるか』という事象が独立であるとき，

■ 以下のような関係が近似的に成り立つ (X ¹¹ − X · p ¹ _{, •} · p _{• ,} ¹ ) ²

X · p ¹ _{, •} · p _{• ,} ¹ + (X ¹² − X · p ¹ _{, •} · p _{• ,} ² ) ² X · p ¹ _{, •} · p _{• ,} ²

+ (X ²¹ − X · p ² _{, •} · p _{• ,} ¹ ) ²

X · p ² _{, •} · p _{• ,} ¹ + (X ²² − X · p ² _{, •} · p _{• ,} ² ) ²

X · p ² _{, •} · p _{• ,} ² ∼ χ ² (1)

つまり，列効果と行効果が独立であるとき，上の統計量が自由度１のカイ二乗

分布に従う．

問題

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■ 理科系，文科系学部に進学した学生それぞれ 5000 人を対象として，漢文に対す る苦手科目について調査した．次の表から理系文系間に差はないと言うことは できるでしょうか？

Table 4: 文理別，漢文への好き嫌い

好き 嫌い 計

文系 1,600 3,400 5,000

理系 1,500 3,500 5,000

計 3,100 6,900 10,000

２次元分割表

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Table 5: 文理で好みに差がないときの期待度数

好き 嫌い 計

文系 1550 3450 5,000

理系 1550 3450 5,000

計 3,100 6,900 10,000

問題

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0 好みに差がないとき，調査対象から一人の人を選ぶとき，その人が『文系であ るか理系であるか』という事象と『好きか嫌いか』という事象は独立になる

◆ 文系である確率，理系である確率，好きである確率，嫌いである確率はそ れぞれ

p ¹ _{, •} = 5000

10000 = 1

2 , p ² _{, •} = 5000

10000 = 1

2 , p _{• ,} ¹ = 3100

10000 = 31

100 , p _{• ,} ² = 6900

10000 = 69 100

◆ 文系であるか理系であるか』という事象と『好きか嫌いか』という事象は 独立であると仮定の下でのそれぞれのセルの期待度数は

(1,1) ^セル : 10000 × p ¹ _{, •} × p _{• ,} ¹ = 1550, (2,1) ^{セルも同じ結果}

(1,2) ^セル : 10000 × p ¹ _{, •} × p _{• ,} ² = 3450, (2,2) ^{セルも同じ結果}

問題

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1 ^帰無仮説 H ⁰ ：漢文の好みに文理間で差はない，対立仮説 H ^{1 ：差がある．}

2 有意水準は問題から５％と与えられている．

3 検定統計量は 先ほどの式 を用いて

◆ ^帰無仮説 H ^{0 が正しいとき，} 自由度１のカイ二乗分布 に従い，

◆ ^対立仮説 H ^{1 が正しいとき，}

自由度１のカイ二乗分布より大きい値が出やすい ．

4 有意水準が５％なので，棄却域は (3.84, ∞ ) ^となる．

問題

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4 有意水準が５％なので，棄却域は (3.84, ∞ ) ^となる．

5 ^{検定統計量の値は，}

(1, 600 − 1, 550) ²

1, 550 + (3, 400 − 3, 450) ² 3, 450

+ (1, 500 − 1, 550) ²

1, 550 + (3, 500 − 3, 450) ²

3, 450 =  4.675 

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