非対称ばね-自由度力学系の非線形振動に関する研究

九州大学学術情報リポジトリ

Kyushu University Institutional Repository

非対称ばね-自由度力学系の非線形振動に関する研究

松崎, 健一郎

Graduate School of Engineering, Kyushu University

https://doi.org/10.11501/3081200

出版情報：Kyushu University, 1994, 博士（工学）, 課程博士 バージョン：

権利関係：

‑ 8 1  ‑

第 5 章空気ばね系の解析結果( 7

本章では， ( 2 .   1 2 a ) で 示される 一自由度空気ばね系強制振動について数値解 析を行う.

5 .   1  振幅特性

本節では，強制振動の振幅特性について解析を行う.解法などは 4 .1 節と同 様である.

図 5 .1 および図 5 .2 にそれぞれ y

0 . 1 と y

0 . 2 の場合の振幅特性曲線を示す.

各々について P

0 . 1 ，  0 . 2 ，  0 . 3 ，  0   ， 4 . 0 . 5 ，  l .0 の六種を描いている.描いている曲線 等の意味は二次曲線ばね系の場合と同様であるが，空気ばね系においては変位 の最小値が x 九

‑ 1 の制限を持ち比較的振幅が大きくなるとその特性を詳しく 表示することができないため， x 九

分数調波振動は 1 ω / β 2 次分数調波振動に加えて 1 ω / β 3 次分数調波振動(， ' 1 ω / β 3 " で で示 さ れたもののみ)も描いている.

y  =  0 . 1   ( 図 5 .1 ) の場合， (a)P  =  0 . 1 では調和振動のみが存在し，そのピークは わずかではあるがスケルトンカーフ。に沿って左に傾く.この特徴はすべての場 合において共通し ， P が大きくなるにつれてその傾向は強くなる.フォールド，

フリップはともに発生していない. ( b ) P = 0 . 2 の場合も分数調波振動は存在し ないが， ω =0 . 8 8 付近に二つのフォールドが発生しジャンプ現象が起こる.

( c ) P = 0 . 3 では，フォールドに加えて ω=2 付近に隣接して 二つのフリップが 発生し，周期倍分岐による1/

次分数調波振動が極わずかな範囲であるが存在 する . ( d ) P   =  0 . 4 では 1 / 2 次分数調波振動にフォールドが発生し， ( e ) P = 0 . 5   で は さ ら に ω=0 . 44 付 近 に 2 次 の 高 調 波 振 動 の フ ォ ー ル ド が 発 生 す る . (f)p 

1 .

の図では， 2 次 ， 3 次 ， 4 次…と多くの高調波でフォールドおよびフ

リップが数多く発生し，フリップでは 1 / 2 次分数調波振動に周期倍分岐する.

高調波のフリップから分岐した 1 / 2 次分数調波振動ではさらにフォールド，フ

‑82‑

γ= 0.1  P=0.2 

i 

‑ ‑ ‑

‑ ‑ z  

•••

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γ= 0.1  P=0.1 

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1 8 1 1   1 4 1 2 l e  

3

十 1

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吉 村

+H) 口 一

‑4  一

...

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.  

1  5  Frcqucncyω 

( b )   y 

0 . 1 ，  P 

0 . 2  

0.1  1  5 

Frequcncyω 

( a )   y  =  0 . 1 ，  P  =  0 . 1  

0.1 

1=0.1  P=O.4 

・

t ''  

︐ l ' 

10 

3

十 1

7 3 3 2

‑10  γ=0.1 

P=O.3 

••.••••.

 •• ₁

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︐ ・

E E E

︐i

l 

' 

5 

3

i(gEN+

十 1

5  1 

Frequencyω 

( d )   y 

0 . 1 ，  P 

0 . 4  

0.1  5 

1  Frcqucncyω 

( c )   y=0.1 ， P=0.3 

0.1 

振幅特性曲線

図 5 .1 

10 

N g g 

，‑、

3 

ロ

‑10 

0.1 

J 

， 

， 

Frequencyω 1 

( e )   y=0.1 ， P=0.5 

r 

= 

5  50 

宮

‑50  0.1 

図 5 .1  振幅特性曲線

，''// V f 

1  Frequencyω 

( f )   y 

0 . 1 ，  P 

LO 

‑83 ‑

γ=0.1  p= 1.0 

1β 

5 

‑ 84

7=0.2  P=0.2 

同

O 

宮 γ=0.2 

P=0.1  1 

E E N ‑

‑ 3 3 5  

‑1 

5  1 

Frequencyω 

( b )   y 

0 . 2 ，  P 

0 . 2  

0.1  5 

1  Frequencyω 

( a )   y 

0 . 2 ，  P 

0 . 1  

0.1 

γ=0.2  P=O.4 

i

  1 ・

l

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i

g E H

十 4

i (

苦手

H)

ロ 一 γ=0.2  P=0.3 

el el ' 

3 1 + i (

若手H)

口 一

5  1 

Frequencyω  0.1 

5  1 

Frequency  ω  0.1 

( d )   y=O.2 ， P=O.4  振幅特性曲線

( c )   y  =  0 . 2 ，  P  =  0 . 3  

図 5 .2 

‑8 5  ‑

γ=0.2  P = 1.0 

g g  H 

O 

F

.

.  

H + 

~

、‑^ロ‑ ー γ=0.2 

P=0.5 

l 1 

5 

3 4 i J 3 + H )

ロ 一

︐ 

s aE a

︐ 

︐ 

︐

a ‑ .

︐se  

︐ ‑5 

1  5  Frequencyω  0.1 

1  5  Frequcncyω 

( e )   y 

0 . 2 ，  P 

0 . 5  

0.1 

( f )   y 

0 . 2 ，  P 

10 

振幅特性曲線

図 5 .2 

ー一一‑‑

‑86‑

リップが発生している.また， ω =2 . 2   ‑ 2 . 9の範囲に1/ 3 次分数調波振動が島 状に存在する.

y  =  0 . 2   ( 図 5 . 2 ) の場合， ( a )   P  =  0 . 1 から (d)P=0 . 4 までフォールド，フリップ ともに発生しないが，そのピークは左に傾く • ^(e)P=0.5 で ω = 0 . 8 1 付近に 主 共振のフォールドが二つ発生し ， (f)p= 1 . 0 では主共振に加えて ω = 0 . 3 7 付近 に 2 次の高調波のフォールドが発生する.また 三組のフリップによる 三つの不 安定領域が存在し，ここでは周期倍分岐により1/ 2 次分数調波振動が発生する.

ω=2 付近の1/ 2 次分数調波振動ではフォールドが発生するが，それ以外では フォールドもフリップも起こらない. ( f ) の場合に限って，調和振動の最大変 位は振動数が小さくなるに従って平均的に大きくなるが，これは復原力の最大 値が 1 であることが大きく関係していると考えられる.

5 .   2  安定定常解領域図

図 5 ， 3 ( a ) ，  ( b ) にそれぞれ y =  0 . 1と y =0.2の場合の安定定常解領域図を示す.

図中の記号及び境界線については二次曲線ばね系の場合と同様であるが，影を つけた領域は非周期振動の存在する領域を，ハッチングを施した領域は安定な 定常解と非周期振動が共存する領域をそれぞれ表している.

( a )   y  =  0.1 では特に ω~0 . 7， P

0 . 7の範囲で、領域が複雑に分けられ，非周期

振動も広い範囲で存在する.また，相似なノマターンが図の左上に向かつて繰り 返し現れる. ( b )   y 

0 . 2の場合，調べた範囲の安定定常解領域図は非常に単純 であり，調和振動の範囲以外は 1 / 2 次分数調波振動の範囲とフォールドに挟ま れた二種の調和振動が共存する範囲のみしか存在しない.

図 5 . 4 は y =  0 . 1の安定定常解領域図[図 5 . 3 ( a ) J の ω=0 . 1‑1 ，  P  =  0.6‑ .   1 0の範

囲を拡大した図である.この図よりフォールドとフリップの境界線が交差し複

雑に領域を分けている様子や相似なノマターンが繰り返し現れることが良く分か

る.

a司

て

コ

0.. 

5  ⁰⁵ 

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伺OJ 

圃4

・

o 同 且i

y= 

0 . 1  

O~

0 . 1  

ω 

VJ  

I M I  

t

‑

U O  

句

=

合

Y

n )  

h . a . 

+ L / f

¥  

9u 

Pしv

b 

図 5 . 3 安定定常解領域図

ー

87‑

5 

‑ 8 8  ‑

. . . . . . . . .  

︐ .

︐  

1141'

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i

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1  1 

九

"ω "0 

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505 

。

圃_伺4

・

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~

一 一 ‑ ・

5 

γ= 

0 . 2  

E x c i t a t i o n

e q u c 1  n c y ω ( b )   y  =  0 . 2 

'i

n u  

  n u  

安定定常解領域図

図 5 . 3

九

"ω '0 

コ

・・司 0.. 

50.8 

。

令同e

~ ....   υ 阿

凶

1 

r  =  ^{0 . 1}  

噌IA

n u  

fhu 

nU  

0 . 5   E x c i t a t i o n  f r e q u e n c y   ω 

図 5 . 4 安定定常解領域図 ( y

0 . 1 )  

1 

1 

' ∞ ゆ

t

一 一 ‑ ‑ ‑

‑90‑

5 .   3  分岐現象

図 5 . 5 および図 5 .6 に分岐図を示す.計算条件等は二次曲線ばね系の場合と同 様である. y  =  0 . 1   ( 図 5 .5 ) の場合 ， P  =  0 . 5 ， 0 . 7 ， 0 . 8 1 ，  1 . 0 の四種， y  =  0 . 2   ( 図 5 .   6 ) の場合 ， P  =  0 . 5 ，  1 . 0 の二種，計六種のパラメータの組み合わせについて分 岐図を求めた.また，すべてのパラメータの組み合わせに対して振動数の小さ い方から大きい方へと振動数を変化させて描いたもの[→]とその逆に振動数の 大きい方から小さい方へと振動数を変化させて描いたもの[←]の二種を描いて いる.

y  =  0 . 1   ( 図 5 . 5 ) の場合， ( a ) ，  ( b )   P  =  0 . 5および ( C ) ， ( d )   P  =  0 . 7では調和振動 と 1 / 2 次分数調波振動のみが現れ，周期倍分岐現象とジャンプ現象が確認され る.また，掃引方向によってジャンプ現象が起こる振動数が異なり， ヒステリ シスを示している. ( e ) ，  ( f )  P 

0 . 8 1では周期倍分岐現象やジャンプ現象に加 えて非周期振動の存在が確認で・き，その存在範囲は振動数を小から大に変化さ せた場合が広くなっている. ( g ) ，  ( h )  P 

1 .

ではさらに非周期振動の存在範囲 が大きくなりウインドウもはっきりと確認できる.

y  =  0 . 2   ( 図 5 . 6 ) の場合， ( a ) ，  ( b )   P  =  0 . 5ではジャンプ現象が一つだけ起こる.

(C   ， ) ( d )  P 

1 . 0 では 1 1 2 次分数調波振動の存在と周期倍分岐現象，ジャンプ現 象が確認される.

図 5 .7 に図 5 .5 ( e )   y  =  0 . 1 ，  P  =  0 . 8 1   [→]の場合の分岐図の非周期振動領域の拡 大図を示す.これよりさらに詳しい非周期振動の存在範囲や広い1/ 3 次分数調 波振動のウインドウ，カオスの危機の存在などが確認できる.図 5 .8 は図 5 .7 を さらに拡大した分岐図であるが，これによりさらに狭いウインドウなどが確認 できる.

5 .   4  振動波形

図 5 .9 から図 5 .1 1 に図 5 . 8 の分岐図に示された分岐過程における振動波形の変

化を示す.すべての図において y および Pはそれぞれ 0 . 1 ， 0 . 8 1であり，これら

{3 ER N"

とM円

{3 ER N"

とさ 屯 10 

5 

。

。

{3 おE

"

と

H

{3 EA

"

とミ 屯

5  1 

Frequency  ω  0.1 

5  1 

Frequcncy  ω  0.1 

[←] 

( b )   y  =  0 . 1 ，  P  =  0 . 5   ( a )   y 

0 . 1 ，  P 

0 . 5   [→] 

20  20 

γ=0.1  P=0.7 

。

4  {3 ER N"

︑} 対

{3 ER Nu h} 旬 ︑ ¥ 屯 γ=0.1  P=0.7 

、、、3 

5 1 O  

N 

{3 ER N"

︑} ミ屯

5 

[←] 

1  Frcquency  ω 

( d )   Y  = O . 1 ， P=0.7 

0.1  5 

[→] 

ω 

噌i v

u  e  n  e  d Q.  

'iW T

・ ‑

Ea  

( c )   y 

0 . 1 ，  P 

0 . 7  

0.1 

分岐図

図 5 .5 

[J3 k S ¥  5 

ioqもl~砂~

¥  tk 3 可 5 

11  同・h四国

予

4 3 5 0  

30 

γ=0.1  P 

= 

ER N"

とu﹁

0.1  1 

Frcqucncyω 

( e )   y 

，  P 

[→] 

40 

{ 3 R A U M  

̲3 

5 却 ト

旬

、 ヨ_‑‑... 

~

0.1  1 

Frequcncy  ω 

( g )   y  = 

， 

=  1 .  

[→] 

5 

5 

‑92

30 

γ=0.1  P=0.81  {3

ぉ

﹄一 対

0.1  1 

Frcqucncyω 

5 

( f )   y  = 

，  P 

[←] 

40 

却

すミ

N "

とu﹁

0.1  1 

Frcquencyω  5 

( h )   y  = 

=  1 .  

[←] 

図 5 . 5  分岐図

{ 3

E A

"

とH

{ 3

E R

N l

‑ N

‑2 

{ 3

E A

"

とミ 屯

‑2 

{ 3 E

お

"

H

宅 }

¥屯

5  Frcqucnc1 yω 

0.1  5 

Frcqucncy1   ω  0.1 

[←] 

( b )   y=0 . 2 ， P=0 . 5 

{ 3 お R と 一 旬 [→] 

( a )   y  =  0 . 2

P 

0 . 5  

5  {3

¥k

お と ミ

4 

{ 3 R

"

と旬

︑¥ 屯 4 

{3 右

足"

と宅

¥屯

5 

〔 ← ]

Frequcncy1   ω 

( d )   Y  =0.2 ， P= I . O 

0.1  5 

[→] 

ω 

'AVJ c n c u 

n H.  

c r a

z ‑ .    

( c )   y=0.2 ， P= 1 . 0 

0.1 

分岐図

図 5 .6 

‑94

6 

[3 EH hN uh }H  

2 

~ 1 

k 

尽 き

ミ ミ 。

‑1 

0 . 3   戸 ︑

J

nU

ω 

v d  

C 

n  c  u 

q A  

4

nU IA  

0 . 6   0 . 7  

図 5 .7 分岐図 C y ^{=0 . 1}

^{ω =   0 . 2 5   ‑ 0 . 7  [ → J )}  

守 お

3

t‑¥  þ.~事!防時電~曽降~ ¥ 

1

2 

1

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2 

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11 

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̲ ̲ ，

同

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1 . 5 

{ 3 R A U H } M 更 さ

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3 

~ 0 ト s w e e p

0 . 2 8   0 . 3  

F r e q u e n c y ω   (a)ω...  0 . 28  ‑ ‑ 0 . 3 2  

0 . 3 2  

2 

1 

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p

︑

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0

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q&E 

h ω

¥

︑

︐

J' h υ  

/'

¥ 

0 . 5  

図 5 . 8 分岐図 ( y‑ 0 . 1 ，  P 

0 . 8 1   [ → J )  

'甲山山'

‑96‑

γ=  0 . 1  

4 1 ‑

P  =  0 . 8 1  

、

t ¥  3

お

1

1 

2 

四ー喧・d

H 

。

s~_eep

‑ '

{ 3

¥ K

E N

‑ }

旬 ︑ ¥ さ

0 . 5  

ハUぷU

ω0. 

句

0

5 n 5  

5

O

o q

=  

恥

ω

¥︼

c 

f¥  

0 . 6  

図 5 . 8 分岐図 (y = 

P  = 

[ → J )  

(c)ω=  0 . 2 8 6 0  

図 5 .9  振 動 波 形 ( y  =  0 . 1 ，  P  =  0 . 8 1 )  

自

98‑

図 5 .9  振動波形 (y =  0 . 1 ，  P  =  0 . 8 1 )  

ωt/21f 

(d)ω=0 . 4 1 0 0  

図 5 .1 0   振動波形 ( y =0 . l

P=0 . 8 1 )  

‑1 0 0 ‑

﹁ い し ﹁ い t L

(e)ω=0.4150 

(h)ω=  0 . 4 5 0 0  

図 5 . 1 0 振 動 波 形 (

=  0 . 1

=  0 . 8 1 )  

﹁ い し ﹁ ド し

︒

‑ j パ J

﹁ ぺ

f i d

仁 l

L F l ド し ︒

つ i

イ 斗 J

[ 1 1

ぺ i

d

﹁ ﹁ い し

﹁ ド } ﹂

︒

1 1 J J

﹁

j 叶 i J m

図 5 .1 1   振動波形 (y

0 . 1 ， 

0 . 81) 

ー

1 0 2‑

(h)ω=  0 . 5900 

図 5 .1 1   振動波形 (y

0 . 1

0 . 8 1 )  

は分￨岐図の掃引方向(振動数小→大〉に並んで 、 いる.

図 5 .

1 1 の波形はそれぞれ次の振動状態を表している.

( 1 ) 図 5 . 9 

図 5 .8(a)ω=  0 . 2 8  

0 . 3 2 の場合の分岐過程における波形の変化 ( a )   1 / 4 次分数調波振動

( b )  

8 次分数調波振動 ( c )   1 1 1 6 次分数調波振動

( d ) 周期倍分

岐集積後の非周期振動 ( e ) ウインドウ内の 1 / 5 次分数調波振動 ( f ) ウインドウ後の非周期振動

( 2 ) 図 5 . 1 0  

図 5 .8(b)ω=  0 . 3 9  

0 . 5 0 の場合の分岐過程における波形の変化 ( a )   1 / 4 次分数調波振動

( b )   1 1 8 次分数調波振動 ( c )  

1 6 次分数調波振動

( d ) カオスの危機直前の非周期振動 ( e ) カオスの危機直後の非周期振動

( f ) 逆周期倍分岐過程の 1 / 1 2 次分数調波振動 ( g )   1 1 6 次分数調波振動

( h )   1 / 3 次分数調波振動 ( 3 ) 図5 . 1 1  

図 5 .8(c)ω=  0 . 5 0  

0 . 6 0 の場合の分岐過程における波形の変化 ( a )  

2 次分数調波振動からジャンプして発生した非周期振動 ( b ) ウインドウ内の 1 / 8 次分数調波振動

( c )  

7 次分数調波振動ウインドウ直前の非周期振動 ( d ) ウインドウ内の 1 1 7 次分数調波振動

( e ) ウインドウ直後の非周期振動

( f ) 逆周期倍分岐過程の1/

次分数調波振動 ( g )   1 / 8 次分数調波振動

( h )   1 / 4 次分数調波振動

‑1 0 4  ‑

すべての波形は x=

付近で急激に速度が変化し衝突系を思わせる形状をして いる.周期倍分岐および逆周期倍分岐の過程では位相平面上の軌道が分かれる または合わさるように変化する.また，図 5 .1 0 ( d ) および ( e ) よりカオスの危機 前後では比較的大きい波形の変化が特にリサージュ図によって確認できる.

5 .   5  ポアンカレ写像

図 5 . 1 2 ， 5 .   1 3 ， 5 .   1 4 はそれぞれ図 5 .8 ( a ) ，  ( b ) ，  ( c ) に示される分岐過程における ポアンカレ写像の変化を描いたものである.パラメータは振動波形のそれと全

く同じであり，表している状態も等しい.

非周期振動のポアンカレ写像はすべてストレンジアトラクタの特徴を持ち，

非周期振動がカオス振動であることがわかる.さらに図 5 . 1 3 ( d ) ，  ( e ) より，カ オスの危機の前後でポアンカレ写像の形は大きく異なり振動状態の大きな変化 を表していることがわかる.

5 .   6  スペクトル解析

図 5 .1 5 ， ̲ 5 .   1 7 は分岐過程におけるスペクトルの変化を表したものである.計 算方法は二次曲線ばね系の場合とほぼ同様であるが， 一周期のデータサンプリ

ング数は 1 2 8 とした.前節と同様にパラメータは振動波形のそれと全く同じで ある.

すべての場合において，周期振動は線スペクトル，非周期振動は連続的なス

ペクトルとなり，非周期振動がカオス振動であることが証明される.またカオ

スの危機の前後ではスペクトルには大きな変化が現れることが図 5 . 1 6 ( d ) ，  ( e )  

よりわかる.

T 

1 [ .  

可

'. 

、t3、=、

1 

、3t、=、

お お

1

1  11 

.........・.  」句. 

、

₄ 、

³

γ=0.1  r =0.1 

0ト P = 0.81  _P = 0.81 

ω= 0.2830  ω= 0.2855 

。

。

x [t  = 2nπ/ω]  x {t = 2nπ/ω] 

(a)ω=  0 . 2 8 3 0   (b)ω=  0 . 2 8 5 5  

/一¥

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、~^{、‑ 1}  、t、3=、

お₁₁  :  ~

1 1

) h・ .=::=.・ 

4

3  4

3

γ=0.1  γ= 0.1 

0ト P=0.81  P=0.81 

ω=0.2860  ω=0.2気泊

。

。

x [t  = 2nπ/ω]  x [t  = 2nπ/ω] 

(c)ω=  0 . 2 8 6 0   (d)ω=  0 . 2 9 0 0  

...  1ト

、、3 、 k 

~

『 {

3R

RN

H 

11  喝 ー司、、、 .H  て3

旬 ︑

Oト

γ= 0.1  P = 0.81 

J 

ω=0.2955 

2  4 

x [t 

= 

(e)ω=  0 . 2 9 5 5  

。 。

ω= 0.3000 

。

ハVハU11ハU

ω 3  

/‑

冗 ハ

v

h

=  

2 ‑ ‑ ω

x ︑︑ ︐ /

￡1

4  ff t︑

図 5 .1 2   ポアンカレ写像( y 

0 . 1

0 . 8 1 )  

幅

1 0 6‑

寸

、3、、 1  、、3、

t之 1:::: 

fミ _fミ

1 1

  11 

ー

ー

・ 」・

、 4

、

3  。

γ= 0.1  γ=0.1 

P = 0.81  P = 0.81 

‑1ト ω= 0.3950  ‑1  ω= 0.3970 

2  4 

。

x [t = 2nπ/ω]  x [t = 2nπ/ω] 

(a)ω=  0 . 3 9 5 0   (b)ω=  0 . 3 9 7 0  

2ト 2 

.  . 

、. 

.' 

a 

， 

J t k  

2 

. 

1

1  11 

』.ー4 

、 駒H・・a・

4

3 5  。

4 5   。

γ= 0.1  P = 0.81 

‑1ト ω=0・3975

j 

G  2  4 

。

x [t = 2nπ/ω]  x [t = 2nπ/ω] 

(c)ω=  0 . 3 9 7 5   (d)ω=  0 . 4 1 0 0  

図 5 . 1 3 _{ポアンカレ写像 ( y =}  0 . 1

P  =  0 . 8 1 )  

、3k 、 1 

fミ

" 

ー同.

ー1ト

2ト

‑1ド

~\~

よO 

コ ¥

1 = 0.1  P = 0.81  ω= 0.4150  2 

x [t = 2Jtπ/ω] 

(e)ω=  0 . 4 1 5 0  

よ2  x [t 

= 

1 

= 

斗

4 

(g)ω=  0 . 4 3 5 0  

t3 k ¥可 

1 1   } 同.

屯

主主

0ト

2~

‑11‑

。

よO 

. .  

.  . 

1 = 0.1  P = 0.81  ω= 0.4330 

2  4 

x [t = 2nπ/ω} 

(f)ω=  0 . 4 3 3 0  

ょ 2  x [t 

= 

γ= 0.1  P 

= 

∞ 

斗

4 

(h)ω=  0 . 4 5 0 0  

図 5 .1 3   ポアンカレ写像 ( y =0 . 1 ， P=0.81) 

‑1 0 8  ‑

ー

τ  γ=0.1  P = 0.81 

ω= 0.5260 

τ  τ 

1ト

{3

ER

N"

とミ 屯

Oト

2 

ー γ= 0.1  P = 0.81 

ω= 0.5220 

n 

1ト

{3

ER

N"

﹄ } ミ

HW Oト

2 

‑ ー

・4

ー づ グ グ

よ 4  4 2 

x [t 

= 

よ

‑1  O 

よ

4 

よ2  x [t 

= 

よO 

‑1 

6  6 

( a )   ^ω=  0 . 5 2 2 0   ^{( b )}   ω=  0 . 5 2 6 0  

2 

ー

ー吋

1=0.1  P=0.81 

ω= 0.5470 

I 

『

1ト

Oト

2 

{3

おE

"

H

旬 ︑ ¥ }

屯 1=0.1 

P=0.81  ω=0.54

∞ 

1 

。

{3

EH

Al

宅}

¥屯

よ 4  ム2 

x [t 

= 

ょ ー1 0 

‑1 

6  6  2  4 

x [t 

= 

( c )  

。

ω=  0 . 5 4 7 0  

ポアンカレ写像 ( y

0 . 1

P 

0 . 8 1 )   ( d )   ω=  0 . 5 4 0 0  

図 5 .1 4  

、t，、3

fミ

1 1   .

， 喝.... 

屯

、 司

、 ヨ、

、^、3^、

tkミ 

1 1  

‘“・~

毛 屯

、

、 主、

2 

1 

。

‑1 

2 

1 

。

‑1 

。

よO 

、

γ=0.1  P = 0.81  ω= 0.56

∞ 

、3t、=、 fミ

1 1 

」h・

~〆

4 .也、、3、

2  4 

X [1 = 2nπ/ω] 

( e ) ω=  0 . 5 6 0 0  

γ=0.1  P=0.81  ω= 0.5880 

A JK

2 

1 1 

、 園田喝・

也

4

、

3

2  4  ₆ 

X [1 

= 

(g)ω=  0 . 5 8 8 0  

0ト

‑1 

0ト

‑1  ^よ O 

γ= 0.1  P = 0.81  ω= 0.5870 

‑・..

̲ ‑

2  4  6 

X [t = 2nπ/ω] 

(f)ω=  0 . 5 8 7 0  

v一 一T 1 一一一一寸

γ=0.1  P=0.81  ω=0.5到泊

2  4  ₆ 

X [t 

= 

(h)ω=  0 . 5 9 0 0  

図 5 .1 4   ポアンカレ写像 ( y =  0 . 1 ，  P  =  0 . 8 1 )  

的U

勺 コ ︼ 一 一 円 四 F HP 司 ︑

γ= 0.1  P 

= 

。

(a)ω=  0 . 2 8 3 0  

4 

的u ‑

u g z

仏E︿

。

Frcquency 

(c)ω=  0 . 2 8 6 0  

4 

﹄‑

t 

γ= 0.1  ^ー P = 0.81  ω= 0.2955 

寸

巴.

1:.‑

10⁰1: 

5 

1O-2~

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ζ J

F

︑

OJ  

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m 0  

2 ω

=  

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¥

4 

ー

110

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‑ a E

︿

γ= 0.1  P = 0.81  ω= 0.2855 

。

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(b)ω=  0 . 2 8 5 5  

4 

的u ‑

x d z ‑

︿a E

2  Frcqucncy 

(d)ω

0 . 2 9 0 0  

Frcqucncy 

(f)ω=  0 . 3 0 0 0  

4 

図 5 . 1 5 パワスペクトル ( y =0 . 1

P=0.81) 

I  T ・ 1

γ= 0.1 ヨ P = 0.81  ω= 0.3950 

~

l00k‑ ^ー

Q.  ~

z 

10‑² k‑

。

VJ c n 

2 m

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vしpv  

・ ‑

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‑ ‑ A   4 

(a)ω=  0 . 3 9 5 0  

的ω同x d

︼ 一一 向

︿凶E

10‑² 

。

Frequency 

(c)ω=  0 . 3 9 7 5  

4 

的ω句三一一色E︿ 内3

v d   c n 2山句 v a   Ea  

4 

(b)ω=  0 . 3 9 7 0  

g m x d

g n

凶E︿ ﹃3

w d  

n 2山

q .  

t v ‑

z a  

' E ‑ .   4 

(d)ω=  0 . 4 1 0 0  

図 5 .1 6   ノミワスペクトル (y

0 . 1

P 

0 . 8 1 )  

。

。

(e)ω=0.4150  (f)ω=  0 . 4 3 3 0  

t:‑ γ=0.1  γ= 0.1 

P =0.81  P = 0.81 

ω=0.45

∞ 

l00~

I 

3  5 

s  g 

10‑²  10‑² b‑

I I I I I I I I I I I I I

同U

可 三 一 一

aE

︿

γ= 0.1 

P = 0.81 

ω= 0.4150 

1 0 0  

10‑² 

。

^{司 ︑}

v d  

e n e ヲ

uu

nH

a 

c v a

  Ea  

噌・&

4 

(g)ω=  0 . 4 3 5 0  

‑1 1 2 ‑

同一

u ‑u

コ 一 一 色

ロ ヨ 司 ︑

。

Frcquency  ⁴ 

(h)ω=  0 . 4 5 0 0  

図 5 . 1 6 パワスペクトル ( y =0 . 1

P=0 . 8 1 )  

1 0 0  

10‑² 

。

v d   c n 2山叫

v a 

F 

(a)ω=  0 . 5 2 2 0  

u h回 一

︼ ロ 臼 一

‑ n p F P M

可

10‑² 

。 _{. ︑}

Jc n 

2 m  

0.  

C T

・ ‑

Ea  

' ' A   ₄ 

(c)ω=  0 . 5 4 0 0  

γ=0.1  1  P 

= 

ω=0.52ω 

。

Frcqucncy 

4 

(b)ω=  0 . 5 2 6 0  

む司 三一

︿主E

。

叫︐

‑

‑

Ea  

'E& 

(d)ω=  0 . 5 4 7 0  

図 5 . 1 7 パワスペクトル (y=  0 . 1

P  =  0 . 8 1 )  

的ω 司

三 一 一 仏

E︿

。

VJ  

c n 2凶

nME e 

r ‑ ‑

Ea  

4 

( e ) ω=  0 . 5 6 0 0  

的ω ‑ u

﹃d

ZZ

︿E

。

Frcquency  ⁴ 

(g)ω=  0 . 5 8 8 0  

嗣

1 1 4‑

沼 田

M三 一

1E︿

。

Frequency  ⁴ 

(f)ω=  0 . 5 8 7 0  

u回 一

hV 2一 一 円 四 戸 3 1

可

10‑² 

2  3 

Frcquency  ⁴ 

(h)ω=  0 . 5 9 0 0  

図 5 . 1 7 パワスペクトル ( y

0 . 1

P 

0 . 8 1 )  

5 .   7  リアプノフ指数

図 5 .1 8 に分岐に伴うリアプノフ指数の変化を示す.図 5 .1 8 ( a ) ，  ( b ) ，  ( C ) はそ れぞれ図 5 . 7 ( a ) .  ( b ) .   ( C ) と対応している.すべての図からわかるように非周期 振動の範囲ではリアプノフ指数の最大値は正の値を取りカオス振動であること を示している.

5 .   8  不変多様体

図 5 .1 9 に y =  0 . 1 ，  P  =  0 . 8 1 ， ω =   0 . 5 0   ‑ 0 . 6 0 の場合の分岐過程における不変多様 体の変化を示す. (a)ω= 0.5220 はポアンカレ写像およびスペクトル解析により カオス振動であることが証明されたが，図からホモクリニック点は確認できな い. (b)ω= 0 . 5400 および (C)ω=0 . 5600 はカオス振動でありホモクリニック点 が存在する. (d)ω= 0.5900 は 1 1 4 次分数調波振動で ホモクリニック点は存在し ない.

5 .   9  まとめ

本章では空気ばね系強制振動について数値的解析を行った振幅特性曲線は スケルトンカーブに沿って左に傾き軟性ばね系の傾向を示し

P が復原力の 大値と等しい 1 の場合，低振動数範囲での最大振幅は振動数が小さくなるに 従って平均的に大きくなる.安定定常解領域図は y=  0 . 1 の場合複雑なフラクタ ル構造を有し，領域が複雑に分けられる.また，分岐図によりジャンプ現象，

周期倍分岐現象，非周期振動などが安定定常解領域図に沿った形で現れること

が確認された振動波形，ポアンカレ写像，パワスペクトルの解析により非周

期振動はカオス振動であると証明されたが，不変多様体のホモクリニック点は

カオス振動と密接な関係があると考えられながらも，直接カオス振動の存否を

判断する方法にはなり得ないことがわかった.

{ 4  3 R

︽

H

HM }H

4 

2 

。

{ 3 R A M M } H  

0 . 0 5  

。

ー

0 . 1

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a 

5‑005 

。

伺

同〉、

s w e e p  .   . . 0 . 0 5  

。

おロ_ω  ロ

包

同ω 

8 

‑ 0 . 0 5  

喝

伺

凶〉、

‑ 0 . 1  

0 . 5  0 . 4 5 

F r e q u e n c y   0 . 4  

ー

0 . 1 5 0 . 3 2  

0 . 3   F r e q u e n c y   0 . 2 8  

ω  ω  ω=  0 . 28 ‑0 . 32  ( a ) 

' ︼ 目 ︒

︐ ( b )ω‑0 . 39 ‑0 . 5 0  

リアプノフ指数 ( y

0 . 1 ，  P 

0 . 8 1   [ → J )  

図 5 .1 8  

~ 4 

k 

お ₂ 

司....̲̲. 

H 

。

0 . 0 5   sweep

c/) 

ω ロ

g  0 

0..  M ω 

〉

g  ‑ 0 . 0 5   コ

悶

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0 . 5  

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f o  

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5 n 5   5 m 0

. 

o q

=  

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ω

︑︑ . ︐ ノ

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t¥  

0 . 6  

図 5 .1 8   リアプノフ指数 ( y =  0 . 1 ，  P  =  0 . 8 1   [ → J )  

3  6 ミ 0 お

、・も 晴ー・・4

?

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4  ‑2 

‑1 1 8  ‑

2 

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1 2  

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一 一 一 一 一 一 7 p ω  

ト ー ペ 守

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‑2

。 ₄ 

x  [ t  

2n π / ω ]   (a)ω=  0 . 5220 

8 

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ハUハU1iAU︐ tiORUぐJ

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ハU

一 一 一 一 一 一 7 p ω  

ー ﹁

A

斗 ・

。

ハU

I J 0  

4 ω M   π0.  h

=  

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4'

a・

ra

︑︑ . ︐ ︐ ノ

・

x ω   ⁸ 

図 5 . 1 9 不 変 多 様 休 (y  =  0 . 1 ，  P  =  0 . 8 1 ) 

3 

~

0 

Eご か1

7も

ぜ ‑2 2 

n u   n u  

‑ ‑ f o  

噌IRU︿J

nu nu nu  

一 一 一 一 一 一

γ P ω  

Ll

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。 4  x  [ t  

2nπ/ω] 

(c)ω=  0 . 5 6 0 0  

8 

2 

、

3

。

~

11 

も‑司...... 

ミ 4 3 5 

‑2 

r  =  0 . 1   P  =  0 . 8 1   ω=  0 . 5 9 0 0  

。 _{4  8} 

x  [ t   =  2n π / ω ]   ( d )ω =   0 . 5 9 0 0  

図 5 . 1 9 不変多様体 ( y =  0 . 1

P  =  0 . 8 1 )  

‑120‑

第 6 章 結 論

本論文では非対称ばねの典型として二次曲線ばねおよび空気ばねの二つを取 り上げ，それらのばねによって構成される 一 自由度力学系の非線形振動につい て自由振動と強制振動の解析を行い以下の結論を得た

( 1 ) 二次曲線ばね系および空気ばね系の自由振動

無減衰自由振動の振動波形は，振動数 ωが 1 に近い場合の準線形の振動波形 から， ω

0 の強非線形振動において， 二次曲線ばね系では定振幅超低周波パ ルス列まで，空気ばね系では大振幅の上に凸な放物線を並べたような衝突系に 近い波形まで変化する.

両方の系において振幅特性曲線は左に傾き軟性ばねの傾向を示す. 二次曲線 ばね系の場合， ω → 0 の強非線形振動で最大，最小振幅および O次の調和振幅 はそれぞれ 1 ， ー 0 . 5 ， 1 に ， 1 次以上の調和振幅はお互いに漸近しながら振動数に 比例する直線になり， ω

では最大，最小振幅および 1 次の調和振

隔は

d 工面に， 0 次と 2 次の調和振幅は 1 ‑ ω に比例する.空気ばね系の場合，

ω→ 0 の強非線形振動で‑は最小振幅が ‑ 1 に漸近するのを除いて最大振幅とす べての調和振幅は

に反比例し，これらの比は一定になるが，これは波形の 形状は変化せず大きさのみが

に反比例して大きくなることを示している.

また， ω

1 では二次曲線ばね系と良く似た特徴を示す.

( 2 ) 二次曲線ばね系強制振動

振幅特性曲線はすべてスケルトンカーフ。に沿って左に傾き軟性ばね系の傾向

を示し，

2 次分数調波振動は周期倍分岐により発生するものと島状のものが

存在する.また ， P~0 . 2 ではつながっていた曲線が， ^P

^{0 . 3 では閉曲線で構}

成されるようになるが，これはばねの復原力が f _~ 0 . 2 5 の制限を持つことと大

きく関係していると考えられる.さらに，安定・不安定にかかわらず定常周期

解が全く発生しない振動数範囲が存在することが確認された

安定定常解領域図は ω (

P )=(0

0 . 2 5 )に向かつて相似なパターンが繰り返し現 れるフラクタル構造を持ち，これにより領域が複雑に分けられる.そして分岐 図により，安定定常解領域図に従って発生する分岐現象や非周期振動，ウイン ドウ，カオスの危機などが確認された.さらに，振動波形，ポアンカレ写像，

ハワスペクトル， リアプノフ指数などの解析を適用することにより非周期振動 がカオス振動であることが証明されたが，不変多様体のホモクリニック点の存 否はカオスと密接に関係していながらも，カオスの存否を決定するには不十分 であるとの知見が得られた

( 3 ) 空気ばね系強制振動

振

隔特性曲線より， 二次曲線ばね系と同様に軟性ばね系の傾向を示すこと，

1/

2 次分数調波振動は調和振動から周期倍分岐して発生し，

3 次分数調波振動 は独立して島状に現れることが明らかになった.さらに P

1 .

の場合，低振 動数の範囲で・最大変位は振動数が小さくなるに従って平均的に大きくなるが，

これも 二次曲線ばね系と同様に，ばねの復原力が/く1. 0の制限を持つことと 大きく関係していると考えられる.

安定定常解領域図はフラクタル構造の特徴を有し，特に励振の振動数が小さ

く励振の振幅が大きい範囲で領域が複雑に分けられることが示され，掃引方向

によって分岐現象が異なるヒステリシスや非周期振動，ウインドウ，カオスの

危機などが分岐図により確認された.また，振動波形，ポアンカレ写像，パワ

スペクトル， リアプノフ指数などの解析により非周期振動がカオス振動で‑ある

ことが証明されたが，不変多様休のホモクリニック点の存否によるカオス振動

の有無の判別は二次曲線ばね系と同様に困難で ‑ あるとの結論に到達した.

ー

1 2 2‑

参 考 文 献

( 1 )  Du

ng

G .

Er

l n g e n eSchwingungen b e i  v e r a n d e r l i c h e r  E i g e n f r e q u e n z  und i h r e   t e c h n i s c h e  Bedeutung ，  ( 1 9 1 8 ) ，  2 5 ，  B r a u n s c h w e i g  

( 2 )  McLac h 1 a n ，  N . W. ，  O r d i n a r y  N o n l i n e a r  D i f f e r e n t i a l  E q u a t i o n s ，  ( 1 9 5 6 ) ，  39 ，  O x f o r d   a t  t h e  C l a r e n d o n  p r e s s . 

( 3 ) 前沢(分担執筆)， (谷口・ほか 3 7 名 )，振動工 学ノ¥ンドブック， ( 1 9 7 6 ) ， 

3 9 0 ，養賢堂.

( 4 )   田村・松田， 自律性 Du

n g 方程式の厳密解とその計算法( 解の表示 と特性 パ ラ メ ー タ の 試 行 計 算 )， 日本機械学会論文 集 ( C 編 ) . 5 2 ‑ 4 7 8 ( 1 9 8 6 ) ， 

1 7 5 0 . 

( 5 )   田村・松田，自律性 D u f f i n g 方程式の厳密解とその計算法(第 2 報，解精度 向上に関する検討二，三)， 日本機械学会論文集 (C 編). 5 3 ‑ 4 8 6 ( 1 9 8 7 ) ， 

2 6 1 .  

( 6 )  田村・ほか 3 名，自律性 D u f f i n g 方程式の厳密解とその計算法(第 3 報，準 線形振動に対する特性ノミラメータのべき級数解)， 日本機械学会論文集 (C 編). 5 3 ‑ 4 9 5 ( 1 9 8 7 ) ，  2 1 9 9 .  

( 7 )   Ueda ，  Y . ，  Randomly T r a n s i t i o n a l  Phenomena i n  t h e  S y s t e m  Governed by Du

n g ' s E q u a t i o n ，  J .  S t a t .   P h y s . ，  20 ( 1 9 7 9 ) ，  1 8 1  

( 8 )   Ueda

Y .

S t e a d y  M o t i o n s  E x h i b i t e d  by Du

n g ' sE q u a t i o n  :  a  P i c t u r e  Book o f   R e g u l a r   a n d   C h a o t i c   M o t i o n s ，  New Approaches  t o   N o n l i n e a r   P r o b l e m s   i n   Dynamics ，  ( 1 9 8 0 ) ，  P .

Holmes ( e d . )  SIAM ，  P h i l a d e l p h i a ，  PA . 

( 9 ) 津田・ほか 3 名 ， Duffing 系のカオス挙動， 日本機械学会論文集 (C 編 ) ，

5 7 ‑ 5 4 1 ( 1 9 9 1 ) ，  2 8 3 2 . 

( 1 0 )  Nayfeh ，  A . H .  a n d  Mook ，  D . T . ，  N o n ) i n e a r  O s c i l l a t i o n s ，  ( 1 9 7 9 ) ，  J o h n  W i l e y   &  S o n s   ( 1 1 )  Moon ，  F . C . ，  C h a o t i c  V i b r a t i o n s ，  ( 1 9 8 7 )

J ohn W i l e y   &  S o n s  

( 1 2 )  H e l m h o l t z ，  H . L . F ・ ， S e n s a t i o n s   of Tone ，  ( 1 8 9 5 ) ，  412 ，  Longmans  Gr e e n   &  Co . ， 

London. 

( 1 3 )   Minorsky ，  N . ，  I n t r o d u c t i o n  t o  Non‑Linear  Mechanics ，  ( 1 9 4 7 ) ，  272 ，  1 . W. Edwards ，  An

Ar bo r .  

( 1 4 ) 文 献 ( 1 ) ， 4 7 .  

( 1 5 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解(その 1 ，解の表示 とフーリエ係数の試行解) ， 日本機械学会論文集 (C 編) ， 5 5 ‑ 5 0 9 ( 1 9 8 9 ) ， 

1 3 .  

( 1 6 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解〈その 2 ，準線形微 小 振 動 と 強 非 線 形 低 周 波 振 動 ) ，  日 本 機 械 学 会 論 文 集 (C 編)， 5 5 ‑ 5 1 2 ( 1 9 8 9 ) ，  8 2 3 .  

( 1 7 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解(その 3 ，フーリエ 係数を決定する超越方程式の陽な解表示) ，  日本機械学会論文集 (C 編 ， )

5 6 ‑ 5 2 5 ( 1 9 9 0 ) ，  1 1 5 5 .  

( 1 8 )   P e d e r s e n ，  P . O . ，  Subharmonics i n   Forced O s c i l l a t i o n s   i n   D i s s i p a t i v e   Systems ，  1 .   Acous . t   S o c .   Am   ， . Vo   . l 6  ( 1 9 3 5 ) ， 227  &  Vo   . l 7  ( 1 9 3 5 ) ， 64 . 

( 1 9 )   R e u t e r

G.E . H .

Subharmonics  i n   N o n ‑ l i n e a r   System  w i t h   U n s y m m e t r i c a l   R e s t o r i n g  Force ，  Q u a r t .  1 .   Mech .  & App   . l Math . ，  Vo   . 1 2  ( 1 9 4 9 ) ，  198 

( 2 0 ) 桂木・桑島非対称復原力を有する振動系の強制振動に関する ー 近似解法 について， 日本機械学会論文集， 1 4 ‑ 4 7 ( 1 9 4 8 ) ，  1 0 4 .  

( 2 1 ) 桂木・波多野，非線形型復原力を有する振動系の非調和強制力による強制 振動に関する一計算， 日本機械学会論文集， 1 7 ‑ 5 7 ( 1 9 5 1 ) ，  4 2 .  

( 2 2 ) 植木・岡田，非対称型復原力を有する振動系の強制振動について， 日本機 械学会論文集， 1 7 ‑ 5 7 ( 1 9 5 1 ) ，  4 6 .  

( 2 3 )   Chauhan ，  A . P .  a n d  A s h w e l l ，  D . G . ，  On t h e  Low‑Frequency Drumming of S l i g h t l y  

Bowed S t r u c t u r e s ，  1 .   Sound Vib . ，  Vo   . 1 1 4 ，  No .  4  { l 9 7 1 ) ，  475 

( 2 4 )   A s h w e l l ，  D.G.

dChauhan ，  A . P . ，  A s t u d y  of 

2

l b h a r m o n i cOsc i 1 l a t i o n s  by t h e  

Method ofHarmonIc B a l a n c e ，  1 .   Sound Vib . ，  Vo   . l 27 ，  No .  3  ( 1 9 7 3 ) ，  313 .