問題２：解答例（仮説検定 H 0 : µ X = µ Y , H 1 : µ X < µ Y のタイプ）
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
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同校の昨年度の平均は 5 人について調べたところ平均値は 135 点，分散値は 140 で
平均の差：図解
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
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‑8 ‑6 ‑4 ‑2 0 2 4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
x
H
0
:µ = µ
0が正しい
z = ‑1.64
‑8 ‑6 ‑4 ‑2 0 2 4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 H
1
が正しい： µ < µ
0H
1
が正しい： µ << µ
0H
1
が正しい： µ <<< µ
0‑8 ‑6 ‑4 ‑2 0 2 4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
問題２：解答例（仮説検定 H 0 : µ X = µ Y , H 1 : µ X < µ Y のタイプ）
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
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同校の昨年度の平均は 5 人について調べたところ平均値は 135 点，分散値は 140 で あった．変化はあったか？
4 有意水準が５％なので，棄却域は（ −∞ , − 1.64 ）となる．
5 検定統計量の値は，
t = 127 - 135 q
142 / 5+ 140/5
= -1.065
という結果から棄却域に 含まれない ．したがって帰無仮説 H 0 : µ X = µ X は 棄却されないので ，この学校の平均点は昨年同様であると
言える（否定できない） ．
問題３：仮説検定（母集団比率）
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
母集団比率の推定
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
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■ 母集団（母集団比率 p ）
■ 標本： { X 1 , X 2 , . . . , X n }
■ 標本平均
X ¯ = 1 n
n
X
i =1
X i (6)
■ 回答が１か０なので，結局は１と回答した人の割合になっている
■ これらは母集団比率 p の良い推定値（傾向的には偏りがない）を与える．
復習：標本分布３
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
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特に比率の場合は，分散の与え方に特徴があり，
■ 母集団比率 p を分母にそのまま用いる場合：
X ¯ − p
p p(1 − p)/n ∼ N (0, 1) (7)
■ 分母も推定値で置き換える場合：
X ¯ − p
p X ¯ (1 − X ¯ )/n ∼ N (0, 1) (8)
問題３：解答例（仮説検定 H 0 : p = p 0 ， H 1 : p < p 0 のタイプ）
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
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■ 内閣を支持するかどうかについて，無作為に 500 人に対して調査を行った．そ の結果 218 人が支持すると回答し， 282 人が支持しないと回答した．この結果 から支持率が５０％未満であるといえるかどうかを有意水準５％の仮説検定に よって確認してください．
1 真の支持率（母集団比率）を p とし，帰無仮説 H 0 : p = 0.5 ，対立仮説 H 1 : p < 0.5 とする．
2 有意水準は問題から５％と与えられている．
3 検定統計量を Z = X ¯ − 0.5
s
0.5 · (1 − 0.5)/n
とすると，この検定統計量は
■
帰無仮説 H 0 が正しいとき， 近似的に標準正規分布 に従い，
■
対立仮説 H 1 が正しいとき， 負の値を取りやすい傾向がある ．
問題３：解答例（仮説検定 H 0 : p = p 0 ， H 1 : p < p 0 のタイプ）
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■ 内閣を支持するかどうかについて，無作為に 500 人に対して調査を行った．そ の結果 218 人が支持すると回答し， 282 人が支持しないと回答した．この結果 から支持率が５０％未満であるといえるかどうかを有意水準５％の仮説検定に よって確認してください．
4 有意水準が５％なので，棄却域は （ −∞ , − 1.64 ） となる．
5 検定統計量の値は，
z = 218/500 − 0.5 q
0.50 · (1 − 0.50)/500
= -2.86
という結果から棄却域に 含まれている ．したがって帰無仮説
H 0 : p = 0.5 は 棄却され ，内閣支持率は５０％を割り込んだと 言える ．
問題３解答図解（仮説検定 H 0 : p = p 0 ， H 1 : p < p 0 のタイプ）
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‑8 ‑6 ‑4 ‑2 0 2 4
0.00.10.20.30.4
x
H
0:
p
=p
0
が正しい
z = ‑1.64
‑8 ‑6 ‑4 ‑2 0 2 4
0.00.10.20.30.4
H
1
が正しい：p < p
0
H
1
が正しい：p << p
0
H
1
が正しい：p <<< p
0
‑8 ‑6 ‑4 ‑2 0 2 4
0.00.10.20.30.4
問題４：分割表の検定
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２次元分割表
試験について 問題１：確率変数の復習 問題２：標本分布・信頼区間・仮説検定（母集団平均） 問題３：仮説検定（母集団比率） 問題４：分割表の検定
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