ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョン価 格 の 決 定 に つ い て

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ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョン価 格 の 決 定 に つ い て

TheTheoryofEuropeanOptionPricing

板 垣 有記 輔

by YukioITAGAGI

1.ヨmッ パ 型 オ プ シ ョ ソ

2.ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ン 価 格 の 基 本 的 性 質

3.ヨ ー ロ ヅ パ 型 オ プ シ ョ ン 価 格 の 決 定(そ

の1)

4.ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン価 格 の 決 定(そ の2)

5.比 較 静 学

長 い 歴 史 を も つ オ プ シ ョ ン 価 格 理 論 は,1973年,フ ィ ッ シ ャ ー ・ブ ラ ッ ク と マ イ ロ ン ・シ ョ ー ル ズ[4]が ,彼 ら の 記 念 碑 的 論 文 「オ プ シ ョ ン価 格 と企 業 の 負 債 」 に お い て,ブ ラ ヅ ク=シ

ョ ー ル ズ 模 型 を 提 示 し,初 め て 満 足 す べ き ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン均 衡 価 格 式 の 導 出 に 成 功 し て,革 命 的 な 変 化 を 経 験 し た.同 年,ロ バ ー ト ・マ ー ト ソ[17]は,「 合 理 的 オ プ シ ョ ン 価 格 の 理 論 」 に お い て,ブ ラ ッ ク=シ ョ ー ル ズ 模 型 を 拡 張 し,ア メ リ カ 型 を 含 め た オ プ シ ョ ソ 価 格 理 論 の 枠 組 を 提 示 し た.彼 ら の 二 つ の 画 期 的 論 文 は,そ れ 以 後 の 膨 大 な 数 の オ プ シ ョ ン価 格 の 研 究 の 一 切 の 基 礎 と な っ て い る ば か り で な く,そ の 模 型 が 簡 単 で 操 作 性 が 高 い こ と か ら金 融 ・証 券 界 の 実 務 に お い て も現 在 頻 繁 に 利 用 さ れ て い る.

ブ ラ ッ ク=シ ョ ー ル ズ と マ ー ト ソ が 彼 ら の 論 文 で 共 通 し て 用 い た 数 学 的 手 法 は,伊 藤 清 の 確 率 微 分 で あ り,そ れ 以 後,ブ イ ナ ン ス 理 論 の 研 究 に 高 度 な 確 率 解 析 学 を 適 用 す る こ と が 特 に 若

く て 意 欲 的 な 日 欧 米 の ブ イ ナ ン ス 研 究 者 の 間 で し っ か り と根 を お ろ し つ つ あ る.

ブ ラ ッ ク=シ ョ ー ル ズ は,株 価 変 動 が 幾 何 ブ ラ ウ ソ 運 動 に 従 い,市 場 で 危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が 無 い と き,ヨ ー ロ ッ パ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン価 格 は,こ れ が 満 た す べ き2階 の 放 物 型 偏 微 分 方 程 式 を1次 元 の 無 限 に 長 い 棒 の 中 の 熱 伝 導 の 方 程 式 に 変 換 し,そ の 解 と し て 定 ま る こ と を 示 した.し か し,彼 ら は,こ の 熱 伝 導 方 程 式 の 解 法 に つ い て は 明 示 し て い な い の で,コ ル モ ゴ ロ フ;フ ォ ミ ー ン[15コ の 『函 数 解 析 の 基 礎 』 に 述 べ ら れ て い る 解 法 を 用 い て,そ の 説 明 を 第4節 で 与}る こ と は 無 意 味 で は な か ろ う.

ま た,わ れ わ れ は,偏 微 分 方 程 式 を 熱 伝 導 方 程 式 に 変 換 し な い で,A.フ リ ー ドマ ン[7]の

『確 率 微 分 方 程 式 と 応 用 』 の 定 理 を 適 用 し て ヨ ー 冒 ッパ 型 オ プ シ ョ ン 価 格 が,こ れ が 満 足 す べ

き2階 の 放 物 型 偏 微 分 方 程 式 の 解 の 確 率 的 表 示 と し て 直 接 求 め る こ と が で き る こ と を 第3節 で

26季 刊 創 価 経 済 論 集 示 す.こ の 二 つ の こ と を 示 す こ とが,本 稿 の 目的 で あ る.

Vol.XIX,No.3

1.ヨ ー ロ ツ パ 型 オ プ シ ョ ン1)

あ る 普 通 株 に つ い て の ヨmッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ 。 ソ の 買 い 手 は,そ の 発 行 老 に 対 し て そ の 普 通 株(原 株)を,所 定 の 期 日(満 期 日)に,所 定 の 価 格(権 利 行 使 価 格)で,所 定 の 枚 数 だ け 売 る 権 利(プ ッ ト)を 有 し,発 行 者 は,買 い 手 側 か ら の 権 利 行 使 請 求 に 応 ず る こ と が 義 務 づ け られ て い る.こ の プ ッ トの 市 場 価 格 を プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン 価 格 と い う.

同 様 に,ヨ ー ロ ッ パ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 買 い 手 は,そ の 発 行 者 に 対 し て,原 株 を 満 期 日 に 権 利 行 使 価 格 で 所 定 の 枚 数 だ け 買 う権 利(コ ー ル)を 有 し,発 行 者 は,買 い 手 側 か ら 権 利 行 使 請 求 が あ れ ば,こ れ に 応 じ な け れ ば な ら な い.こ の コ ー ル の 市 場 価 格 を コ ー ル ・オ プ シ ョ ン 価 格 と い う.

プ ッ トの 買 い 手 は,満 期 日 の 株 価 が 権 利 行 使 価 格 を 下 回 っ た と き 権 利 行 使 す れ ば,安 い も の を 高 く売 る こ と が で き,権 利 行 使 価 格 と 株 価 の 差 額 を 得 る こ と が で き る が,プ ッ ト の 発 行 者 は,安 い も の を 高 く 買 わ ざ る を 得 ず,プ ッ トの 買 い 手 の 利 益 と丁 度 同 額 だ け 損 を す る.株 価 が 権 利 行 使 価 格 以 上 の と き,プ ッ トの 買 い 手 は,高 い も の を 安 く売 る こ と を 回 避 す る た め,売 る 権 利 を 失 効 さ せ る の で,買 い 手 も 発 行 者 も 損 得 な し で あ る.

同 様 に,コ ー ル の 買 い 手 は,満 期 日 の 株 価 が 権 利 行 使 価 格 を 上 回 っ た と き 権 利 行 使 す れ ば, 高 い も の を 安 く買 う こ と が で き,株 価 と 権 利 行 使 価 格 の 差 額 だ け 得 を す る が,こ の と き コ ー ル の 発 行 者 は,高 い も の を 安 く売 る こ と を 余 儀 無 く さ れ,コ ー ル の 買 い 手 の 利 益 と 同 額 だ け 損 を す る.株 価 が 権 利 行 使 価 格 以 下 の と き,コ ー ル の 買 い 手 は,安 い も の を 高 く 買 う愚 を 避 け る た め,買 う権 利 を 失 効 さ せ る で あ ろ うか ら,買 い 手 も 発 行 者 も 損 得 な し と な る.

こ の よ うに,ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ソ の 買 い 手 の 満 期 日 の 利 得 は,原 株 の 満 期 日 の 株 価 に 依 存 し て 決 ま る が,満 期 日 以 前 に は,こ の 原 株 の 満 期 日 の 株 価 は 不 確 実 で あ る の で,ヨmッ パ 型 オ プ シ ョ ン か ら 得 られ る 利 得 も不 確 実 で あ る.つ ま り,ヨmッ パ 型 オ プ シ ョ ン か ら 得 ら れ る 期 待 利 得 の 大 き さ は,原 株 の 満 期 日 の 株 価 が 権 利 行 使 価 格 を 下 回 る あ る い は 上 回 る 確 率 と, 満 期 日 の 株 価 と権 利 行 使 価 格 の 差 額 に 依 存 す る の で,結 局,ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン 価 格 は,

ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ソ か ら得 られ る 期 待 利 得 の 割 引 現 在 価 値 と し て 定 ま る で あ ろ う.

注1)コ ッ ク ス=ル ー ビ ン シSタ イ ン[6コ,第1章 を 参 照.

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー 巨 ッ パ 型 オ プ シ ョ ソ 価 格 の 決 定 に つ い て

2.ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ン価 格 の 基 本 的 性 質2)

投 資 家 が 合 理 的 に 行 動 し,危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な く な る と い う状 況 の も と で 成 立 す る ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ソ 価 格 の 基 本 的 性 質 を 示 す.こ こ に,「 危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 」 と は,純 投 資 な し で 資 産 を 運 用 し て 直 ち に 利 益 を 上 げ,原 株 の 将 来 り 株 価 の 高 低 と は 無 関 係 に,将 来 も 損 を し な い 機 会 の こ と で あ る.

次 の よ う に 記 号 を 定 め る.

s:原 株 の 株 価,

.P:ヨ ー ロ ッパ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ソ 価 格, C:ヨmッ パ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン価 格, K:権 利 行 使 価 格,

T:満 期 日, ':現 在 の 日 付 け,

τ:満 期 日 ま で の 残 存 日数(T‑t),

Y:安 全 資 産 の 連 続 複 利 型 利 子 率(一 定),

模 型 の 基 本 的 仮 定 は 次 の と お り で あ る.

仮 定1税 金 お よ び 取 引 費 用 が な い.

仮 定2原 株 に 対 す る 配 当 支 払 が な い.

仮 定3空 売 りに 制 限 が な い.

仮 定4‑・ 定 の 利 子 率rで 資 金 の 貸 し借 りが 自 由 に で き る.

仮 定5ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン を 自 由 に 発 行 す る こ と が で き る.

仮 定6原 株,オ プ シ ョ ソ,安 全 資 産(当 座 預 金 や 安 全 割 引 債 券 な ど)の3種 類 の 資 産 が あ る.

仮 定7ポ ー ト フ ォ リ オ の 調 整 は い つ で も 自 由 に 瞬 時 に 行 う こ と が で き る.

最 初 に ヨ ー ロ ッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン に つ い て 成 立 す る 基 本 的 性 質 を 述 べ る.

命 題1満 期 日Tの プ ッ ト 。オ プ シ ョ ン価 格P(T)に つ い て,

P(T)=Max[K‑s(T),0]

注2)コ ッ ク ス=ル ー ビ ソ シ ュ タ イ ソ,第2章 お よ び 第4章 を 参 照.

2$

が 成 立 す る.

季刊 創 価 経 済 論 集

Vol.XIX,No.3

証 明K>s(T)な ら,プ ッ トの 買 い 手 は 売 る 権 利 を 行 使 し て,プ ッ トの 発 行 者 に 対 し て S(T)円 の 原 株 をK円 で 売 り,K‑S(T)の 利 得 を 得 る.IK≦s(T)な ら,売 る 権 利 を 失 効

さ せ 損 得 な し.し た が っ て,プ ッ トの 満 期 日 の 価 値 は,

Max[K‑S(T)・ ・]一{K‑S

O(T)ll誇:S(TS(T:麓

で あ る.よ っ て,も しP(T)<Max[1(‑S(T),0]な ら,プ ッ トに 買 い 注 文 が 殺 到 し,プ ッ ト価 格 は 騰 貴.も しP(T)>Max〔K‑S(T),0]な ら,プ ッ ト売 り注 文 が 殺 到 し,プ ッ ト価

格 は 下 落.結 局,均 衡 に お い て は,(1)が 成 立 す る.証 了

命 題2危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な く な る と い う状 況 の も と で は, i)P>0,

ii)K>P.

証 明i)も し,P<oで あ れ ば,P円 支 払 っ て,す な わ ち 一IP(>o)円 受 取 っ て,プ ッ トを 買 い,満 期 日 にMax[K‑S(T),0](≧0)円 の 利 得 を 得,s(T)の 如 何)/Tか か わ らず 損 を し な い.こ れ は,危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な い と い う こ と に 矛 盾 す る.よ っ て,P≧0.

ii)も しK<IPな ら,.P円 で プ ッ トを 発 行 しK円 当 座 預 金 に 預 け れ ぽ,直 ち にP‑K (>0)円 得 る.満 期 日 に,K>s(T)な ら,振 り出 し た プ ッ トの 買 い 手 が 権 利 行 使 す る の で, 当 座 預 金 か ら 引 き 出 し たK円 で 株 を 買 わ ざ る を 得 な い が,手 許 にS(T)(≧0)円 の 株 が 残 る.

K≦s(T)な ら,プ ッ トの 買 い 手 は 権 利 を 失 効 さ せ る の で,当 座 預 金 か ら 引 き 出 し たK(≧0) 円 が 残 金 と し て 残 る.こ の よ う にS(T)の 如 何 に か か わ ら ず 損 を し な い が,こ れ は,危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な い と い う こ と に 矛 盾 す る.よ っ て,K≧IP.証 了

命 題3危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な く な る と い う状 況 の も と で は, K=0な ら 」P=0.

証 明 命 題2よ り,K≧.P≧0で あ る か ら,K=0な ら,0≧P≧0.よ っ てP=0.証 了

次 に ヨ ー ロ ッパ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン に つ い て 成 立 す る 基 本 的 性 質 に つ い て 述 べ る.

命 題4満 期 日 の コ ー ル ・オ プ シ ョ ン価 格C(T)に つ い て, C(T)‐Max[S(T)‐K,0](2)

が 成 立 す る.

証 明s(T)>Kな ら,コ ー ル の 買 い 手 は 買 う権 利 を 行 使 し て,コ ー ル の 発 行 者 に 対 し て

S(T)円 の 原 株 をK円 で 買 う と 同 時 に,こ の 株 を 市 場 でS(T)円 で 売 れ ば,直 ち にS(T)一

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ソ 価 格 の 決 定 に つ い て2g

・K(>0)円 得 る.s(T)≦Kな ら,コ ー ル の 買 い 手 は,買 う権 利 を 失 効 さ せ て 損 得 な し.し た が っ て,こ の コ ー ル の 満 期 日 の 価 値 は,

Max[s(T)K,・]一{s(T)

〇‑K:1鴇1掻 麓

で あ る.よ っ て,も しC(T)<Max[S(T)‑K,0]な ら,価 値 よ り安 く買 え る の で コ ー ル に 買 い 注 文 が 殺 到 し,コ ー ル 価 格 は 騰 貴.も しC(T)>Max[s(T)‑K,0]な ら,価 値 よ り高

く 売 れ る の で コ ー ル に 売 り注 文 が 殺 到 し,コ ー ル 価 格 は 下 落.結 局,均 衡 に お い て は,(2)が

成 立 す る.証 了

命 題5危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な くな る と い う状 況 の も と で は, i)C>̲0,

ii)s≧C.

証 明i)も し,c<oで あ れ ば,c円 支 払 っ て,す な わ ち 一c(>o)円 受 取 っ て,コ ー ル ・オ プ シ ョ ソ を 買 い,満 期 日 にMax[s(T)‑K,0コ(≧0)円 の 利 得 を 得,s(T)の 如 何 に か か わ ら ず 損 を し な い.こ れ は 危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な い と い う こ と に 矛 盾 す る.よ

っ て,C≧0.

ii)も しS<cな ら,コ ー ル をc円 で 発 行 す る と 同 時 に 株 を 市 場 でs円 で 買}ば,直 ち にC‑s(>0)円 得 る.満 期 日 にs(T)>Kな ら コ ー ル の 買 い 手 が 権 利 行 使 す る の で,保 有 す る 株 を コ ー ル の 買 い 手 に 譲 渡 し てK円 を 得 る.s(T)≦Kな ら,コ ー ル の 買 い 手 は 権 利 を 失 効 さ せ る の で,s(T)(≧0)円 の 株 が 手 許 に 残 る.こ の よ う にS(T)の 如 何 に か か わ らず 損 を し な い が,こ れ は,危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な い と い う こ と に 矛 盾 す る.よ っ て,

s≧C.証 了

命 題6危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な くな る と い う状 況 の も と で は, s=0な らC=0.

証 明 命 題5よ り,S≧C≧0が 成 立 す る の で,も しs=oな ら,0≧C≧0,よ っ て,C=0.

証 了 最 後 に,配 当 支 払 の な い 株 式 に 対 す る ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ソ の,プ ッ トと コ ー ル の パ リ テ ィ関 係 式 に つ い て 述 べ る.

命 題7危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な く な る と い う状 況 の も と で は,現 在 ≠日 に C(t)=P(t)十S(t)‑Kexp(‐rr)(3)

が 成 立 す る.

証 明 ま ず 現 在t日 にC(t)>P(t)+S(t)‑Kexp(‑YT)で あ る と 仮 定 す る.こ の と き,

コ ー ル をC(t}円 で 売 り,プ ッ ト と株 を そ れ ぞ れP(の 円,S(の 円 で 買 い,償 還 期 間 τ(=T

3・ 季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XIX,No.3

‑t) ,額 面1円,利 子 率rの 安 全 割 引 債 を1単 位 当 りexp(‑rT)円 でK単 位 売 れ ば,直 ち に,C(')‑P(')‑s(の+Kexp(‑7τ)(>0)円 得 る.満 期 日Tに お い て,s(T)>Kな ら, 売 却 し た コ ー ル の 買 い 手 が 権 利 行 使 請 求 を す る の で,保 有 す るs(T)円 の 株 を コ ー ル の 買 い 手 にK円 で 売 り,こ の 売 却 代 金 を そ っ く り安 全 割 引 債 の 償 還 に あ て る.も し,S(T)=Kな

ら,オ プ シ ョ ン の 権 利 行 使 は さ れ ず,保 有 す るs(T)円 の 株 式 を 市 場 でK円 で 売 却 し,こ の 売 上 代 金 を ま る ま る 安 全 割 引 債 の 償 還 に あ て る.も しs(T)<Kな ら,コ ー ル の 買 い 手 は 権 利 を 行 使 し な い.そ こ で,保 有 す る プ ッ トの 権 利 を 行 使 し て,所 持 す るS(T)円 の 株 をK円 で 売 り,こ の 売 上 代 金 を 安 全 割 引 債 の 償 還 に あ て る.こ の よ うに し て,現 在t日 に 正 の 金 額 を 得,満 期 日Tに,s(T)の 如 何 に か か わ ら ず 損 得 な し と な る.こ れ は 危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な い と い う こ と に 矛 盾 す る.

次 に,現 在t日 にC(の<P(の+S(t)‑Kexp(‑Yz)で あ る と 仮 定 す る.こ の と き,コ ー ル をC(の 円 で 買 い,プ ッ トをP(t)円 で 売 り,株 をs(の 円 で 空 売 り し,償 還 期 間 τ,額 面1 円,利 子 率Yの 安 全 割 引 債 を1単 位 当 りeXP(‑7τ)円 でK単 位 買 え ば,直 ち に,P(t)+

S(')‑C(t)‑Kexp(‑7τ)(>0)円 得 る.満 期 日Tに お い て,S(T)>Kな ら,プ ッ トの 買 い 手 は 権 利 を 失 効 さ せ る.そ こ で,保 有 す る コ ー ル の 権 利 を 行 使 し てS(T)円 の 株 を,安 全 割 引 債 の 償 還 に よ っ て 戻 っ たK円 で 買 い,こ の 株 を 空 売 り した 際 の 貸 主 に 返 却 す る.S(T)=

Kな ら,オ プ シ ョ ン の 権 利 行 使 は さ れ ず,保 有 す る 安 全 割 引 債 の 償 還 に よ っ て 得 たK円 で, 株 を 市 場 か ら 買 い,こ れ を 貸 主 に 返 え す.S(T)<Kな ら,売 却 し た プ ッ トの 買 い 手 か ら権 利 行 使 請 求 が あ る の で,s(T)の 株 を,保 有 す る 安 全 割 引 債 が 償 還 さ れ て 戻 るK円 で 買 い,こ れ を 貸 主 に 返 却 し,保 有 す る コ ー ル の 権 利 は 失 効 さ せ る.こ の よ うに し て,現 在 渉 日 に 正 の 金 額 を 得,満 期 日Tに,S(T)の 如 何 に か か わ ら ず 損 得 な し と な り,危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が な い と い う こ と に 矛 盾 す る.

以 上 よ り,結 局,危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が 最 早 存 在 し な い と い う状 況 の も と で は,

(3)が 成 立 し な け れ ば な ら な い.証 了

3.ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ヨ ン価 格 の 決 定(そ の1)

2で 採 用 し た 仮 定1‑7に 加 え て,原 株 の 株 価 の 変 動 に つ い て,次 の 仮 定 を 置 く.

仮 定8原 株 の 株 価S(の は,次 の 幾 何 ブ ラ ウ ン 運 動 dS(t)=aS(t)dt‑1‑Qdz(t}(4)

に 従 う確 率 過 程 で あ る.こ こ に,α,6は そ れ ぞ れ 正 の 定 数 で,dz(t)は,標 準 ブ ラ ウ ソ 運 動 Z(の の 確 率 微 分 で,

Prob(z(0)=0)=1,(5)

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ン 価 格 の 決 定 に つ い て3・

E[z(S)‑z(t)]=0,(6)

E[(z(S)‑z(t))2]=1∫ 一'1,(7) で あ る.

(6)か らE(dz(t))・=0で あ る の で, α=づ'‑IE[as(の/s(の]

σ=(dt‑1V[dS①/s⑦ コ)1/2

と な り,(4)の 右 辺 の α は 原 株 の 株 価s(t}の 予 想 瞬 間 変 動 率,Qは 原 株 の 株 価 の 瞬 間 変 動 率 の 標 準 偏 差(ボ ラ テ ィ リ テ ィ)で あ る こ と を 示 す.

補 題1幾 何 ブ ラ ウ ン 運 動(4)に 従 う原 株 の 株 価s(S)(S>t)は, E[s(S)lSα)]=S(のexp[α(S‑t}](8)

と 密 度 関 数

ノ(s(S)IS(t))一(s(蜘 露)‑1exp[一 去(lnS(s)一 一h¥2k)],・<s(S)<・ ・,(9)

を もち,対 数正規分布に従 う.但 し,こ こに

h=1nS(t)一}‑Ca‑Z62)(s‑t)(10)

k=(62(S‑t))1/2(11) で あ る.

証 明 ま ず(4)と(dt)2=0,dtdz(の=0,(dz(t))2=dtと か ら, (dS(t))2=(aS(t)dt+6S(t)dz(t))2

=α2S2(の(dt)2‑}‑2a6S2(t)dtdz(の+6252(の(dz(♂))2

‑625'2(t)dt .(12)

次 に,(4)の 解s(t)に 対 し てInS(t)の 確 率 微 分 を(4)と(12)に 留 意 し て 求 め れ ば,

dlnS(の 一(dlnS(t)/dS(t))dS(の+2(dzlnS(の/dS2(t))(dS(の)・

=dS(t)/S(t)‐(1/2S2(t))Q2S2(t)dt

‑(1x̲262)dt+6dz(の ・

この両辺をtか らSま で積分すれば

InS(S)‑lnS{t)+(α 一 吉 ♂)(s一 の+Q(z(S)‑9①)・(13)

よって,

S(・)=S(のexp[(α 一 告 ♂)(s一 の+σ(z(S)‑z(t))](14)

は,(6),(10),(13)か ら,対 数 平 均

32季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XIX,No.3

E[lnS(S)IS(の]‑lnS(t)+(α 一1

26・)(・ 一 の 一h を も ち,こ れ と(7),(11),(13)か ら,対 数 分 散 を

γ、(lnS(S))=62(S一 の=k2

も つ の で,密 度 関 数(9)を も ち,対 数 正 規 分 布 に 従 う.

最 後 に,(8)の 成 立 す る こ と を 示 す.そ の た め, Q(S)=exp[6(z(S)‑z(の)](15)

と お け ば,

dQ(s)=6exp[6(z(s)‐z(t))]dz(s)+262exp[6(z(s)‐z(t))](dz(s))2

=6exp[6(z(s)‐z(t))]dz(s)+262exp[Q(z(s)‐z(t))]ds

で あ るか ら

Q(S)‑Q伽 ∫:exp[・(Z(u)‑z(t))]dz(u)+26・ ∫:exp[6(z(u)一 ・(t))]du

と な る.よ って,確 率 積 分 の 性 質

E{∫:(・)dz(のls(の}=o

E[Q(S)1期 一E[Q(t)IS(t)〕+6E{S('))コ 姻IS(t)}

+告 σ・E{∫:exp〔6(z(u)‑z(t))]4刎S(の}

‑Qα)+1

26・ ∫:E{exp[6(z(u}‑z(の)]is(の}du

‑1+26・ ∫:E[Q(のls(の]du

と な る か ら,

dE[Q(S)ls(の]/d・=262E[Q(s)ls(の] 1

と な り

E[Q(・)ISα)]‑E[Q(t){S(彦)コexp[1̲26・(・ 一 の]

一 ・xp[1

26・(・‑t)]

と な る.(14)か ら,

E[s(S)is(の]=E{s(t)exp[(1a‑‑

26・)(S‑t}+σ(z(S)‑z(の)S(の}

=S(≠)exp[(1a‑2d・)(・‑t)]・E{exp[6(z(・)‑z(t))コis(t)}

(16)

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー 巨 ッパ 型 オ プ シ ョ ン 価 格 の 決 定 に つ い て33 (15)か ら

sit)・xp[(α 一 壱 ♂)(S‑')]・E[Q(S)is(の]

(16)か ら

一S(t)exp[(α 一12

26)(3一 の]exp[622(S一 の]

=s(のexp[α(S一 の]

と な り,(8)が 成 立 す る.証 了

権 利 行 使 価 格K,安 全 資 産 利 子 率Y,ボ ラ テ ィ リ テ ィd',満 期 日Tを 所 与 とす れ ば,現 在 t日 の ヨ ー ロ ッパ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ソ価 格 は,株 価S(の と 時 間'の 関 数1)(S(の,t;K,Y, 6,T)で あ る が,簡 単 にP(s(t),の 、 と 表 わ す.

い ま,株 式 を1単 位 空 売 り し,プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン を1単 位 を 買 う ポ ー トフ ォ リ オ を 組 む と す る.こ の ポ ー ト フ ォ リオ の 市 場 価 値P(s(の,t}‑ts(t)は,微 小 期 間[t+dt,月 の 間 に,

4P(S(の,渉)‐ldSCt)

=a

tat+aSdS+羅(dS)・ ‐ldS (4),(12)か ら

一 霧 畷 懇)(aSdt+Qdz)+2

2aS262SZdt

‑[aPat+α(器 一うs+器 墨 碑'+d(墓 一り虎

だ け 変 化 す る.い ま aPC17)1

= as

と す れ ば,上 式 の 唯 一 つ の 掩 乱 的 変 数dzの 係 数 が 零 と な る の で,株 式 を ∂」P/∂s単 位 空 売 り し,プ ッ ト ・オ プ シ ョ ソ を1単 位 買 う ポ ー トフ ォ リオ を 組 む と原 株 の も つ 危 険 を 完 全 に 回 避 し て,微 小 期 間[≠+dt,凋 の 間 に,収 益

6P‑(∂P/∂S)dS=(oPat+告 鐸 ♂ 乎)dt(・8)

を 確 実 に 獲 得 で き る.こ の と き,株 式 を ∂P/∂s単 位 空 売 り し,プ ヅ ト ・オ プ シ ョ ン を1単 位 買 うあ る い は 株 式 を ∂P/∂s単 位 買 い,プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン を1単 位 空 売 りす る ポ ー ト フ ォ リ

オ を 完 全 ヘ ッ ジ ・ポ ー トフ ォ リ オ あ る い は 危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー トフ ォ リ オ と い い,∂P/∂sを 完 全 ヘ ッ ジ 比 率 と い う.

完 全 ヘ ッ ジ ・ポ ー トフ ォ リ オ と安 全 資 産 と の 間 に 裁 定 行 為 が 働 い て,市 場 価 値P‑(∂P/

∂s)sを も つ 完 全 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リオ の 微 小 期 間 口+dt,月 に 上 げ る 収 益(18)は,同 額 lP‑(∂P/∂S)Sを 同 期 間 口+dt,月 の 間 安 全 資 産 で 運 用 した と き に あ が る 収 益[P‑(∂IP/∂S)

・s]rdtと 等 し く な け れ ぽ な ら な い か ら ,

34季 刊 創 価 経 済 論 集

∂P/∂t+去{輩躍 一(PaSsン

が 成 立 す る.

い ま,幾 何 ブ ラ ウ ソ運 動 dS(t)=rS{t)dt+aS(t)dz(t) に 対 す る 微 分 生 成 作 用 素

9‑7s(の 誌+262s2(の ∂a2s2 を 用 い て,(19)を 表 示 す れ ば,

一 ∂P(S(t)

,の/∂t+71)(s(の,の=9P(S(の,の と な る.

Vol.XIX,No.3

(19)

C4)'

(20)

(21)

命 題8偏 微 分 方 程 式 一 ∂P(S(の

,の/∂t+rP(S(の,t(=.」'(s(の,の(21) と そ の 境 界 条 件 を

P(S(T),T)=Max[K‑S(T),0](1)

満 た す 危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー トフ ォ リ オ を 組 む と き の ヨmッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン 価 格 lP(s(の,の は,一 意 的 に 存 在 し,

P(S(の,t)=E{exp(‑rr)Max[K‑S(T),0]lS(の}(22)

と 確 率 論 的 に 表 示 で き る.こ こ に,9は 危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー トフ ォ リ オ を 組 む と き の 原 株 の 株 価 の 変 動 方 程 式

dS(t)=rS(t)dt十6S(t)dz(t)(4}' に 対 す る 微 分 生 成 作 用 素 で

9‑7Sα)aas+2×252(t)a2as、(2・)

で あ る.

証 明A.フ リ ー ドマ ン[7コ の 『確 率 微 分 方 程 式 と 応 用 』 第1巻 の 第6章,第5節 「 偏 微 分 方 程 式 の 解 の 確 率 論 的 表 示 」 の 定 理5.3,148‑149頁 を 参 照 す れ ば 明 ら か.証 了

こ の 命 題 は,株 価 が 幾 何 ブ ラ ウ ン運 動 に 従 い,市 場 で 危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が 無 い と き,ヨ ー ロ ッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン価 格 が,こ れ が 満 足 す べ き2階 の 放 物 型 偏 微 分 方 程 式 の 解 の 確 率 的 表 示(プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 収 益 の 割 引 現 在 価 値 の 数 学 的 期 待 値)と し て 求 め る こ

と が で き る こ と を 示 し て い る.

危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リオ を 組 む と き の 原 株 の 株 価 の 変 動 方 程 式(4)'に 補 題1を 適 用 ま れ ば,次 の 命 題 を 得 る.

命 題9危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー トフ ォ リ オ を 組 む と き の 原 株 の 変 動 方 程 式

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー一ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ソ 価 格 の 決 定 に つ い て35 dS(の==rS(t)4'十 σS(t)dz(の(4),

の 満 期 日Tの 解s(T)は,平 均

E[S(T)lS(の]=s(のexp(YT)(8)' と 密 度 関 数

f(s(T)18('))一(s(T)脚 翫)一 ・exp[12(lnS(Tk)‑h]・ ・<s(T)<蒐

C9)' を も つ,対 数 正 規 分 布 に 従 う.但 し,こ こ に

h=1nS(の+(r‑2Q・)T,(・ ・)'

k=(Q2T)1/2Cll)/

で あ る.

証 明 補 題1に お い て,α=r,s=Tと お け ぽ 明 ら か.証 了

命 題8の(22)と 命 題9の(9)'か ら,危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ ポ ー ト フ ォ リ オ を 組 む と き の ヨ ー ロ ッ パ 型 プ ッ ト ・ オ プ シ ョ ン 価 格P(S(の,の は,

P(S(の,t)=E{exp(‑rz)Max[K‑S(T),0コ!S⑦}

‑・xp(‑r・)∫ K

...(K‑S(T))ノ(S(T)is(の)dS(T)

=exp(一Y2')∫ 臨(K‑S(T))(S(T)妬)一 ・

・exp卜 去(lnS(ぎ)‑h)一]dS(T)

InS

y=(T)一 k 処 お け ば,

=exp(‑r・)lnK‐hw

‐k(K̲eyk+ゐ)(Byk+力 砺)一;e‑!y2kz・key+hdy

=exp(‑YZ')K∫ir(V飯)弓 ガ 劫 の

‐exp(InK̲ゐ一r・)∫

一蕊(亟)一 ・1eyk+he‑2y2dy

2番 目 の 積 分 に お い てv=y‑kと お け ば

一exp(‑YT)K∫ 窒 ゐ(板)‑1召 一静 の

ム

ーexpC7τ 袴)∫i筆(N!iあ)一 ・̲IUzeadv

36

=exp(‑7τ)・K・N(

季刊 創 価 経 済 論 集

1nK‐h

)

Vol.XIX,No.3

(あ西

一一exp(An‑rz+h+

2)・N(

InK‐h

(ち西 )(ん

一

(10)',(11)'か ら

σべ 〆Z

rin(K/S

‐S(t)・Nt(繋+劫 〉)

で あ る.こ こ に,ヱV(・)は 標 準 正 規 分 布 累 積 分 布 関 数 で N(x)‑1,(〜/宏)一 ・θ一吉メ の

一〇〇

で あ る.よ っ て,次 の 命 題 を 得 る.

=exp(‑rz)・K・N

In(K/S(t))一,.一 告 ン)

命 題10危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リ オ を 組 む と き の ヨmッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン 価 格P(S(t),渉)は,

P(S(t),の=jK〔exp(‑Yz)コ1>(̲p十a>/Z)‑S(t)2>(一 ρ)(23) と し て 決 定 され る.但 し,こ こ に,ρ は

ρ 一[ln(S(の/K)+(r+1Z26)・]/σV7(24) で あ る.

標 準 正 規 分 布 累 積 分 布 関 数N(・)の 性 質 N(一 め=1‑N(x)

ヨ ー ロ ッ パ 型 プ ッ ト と コ ー ル の パ リ テ ィ 関 係 式(命 題7の(3))お よ び ヨ ー ロ ッ パ 型 プ ッ ト ・ オ プ シ ョ ン 価 格 決 定 式(23)か ら,危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リ オ を 組 む と き の ヨ ー ロ ッ パ 型

コ ー ル ・ オ プ シ ョ ソ 価 格C(S(の,の は,

C(S{t),t)=P(S(t),t}‑1‑S(t)‐Kexp(‐rz)

=K[exp(‑Yz)]N(一 ρ十 σ《/Z')‑s(t}!>(P)十sit)‑Kexp(‑YT)

=S(t)[1‑N(P)]‑K(exp(‑YT)][1‑1>(・P十(ア 〜/T)]

=S(の1>(ρ)‑K〔exp(‑rz)]N(ρ 一 一σへ/T) と し て 決 定 さ れ る.よ っ て,次 の 命 題 を 得 る.

命 題Z1危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リ オ を 組 む と き の ヨmッ パ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ソ 価

格C(S(の,の は,

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン価 格 の 決 定 に つ い て37 C(s(t),t)=S(t)N(ρ)‑K[exp(‑rT)コN(ρ 一Q〜/T)(25)

と し て 決 定 さ れ る.

(23),(25)を ブ ラ ッ ク=シ ョ ー ル ズ の 公 式 と い い,危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リオ を 組 む と き の 現 在t日 の ヨ ー ロ ッ パ 型 オ プ シ ョ ソ 価 格 が,現 在t日 の 株 価s(t),権 利 行 使 価 格 」 配 現 在t日 か ら 満 期 日Tま で の 残 存 日数 τ,株 価 の 予 想 価 格 変 動 性(ボ ラ テ ィ リテ ィ)Qお よ び 安 全 資 産 の 収 益 率rに 依 存 し て 決 定 さ れ る こ と を 示 し て お り,(8)で 示 さ れ た 原 株 の 予 想 収 益 率 α や 投 資 家 の 危 険 に 対 す る 態 度 に 依 存 し な い こ と を 示 し て い る.

4.ヨ ー ロ ツパ 型 オ プ シ ヨ ン価 格 の 決 定(そ の2)

前 節 で は,ヨ ー 一ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ソ価 格 を,こ れ が 満 足 す べ き2階 の 放 物 型 偏 微 分 方 程 式 の 解 の 確 率 表 示 と し て 求 め た.本 節 で は,前 節 と 同 じ く株 価 変 動 が 幾 何 ブ ラ ウ ン 運 動 に 従 い,市 場 で 危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が 無 い と の 仮 定 の も と で,ヨmッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン

価 格 は,こ れ が 満 た す べ き2階 の 放 物 型 偏 徴 分 方 程 式 を1次 元 の 無 限 に 長 い 棒 の 中 の 熱 伝 導 の 方 程 式 に 変 換 し,そ の 解 と し て 定 ま る こ と を 示 す.特 に,こ の 熱 伝 導 方 程 式 の 解 法 に つ い て 詳

し い 説 明 を 与 え る.

前 節 で 示 し た よ うに,株 価 変 動 が 幾 何 ブ ラ ウ ン運 動 に 従 い,市 場 で 危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が 無 い と き,ヨ ー ロ ッパ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ソ 価 格P(S(の,の は,2階 の 偏 徴 分 方 程 式

一 ∂P(s(の

,の/∂t+Y二P(S(t>,の=」'(s(の,の(21) と そ の 境 界 条 件

P(S(T),T)=Max[K‐S(T),0](1)

を 満 た す 解 と し て 求 ま る.こ こ に 微 分 生 成 作 用 素9は, 9‑7S(at>as+2a2S・(の 券(2・)

で あ る.

(21)を1次 元 の 熱 伝 導 方 程 式 に 変 形 す る た め に,

u=1n(sit)/K)+(桔 ♂)T,(26)

s=2Q2z,s>OC27)

P(S(の,t>= .Z)(u,S)exp(‑rz)(28) と 変 数 変 換 す る.こ れ よ り,

au/as=1/s,

38'季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XIX,No.3

a2u/as2=‐1S2,

∂u/∂ト(Y→ σ・)

as/aS‐0,

as/at=‐262

で あ る か ら,

∂P/∂s(≠)π/s)exp(‑yz),

∂2p/∂S2=〔(1》uu‑1》u)/S2]exp(‑YZ'),

aP/at=[rp‐(r‐2Q2}pu‐262ps]exp(一7τ)

と な る.こ れ ら を(21)に 代 入 し て 整 理 す れ ば,

・i262(p、‑puu)exp(‑7τ)

と な り,結 局,

∂p(u,S)/∂s=∂21)(u,S)/∂u2(29)

な る1次 元 の 熱 伝 導 方 程 式 を 得 る.ま た,'=Tす な わ ち τ=0の と き,(26)よ り u=1n(S(T)/K)i≡ ≡ …Oass(T)≡ ≡K(30)

で,

S(T)=Kexppu,(31) で,(27)よ り

s=0.C32)

(1),(28),(30)一(32)よ り,(29)の 境 界 条 件

p(u,・)‑P(S(T)・T)一{K‑SO(T):紮 歪:1:劣 盈

一{K‑Kexpu,

0,1擁 二1(33)

を 得 る,こ の よ うに し て,境 界 条 件(1)を も つ2階 の 偏 微 分 方 程 式(21)は,境 界 条 件(33)を も つ1次 元 の 無 限 に 長 い 棒 の 中 の 熱 伝 導 方 程 式(29)に 変 換 さ れ る.

補 題2初 期 条 件

g(x,0)=a(x)(‑QO〈x〈QO)(34)

を も つ1次 元 の 無 限 に 長 い 棒 の 中 の 熱 伝 導 方 程 式

∂g(x,t)/∂t==∂2g(x,t)/∂x2(t≧o,一 〇 〇<x<QO)(35)

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョソ価 格 の 決 定 に つ い て39 の 解g(x,の は,

g(x,t)一(2励 ・∫睡)exp[12(ξi剥4ξ(36)

で あ る.但 し,a(x)は 所 与 の 関 数 で あ る.

証 明 コ ル モ ゴ ロ フ=フ ォ ミ ー ン[15]のr函 数 解 析 の 基 礎 』,第8章,§4,6。,「 熱 伝 導 の 方 程 式 の 解 に 対 す るFourier変 換 の 応 用 」,447‑446頁 に 沿 っ て 証 明 を 与}る.

未 知 関 数g(x,の の 変 数xに つ い て の フ ー リ エ 変 換 ・

ロ

ノ[g(功]19(x,t)exp(‑iyx)dx

‑OQ

を,彦 に つ い て 微 分 す る と

∂ノ[g(x,t)]/∂tJ[∂g(x,t)/∂t]・xp(‐iyx)dx

‑GO

(35)よ り

一 ∫..[∂2g(x

,t)/∂ κ・]・xp(‑iyx)dx

‑03

=ノ'[∂28(x ,')/∂x2]

関 数 のn回 微 分 の フ ー リ エ 変 換 は,そ の 関 数 の フ ー リ エ 変 換 の(η)n倍 に 等 し い(コ ル モ ゴ ロ フ=フ ォ ミ ー ン[15],第8章,§3,2。.「Fourier変 換 の 基 本 性 質 」,P.3.439‑440頁)か ら,

=(iy)2ノ[9(x,t)]

==一 一,y2」多一[9(x,の]、(37)

す な わ ち,フ ー リ エ 変 換 に よ り,偏 微 分 方 程 式(35)は,常 微 分 方 程 式(37)に 変 換 さ れ る.こ れ を 解 け ぽ,

ク ー[g(x,t)]=ノ[9(x,0)]exp(‑yet) (34)よ り

== し多「[a(x)]exp(‑y2t).(38)

と こ ろ で,コ ル モ ゴ ロ フ=フ ォ ミ ー ン[15],第8章,§4,1。.「Fourier変 換 と 反 転 公 式 」, 例4,437‑478頁 に よ り,

exp(yet)=し 多「[(2《/冠)‑1exp(‑x2/4t)].(39) (38),(39)よ り,

し多r[g(x,t)]=ノ[a(x)]・ し 多7[(2〜/万)『1exp(‑x2/4t)]

2つ の 関 数 の そ れ ぞ れ の フ ー リ エ 変 換 の 積 は,2つ の 関 数 の 畳 が 込 み も し く は 合 成 積 の フ ー リ エ 変 換 に 等 し い(コ ル モ ゴ ロ フ=フ ォ ミ ー ソ[15コ,第8章,§4,5。.「Fourier変 換 と 畳 み 込 み 」,443‑444頁)か ら,

=ご 多「[a(x)*(2〜/万)‑1exp(̲x2/4t)] ,(40)

関 数 の フ ー リ エ 変 換 の 逆 フ ー リ エ 変 換 は も と の 関 数 に 等 し い(例}ば 小 松[14],第3章,

§3.1,定 理3.5,130‑132頁)か ら,(40)よ り

4。 季 刊 創 価 経 済 論 集 g(x,の=ノ  1[タ ■9(x,t)]]

==L多「‑1[ し多7[a(x)*(2・ 》/nt)‑1exp(̲x2/4の]

=α(x)*(2へ/冠)‑1exp(一 一x2/4の

畳 み 込 み の 定 義(コ ル モ ゴ ロ フ=フ ォ ミ ー ソ[15],第8章,§4 み 」,443頁)に よ り,

  一 ∫

...a(ξ)(2》 万)"1exp[一(κ 一 ξ)2/4t]4ξ

一(2》冠)‑1∫ン(ξ)exp[

2(㌻ 菱)2]4ξ

Vol.XIX,No.3

5。.rFourier変 換 と 畳 み 込

C36)

証 了

一(2v!齋)一 ・∫

...K(・‑expξ)exp[2(

9一 霧 と お け ぽ,4ξ 一, 2sdqで あ る カ・ら

補 題2よ り,境 界 条 件(33)を も つ1次 元 の 無 限 に 長 い 棒 の 中 の 熱 伝 導 方 程 式(29)の 解 ρ(u,S) は,

ρ(u,s)一(2而)一 ・1

..ρ(ξ・)exp[‑12(鴇)2]♂ ξ (33)よ り

01ξ 一%2

〜/2s )]4ξ

一(2》 示)一 ・∫=簗K[・‑exp(%+一 2s4)]exp(1

2q・)一 2sdq

‑(〜/i易)‑1∫=乎Kexp(‑1

24・)dq

u

‑(板)一 ・∫=簗Kexp(u+価 一告9・)dq . C37)

(26),(27)よ り

u=ln(5(t)/K)+rz‑262z

=ln{S(t)/K)+rz‐s で あ る か ら,

Kexpu=Kexp[ln(S(t}/K}十rz‐s]

=K(s(t)/1()exp(7τ 一S)

=s(のexp(rz̲$) と な る の で,(37)の 第2項 は,

一(V藪)一 ・∫二ご蛋K(・xpの[exp(一 2sq ‐2q・)dq

December1989板 垣 有 記 輔:ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン 価 格 の 決 定 に つ い て

一 一(〜/i易)一・∫:rS(t)exp(Y'・‑S+価 一 去9・)dq

‑一(v!2n)一 ・s(t)exp(7τ)∫=『exp(‑S+' 2sq‐2q2)dq

A ̲

Q‐Q‑一 2sと お け ば,dq一 疏 覗 》2・9一 去 α・2で あ る か ら

一 一(N!宏)一 ・S(のexp(YT)∫ 二r》 死・xp(Z92)d4

し た が っ て,(37)は,

p(u,s)‑K(V蛋)‑1『 ・xp(12q・)dq

‑s(t)(expy・)(》 励 一・∫二簗 一㌔p(1

2q・)dq

‑KN(‑u

, 2s)‑s(の(exprz)N(一 毒 痢 よ っ て,こ れ と(28)と か ら

P(s(の,の=1)(u,S)exp(‑YT)

=K[exp(イ τ)]N(u

, 2s)‑s(渉)N(マ 参 一 痢

(24),(26),(27)よ り,

%1n(K/s(の)一(1r‑2Q・)τ

, 2sσ 〜/T

=一 ρ十 σ〜/‑T,

uln(K/S(の)一(Y+26・)τ 一 砺 一 〜/2s=

σ〜/丁 諾 一 ρ・

か く し て,ヨ ー ロ ッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン 価 格P(S(t)t)は,(38)一(40)か ら, P(S(t),t)=K[exp(‑YT)]!>(一 ρ十6v/T)‑S(のN(一 ρ)

で あ る.

41

C38)

(39)

(40)

(23)

5.比 較 静 学

株 価 変 動 が 幾 何 ブ ラ ウ ン運 動 に 従 い,市 場 で危 険 を 伴 わ な い 裁 定 取 引 機 会 が 無 い と き,ヨ ー

42季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XIX,No.3

ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン価 格 が,パ ラ メ ー タ ーs(の,K,Z ,Q,rの 微 小 変 動 に 対 し て ど の よ うに 変 化 す る か を 調 べ る.

ま ず,(24)か ら

ρσ》7‑lnS(tK)+(Y+1226)・

=1nS(t)+1n6C+1d22)・

K

‑1nS(孟)e(T+1022)・

であるから,

副7‑)(re+21a2/t(4・)

N'(一 ρ)一∂[∫二よ(v翫)‑1θ ヤ4ジ]/∂(一 ρ)

12

‑(価)‑1θ 一音・・

・=Nノ(ρ) ,(42)

N'(一 ρ÷ σ》7)一(》 飯)一 ・192(一 ・+・》の2

‑(N/i玩)‑1e‐zp2epd zee‐z・2・

(41),(42)か ら

K

=N'(p)err S(の ,C43)K

で あ る.(42),(43)に 留 意 し な が ら,(23)を,s(t),K,τ,d,7で そ れ ぞ れ 偏 微 分 す れ ば, aP

as aP

∂K=N(̲p+σ 》 下)e‑rt>o,(45) aP =‐YKN

az(一 ρ噺)e‑rr+σs讐(ρ)≧q(46) aP =S(の へ/『 ぞ『N'(ρ)>0 ,(47)a6

' ap

∂Y・KN(一p+61/z)e‑Pr<o.(48)

ま た,(24),(42),(44)か ら

December1989 a2P

∂s・=!〉'(一 ρ)as

板 垣 有 記 輔:ヨmッ パ 型 オ プ シ ョ ソ価 格 の 決 定 に つ い て

∂ρ

43

一 撫>o,

(24),(43),(45)か ら a2Ps

aK2(t)N'(pQNT)>o.

よ っ て,次 の 命 題 を 得 る.

命 題12危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リ オ を 組 む も の と す る.こ の と き,ヨ ー ロ ッパ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 現 在 の 価 格 は,現 在 の 株 価 の 減 少 か つ 凸 関 数 で あ り,権 利 行 使 価 格 の 増 加 か つ 凸 関 数 で あ る.ま た,ヨmッ パ 型 プ ッ ト ・オ プ シ ョ ン の 現 在 の 価 格 は,株 価 の 変 動 性 が 大 き い ほ ど,安 全 資 産 の 利 子 率 が 低 い ほ ど,高 い が,現 在 か ら満 期 日 ま で の 残 存 日数 の 多 少 の 及 ぼ す 効 果 は 不 明 で あ る.

最 後 に,ヨmッ パ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン価 格 に 対 す る 効 果 に つ い て 述 べ る.ヨ ー ロ ッパ 型 オ プ シ ョ ン の,プ ッ ト と コ ー ル の パ リ テ ィ 関 係 式(3)か ら,

aCaP as‐as十1 (44)か ら

=一 ヱ 〉(一 ρ)十1

標 準 正 規 分 布 累 積 分 布 関 数N(・)の 性 質 か ら

=N(ρ)>0 .(49) (3)か ら,

acaP ̲̲q‑T2 aKaKG (45)か ら

=N(一 ρ+σ 〜/Z')e一 π一 θ一7・

=‑e‑fz[1‑N(一 ρ十 σ〜/『Z)]

=‑N(ρm〜/‑T‑)e‑rr<0 .(50) (3)か ら

‑=+7Kθ acaP 欄r・

aTaz (46)か ら

̲一 一rKN(一 ρ+σ 》7)e‑rz+σs簿 澤(ρ)+YK2‑rz

一 瀞[1‑N(‑p十61 z)コ+σs〜t)N"

.一 z(ρ)

44 季刊 創 価 経 済 論 集

Vo1.XIX,No.3 一 ・KN(p‑Qv/T)e‑rr+aS(t)N'

21/z(ρ)>0 (3)か ら,

aCaP asa6 (47)か ら

=S(t)》‑zl>'(ρ)>0 . (3)か ら

acaP =+τjKグ ・ arar

(48)か ら

=‑zKN(一 ρ+σ 》T)e‑‑rz+τK6‑rz

=τKθ 一π[1‑N(一 ρ+σ 〜/Q)]

=zKN(ρ 一 σ〜/Z)θ 一rr>0 .

ま た,(24),(49)わ ら,

鐸 一s蕩 瑳>o.

(24),(50)か ら aZC ̲N'

aK2(ρ 一 σv!TK伽!T)e‑rz>α ま と め て 次 の 命 題 を 得 る.

命 題13危 険 中 立 ヘ ッ ジ ・ポ ー ト フ ォ リオ を 組 む も の と す る.こ の と き,ヨ ー ロ ッ パ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 現 在 の 価 格 は,現 在 の 株 価 の 増 加 か つ 凸 関 数 で あ り,権 利 行 使 価 格 の 減 少 か つ 凸 関 数 で あ る.ま た,ヨmッ パ 型 コ ー ル ・オ プ シ ョ ン の 現 在 の 価 格 は,現 在 か ら 満 期 日 ま で の 残 存 日数 が 多 い ほ ど,株 価 の 変 動 性 が 大 き い ほ ど,安 全 資 産 の 利 子 率 が 高 い ほ ど,高 い.

参 照 文 献

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(経 済 学 部 教 授)