数 学 科 ( 数 学Ⅲ ) 学 習 指 導 案 １ 単元名 第５章 積分法とその応用 ２ 単元設定の理由 単元･題材 観 積分法は科学技術の分野では広い応用性をもつものであるが、その応用のひとつひ とつを分析して考えると、図形の面積、体積などを求める計算、速度、加速度などの 物理的な計算など、基本的な事項に帰着される場合が多い。本章では、第２章までで 学んだ、微分法の逆演算としての不定積分をはじめとして、定積分の計算方法、図形 の面積、体積を求める計算や、それらを応用していくことを学習する。 生 徒 観 このクラスは普通科標準クラスである。理系科目には興味・関心が強いが、発展さ せた内容や、複雑な計算となるとやや理解に苦しむ面もある。授業中に積極的に質問 を行う生徒もいるが、全体的に指名しなければあまり発言しない。男子が多いクラス ではあるが、女子も元気がよく、授業もスムーズに進められる。数学Ⅱの微分・積分 の内容については理解ができており、数学Ⅲの微分法も基礎的な内容についても定着 している。 指 導 観 分割授業のため、２５名という少人数で授業を行い、生徒一人ひとりに、個々の状 況に応じた指導を行う。積極的に発言することを促し、発問を多く取り入れて、生徒 が参加しているという実感が得られる授業を展開する。コンピュータ画面をスクリー ンに表示したり、実物を作ったりしながら、視覚的に理解させることを取り入れた授 業を行う。 ３ 単元の指導目標 ○ いろいろな関数の不定積分を基本的な関数の不定積分に帰着させて計算できるようにする。 【表現・処理】 ○ 置換積分法、部分積分法を用いて、いろいろな関数の積分を求めようとする。 【関心・意欲・態度】 ○ 定積分に関しても数学Ⅱで学んだ基本的性質を土台にして、置換積分法、部分積分法を用いて 計算できるようにする。 【表現・処理】 ○ 定積分と区分求積法との関係を調べ、数列の和の極限値を、積分法を用いて求められるように する。 【数学的な見方や考え方】 ○ 関数の大小関係と定積分の大小関係について調べ、不等式の証明に利用できることに気付かせ る。 【数学的な見方や考え方】 ○ 定積分を用いて、図形の面積や立体の体積を求めたり、回転体の体積も計算できることを理解 させる。 【知識・理解】 ４ 単元指導計画 単元の配当時間（２３時間） 第 1 次 微分法の逆演算としての不定積分の計算を行い、置換積分法、部分積分法を理解する。 ７時間 第２次 定積分の計算を行い、数列の和の極限や、不等式の証明を行う。 ８時間 １ 定積分の基本的性質を理解し、計算する。 （１時間） ２ 置換積分法、部分積分法を用いて定積分を計算する。 （３時間） ３ 区分求積法を理解する。また、不等式の証明を、定積分を用いて行う。（３時間） 本時３／３ ４ 補充問題を解く。 （１時間） 第３次 図形の面積、立体の体積を、定積分を用いて計算する。 ７時間 第４次 演習問題を解く。 １時間
５ 本時の指導目標 不等式の証明を、定積分と関数の大小関係を用いて行う。常に図形的に考え、面積を意識しながら不 等式を証明していく。 ６ 指導上の留意事項 全体のグラフと、拡大したグラフ２つを用いて、生徒が不等式を図形的に理解できるように指導する。 コンピュータとプロジェクターを用いてより正確に不等式と面積の関係を理解する。 ８ 展開 学習内容 学習活動 指導上の留意点 教 材 形 態 時 間 評価 導 入 定積分と不等式 本時の内容を確認す る。 区分求積法とは異なった面 積の和の考え方をすること に注意する。 教 科 書 一 斉 ５ 意欲的に聞いてい るか。 （関心、意欲、態度） 展 開 定積分と不等式 不等式の証明① 例題１０ 例題１０を解く。 例題１０ 積分ができない数式 は積分ができる数式 との関係でおよその 値が出ることを知る。 （１）は前回の宿題として 板書している ものを利用す る。 （２）は図形的に面積との 関係を意識しながら説明す る。 教 科 書 一 斉 10 不等式の証明が行 えているか。 （知識、理解） （表現、処理） 関数の大小関係と、 積分の関係が図形 的に理解できるか。 （数学的な見方・考 え方） 練習２８ 練習２８を考える。 少しの間考えさせ、例題と 同じようにできることを確 認し、宿題にする。 教 科 書 個 ５ 同じようにできる ことに気づいてい るか。（数学的な見 方・考え方） 不等式の証明② 応用例題５ 応用例題５を解く 応用例題５ 全体の図と部分の拡大図を 用いて図形の面 積として不等式 を理解させる。 教 科 書 教 科 書 一 斉 個 20 ｋ番目の面積を不等 式に結びつけられる か。 （数学的な見方・考 え方） 練習２９ 練習２９を考える。 練習２９から の極限が∞に発散するこ とが証明されることを確 認する。 ５ 習ったとおりに考え られているか。 （表現、処理） ま と め 本時のまとめと次 時の予告 本時のまとめをする。 次回は宿題の答合わ せと面積に入ること を知る。 教 科 書 一 斉 ５ 意欲的に聞いてい るか。（関心・意欲・ 態度）
