結論 - 非対称ばね-自由度力学系の非線形振動に関する研究

本論文では非対称ばねの典型として二次曲線ばねおよび空気ばねの二つを取り上げ，それらのばねによって構成される一自由度力学系の非線形振動について自由振動と強制振動の解析を行い以下の結論を得た

( 1 ) 二次曲線ばね系および空気ばね系の自由振動

無減衰自由振動の振動波形は，振動数 ωが 1 に近い場合の準線形の振動波形から， ω

→

0 の強非線形振動において，二次曲線ばね系では定振幅超低周波パルス列まで，空気ばね系では大振幅の上に凸な放物線を並べたような衝突系に近い波形まで変化する.

両方の系において振幅特性曲線は左に傾き軟性ばねの傾向を示す. 二次曲線ばね系の場合， ω → 0 の強非線形振動で最大，最小振幅および O次の調和振幅はそれぞれ 1 ，ー 0 . 5 ， 1 に， 1 次以上の調和振幅はお互いに漸近しながら振動数に比例する直線になり， ω

→ l

では最大，最小振幅および 1 次の調和振

隔は

d 工面に， 0 次と 2 次の調和振幅は 1 ‑ ω に比例する.空気ばね系の場合，

ω→ 0 の強非線形振動で‑は最小振幅が ‑ 1 に漸近するのを除いて最大振幅とすべての調和振幅は

ω2

に反比例し，これらの比は一定になるが，これは波形の形状は変化せず大きさのみが

ω2

に反比例して大きくなることを示している.

また， ω

→

1 では二次曲線ばね系と良く似た特徴を示す.

( 2 ) 二次曲線ばね系強制振動

振幅特性曲線はすべてスケルトンカーフ。に沿って左に傾き軟性ばね系の傾向

を示し，

2 次分数調波振動は周期倍分岐により発生するものと島状のものが

存在する.また， P~0 . 2 ではつながっていた曲線が， ^P

^注

⁰ ^. ³ ^{では閉曲線で構}

成されるようになるが，これはばねの復原力が f _~ 0 . 2 5 の制限を持つことと大

きく関係していると考えられる.さらに，安定・不安定にかかわらず定常周期

解が全く発生しない振動数範囲が存在することが確認された

安定定常解領域図は ω (

，

P )=(0

，

0 . 2 5 )に向かつて相似なパターンが繰り返し現れるフラクタル構造を持ち，これにより領域が複雑に分けられる.そして分岐図により，安定定常解領域図に従って発生する分岐現象や非周期振動，ウインドウ，カオスの危機などが確認された.さらに，振動波形，ポアンカレ写像，

ハワスペクトル，リアプノフ指数などの解析を適用することにより非周期振動がカオス振動であることが証明されたが，不変多様体のホモクリニック点の存否はカオスと密接に関係していながらも，カオスの存否を決定するには不十分であるとの知見が得られた

( 3 ) 空気ばね系強制振動

振

隔特性曲線より，二次曲線ばね系と同様に軟性ばね系の傾向を示すこと，

2 次分数調波振動は調和振動から周期倍分岐して発生し，

3 次分数調波振動は独立して島状に現れることが明らかになった.さらに P

⁼

1 .

の場合，低振動数の範囲で・最大変位は振動数が小さくなるに従って平均的に大きくなるが，

これも二次曲線ばね系と同様に，ばねの復原力が/く1. 0の制限を持つことと大きく関係していると考えられる.

安定定常解領域図はフラクタル構造の特徴を有し，特に励振の振動数が小さ

く励振の振幅が大きい範囲で領域が複雑に分けられることが示され，掃引方向

によって分岐現象が異なるヒステリシスや非周期振動，ウインドウ，カオスの

危機などが分岐図により確認された.また，振動波形，ポアンカレ写像，パワ

スペクトル，リアプノフ指数などの解析により非周期振動がカオス振動で‑ある

ことが証明されたが，不変多様休のホモクリニック点の存否によるカオス振動

の有無の判別は二次曲線ばね系と同様に困難で ‑ あるとの結論に到達した.

ー

1 2 2‑

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加

dChauhan ， A . P . ， A s t u d y of

2

ふ

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U n i v e r s i t y

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5 4 ‑ 4 ( 1 9 9 4 )

，

293 ‑1 2 8 ‑

謝辞

本研究を行うにあたり，学部四年生のときの卒業研究から大学院修士課程，

博士後期課程，そして現在に至るまでの長きにわたり懇切丁寧なご指導ご鞭縫を賜りました田村英之教授に深く感謝の意を表します.

また，本論文を作成するにあたり有益なご教示を頂きました，末岡淳男教授，

深田悟教授に感謝の意を表しますとともに，種々の面においてご協力頂いた岡部匡助手，劉孝宏助手，同級生の徐志祥助手，ならびに一緒に研究を行った卒業生の宗和伸行さん，永末良ーさん，修士課程二年生の土生勲さん，

および機械力学研究グループのすべての方々に深くお礼申し上げます.

付録

A

二次曲線ばね系自由振動厳密解の数値化プログラム

二

次曲線ばね 1 自由度振動系の自由振動の厳密解

CALL QUADR(AO

，

Al

，

DO

，

Dl

，

OMG

，

OMl

，

HA

，

AS

，

NN

，

ER

，

ISW

，

ICON)

( 1 )機能

運動方程式 d ? X / d T

+ X + X

= 0

の厳密解のフーリエ展開;

X ( T )

Ho + H

c o s nT + _H2 c o s 2nT + H3 c o s 3nT + . . . ( A . l )

におけるフーリエ係数 : Ho ， Hl ， H2 ， H3 ， . . . ;

最大値

A

m a x ( T ) X ( T ) ，

最少値

(‑D) = m i n ( T ) X ( T )

なる

A ， D; (

それらのコンプリメンタリ)

1 / 2 ‑ A ， 1 ‑ D;

振動数 n ，

(そのコンプリメンタリ)

1 ‑ n などを数値計算する . 与える条件はこれら A ， D ， 1 / 2 ‑ A ， 1 ‑ D ， n ， 1 ‑n のいずれか 1 個とする . 指定された相対誤差を保証するに必要な Hn の次数上限 N(

孟

η ) の近似値を推算する.

( 2 )

パラメータ

AO …入力/出力 . A = m a X ( T ) X ( T ) .

ただし

1 0 ‑

⁷⁰^く

AO

豆

0 . 3 6 6 . ISW = 1 0

の

場合は入力?それ以外は出力.

A l . . . 入力/出力 . 1/2‑A. ただし 1 0 ‑

⁷⁰

< A1

豆

0 . 1 3 4 . ISW=ll の場合は入カヲそれ以外は出力.

DO …入力/出力 . D = 一 m i n ( T ) X ( T ) .

ただし

1 0 ‑

⁷⁰

< DO

0 . 5 . ISW=20 の場合は入力?それ以外は出力.

D1 …入力/出力. 1‑ D. ただし 1 0 ‑

⁷⁰

< D1

孟

0 . 5 . ISW=21 の場合は入力?

それ以外は出力.

OMG … 入力 / 出力 . 円振動数 n. ただし 1 0 ‑

⁷⁰^く

OMG

孟

0 . 9 1 . ISW = 3 0 の場合は入力?それ以外は出力.

OM1 …入力/出力. 1‑n. ただし 1 0 一

70く

OM1

孟

0 . 0 9 . ISW =31

の場合は入

力?それ以外は出力.

HA … 出力 . フーリエ係数 Hn(n = 0 ， 1 ，乞・…).大きさ ( O : N N ) の l 次元配列.

AS … 出力 . だ円関数 : c n [ I ( ( m ) n T / π ] x ゾ [ m I ( ( m ) / π ] のフーリエ係数九 ( η :

奇数)および作業領域.大きさ ( O : N N ) の l 次元配列.

A S ( O ) … 入力 . 所要の NN を推算するための X ( T ) の相対誤差.

A S ( 2 ) … 出力 . A S ( O ) を満足する NN の推定値 [ ( 3 ) b .

①参照].大きさ

( O : N N )

の

l次元配列.

NN … 入力 . フーリエ係数の最高次数 (HA ヲ AS 参照). NN

ミ

2 . ER

… 出力 . 解

X ( T )

の相対誤差の推定値.

ISW … 入力 . 計算条件の指示 . 上述 AO‑‑‑OM1 参照 [(

)内は指定された入力]

: 1 0 ( A O )

，

1 1 ( A 1 )

，

2 0 ( D O )

，

2 1 ( D 1 )

，

30(OMG)

，

31(OM1)

のいずれカ

ICON

…・出力.コンディションコード.

0 は正常終了. 9 0 0 0 0

は

ISW

が上記以外

の指定であったうまたは ISW の値と対応する入力ノマラメータの値の範囲

が対応していないことを意味し計算を打ち切る.

ー

1 3 0 ‑

( 3 ) ^{使用上の注意}

a .使用する副プログラム名

① FORTRAN 基本関数… QSQRT ， QABS ， QLOG ， QEXP ， QCOSH ， QTAN ， QATAN ， IABS ， MAX ， MIN ， ABS

^下

SIGN

②本プログラム中… SOLMQ ^， APRXH ^， SUBR1 ^， O l V I G A J ^， SUBR2 ^， PRSET OM1QO ， SUBR3 ， APROH ， AMPLH ， AMPLJ ， AMPLT ， ERROR ， KANDM ， REGUL

b . 注意

① [ A S ( O ) + 1 0 ‑

³⁵^]

^{により指定される解} X(T) の相対誤差(要求値)を保証する NN の推奨値が A S ( 2 ) に出力される. AS(O)=O とおくと 1 0 ‑

³⁵(，...，

1 語の丸め)を採用したことになる.

②パラメータは一般に 0 または正の値であるが，例外的に出力 Al ， D1 が負値をとることがある.その場合 Al ， Dl はそれぞれ l o g l O ( 1 / 2 ‑ A) ， l o g l O ( 1 ‑ D) を表している.

③ AS ^{に出力される} c n のフーリエ係数(定義に注意)は，計算機 l 語の丸め問題を除いて厳密であるが. HA のほうは AS の項数 NN が有限であるための打ち切り近似値であり，その誤差累積の近似値が ER である.

c .使用例(主プログラムの例)

6 種類のパラメータ AO

^ヲ

DO ， OMl ， Al ， Dl ， OMG に対して，入力値と表 A . l に示した計算過程を経て得られた同じパラメータの出力値を比較しサブルーチンの計算精度の自己点検を行うプログラム.なお.表 A . l における矢印(=>)は矢印の左側のパラメータを入力として，右側のパラメータの計算結果を得ることを示して

いる.

計算作業は，計算機システムとの対話形式で進行し，表 A . l のどの計算過程を実行するのかは，コード番号のキ一入力で選択指示する.計算過程で関連するすべてのパラメータの入力が制限範囲に収まるよう，テストパラメータの可変範囲を設定し，それを等差サンプリングおよび等比サンプリングにより，各 2 0 0 点をスキャンして，各テストパラメータの初期入力と最終出力の相対誤差をプリントアウトする.

表 A . l 計算過程

テストノマラメータ計算過程

AO AO

⁼^今

OM1

^二今

DO

^二今

AO

^二=>

DO = > OMl

⁼^今

AO DO DO

=今

AO

今

OMl

^キ

DO = > OMl

=今

AO

二今

DO OM1 OM1

^キ

DO

^今

AO

=今

OMl

=今

AO

^今

DO

^今

OM1

Al A1

二>O~1G 今 Dl

= > Al

=今

Dl

^キ

OMG=

今

Al

Dl Dl = > Al

^キ

OMG

^今

Dl = > OMG = > Al

^キ

Dl

OMG OMG

今日中

Al = >

O~1G 二今 Al

= > Dl

^キ

OMG

また，その 2 0 0点分の相対誤差に対して絶対値の最大と rms 値を求めてプリントアウトする .図 A . 1にその際のディスプレイ表示の例を示し解説を加えた.また図 A . 2

，.....，

A . 7 に誤差の測定結果を図示した .これから.このプログラムの計算誤差(累積丸め誤差) は，およそ相対誤差の絶対値で 1 0 ‑

³⁰

程度以下と判定される.

00010

* 一一一一一一一一一一一一一一一ー一一ーーー一ーーーーーーーーーーー一一一ーー一一ーー一一一ー一ーーーー一一

‑941226 00020 IMPLICIT REAL*16(A‑H，0‑Z)

00030 PARAMETER (NN=10 ) 00040 DIMENSION AN(NN)，AS(NN) 00050 DATA ISW/ 0/

00060 DATA KPOINT/0200/

00070 DATA KPOIN1/0201/

00080 DATA ER /OQO/

00090 DATA IC01

，

IC02

，

IC03

，

IC04

，

IC05

，

IC06/0

，

0/ 00100 OPEN (10，FILE='A701135.NOTEBK10.DATA')

00110 1 CONTINUE 00120 WRITE(*

， * ) ，

00130 WRITE(*

， * ) ，ーーーーー一一ー一一一一ー一一ー一一一ー一一ーー一ーー一一一ーーー一一一一一ーー一一一 ‑ ，

00140 WRITE(*

， * )

'KEY‑ISW= ????????? .. .NOW.. .ISW='

，

ISW 00150 WRITE(*

， * ) ，ーーーー一ーーー一一ーーーー一一一一一ー一ー一一一一一一ー一一一一一ーーー一一一一一一一

00160 WRITE(*

， * )

'INSTRUCTION.... ISW=10; IN / OUT= AO' 00170 WRITE(

本， * ) ，

ISW=20; IN / OUT= DO' 00180 WRITE(*

，本 ) ，

ISW=31; IN / OUT=OM1' 00190 WRITE(*

， * ) ，

00200 WRITE(*

， * ) ，

ISW=ll; IN / OUT= A1' 00210 WRITE(*

， * ) ，

ISW=21; IN / OUT= D1' 00220 WRITE(*

， * ) ，

ISW=30; IN / OUT=OMG' 00230 WRITE(*

， * ) ，

00240 WRITE(*

， * ) ，

ISW= 0;

ーーー

STOP‑‑‑

，

00250 READ(

* ， * ) 工

SW 00260 IF(ISW.EQ.O) STOP 00270 IS1=ISW

00280 IF(ISW.EQ.l0) CALL SETUP(IS2

，

IS3

，

STA

，

1Q‑34

，

END

，

0.366QO) 00290

工

F(ISW.EQ.20) CALL SETUP(IS2

，

IS3

，

STA

，

1Q‑34

，

END

，

0.500QO) 00300 IF(ISW.EQ.31) CALL SETUP(IS2

，

IS3

，

STA

，

1Q‑70

，

END

，

0.090QO) 00310 IF(ISW.EQ.11) CALL SETUP(IS2

，

IS3

，

STA

，

1Q‑70

，

END

，

O.134QO) 00320 IF(ISW.EQ.21) CALL SETUP(IS2

，

IS3

，

STA

，

1Q‑34

，

END

，

0.500QO) 00330 IF(ISW.EQ.30) CALL SETUP(IS2

，

IS3

，

STA

，

374Q‑04

，

END

，

0.910QO) 00340 ID=O

00350 V =STA

00360 DV=(END/STA)**(lQO/KPOIN1) 00370 3 CONTINUE

00380 ID=ID+1

00390 WRITE(

， *

，

00400 WRITE(10

，

00410 IF(ID.EQ.1) THEN

00420 WRITE(

， *

ホ)

，一一一一一ー一一一ーー

UNIFORM RATIO OF ARG

一一一ー一ーー一一一ー一一ー一一一 ‑ ，

00430 WRITE(10

，

，ー一一一一一一一一ーー

UNIFORM RATIO OF ARG.

ーーーーー一一ー一一一一一一一一一 ‑ ，

00440 END IF

00450 IF(ID.EQ.2) THEN

00460 WRITE( ，* *) ，一一一一一一UNIFORM DIFF. OF ARG.一一一一一一一一一' 00470 WRITE(10

，

^キ)

，ーーー一一一ー一一ー

‑UNIFORM DIFF. OF ARG.

四ー一一ー一一ー一一一一一一ーー一 ‑ ，

00480 END IF

ドキュメント内非対称ばね-自由度力学系の非線形振動に関する研究 (ページ 41-57)

結 論

本論文では非対称ばねの典型として二次曲線ばねおよび空気ばねの二つを取 り上げ，それらのばねによって構成される 一 自由度力学系の非線形振動につい て自由振動と強制振動の解析を行い以下の結論を得た

( 1 ) 二次曲線ばね系および空気ばね系の自由振動

無減衰自由振動の振動波形は，振動数 ωが 1 に近い場合の準線形の振動波形 から， ω

0 の強非線形振動において， 二次曲線ばね系では定振幅超低周波パ ルス列まで，空気ばね系では大振幅の上に凸な放物線を並べたような衝突系に 近い波形まで変化する.

では最大，最小振幅および 1 次の調和振

隔は

d 工面に， 0 次と 2 次の調和振幅は 1 ‑ ω に比例する.空気ばね系の場合，

ω→ 0 の強非線形振動で‑は最小振幅が ‑ 1 に漸近するのを除いて最大振幅とす べての調和振幅は

に反比例し，これらの比は一定になるが，これは波形の 形状は変化せず大きさのみが

に反比例して大きくなることを示している.

また， ω

1 では二次曲線ばね系と良く似た特徴を示す.

( 2 ) 二次曲線ばね系強制振動

振幅特性曲線はすべてスケルトンカーフ。に沿って左に傾き軟性ばね系の傾向

を示し，

2 次分数調波振動は周期倍分岐により発生するものと島状のものが

存在する.また ， P~0 . 2 ではつながっていた曲線が， P

0 . 3 では閉曲線で構

成されるようになるが，これはばねの復原力が f ~ 0 . 2 5 の制限を持つことと大

きく関係していると考えられる.さらに，安定・不安定にかかわらず定常周期

解が全く発生しない振動数範囲が存在することが確認された

安定定常解領域図は ω (

P )=(0

( 3 ) 空気ばね系強制振動

振

隔特性曲線より， 二次曲線ばね系と同様に軟性ばね系の傾向を示すこと，

2 次分数調波振動は調和振動から周期倍分岐して発生し，

3 次分数調波振動 は独立して島状に現れることが明らかになった.さらに P

1 .

の場合，低振 動数の範囲で・最大変位は振動数が小さくなるに従って平均的に大きくなるが，

これも 二次曲線ばね系と同様に，ばねの復原力が/く1. 0の制限を持つことと 大きく関係していると考えられる.

安定定常解領域図はフラクタル構造の特徴を有し，特に励振の振動数が小さ

く励振の振幅が大きい範囲で領域が複雑に分けられることが示され，掃引方向

によって分岐現象が異なるヒステリシスや非周期振動，ウインドウ，カオスの

危機などが分岐図により確認された.また，振動波形，ポアンカレ写像，パワ

スペクトル， リアプノフ指数などの解析により非周期振動がカオス振動で‑ある

ことが証明されたが，不変多様休のホモクリニック点の存否によるカオス振動

の有無の判別は二次曲線ばね系と同様に困難で ‑ あるとの結論に到達した.

1 2 2‑

参 考 文 献

( 1 ) Du

ng

G .

Er

l n g e n eSchwingungen b e i v e r a n d e r l i c h e r E i g e n f r e q u e n z und i h r e t e c h n i s c h e Bedeutung ， ( 1 9 1 8 ) ， 2 5 ， B r a u n s c h w e i g

( 2 ) McLac h 1 a n ， N . W. ， O r d i n a r y N o n l i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ， ( 1 9 5 6 ) ， 39 ， O x f o r d a t t h e C l a r e n d o n p r e s s .

( 3 ) 前沢(分担執筆)， (谷口・ほか 3 7 名 )，振動工 学ノ¥ンドブック， ( 1 9 7 6 ) ，

3 9 0 ，養賢堂.

( 4 ) 田村・松田， 自律性 Du

n g 方程式の厳密解とその計算法( 解の表示 と特性 パ ラ メ ー タ の 試 行 計 算 )， 日本機械学会論文 集 ( C 編 ) . 5 2 ‑ 4 7 8 ( 1 9 8 6 ) ，

1 7 5 0 .

( 5 ) 田村・松田，自律性 D u f f i n g 方程式の厳密解とその計算法(第 2 報，解精度 向上に関する検討二，三)， 日本機械学会論文集 (C 編). 5 3 ‑ 4 8 6 ( 1 9 8 7 ) ，

2 6 1 .

( 6 ) 田村・ほか 3 名，自律性 D u f f i n g 方程式の厳密解とその計算法(第 3 報，準 線形振動に対する特性ノミラメータのべき級数解)， 日本機械学会論文集 (C 編). 5 3 ‑ 4 9 5 ( 1 9 8 7 ) ， 2 1 9 9 .

( 7 ) Ueda ， Y . ， Randomly T r a n s i t i o n a l Phenomena i n t h e S y s t e m Governed by Du

n g ' s E q u a t i o n ， J . S t a t . P h y s . ， 20 ( 1 9 7 9 ) ， 1 8 1

( 8 ) Ueda

Y .

S t e a d y M o t i o n s E x h i b i t e d by Du

n g ' sE q u a t i o n : a P i c t u r e Book o f R e g u l a r a n d C h a o t i c M o t i o n s ， New Approaches t o N o n l i n e a r P r o b l e m s i n Dynamics ， ( 1 9 8 0 ) ， P .

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( 9 ) 津田・ほか 3 名 ， Duffing 系のカオス挙動， 日本機械学会論文集 (C 編 ) ，

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( 1 0 ) Nayfeh ， A . H . a n d Mook ， D . T . ， N o n ) i n e a r O s c i l l a t i o n s ， ( 1 9 7 9 ) ， J o h n W i l e y & S o n s ( 1 1 ) Moon ， F . C . ， C h a o t i c V i b r a t i o n s ， ( 1 9 8 7 )

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( 1 2 ) H e l m h o l t z ， H . L . F ・ ， S e n s a t i o n s of Tone ， ( 1 8 9 5 ) ， 412 ， Longmans Gr e e n & Co . ，

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( 1 3 ) Minorsky ， N . ， I n t r o d u c t i o n t o Non‑Linear Mechanics ， ( 1 9 4 7 ) ， 272 ， 1 . W. Edwards ， An

Ar bo r .

( 1 4 ) 文 献 ( 1 ) ， 4 7 .

( 1 5 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解(その 1 ，解の表示 とフーリエ係数の試行解) ， 日本機械学会論文集 (C 編) ， 5 5 ‑ 5 0 9 ( 1 9 8 9 ) ，

1 3 .

( 1 6 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解〈その 2 ，準線形微 小 振 動 と 強 非 線 形 低 周 波 振 動 ) ， 日 本 機 械 学 会 論 文 集 (C 編)， 5 5 ‑ 5 1 2 ( 1 9 8 9 ) ， 8 2 3 .

( 1 7 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解(その 3 ，フーリエ 係数を決定する超越方程式の陽な解表示) ， 日本機械学会論文集 (C 編 ， )

5 6 ‑ 5 2 5 ( 1 9 9 0 ) ， 1 1 5 5 .

( 1 8 ) P e d e r s e n ， P . O . ， Subharmonics i n Forced O s c i l l a t i o n s i n D i s s i p a t i v e Systems ， 1 . Acous t . S o c . Am ， . Vo . l 6 ( 1 9 3 5 ) ， 227 & Vo . l 7 ( 1 9 3 5 ) ， 64 .

( 1 9 ) R e u t e r

G.E . H .

Subharmonics i n N o n ‑ l i n e a r System w i t h U n s y m m e t r i c a l R e s t o r i n g Force ， Q u a r t . 1 . Mech . & App . l Math . ， Vo . 1 2 ( 1 9 4 9 ) ， 198

結論

本論文では非対称ばねの典型として二次曲線ばねおよび空気ばねの二つを取り上げ，それらのばねによって構成される一自由度力学系の非線形振動について自由振動と強制振動の解析を行い以下の結論を得た

無減衰自由振動の振動波形は，振動数 ωが 1 に近い場合の準線形の振動波形から， ω

0 の強非線形振動において，二次曲線ばね系では定振幅超低周波パルス列まで，空気ばね系では大振幅の上に凸な放物線を並べたような衝突系に近い波形まで変化する.

ω→ 0 の強非線形振動で‑は最小振幅が ‑ 1 に漸近するのを除いて最大振幅とすべての調和振幅は

に反比例し，これらの比は一定になるが，これは波形の形状は変化せず大きさのみが

存在する.また， P~0 . 2 ではつながっていた曲線が， ^P

⁰ ^. ³ ^{では閉曲線で構}

成されるようになるが，これはばねの復原力が f _~ 0 . 2 5 の制限を持つことと大

隔特性曲線より，二次曲線ばね系と同様に軟性ばね系の傾向を示すこと，

3 次分数調波振動は独立して島状に現れることが明らかになった.さらに P

の場合，低振動数の範囲で・最大変位は振動数が小さくなるに従って平均的に大きくなるが，

これも二次曲線ばね系と同様に，ばねの復原力が/く1. 0の制限を持つことと大きく関係していると考えられる.

スペクトル，リアプノフ指数などの解析により非周期振動がカオス振動で‑ある

参考文献

( 3 ) 前沢(分担執筆)， (谷口・ほか 3 7 名 )，振動工学ノ¥ンドブック， ( 1 9 7 6 ) ，

( 4 ) 田村・松田，自律性 Du

n g 方程式の厳密解とその計算法( 解の表示と特性パラメータの試行計算 )，日本機械学会論文集 ( C 編 ) . 5 2 ‑ 4 7 8 ( 1 9 8 6 ) ，

( 5 ) 田村・松田，自律性 D u f f i n g 方程式の厳密解とその計算法(第 2 報，解精度向上に関する検討二，三)，日本機械学会論文集 (C 編). 5 3 ‑ 4 8 6 ( 1 9 8 7 ) ，

( 6 ) 田村・ほか 3 名，自律性 D u f f i n g 方程式の厳密解とその計算法(第 3 報，準線形振動に対する特性ノミラメータのべき級数解)，日本機械学会論文集 (C 編). 5 3 ‑ 4 9 5 ( 1 9 8 7 ) ， 2 1 9 9 .

( 9 ) 津田・ほか 3 名， Duffing 系のカオス挙動，日本機械学会論文集 (C 編 ) ，

( 1 2 ) H e l m h o l t z ， H . L . F ・， S e n s a t i o n s of Tone ， ( 1 8 9 5 ) ， 412 ， Longmans Gr e e n & Co . ，

( 1 4 ) 文献 ( 1 ) ， 4 7 .

( 1 5 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解(その 1 ，解の表示とフーリエ係数の試行解) ，日本機械学会論文集 (C 編) ， 5 5 ‑ 5 0 9 ( 1 9 8 9 ) ，

( 1 6 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解〈その 2 ，準線形微小振動と強非線形低周波振動 ) ，日本機械学会論文集 (C 編)， 5 5 ‑ 5 1 2 ( 1 9 8 9 ) ， 8 2 3 .

( 1 7 ) 田村・李，二次曲線ばね系における自由振動の厳密解(その 3 ，フーリエ係数を決定する超越方程式の陽な解表示) ，日本機械学会論文集 (C 編， )

( 2 0 ) 桂木・桑島非対称復原力を有する振動系の強制振動に関するー近似解法について，日本機械学会論文集， 1 4 ‑ 4 7 ( 1 9 4 8 ) ， 1 0 4 .

( 2 1 ) 桂木・波多野，非線形型復原力を有する振動系の非調和強制力による強制振動に関する一計算，日本機械学会論文集， 1 7 ‑ 5 7 ( 1 9 5 1 ) ， 4 2 .

( 2 2 ) 植木・岡田，非対称型復原力を有する振動系の強制振動について，日本機械学会論文集， 1 7 ‑ 5 7 ( 1 9 5 1 ) ， 4 6 .

( 2 6 ) 砂原・ほか 2 名，周期外力を受けるある非線形力学系のカオス的挙動について，日本機械学会論文集 (C 編 ) ， 5 0 ‑ 4 5 0 ( 1 9 8 4 ) ， 3 2 3 .

動，日本機械学会論文集(C 編 ) ， 5 4 ‑ 5 0 6 ( 1 9 8 8 ) ， 2 8 5 0 .

の基礎的考察，日本機械学会講演論文集 (C 編 ) ， N o . 8 9 0 ‑ 2 6 ( 1 9 8 9 ) ， 4 0 .

( 3 8 ) 村田・他 2 名，空気ばね台車，目立評論， 3 9 ‑ 2 ( 1 9 5 7 ) ， 7 4 .

( 3 9 ) 小田・西村，空気ばね懸架の振動特性とその設計，日本機械学会論文集， 3 5 ‑ 2 7 3 ( 1 9 6 9 ) ， 9 9 6 .

( 4 0 ) 小柳，空気ばね防振系の最適設計法，日本機械学会論文集 (C 編， ) 4 9 ‑ 4 3 9 ( 1 9 8 3 ) ， 4 1 0 .

( 4 1 ) 小柳，空気ばね防振特性に対する非線形性の影響，日本機械学会論文集 (C 編 ) ， 5 2 ‑ 4 8 0 ( 1 9 8 6 ) ， 2 0 8 4 .

( 4 2 ) 小柳，空気ばね車両の輪重減少に対する空気ばね装置非線形性の影響，日本機械学会論文集 (C 編 ) ， 5 4 ‑ 5 0 8 ( 1 9 8 8 ) ， 2 9 8 0 .

( 4 3 ) 高上・神保，空気圧制御による防振装置の研究，精密機械， 5 0 ‑ 6 ( 1 9 8 4 ) ， 9 1 5 .

( 4 4 ) 村田・ほか 2 名，カタストロフィ理論の非線形強制振動への応用，精密学会誌， 5 2 ‑ 8 ( 1 9 8 6 ) ， 1 4 2 6 .

( 4 5 ) 村田・ほか 2 名，非対称型非線形復原力特性を有する空気ばねの強制振動変位加振の場合，精密工学会誌， 5 2 ‑ 9 ( 1 9 8 6 ) ， 1 5 6 7 .

( 4 7 ) 柏崎・ほか 3 名，空気ばねと積層ゴムを組合わせた免振・除振床システムの開発，日本機械学会論文集 (C 編) ， 5 5 ‑ 5 1 2 ( 1 9 8 9 ) ， 8 4 7 .

( 4 9 ) J e t t a p p a ， R.R . ， A s y m m e t r i c Response of a P n e u m a t i c S p r i n g ， 1 . AS . r v 伍， Des Eng ， Vo . l 36 ( 1 9 9 1 ) ， 9 1 .

( 5 0 ) 田村・松崎，二次曲線ばね系自由振動の厳密解とその数値化プログラム，

数値化プログラム，日本機械学会論文集 ( C 編) ， 5 9 ‑ 5 6 7 ( 1 9 9 3 ) ， 3 2 6 7 .

( 5 2 ) 田村・ほか 2 名，ダフイングソフトスプリング系自由振動の厳密解とその数値化プログラム，日本機械学会論文集 (C 編 ) ， 6 0 ‑ 5 7 9 ( 1 9 9 4 ) ， 3 7 1 9 . ( 5 3 ) 機械工学便覧， ( 1 9 7 5 ) ， 2 ‑ 1 5 ，日本機械学会.

( 5 5 ) 田村・松崎，定常振動問題の解と安定判別のための数値解法とそのプログラム，日本機械学会論文集(C 編 ) ， 6 0 ‑ 5 6 9 ( 1 9 9 4 ) ， 3 0 .