博士論文審査報告書

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早稲田大学大学院基幹理工学研究科

博士論文審査報告書

論文題目

Study of knots using theories of nanowords and Khovanov homology

ナノワードやホバノフホモロジーを用いた結び目の研究

申請者

伊藤昇 Noboru ITO

数学応用数理専攻トポロジー研究

２０１０年２月

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本論文は２部構成で，第１部では主にナノワードを用いた曲線の研究，第２部

ではKhovanovホモロジーを用いた結び目の研究について論ずる．

ナノワ−ドの理論は Turaev ^{によって導入された．}Turaev ^{はトポロジーを応} 用し，ワードのなす半群にホモトピーの類似となる関係を入れ，曲線や結び目に対し普遍的な対象となるナノワードを定義し，その理論を構成した．ナノワードの理論ではジョーンズ多項式や kei の類似物が構成されている．本論文の最初の章では平面曲線の分類を考えた．平面曲線には Whitney の回転数による分類がある．

Arnold は結び目における Vassiliev 不変量の考え方と似たアプローチにより，回

転数による平面曲線の類をさらに細かく分類するための３つの基本不変量J⁺,J⁻, St を定義し，その理論を構成した．その後，long curve に対する基本不変量は，

Gusein-Zade とNatanzon，または Zhou と Zou，Panにより，また，wave front に対しては ArnoldやAicardi，Polyak 等により構成されているが，ここではこのような基本不変量をナノワードと双線形写像で書き表し，その一般化を考察した．

A ^{を集合とし，長さ} n^のワード w ^を写像 {1,2, . . . , n} → A ^{により定義する．}

また，ガウスワードを同じ文字がちょうど２回ずつ w の像に登場するワードのこととする．次にα^{を集合とし，}α ^にはα →α ^となるinvolution^と集合S ⊂α³ ^が固定されているとする．α-^{アルファベット} A^とは各 A∈ A^に対し，|A| ∈α ^が指定されている集合のこととし，ナノワードとは α-^{アルファベット} A ^と A ^上のガウスワード w の組のこととする．２つのナノワード (A, w₁) と(A, w₂) が同型であるとはf w₁ =w₂ かつ，全てのiについて |w₁(i)|=|w₂(i)|^{が成り立つような全} 単射 f が存在することである．

今特に αを{−1,1}とする．ガウスワードの文字に重み d(X) を考え，文字を単に X と書いたときにはd(X)を1 とし，X˙ と書くとき，d( ˙X)を2 とする．G をこのような重みつきガウスワードが生成するQ-線形空間，Wをナノワードが生成する線形空間とする．G×W→Qなる２つの双線形写像を考える．まず，v ^と w がガウスワードとして同型のとき (v, w) ^は ∏

Aはwの文字|A|^d(A) ^{とし，その他} の場合は0 とする．次に双線形写像 h ,i ^を

hv, wi:= ∑

uはwの部分語

(v, u) (1)

により定める．ここでlong curveLにナノワードw_Lを対応させることを考える．L の向きに沿って出会う交点ごとに文字を付し，その文字を左から並べる．但し，long

curveの交点は横断的に交わる２重点のみとする．交点での２つの接線が平面の向き

と同じ向きを定める場合は対応している文字A^に対し|A|=−1^{と定め，そうでな} いときは|A|= 1^{と定める．次に}f(t1, t2, t3, t4)^をht1X˙X˙+t2XXY Y +t3XY Y X+ t4XY XY, wLi^とし，LI2(L;s1, s2, s3, s4)^をf(s1, s2, s3, s4)−^s₂²f(1,2,2,2)^とする．

また，L ^{の基本不変量を} J⁺(L), J⁻(L), St(L) とする．このとき次が成り立つ．

1

(3)

定理 1 J⁺(L) =LI2(L;−1/2,1,−1,−3), J⁻(L) =LI₂(L;−3/2,1,−1,−3),

St(L) =LI2(L; 1/4,−1/2,1/2,1/2).

これにより，long curveの基本不変量がナノワードにより記述されることがわかった．

さらに，巡回同値を考えると閉曲線の基本不変量が，加えてカスプやcoorientation の情報を扱えるようにすることで，wave front の基本不変量が記述できた．また，

ワードの長さを長くすることにより，これらを体系的に一般化した．

次に，これらの不変量が有限型不変量になることを示した．有限型不変量とは，

結び目に対しVassiliev が導入したもので，３次元多様体や平面曲線にも拡張されている．一般の曲面上の滑らかな曲線に対して，ここでは以下のように定義する．

定義 1 曲線の特異点は横断的な２重点のみとし，特異曲線というときは曲線に対し(2)の左辺に登場する３重点と接点を許すものとする．曲線を Γとし，Γの曲面イソトピー不変量を ϕ とする．ϕ が n 次以下の有限型不変量であるとは，(2) によって拡張されたときに，３重点と接点を合わせてn+ 1個以上もつ任意の特異曲線に対して，ϕ の値が消えていることとする．

ϕ ( )

=ϕ ( )

−ϕ ( )

, ϕ

(

¡¡@

@ )

=ϕ (

¡¡@

@ 正

)−ϕ (

¡¡@

@ 負

) .

(2)

但し，(2) に表れる正負は，曲線の向きと任意に基点を取った時に入る３つの枝の順序による向きを比べた時に，偶数個の枝で向きが一致しているときを正，そうでないときを負とすることにより定める．

次に具体的に有限型不変量を構成する．{−1,1}^{上のナノワード}v ^の|X|=−1 なる文字をX とし，そうでないときをX ^{と書くこととし，}v ^{に対し，１文字ずつ} 巡回することで得られる異なるナノワードをすべて足したものを[v]^{とする．さら} に v ^と w ^{が一致するとき} 1^{，そうでないときは} 0 ^{となる双線形写像} (v, w) ^を考え，d(A)を常に1として，(1)により，h, i^{を定める．任意の曲線}Γに対して w_Γ をlong curve で与えたときと同様の方法で定め，またkを体とし {−1,1} ^上の長さ2nのナノワードの生成する線形空間をW_nとする．任意の自然数 nに対し，n 次の signed curve invariantSCI_n を次で定義する．

SCI_n(Γ)(·) =h[·], w_Γi:W_n→k. (3) この SCI_n に対し，次が成立する．

定理 2 SCIn は曲面上の曲線に対する n次以下の有限型不変量である．

SCI_n はn交点を持つ曲線の空間と{−1,1}^上の長さ2nのナノワードが生成する空間との同型を与え，n が下がるときの情報の減り具合を記述する．

2

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第２部ではKhovanovホモロジーの研究について論じた．Khovanovホモロジー H^i,jとは Jones 多項式V_L(q)に対し次の関係を持つものである．

(q+q⁻¹)V_L(q) =∑

j

q^j∑

i

(−1)ⁱrankH^i,j(L). (4)

最初に Khovanov^{ホモロジー群の} Reidemeister 不変性を与えるレトラクションh と鎖ホモトピーρ を明示的に与えた．この写像はViro によるホモロジーの構成を用い，結び目の正則射影図によって記述される．Viro はReidemeister 変形 Iのみについて不変性を与えたが，ここではII とIII に対応するhとρを与え不変性の証明を完全なものにした．次にTuraevのナノワードの理論にKhovanov理論を応用することにより，Turaevのナノワードのホモトピー不変量とは独立な不変量を構成した．さらに，上記の鎖ホモトピーρ とレトラクション h を普遍的なdifferential δ_s,t まで拡張した．また，鎖ホモトピー写像 h ^が３つのReidemeister ^{移動に関し} て興味深い性質を持つことを示した．Jones ^{多項式は，}Reidemeister ^変形II ^とIII で不変なKauffman ^{ブラケットを補正して} Reidemeister^変形 I^{においても不変な} 量として構成されるが，この時，Kauffman^{ブラケットが}Reidemeister^変形III ^で不変であることは Reidemeister^移動II で不変であることから導かれる．Jones ^多項式の圏化であるKhovanovホモロジーの持つ類似の性質として，鎖ホモトピーρ やレトラクションh が，３つのReidemeister移動に対応するKhovanov複体上の，

ある reduction mapと可換になることを示した．

結び目 K の colored Jones 多項式 J_n(K) の Khovanov 型ホモロジーは最初 Khovanovにより構成され，Mackaay とTurnerはそれを整理し，次式を与えた．

Jn(K) =∑

i,j,k

(−1)^i+jq^kdim_F₂H_n^i,j,k(K;F2). (5)

論文の最後では，このcolored Jones 多項式に対応する Khovanov complex でbi- complexとなるものが存在することを示した．これはBeliakovaとWehrli の提起した問題への答えである．これにより，このbicomplexによるスペクトル系列のE₂ 項がcolored Jones^多項式のKhovanov型のホモロジーと対応することがわかった．

以上のように，本研究は曲線や結び目の数学的研究におけるナノワードの理論の有用性を明らかにするとともに，現在多くの研究者により調べられている結び目

のKhovanovホモロジーの理論においても新たな知見をもたらしており，博士の学

位論文として十分ふさわしいものと認められる．

２０１０年１月審査員

（主査）早稲田大学理工学術院教授理学博士（大阪大学）村上順（副査）早稲田大学理工学術院教授理学博士（京都大学）上野喜三雄（副査）早稲田大学理工学術院教授 D. `es Sci. (Univ. de Paris) 郡敏昭

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