growth difeq Recent site activity Keishun Suzuki, 鈴木慶春

鈴木 慶春（千葉大学法政経学部）

入門基礎マクロ経済学

Introductory Macroeconomics

2015_{年12月17日}

第9回 経済成長と差分方程式

第4部：経済成長

1

• なぜ貧しい国と豊かな国が両方存在するのだろうか？

→ これに答えるのが経済成長理論（Economic growth theory）

イントロダクション ^●○○

夜の衛星画像（出典:NASA）

2

イントロダクション

経済成長の威力（停滞の潜在的損失）

3

○●○

• 「経済成長」はどれほど重要な問題か？

• ある本の以下の文章を読んでみよう：

「この国の出生時点での平均寿命は50年を下回り、1歳にな るまでに10人に1人は死亡してしまう。90%以上の家庭に は電気が無く、もちろん冷蔵庫も電話も自動車も無い。教 育面では、高校を卒業する成人は10%にも満たない…」

• この記述はどこの国に関する文章だろうか？

→ 答えは アメリカ（19世紀末）

イントロダクション

経済成長理論への招待

4

○○●

• 経済成長理論…一国のGDPの時系列を描写するモデル

例）ソローモデル、最適成長モデル、内生的成長モデル

• ⁴⁵ 度線モデル…ある一時点でのGDPがどのように決ま

るかを描写する経済モデル

→ 経済が時間を通じてどのように変化していくのかは不明

→ これに代わる別のフレームワークが必要

→ まずは理論を勉強する前に、世界が経験した過去の

経済成長の事実を見ていこう

4.1 _{経済成長の事実}

データの出典

5

●○○○○○○○○○

• アンガス・マディソンによる“Maddison Project Database”

http://www.ggdc.net/maddison/maddison-project/home.htm



^AD1～2010にかけての世界各国のGDPデータ



このデータは1990年のアメリカの価格で計算したもの

→ つまり購買力平価(PPP)かつ実質GDP

•

経済成長史に関心のある人は：



^A.マディソン「世界経済史概観 紀元1年～2030年」, 岩波書店



^D.コイル「GDP――小さくて大きな数字の歴史」, みすず書房



^D.アセモグル&J.ロビンソン「国家はなぜ衰退するのか:権力・ 繁栄・貧困の起源」, 早川書房

0 2,000,000 4,000,000 6,000,000 8,000,000 10,000,000

1600 1700 1800 1900 2000 2100

4.1 _{経済成長の事実}

1600 年～現在の世界各国の経済規模

6

○●○○○○○○○○

米国

中国

日本 英国

エチオピア

実質GDP（ある年次の購買力平価で計算, ドル表記）

4.1 _{経済成長の事実}

経済成長はごく最近のできごと

7

○○●○○○○○○○

• 数世紀前まで人類は、現在のエチオピアとさほど変わら

ない極めて貧しい生活を送ってきた。



古代ギリシャや古代ローマにおける賃金と、15世紀の英 国と17世紀のフランスの賃金は、実はほぼ変わらない

• 成長が始まったタイミングは国ごとで異なる（次図）



まず英国で始まり、その後に米国で起きた



日本は20世紀に入ってから。中国はここ数十年



エチオピアは少しは成長してはいるが他の国のように

「貧困からのテイクオフ」は起きていない

4.1 _{経済成長の事実}

1 _{人あたりGDPの推移}

8

○○○●○○○○○○

1870 1913 1950 1973 2003 イギリス ^{3,190 4,921 6,939 12,025 21,310} アメリカ ^{2,445 5,301 9,561 16,689 29,037} フランス ^{1,876 3,485 5,271 13,114 21,861}

日本 ^{737 1,387 1,921 11,434 21,218}

メキシコ ^{651 1,732 2,365 4,853 7,137}

アフリカ平均 ^{648 908 889 1,387 1,632}

中国 ^{530 552 448 838 4,803}

世界平均 ^{884 1,526 2,113 4,091 6,516}

4.1 _{経済成長の事実}

経済成長に関する事実

9

○○○○●○○○○○

1. 1 人あたりGDPの水準や成長率は国ごとで異なる

2. 世界の貧富の差は拡大している

3. それぞれの国は3つのグループに分けられる

先進国：経済成長に既に成功したグループ

 アメリカ、ヨーロッパの多くの国、日本など

新興国：いま高成長の最中であるグループ

 中国、インド、1960年時点の日本など

貧困国：まだ経済成長できていないグループ

 タンザニア、エチオピア、シエラレオネなど

4.1 _{経済成長の事実}

歴史的メッセージ：貧富は逆転しうる

○○○○○●○○○○

• ある国の世界経済におけ

る地位は不変ではない

• いま貧しい国でも、その

うち急速に経済成長する

可能性がある



^{GK法という方法を使っ}

て購買力平価で実質GDP を推計すると、日本の経 済規模は既にインドに抜 かれている

0 1,000,000 2,000,000 3,000,000 4,000,000 5,000,000 6,000,000 7,000,000 8,000,000 9,000,000

1950 1970 1990 2010

実質GDP（購買力平価で計算）

中国

日本

インド

10

4.1 _{経済成長の事実}

歴史的メッセージ：貧富は逆転しうる

○○○○○○●○○○

0 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000 16,000 18,000 20,000

1900 1950 2000

1_{人あたりGDP}

（購買力平価で計算）

^• 豊かな国でも相対的貧困国

に転落する可能性がある

例）アルゼンチンは19世紀 末は世界全体で見ても豊か な国だった

 母をたずねて三千里



しかし現在は1人あたり GDP_{が60位前後（日本の} 1/3_{程度に過ぎない）}

イタリア

アルゼンチン

11

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2

1870 1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010

-0.25 -0.15 -0.05 0.05 0.15

1870 1890 1910 1930 1950 1970 1990 2010

4.1 _{経済成長の事実}

先進国の間でも平均成長率は異なる

○○○○○○○●○○

アメリカの経済成長率 日本の経済成長率

12

4.1 _{経済成長の事実}

成長トレンド

○○○○○○○○●○

•

短期的にはトレンドからの乖離（景気変動）がある



景気変動論は本講義では扱わない

•

長期的には経済は成長トレンド（潜在成長率）に従って動く



長期的趨勢に注目するのが経済成長理論

時間

log GDP ^ある国の_GDPの

推移

13

4.1 _{経済成長の事実}

まとめ：我々が考えるべき問題

○○○○○○○○○●

• 経済成長に成功した国とそうでない国の違いは？

• 国同士の貧富の差が拡大している要因は何か？

• そもそも経済成長は何が原動力となって起きるのか？



貧困国が経済成長するには？（→ 開発経済学）

• 経済成長は永遠に可能なのだろうか？

→ これらの問題を考える基礎として本講義ではソローモデル を学ぶ（次回）

→ 今回の残りはソローモデルを学ぶための数学的準備

₁₄

4.2 複利計算（差分方程式）

複利の計算

●○○○○○○○

• アメリカの1人あたり実質GDPは1870年から2003年に

かけて10倍以上に増えた:$2,445→$29,037



¹³³年かけて(約)年率1.878%で経済成長した

• 1870_年は$2,445

• 1年後には$2,445×1.02

• 2年後には$2,445×1.02×1.02

• 3年後には$2,445×1.02×1.02×1.02、…

Q. 約年率2%で成長したアメリカの、1870年からt年後に おける1人あたり実質GDPはおよそいくらか？

→ t年後には

$2445 × 1.02 ^�

15

4.2 複利計算（差分方程式）

複利の計算

○●○○○○○○

Q. もしこれが年率1.5%だったら2003年のアメリカの1人 あたり実質GDPはいくらになっていただろうか？

•

計算式を立ててみよう:

•

実際の値を求めるのは手計算では大変なので、エクセル やグーグルの検索窓などを使うのが良い

�年後の数値＝初期値×(1+成長率)

^�

※経済成長率が2%なら上に「成長率＝0.02」を代入

複利計算の公式

16

4.2 複利計算（差分方程式）

数式で表そう

○○●○○○○○

•

t年における1人あたりGDPを��と書き、年率の経済成長率を

�としよう。（� = 0.05なら経済成長率5%）

•

このとき、翌年のt+1年における1人あたりGDPは

��+1 ⁼ ��^{(1 +} �)

•

同様に、さらに翌年のt+2年における1人あたりGDPは

�_�+2 ⁼ �_�+1^{(1 +} �)

�_�+1に代入すると�_�+2 ⁼ ��^{(1 +} �)²

•

より一般的に書くと、t年からn年後の1人あたりGDPは

��+� ⁼ ��^{(1 +} �)^�

17

4.2 複利計算（差分方程式）

より数学的に：1階の差分方程式

○○○●○○○○

•

ある変数のt期における値を��とし、次の期における値�_�+1は 次のルール（差分方程式）によって定まっているとしよう。

�_�+� ⁼ ��� ⋯ (�)

•

これは変数xの値が、前期の値の�倍に増えることを表す。

�_�+1 ⁼ ���^, �_�+2 ⁼ ��_�+1 ⁼ �^���^,

��+3 ⁼ ���+2 ⁼ �^���

•

_{ある初期値�0} > 0が与えられているとき差分方程式(1)の解

（�期の�の値をパラメータだけで書いたもの）は以下となる

�

_�

⁼ �

^�

�

_�

18

4.2 複利計算（差分方程式）

練習問題

○○○○●○○○

•

ある家計がt期に持つ総資産額を�_�とし、資産収益率を一定の

� > 0とする。この家計は資産を取り崩すことは無く、資産収 益は全て再投資すると仮定する。

• t+1期に得る収益（財産所得）は�_��になる。

1. t期の資産額とt+1期の資産額の関係式を立てなさい。

2. 0期における資産（初期資産）を�₀ ^{> 0}とする。1で立てた 差分方程式の解を求めなさい。

19

4.2 複利計算（差分方程式）

経済成長率が一定なのはどっち？

○○○○○●○○

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

0 5 10 15 20 25 30

経済A 経済B 時間

GDP

20

4.2 複利計算（差分方程式）

Rule of 70

○○○○○○●○

ある変数が年率�%で増加しているとする。�が小さい値で あるとき、この変数が2倍になるには約��/�年かかる

70 年ルール（Rule of 70）

• 複利を概算する便利な方法として以下がある：

Q1. いまGDPが100で年率2%で成長している経済を考え るとGDPが200になるのは何年後だろうか？

Q2.その概算が正しいことを示すには、どのような計算式 を立てれば良いだろうか？

21

両辺で自然対数を取ると、

ln 2 + ln _�0 = ln _�0 + � ln(1 + �/100)

⟺ ln 2 = � ln 1 + �/100

ここで近似式ln2 ≅ 0.7,また ln 1 + �/100 ≅ �/100より、 代入して� ≅ 70/�を得る。

4.2 複利計算（差分方程式）

Rule of 70 _の証明

○○○○○○○●

• _{�0を初期値とする変数��}が年率�%で増加しているとすると

�� ⁼ �₀^{(1 +} �/100)^�

→ 2�₀ ⁼ �₀^{(1 +} �/100)^�を満たす�が、ほぼ70/�なら良い

※ln� ≡ log� �であり, eはネイピア数。lnはlog naturalの意

²²

4.3 _{数列の収束値}

収束値を調べよう

●○○○○○

• _{差分方程式�}

_�+1

= _��

_�

_{の解である数列�}

_�

= _�

^�

_�

₀

_は、どこ

かの値に収束することはない（発散する）

• しかし、解となる�がどこかの値に収束（Convergence）

するような差分方程式も存在する。例えば

�

_�+1

⁼ �

_�¹²

− _{16 �} ¹

_�



^{ここで初期値を�}0 ^{= 0.1とする。}



このとき、 �の値は0.1から時間を通じてどのように動く だろうか？どのような値に収束するのだろうか？

→ エクセルで計算してみよう

₂₃

4.3 _{数列の収束値}

エクセルで変数xの動きを見よう

○●○○○○

(1) A列を時間t、B列をtに おけるxの値とする

(2) セルA2に0、A3に1、 B2_{に初期値0.1を代入} (3) セルB3には差分方程式

「=B2^(1/2)-B2/16」 を代入

(4) セルA3とB3をドラッグ で範囲選択し、右下の

■にカーソルを合わせ てから下へドラッグ

24

4.3 _{数列の収束値}

数値的に収束先を求めよう

○○●○○○

• この差分方程式によって定まる�_�は、 0.1からスタートして、最終的に約 0.9あたりに収束することが分かる

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 5 10 15

25

4.3 _{数列の収束値}

初期値と経路

○○○●○○

• 初期値を色々変えても最終的には同じ値に収束する

• ただし収束するまでの経路が異なる

-0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5

0 2 4 6 8 10

x0=0.1 x0=0.5 x0=1 x0=1.5 ₂₆

4.3 _{数列の収束値}

解析的に収束先を求めよう

○○○○●○

• エクセルを使って収束するらしいことを示したが、一体

どの値に収束するのか厳密な数値は求められていない

Q. 次の差分方程式の解となる数列の収束値は？

�

_�+1

⁼ �

_�¹²

− ₁₆ ¹ �

_�

→ これは難しくない関数形なので計算可能。

 ^収束値を �とすると収束先では�

^� _�+1

⁼ �

_�

⁼ ��が成立。

→ つまり差分方程式の�

_�+1

^, �

_�

に �を代入して、

^�

�について ̅

解けば良い ₂₇

4.3 _{数列の収束値}

収束値の計算と練習問題

○○○○○●

• よって差分方程式に収束値 �を代入： _̅

� = ��

� ¹²

− ₁₆ ¹ �� ⟺ 17 ₁₆ �� = ��

¹²

⟺ ��

¹²

^{= 16} ₁₇

⟺ ̅� =

¹⁶₁₇ ²

≅ 0.88581…(答)

Q. 次の方程式についての収束値

�, _̅ � ^̅

はいくらだろうか？ ただし�₀ ^{> 0,} �₀ ^{> 0}とする。

(1) _�

_�+1

_{= �}

_�¹³

_{− 0.5�}

_�

(2) _�

_�+1

_{= 0.5 �}

_�^0.5

_{− 0.2�}

_�

28

まとめ

今後の講義スケジュール

29

第10回講義「簡略版ソローモデル」



準備として人口成長を捨象した簡略版のモデルを学ぶ。



今回学んだ数学が必要になるので授業前に復習すること 第11回講義「ソローモデル」



この講義で最も重要なモデルであり、中級マクロや応用科 目でも必要となるモデルなので、確実に習得すること

第12回講義「経済成長の決定要因」



ソローモデルを用いて、経済成長の原動力とは何か、一体 どうすれば経済規模が大きくなるのか、などを学ぶ