熊本大学教育学部紀要，自然科学 第60号，５１－５８．２０１１
四角形及び多角形への垂心のある種の拡張
伊
SomeExtensionofOrthocenterfOrQuadrilateralsorPolygons
Jin-ichilToH,JamsranBuYANT
（edviceeR O c t o b e r 3 , 2 0 1 1
）
Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｓｔｕｄｙｓｏｍｅｋｉｎｄｏｆｏｒthocenterfbrquadrilaterals、ForanyquadrilateralABCD，letEbethe i
n t e r s e c t i o n o f 2 d i a g o n a l s
・evorpeW d t h a t t h e 4 p e r p e n d i c u l a r s 廿oehtmo r t h o c e n t e r o f t r i a n g l e A B E , ( r e s p
､ B C E
，
C D E , D A E
）pDA,ＡeCD(resothelintＢ,ＢＣ）nt（oncurrearecint)．commonpohavethepointverthisMoreo coincideswiththeintersectionoftwolinesgoingthroughtheorthocentersofABC,ＡＣＤandgoingthroughthe
orthocente応ｏｆＡＢＤ,ＢＣＤ．
Ｋｅｙｗ０ｒｄＳnterhoceortgon,polyal,：aterril,qudetryeomaIygmentele
１．はじめに
三角形の垂心（三角形の３頂点からそれぞれ対辺に下した３垂線は一点で交わりその点を垂心という）につ いては古くから知られているが，垂心に関しては，日本の算額でも他の三角形の心よりは扱われる場合が少ない ように感じられるし，球面三角形では成立しないこともよく知られた事実である．また，昨年公表した論文［l］
においては，三角形と円から決まる点について議論したが,円が三角形の外接円の場合は垂心と一致するもので，
ある意味で三角形の垂心の拡張について論したものであるともいえる．
この論文では，四角形や多角形に対しても垂心に相当する点の存在の可能性を調べることを目的とし，以下の ような結果を得た．まず，四角形を２つの対角線によりその対角線の交点も用いて４つの三角形に分け，各三角 形の垂心から元の対辺に下した垂線が一点で交わる．
定理1．四角形ＡＢＣＤの対角線の交点をＥとするとき，三角形ＥＡＢの垂心からＣＤへ下ろした垂線，三角形 EBCの垂心からＤＡへ下ろした垂線，三角形ＥＣＤの垂心からＡＢへ下ろした垂線，三角形ＥＤＡの垂心からＢＣ へ下ろした垂線は１点Ｈ,で交わる．
また,四角形を対角線で２つの三角形に分ける場合,その分け方は二通りあり（対角線が二本であることより)，
各場合に２つの三角形の垂心を結ぶ２直線が得られるがこの交点は定理ｌの４垂線の交点Ｈ,と一致する．
定理2．四角形ＡＢＣＤに対し，三角形ABC，BCD，CDA，ＤＡＢそれぞれの垂心をＨｄ,Ｈｏ,Ｈｂ,Ｈ･とするとき，
直線HdHcとＨ‘Hbの交点は定理ｌの３垂線の交点Ｈ,と一致する．
更に，この点Ｈ１を一般化された垂心と呼ぶことにすると，以下のような多角形への拡張が考えられる．五角 形の場合,三角形と四角形に分ける分け方は４通りあり,各場合に三角形の垂心と四角形の一般化された垂心（定 理１，定理２のＨ１）を結ぶ５つの直線は一点で交わりこの点を５角形の一般化された垂心とみなす．すると一 般の多角形に対しても帰納的に一般化された垂心に当たるものが定義できる（定理3）
次に，円に内接する四角形に対して以下のような結果を得た．
定理４．円に内接する四角形ＡＢＣＤの対角線の交点をＥとする．三角形ABE,BCE,CDE,ＤＡＥの外心から辺 (
５１）
更に２つの予想についても述べる．
伊藤仁一・JamsranBuYANT
CD,ＤＡ,ＡＢ,ＢＣにおろした４垂線は一点Ｅで交わる．
定理５．円に内接する四角形ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡのそれぞれの中点から対辺におろした４垂線は一 点で交わる．
定理６．円に内接するＡＢＣＤ四角形の対角線の交点をＥとする．三角形ABE,BCE,ＣＤＥ,ＤＡＥの重心から辺 CD,ＤＡ,ＡＢ,ＢＣにおろした４垂線は一点Ｅで交わる．
最後に，三角形の重心，外心，垂心は同一直線上にあり，この直線はオイラー線と呼ばれることはよく知られ ているが，四角形についても一般化された垂心を定理２のように定義することに対応して，ある意味での重心，
外し､に相当するような点を同様に定義する場合において，三角形のオイラー線のアナロジーについて考察し，以 下の結果を得た．
定理8．四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ，ＢＤそれぞれの中点をＭ,Ｎとし，Ｅを対角線の交点，Ｇa,Ｇ,,，Ｇｃ，Ｇｄを それぞれ三角形ＢＣＤ，CDA，DAB，ＡＢＣの亜心，Ｑ,,０，，，０c，Ｏｄをそれぞれ三角形BCD，CDA，DAB，ＡＢＣ
の外心，Ｈ圏,Ｈｂ,Ｈｃ,Ｈｄをそれぞれ三角形ＢＣＤ，CDA，DAB，ＡＢＣの垂心，GaGcnGbGd＝ＧＩ,Ｏ､OcnObOd＝Ｏ,，
HaHcnHbHd＝Ｈ,とするとき，
l）点ＧＩ，Ｏ,,Ｈｌは一直線上にある．
2）２０１Ｇ,＝Ｇ,Ｈｌとなる．
5 ２
２．定理１の証明
ここで，以下の定理ｌの証明を与える．
定理1．四角形ＡＢＣＤの対角線の交点をＥとするとき，三角形ＥＡＢの垂心からＣＤへ下ろした垂線，三角形 EBCの垂心からＤＡへ下ろした垂線．三角形ＥＣＤの垂心からＡＢへ下ろした垂線．三角形ＥＤＡの垂心からＢＣ へ下ろした垂線．（まｌ点Ｈ,で交わる．
「』
証明：四角形ＡＢＣＤについて，対角線の交点をＥ’２つの対角線の中点をＭ,Ｎとして，三角形ＥＭＮの垂 心をＨとする．４つの三角形ＥＡＢ,EBC,ECD,ＥＤＡの垂心をそれぞれ，Ｘ,Ｙ;Ｚ,Ｗとする．このとき．四辺形
XYZWは平行四辺形となり，この平行四辺形の中心（対角線の交点）が，上記のＨとなる．このことは，ＸＹ
－ＬＡＣ,ＺＷ－ＬＡＣＹＺ上ＢＤ,ＸＷ－ＬＢＤとＭからＢＤに下ろした垂線がＸＷと平行で．ＸＹの中点を通ること 等から示される（次の図参照)．
四角形及び多角形への垂心 ３5
このとき，ＥとＸ,Ｙ;Ｚ,Ｗのそれぞれを結ぶと，垂心であったことから，各々，元の四角形ＡＢＣＤの１つの 辺と垂直となる．
また，Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅを，Ｈに関して点対称変換した点をＡＩ,Ｂ',Ｃ1,,1,Ｈ,とおくと，平行四辺形は点対称であ ることから，Ｈ,とＸ,Ｙ５Ｚ,Ｗのそれぞれを結ぶと，各々，四角形AiBIC1D1の１つの辺と垂直となる．ところが，
点対称移動で動かしたから，ＡＢＣＤの辺とAiB1CID1の辺は平行なので，Ｈｌは，Ｘ,Ｙ;Ｚ,ＷからＣＤ,ＤＡ,ＡＢ,ＢＣ
へ下ろした垂線上にある．
つまり，Ｈ１が題意の共通交点となる．
尚，この初等幾何的証明は演中裕明（兵庫教育大学）氏によるものである．勿論，定理２の証明のように座標 を用いて示すことも出来る．
3．定理２の証明
ここでは，まず以下の命題（複素座標も用いた垂心の表現公式）を紹介する．
命題．複素平面上の三角形ＡＢＣの各頂点の複素座標をa,b,ｃとするとき，垂心の複素座標ｈは h＝{(c-b)(ｃ－ａ＋b)百十(a-c)(ａ－ｂ＋c)５＋(b-a)(ｂ－ｃ＋a)5}／｛(c-b)百十(a-c)５＋(b-a)５｝
と表される．
証明：垂心を表わす複素数をｈとすると，ＡＨ－ＬＢＣより（h-a)／(c-b)＋(iT-ZI)／(5-5)＝０が成り立つ．
ＢＨ－ＬＡＣより（h-b)／(c一a)＋(１７－５)／(５－百)＝０が成り立つ．１丁を消去すれば，
ｈ＝{(c-b)(ｃ－ａ＋b)百十(a-c)(ａ－ｂ＋c)５＋(b-a)(ｂ－ｃ＋a)5}／｛(c-b)百十(a-c)５＋(b-a)5｝
を得る．
特に｜α｜＝|β｜＝|γ｜＝lのとき，ｈ＝α＋β＋γという簡単な形に帰着する．
定理2．四角形ＡＢＣＤに対し，三角形ABC，BCD，CDA，ＤＡＢそれぞれの垂心をＨｄ,Ｈ‘,Ｈｂ,Ｈ‘とするとき，
直線HdHcとHaHhの交点は定理ｌの４垂線の交点Ｈ,と一致する．
伊藤仁一・JamsranBuYANT
HS1
5 ４
‐
勿論，初等幾何的証明を見つけ出すことが期待されるが，複素座標を用いることは有用であり，［l］の最後の ページに書いた予想も複素座標を用いることによって，増田一男（前東京工業大学）氏によって示された
また．この一致した交点を四角形の一般化された垂心とここでは呼ぶことにする．
●恥
証明：四角形ＡＢＣＤを複素平而上に以下のようにとっても一般性を失わない．頂点Ａ,Ｂ実軸上，対角線の交点 Ｐを原点Oとし各頂点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄの複素座標をａ,ｂ,c,。とする．このときａ,ｃと更にb/dは実数となることに注
意する．また対角線の中点Ｑ,Ｒの複素座標はそれぞれ（a＋c)/２，（b＋d)/２となる．命題より三角形PQRの垂
心 Ｈ の 座 標 は
Ｈ＝０{(－＋(b(０2))/d－a＋(＋2)/c＋(b/２d)）百(十２)/5＋（＋(a２)/c－０＋(a)(２/c)－＋(b/２d)＋＋(50)/２3)
＋（(ｂ＋ｄ)/２－(a＋c)/2)((ｂ＋ｄ)/２－０＋(a＋c)／2)5}／｛(０－＋(bd)/2)(百十5)/２＋（(a＋)/２c－０)(5＋3)/２
＋（(b＋d)/２－(a＋c)/2)5｝
＝｛a＋8)((l/(b＋c)ｄ－ａ－ｃ(ｂ)＋ｄ－５－３)｝／｛a＋4)((l/(5＋C)ヨーｂ－ｄ｝)
＝(l/2)（ａ＋ｃ－ｂ－ｄ）
となる．よって，定理ｌの４垂線の交点の複素座標はａ＋ｃ－ｂ－ｄと表される（定理ｌの証明より)．
一方，三角形ABC,BCD,CDA,ＤＡＢの垂心Ｈｄ,Ｈａ,Ｈｂ,Ｈｃの複素座標は
Ｈｄ＝｛(ｃ(c-b)－ａ＋百b)十ａa-c)((－ｂ＋５c)＋b-a)(ｂ(－ｃ＋-b)百}/{(ca)5十c)５(a-＋5}＝(b-a)Ｘｄ/Ｙｄ Ｈａ＝｛(d-c)(ｄ－ｂ＋c)５＋(b一.)(ｂ－ｃ＋d)５＋(c-b)(Ｃ－ｄ＋b)3}/{(d-c)５＋(b-d)で＋(c-b)3}＝Ｘａ/YI1
Hb＝｛(a-d)(ａ－ｃ＋ｄ)５＋(c-a)(ｃ－ｄ＋a)３＋(d-c)(ｄ－ａ＋c)百}/{(a-d)５＋（ｃ－ａ)３＋(d-c)百}＝Ｘｂ/Ｙｂ Ｈｃ＝｛(b-a)(ｂ－ｄ＋a)ヨ＋(ｄ－ｂ)(ｄ－ａ＋ｂ)百十(a-d)(ａ－ｂ＋d)5}/{(b-a)３＋(d-b)百十(a一.)E}＝Ｘｃ/Ｙ･
となり，
Ｈ'＝｛(d-b)(ｄ－ａ＋ｂ)百十(a-c)(a-b+c)５＋(b-d)(b-c+d)５＋(c-a)(ｃ－ｄ＋a)３}／｛(d-b)可十(a-c)５
＋(b一.)５＋(c-a)３}＝Ｘ'／Ｙ′
とおくと，Ｘｂ＋Ｘｄ＝Ｘ'，Ｙｂ＋Ｙｄ＝Ｙ'であることに注意し，
(H'一Ｈｄ)／(Hb-Hd)＝(X'／Ｙ'一Ｘｄ/Ｙｄ)／(Xb/Ｙｂ－Ｘｄ/Ｙｄ)＝Ｙｂ/Ｙ′
の分母と分子ともに純虚数となることが確かめられるので，これは実数となり，点Ｈ',Ｈｂ，Ｈｄは同一直線上にある ことが分かる．同様に点Ｈ',Ｈｉ,,Ｈ･も同一直線上にあることが示される．従って，直線HaHoとHhHdの交点Ｈ′
の座標を計算すると
Ｈ'＝｛(d-b)((b＋d)(a-c)一a2-c2)＋(a-c)((a＋c)(５－３)一b5＋ｄ３)｝／｛(a-c)(b-d)＋(a-c)(５－３)｝
＝｛(d-b)(b＋ｄ－ａ－ｃ)＋(5-3)(a＋ｃ－ｂ－ｄ)｝／(b＋５－．－ﾖ）
＝ａ＋ｃ－ｂ－ｄ
となるのでＨと一致することが証明された．
四角形及び多角形への垂心 ５5
4．多角形への一般化
前節で，四角形の一般化された垂心が，四角形を２つの三角形に２通りに分けて，それぞれの場合に３角形の 垂心を結ぶ２直線の交点となることが示されたので，そのアナロジーとして一般の多角形のついても同様の点を 帰納的に定義する．即ち，五角形の場合は，三角形と四角形に分ける分け方は４通りあり，各場合に三角形の垂 心と四角形の一般化された垂心を結ぶ５つの直線は一点で交わりこの点を五角形の一般化された垂心とみなす．
六角形以上の場合も同様に定義できることを以下の定理で示す．
定理3．一般の、角形Ａ,A2…Ａｎに対して，対角線によって三角形とn-l角形に分割する仕方はｎ通りあり，そ の三角形の垂心とｎ－ｌ角形の上記の意味の一般化した垂心を結ぶｎ本の直線は１点で交わる．
証明：三角形ＡｌＡｎ.,Ａｎの垂心をＨとし，n-l角形ＡＩＡ2...Ａ､.,と、角形Ａ１A2…Ａｎの垂心に当たる点をそれぞれ H､.,とＨ,とおく．Ａｋ（ｋ=l,…､)，Ｈ､.,,Ｈの複素座標をak，ｈ､.,，ｈとおく．ここで一般の、角形に対して垂心に
当たる点Ｈｎの複素座標が以下のように与えられたと仮定して，定理のｎ本の直線の交点となることを帰納法に よって示す．
h n
= { Z
!
､ ( ( a k
､ l - a k , 1 ) ( a k , l - a k + a k f l ) 百,Z{/})k ( ( a k , l - a k + Ｉ風})
この分子をXpと分母をYⅧと表す.(即ちX､=Zﾛ((ak,l-ak.')(ak,l-ak+ak十Ｉ風),Y､=Z，((ak,l-ak寺！)百k))
一般に次のことが知られている．三点Ａ（a),Ｂ（b),Ｃ（c）が同一直線上にあることと（怪a)／(c-a）が実数であ ることは同値である．ここでＨの複素座標は命題より
h
= { ( a n - a n - , ) ( a n - a , + a n _ , ) Ｅna+,Ｉ.na-lＩa()n＋a-la( ) Z I n . , + ( a n . , 一a(),a n . ,
－ａ+百n)そa)I，ｌ.n_m＋a,na-i-lma風a(({/} +(an.,-a,厄}=X/Y
となり，この分子と分母をＸ,Ｙとおく．
以下で点Ｈ,Ｈ､.,,Ｈｎを同一直線上にあることを証明する．またak＝ak.,＋iak､2とおく．（ak.,とａｋ､2は実数で，ｉ は虚数単位を表す.）
Ｙｎ＝ｌ・,kＺka－a(ｌ()ﾛｚ2ａ､－.,1＋.－百+ｋkａ,k)a＝､a,ａ,ii+kｋ.-）kＺｋ12a.､(1｡+
＝,.Ｚ,.，ka( a k J - a k . , a k + , . ,
＋ka , 1 . 2 a k
､ ２2－､ka a k + 1 . 2
＋ai k . ,
､ 2 a k
・-l i a k . , , I a k , 2
＋ai k
､ 2 a k
､ 1 . , - i a k . , a k . ,
､ 2
）
＝kaＺ2.ｐ1,ｉka( . '
＋､ka 2 a k + 1 . l - a k , L l a k
､ ２al－､ka k + 1 . 2 )
＝2( i ) Ｚ2,Ⅷka( a k + 1 , l - a k
､ l a k
､ 1 . 2
）
Ｘ＝､ｌ,kＺ一a,(.),－ka+(k｡aａｋ＋百),.kaｋ
＝()2a-am( a
１，－l＋a百)2a＋i＋.iam-2ー2風一,-n'nnan,aaa((()＋)＋n!lna.aa-l面,)anl(aロ ー,-na( - a 2 ) ( a n . ,
－一２,,＋in,Eaa)(耐－a2a()２,.a－．na＋,百)＋,,a.mＸｍ－ｌ
= ( a n - a n . , ) ( a n - a , + a n . , ) 百a-la(+, n ) ( a l - a n . , + a n 風.na(+,. ,
－,.n(a),a 一ａｎ十瓦),!a.､X+､
＝Ｘ＋Ｘｎ－ｌ
Ｙｎ＝区ロｌ,ka(－ａｋkiZ)l+
＝-na( a 2 ) Z i ,
＋,na( ２,ka(－-百h)－＋in,Ea,..)n,､aa( ｌ－ａ２百百)＋),,a，.-､-一2n,-Yna(
= ( a n - a n . , ) 百)氏l-an+(a,i属l-aan,,+(.十Yp.,
＝Ｙ＋Ｙｎ－１
よりｈｎ＝Ｘｎ/Ｙｎ＝(Ｘ＋Ｘｎ.,)／(Ｙ＋Ｙｎ.,）となる．従って，
（／)h-nh１.n(h－＝)hＹ/nX(ｎ－ＸＹ/／)Ｙ/,.X､(１.n－ＸＹ/＝)（Ｘ(＋Ｘｎ／).,Ｙ(＋Ｙ－),.､Ｘ/Ｙ／)Ｙ,/.nX(－,.､ＸＹ/）
＝１）-／､)lＹ'Ｙ2k.／.(.aＺ､z＋1(､+ⅢkkＹaa(l１､k，a-．やlk.a１12＝､)Ｚk(aｎ('. a
k ,
! a k + 1 . 2 )
）
は実数となり３点Ｈ,Ｈ､.,,Ｈｎが同一直線上にあることが証明された．他の三角形とn-1角形との分割についても
同様である．
５．円に内接する四角形の垂心
ここでは円に内接する四角形についてその垂心の性質を考察する．
5
６ 伊藤仁一・JamsranBuYANT
定理４．円に内接する四角形ＡＢＣＤの対角線の交点をＥとする．三角形ABE,BCE,CDE,ＤＡＥの外心から対辺 CD,ＤＡ,ＡＢ,ＢＣにおろした４垂線は点Ｅで交わる．
証明：三角形ＤＡＥの外心をＯ，直線ＯＥの三角形ＤＡＥの外接円との交点をＦ，辺ＢＣとの交点をＨとおく．
△ＡＥＦ＝△ＣＥＨであり，△EFA＝とＥＤＡ＝乙ＨＣＥとなる．とＡＥＦ＋４EFA＝汀／２となるので，とEHC＝汀/２と なることが分る．他は同じように証明される．
定理５．円に内接する四角形ＡＢＣＤの辺ＡＢＢＣ，ＣＤ，ＤＡの中点から対辺におろした４垂線は一点で交わる．
８
証明：単位円上に半時計まわりにＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄと並んでいるとして．それぞれの位置ベクトルをａ,ｂ,c,ｄとする．
単位円上にあるのでｌａｌ＝ｌｂｌ＝|Ｃｌ＝ｌｄｌ＝ｌとなる．また，辺ＡＢの中点は（a＋b)／２である．さらに，
(c＋d）（c-d)＝｜ｃｌ２－ｌｄｌ２＝０より，ｃ＋ｄは辺ＣＤに垂直な方向ベクトルを表している．よって，ＡＢの中 点から対辺ＣＤに下ろした垂線はｔをパラメーターとして，（a＋ｂ)／２十ｔ(ｃ＋ｄ）と表すことができる．この直 線は点Ｙ＝(a＋ｂ＋Ｃ＋ｄ)／２を（t＝I/2のときに）通る．
この式はa,b,c,ｄに関して完全に対称なので，いずれの辺の中点から対辺に垂線を下ろしても，共通してこの 点を通ることが示される．
この定理５の２つの対角線が直行する場合，４垂線は対角線の交点で交わり，この事実はBrahmaguptaの定理 として古くからよく知られているので，定理５もおそらく知られているであろう．
定理６．円に内接するＡＢＣＤ四角形の対角線の交点をＥとする．三角形ABE,BCE,CDE,ＤＡＥの重心からそれ ぞれ辺ＣＤ,ＤＡ,ＡＢ,ＢＣにおろした４垂線は点Ｅで交わる．
証明：三角形ＡＢＥの重心をＧ,辺ＡＢの中点をＭとおく．定理５の点Ｙを点Ｅと結ぶ．ＥＧ:ＧＭ＝２：ｌより，
Ｇから辺ＣＤにおろした垂線は直線ＭＹと平行になる．さらに．線分ＥＹをＥＸ：ＸＹ＝２：ｌと内分する点Ｘで 交わる．他も同じようにこの点Ｘを通ることが示される．
四角形及び多角形への垂心
6．四角形のオイラー線
Ａ
Ｅ Ｅ Ｅ
〃Ｉレベー。
､ Ｙ
) ｒ●◎
､ Ｙ
) ｒ●◎
； Ｃ
5 ７
証明：定理１と定理７によって，Ｈ１はＥをＨに関して点対称変換した点となる．
ｑＧｃｎＢＤ＝Ｌ,ＧｂＧｄｎＡＣ＝ＫとするとＥＫＧｌＮは平行四辺形になって，重心の性質からＥＫ＝２KＭ,ＥＬ＝２ＬＮ となる．従って，点Ｇはこの平行四辺形の中点になる．つまり，Ｇ１はＥをＧに関して点対称変換した点となる．
三角形の重心，外心，垂心は同一直線（オイラー線）
一般化された垂心を定理２のように得られることより，
義すると，以下の定理が得られる．
上にあることはよく知られているが，四角形についても ある意味での重心，外し､に相当するような点を同様に定
定理8．四角形ＡＢＣＤの対角線ＡＣ，ＢＤそれぞれの中点をＭ,Ｎとし，Ｅを対角線の交点，Ｇａ,Ｇｂ,Ｇｃ,Ｇｄをそ れぞれ三角形BCD,CDA,DAB,ＡＢＣの重心,０．，０b,Ｏｃ,Ｏｄをそれぞれ三角形BCD,CDA,DAB,ＡＢＣの外心，
Ha,Ｈｂ,Ｈｃ,Ｈｄをそれぞれ三角形BCD，CDA，DAB，ＡＢＣの垂心，GoGcnGbGd＝Ｇ,,OaOcnObOd＝Ｏ,，
HaHcnHbHd＝Ｈ１とするとき，
l）ＧＩ,Ｏ,,Ｈ１は一直線上にある．
2）２０，Ｇ,＝ＧＩＨ１となる．
勿論，証明から明らかなように，三角形ＭＮＥのオイラー線を拡張したものとみなすことも出来る．
7．終わりに
前回の論文［l］と同様であるが，これらの結果は全６巻の幾何学大辞典（[2]）には見当たらないが，初等 幾何には長い研究の歴史があり，どこかで知られている可能性がないとはいえないが，四角形についてもいろい OaN-LBD,OcN-LBD,ObM-LAC,ＯｄＭ－ＬＡＣよりとＥＭＯ,＝とENO１となる．
従って，四角形ＥＮＯｌＭは点Ｏを中心とする円に内接する．よって，０，はEをＯに関して点対称変換した点となる．
上記より，Ｇ１,Ｏ,，Ｈ１は一直線上にのって，２０，Ｇ,＝Ｇ１Ｈ１となり．証明された
タ グ
伊藤仁一・JamsranBuYANT
ろな興味深い性質も分かってきたので，ここにまとめてみた．また，教育上にも一般に広く知らしめる事は意義 があるものと考える．実際，この論文をまとめてから四角形のオイラー線に関しては［4］に公表されているこ
とを知ったが．別証明として発表することとする．また，図を描く計算機ソフトの発達により鮫近では，以前は 気付かなかったような幾何学的性質が見つけやすくなっているようにも思われる．
最後に垂心の代わりに内心から対辺に下した垂線に関する予想と完全四角形の場合についての予想を述べる．
予想ｌ：四角形ＡＢＣＤと対角線の交点からできる４つの三角形に対して，その内心から対辺（定理ｌの場合と 同様に）に下した４本の垂線が一点で交わるのは以下の２つの場合である．
a）四角形ＡＢＣＤは等脚台形である．
b）四角形ＡＢＣＤの２つの対角線が垂直で，１つは交点で二等分される．
夕 ダ ダ
予想2．完全四角形ＡＢＣＤの２辺の交点をＥ,Ｆ,Ｇとして,辺ＡＢ,ＢＣ,ＣＤ,ＤＡ,ＡＣ,ＢＤの中点をそれぞれＫ,Ｏ,Ｌ，
ＲＭＮとする．Ｅを三角形ＥＭＮの垂心に関して点対称変換した点をＨｃとする．同様にＨ約Ｈｇを定義するときＥ，
F,Ｇ,Ｈｅ,Ｈ胸Ｈｇの６点はある双曲線上にある．
軍、
１％、、Ａ グタ
, , , ' ｄｉｌｇ
ダ ダ
タ グ タ グ
5 ８
１１１１１２３４ｔ１１！
伊藤仁一，JamsmnBuyam：三角形と円から決まる点についての研究．熊本大学教育学部紀要，第59号・’1-18,(2010)．
岩田至康編：幾何学大辞典全６巻．補巻1,11,槙書店，1978．
コクセター箸（銀林浩訳）：幾何学入門（第２版)．明治図書，1982.
A
・Myakishcv:OntworemarkabIelinesreIatedtoaquadrilatcral,ForumGeom､Ｖｂｌ６(2006)，289-295
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参考文献
