" 数学発想ゼミナール # （改題）
１
直径をAB とする半円周上に一定の長さの弦がある．この弦の中点と，弦の両端の各点から直径 AB への垂線の足は三角形をつくる．この三角形は二等辺三角形であり，かつその三角形は弦の位 置にかかわらず相似であることを示せ． s （証明）弦の両端を X，Y とし，M を線分 XY の中点，C，D をそれぞれ X，Y から直径 AB への 垂線の足とする．また，M の直径 AB への垂線の足を N とする．このとき，N は 線分 CD の中点で あるから △CMD は二等辺三角形である． 三角形の形が弦 XY の位置によらず相似であることを示すために，4MCD が一定であること，ま たは 4XCM が一定であることを示せば十分である．これを示すために半円を含む円周と XC の延長 との交点を Z とする．このとき，C，M はそれぞれ線分XZ，線分XY の中点であるから，CMSZY であり，この結果 4XCM=4XZY を得る．ところが，4XZY は弧 XY に対する中心角の半分の 大きさであり，これは弦 XY の長さにのみ依存する． 弦 XY の長さは一定であるから，以上より4XCM は一定である。（証明終） A B X Y M N C D N Z A B X Y M C D t （証明） 弦の両端を X，Y とし，線分 AB の中点（半円の中心）を O とする． 弦 XY の長さが一定より，△OXY は弦 XY の位置によらず，常に合同な二等辺三角形であるか ら 4OXY=4OYX=a とおく． X から線分 AB への垂線の足を C とすると，4XCO=90, となる．さらに，線分 XY の中点を M とすると，△OXY が二等辺三角形であるので，4XMO= 90, である． よって，4 点 O，X，C，M は，OX を直径とする円周上にある． ゆえに，4MCN=4MXO =a同様に，Y から線分 AB への垂線の足を D とすると，4 点 O，D，Y，M は，OY を直径とする 円周上にあり，4MDO=4MYO=a
" 2012 JJMO 予選４番#
２
四角形 ABCD の辺 DA 上に点 E があり，直線 AB と EC は平行である．AB=3，BC=3 ， CD=5，DE=3，EA=2 のとき，EC を求めよ． ただし，XY で線分 XY の長さを表すものとする．3
3
5
2
3
A B D E s 辺 AB と辺 DC の延長線の交点を F， 辺 DA と辺 CB の延長線の交点を G とする． 四角形 ABCD は 直線 BD に関して線対称な図形であるので， C FC= GA であることがわかる． AFSEC より FC:CD=AE:ED=2:3 であるから，FC= 10 3 よって，GA=10 3 ABSEC より AB:EC=GA:GE=10 3 :8
10 3 +2 であるから，9
G 10 3 10 3 A B C D E2
3
5
3
3
EC=24 5 !!!!!! p" 1972 USAMO ２番# （改題）
３
A given tetrahedron ABCD is isoceles，that is，AB=CD ，AC=BD ，AD=BC． Show that the faces of the tetrahedron are acute-angled triangles．
（訳）
対辺の長さがそれぞれ等しい四面体ABCD がある．すなわち，AB=CD ，AC=BD ，AD=BC である． このとき，この四面体の面はすべて鋭角三角形であることを示せ． A B D C s
（証明）△ABD を固定し，点 C が AB=CD ，BD=AC のみを満たし ながら動くときを考える．このとき，BC が最大となるのは，4 点が同一 平面上にあり，点 C が AD に対して点 B と反対側にあるときであるが， これは平行四辺形であり，実際にはこの最大値は達成できない． すなわち，平行四辺形 ABDE をつくる点 E をとると，常に BE>BC が成り立つ． 以上のことに注意して，条件をすべて満たす四面体 ABCD を考える． 平行四辺形 ABDE において 2AB + 22 BD =2 AD +2 BE が成り立つ2 ので 2AB + 22 BD =2 AD +2 BE >2 AD +2 BC = 22 AD2 よって， AB +2 BD ＞2 AD2 これは，¦ABD が鋭角三角形であることを示している． 同様にして他の面もすべて鋭角三角形であることがいえる．（証明終）
u 平行四辺形 ABCD に対して 2AB + 22 BC =2 AC +2 BD が成り立ちます（parallelogram 2
law）．三平方の定理を用いれば簡単に示すことができるので、挑戦してみてください． t （証明）問題の仮定より，4 つの面はすべて合同であり，各頂点に集まる 3 つの角は，ひとつの面 の 3 つの角から成っていることがわかる。 M を線分 BC の中点とする．三角不等式により AM+MD>AD=BC=2MC また，△ABC6△DCB であるから，AM=DM である． よって，2MD>2MC，すなわち，MD＞MC これは，平面 BCD 内において BC を直径とする円の半径よりも MD の方が大きいことを示して いる．したがって，D はこの円の外側にあり，4BDC は鋭角である． 同様の議論を用いると，各頂点に集まる 3 つの角はすべて鋭角であることがわかる．（証明終）
四角形 ABCD において，AB=BC=CD かつ 4ACB=6,，4DBC=36, であった．
４
このとき，4ADBの大きさを求めよ． 36,
6,
A C D B s △BCD は BC=CD の二等辺三角形なので 4CDB=4CBD=36, 36, 36, 108, 60, A E C F D B また 4BCD=180,-36,-36,=108, となるので 2 点 E，F を，五角形 BCDEF が正五角形 となるようにとることができる． さらに，△ABC はAB=BCの二等辺三角形なので 4ABC=180,-6,- 6,=168, このとき △ABF は 4ABF=168,-108,=60, AB=BF であるから，正三角形である． E 以上のことから，六角形 ABCDEF は直線 AD に関 36, 36, 108, A C F D B して対称な図形であることがわかるので， 4ADC=108,%1 2=54, したがって 4ADB=4ADC-4BDC =54,-36, =18, !!!!!! p次の図において，x の大きさを求めよ．
５
36, 18, 24, 6, x A B C D 36, 18, 24, 6, x A B C D E C-s まず，点 E を，直線 AB に関して点 D と 同じ側に点 E があり，かつ△ABE が正三角 形になるようにとる． 次に，点 C-，D-，F を，直線 AB に関し て点 D と同じ側に点 D- があり，かつ五角形 BC-D-FE が正五角形になるようにとる． △ABD と △ABD- に注目すると， A B D-E F 30, 132, A B C-D E F 54, 24, 4BAD=4BAD-=30, 4ABD=4ABD-=132, 辺 AB は共通 一辺とその両端の角がそれぞれ等しいから △ABD6△ABD- したがって 2 点 D，D- は一致する. また，△ACD と △AC-D に注目すると 4CAD=4C-AD=24, 4CDA=4C-DA=54, 辺 AD は共通 一辺とその両端の角がそれぞれ等しいから △ACD6△AC-D したがって 2 点 C，C- は一致する. 以上から，五角形 BCDFE は正五角形である ことがわかるので，BC＝CD ゆえに，¦BCD は BC＝CD の二等辺三角形 であるから，求める角の大きさは" 1998 Bulgaria # （改題）
６
凸四角形 ABCD において AD=CD，4DAB=4ABC<90, であるとする．辺 BC の中点を M とし，直線 MD と直線 AB の交点を E とするとき， 4BEC=4DAC であることを示せ． s （証明） 4DAB=4ABC=a とし，直線 AD，直線 BC の交点を O とおく． 点 D を通り CB に平行な直線と AB との交点を S とすると 4DSA=4CBA より DS=DA=DC これと BMSSD から EM:ED=MB:DS=CM:CD これは，¦CDM において，4MCD の外角の 2 等分線が CE であることを示している， 直線 EC と直線 OD の交点を T とすれば，CT[ も4MCD の外角の 2 等分線であるから， 4DCT＝4OCT A S M B C T D E O ここで， 4DAC=4DCA=x !!!!!! ① 4DCT=4OCT=4BCE=y とおく．¦OAB と¦OAC の内角の和に それぞれ着目すると 2a+4AOB=180, 2x+2y+ 4AOC=180, これらから，x+y=a であるから x=a-y =4CBA -4BCE =4BEC !!!!!! ② ①，②から 4BEC=4DAC （証明終） A B C D u ¦ABC において， 4A の外角の 2 等分線が直線 BC と交わる 点を D とすると，AB：AC＝DB：DC が成 り立ちます． 逆に，直線 BC 上に AB：AC＝DB：DC となる点 D をとると，直線 AD は4A の外 角を二等分します． ※この問題は自宅学習用の問題です。道場の最後に解答を渡しますので、自宅で取り組んでください。
A S R Q P B O 右の図のように，点 A から円 O へ 2 本の接線を引き， 接点をそれぞれ P，Q とおく．さらに，直線 PQ 上の点 で円 O の外側にある点 B から円O へ 2 本の接線を引き， 接点をそれぞれ R，S とおく． このとき，直線 RS が点 A を通ることを証明せよ．
７
s A B R O P S Q （証明） 円の接線は，その接点と円の中心を結ぶ半径に 直交するから 4OPA＝4ORB[＝4OQA＝OSB＝90, である． A B R O P S Q U T また，線分 OA と線分 PQ の交点を T，線分 OB と線分 RS の交点を U とすると，対称性から OA5PQ，OB5RS であることがわかるので， 4OTP＝4OUR＝90, したがって，△OTP と △OPA はともに直角 三角形で，2 角がそれぞれ等しいから相似である． よって， OT:OP=OP:OA すなわち， OT･OA=OP …… ①2 同様にして，△OUR と △ORB は相似な直角 三角形であるから， OU･OB=OR …… ②2T U A B R O P S Q ③から，方べきの定理の逆の関係が成り立って いるので，4 点 T，A，U，B は，右図のように， 1 つの円周上にある． A B R O P S Q T U 4 点 T，A，U，B を通る円について， 4ATB ＝90, であるから，線分 AB は円の直径である． したがって， 4BUA＝90, また，UB5US であるから 4BUS＝90, 以上から，3 点 U，S，A は同一直線上にある． ゆえに，直線 US，すなわち直線 RS が点 A を 通ることが示された．（証明終） u A D B C P ◯ 方べきの定理 円の 2 つの弦 AB，CD の交点，またはそれらの 延長の交点を P とすると PA%PB=PC%PD が成り立つ。 ◯ 方べきの定理の逆 2 つの線分 AB，CD，または AB の延長と CD の 延長が点 P で交わるとき， PA%PB=PC%PD が 成り立つならば，４点 A，B，C，D は 1 つの円周 上にある。 ※この問題は自宅学習用の問題です。道場の最後に解答を渡しますので、自宅で取り組んでください
