砂の弾塑性挙動について

(1)

砂の弾塑性挙動について

棚橋由彦 * ・内藤秀信寧永尾光也 * * ・東川一則材料

On t h e E l a s t o ‑ p l a s t i c S t r e s s S t r a i n B e h a v i o u r s o f a S a n d

by

Y o s h i h i k o T AN ABASHI

( D e p a r t m e n t o f c i v i l e n g i n e e r i n g )

H i d e n o b u NAITO

(Uyo c h i s h i t s u c y o s a j i m u s h o C o . ， L t d . )

M i t s u y a NAGAO

( T a i s e i d o r o C o . ， L t d . )

K a z u n o r i HIGASHIKA W A

( U b a y a s h i d o r o C o . ， L t d . )

A h s t r u c t

A Sand i s s u c h a complex m a t e r i a l t h a t i s i n i t i a t e d d i l a t a n c y w i t h l o a d i n g and i s l a r g e l y i n f l u e n c e d by s t r e

田

h i s t o r i e s .

I n t h e p r e v i o u s p a p e r ， an i n c r e m e n t a l s t r e s s ‑ s t r a i n r e l a t i o n s h i p was p r o p o s e d which was g i v e n i n t e r m s o f t e n s o r c o n s i d e r i n g t h e s u b s e q u e n t a n i s o t r o p y o f S a n d s . But i t had a t e n d e n c y t o o v e r ‑ e s t i m a t e o b s e r v e d e x t e n s i v e d i l a t a n c y and i t c o u l d n o t c a l c u l a t e s t

町田

s t r a i nb e h a v i o u r o f Sands u n d e r b o t h u n l o a d i n g and r e l o a d i n g .

So newly i n t h i s p a p e r ， an e l a s t o

・

p l a s t i cs t r e

田

s t r a i nr e l a t i o n s h i p ( c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n ) i s p r o p o s e d c o n s i d e r i n g a Sand a s s t r a i n h a r d e n i n g m a t e r i a l n o t o n l y f o r s h e a r b u t f o r c o m p r e s s i o n ， by a d o p t i n g s t r e s s ‑ d i l a t a n c y e q u a t i o n which i s w i d e l y a d m i t t e d i n t h e f i e l d o f s o i l e n g i n e e r i n g .

And some s t r e

回

p a t ht e s t s o f Toyoura Sand a r e c a r r i e d o u t f o r t h e v e r i f i c a t i o n o f t h e p r o p o s e d e q u a t i o n . As t h e r e s u l t s o f t h e c o m p a r i s o n o f b o t h o b s r e v e d and c a l c u l a t e d v a l u e s o f t h e s t r a i n s a l o n g w i t h some s t r e s s p a t h s s u b j e c t e d complex s t r e s s h i s t o r i e s ， i t was a c e r t a i n e d t h a t t h e p r o p o s e d e q u a t i o n e s t i m a t e s r e a s o n a b l y t h e e l a s t o ‑ p l a s t i c s t r e s s s t r a i n b e h a v i o u r o f S a n d s .

昭和5 5 年 6 月1 6 日受理

*土木工学科

**応用地質調査事務所(槻

***大成道路(槻

事事本車大林道路(槻

(2)

1．まえがき o

従来土質工学の分野では，地盤や土構造物の破壊のみを取り扱う安定解析がその主流を占めてきた．

しかし近年立地条件の悪い所での土木工事が多くなり，また動態観測の有効性が認められるにつれて，破壊およびそれに至るまでの挙動を取り扱う変形解析が重要視されるようになってきた．

ところで砂はその性質が極めて複雑な工学材料であり，負荷に伴い生じるダィレタンシーと応力に対する履歴依存性の顕著な材料である．したがって実用的で

しかも精度のよい変形解析を行うためには，このような砂の特性を考慮し，さらに所要のパラメーターを簡単な試験で決定でき，また変形解析に適用可能な形式での応力ひずみ関係式（構成方程式）を確立することが重要である．著者らは先に簡単な室内三軸試験から応力ひずみテンソルの異方増分関係を誘導し，砂地盤の変形解析に適用して地盤内部のダィレタンシー特性を表現しうることを確かめている1圃．しかしながらそれはダィレタンシーを応力比の不連続な双曲関数で近似したため体積ひずみを過大に評価する傾向があり，

一般に認められているストレス・ダィレンシー式とも矛盾するものであった．また掘削や潮の干満に伴う有効応力の増減など除荷・再載荷過程の計算も不可能な

ものであった．

本報告では上記の欠点を改良し，砂を圧縮とせん断に対するひずみ硬化材料とみなし，新たに応力履歴とひずみ硬化特性を考慮した砂の具体的な弾塑性応力ひずみ関係式を提案した．また試料として豊浦砂を用いP

L＝

／114U ／12／12 ／13，〜13

！21，〜21 ／22／22 ／23／23

！31／31 ん／32 ！33！33 421431 ん432 423433

！31／ll ／32／12 ／33／13

ん／12 んんん！23

種々の応力径路に沿うひずみ（増分）の実測値と計算値との比較から提案式の妥当性について検討を加えたものである．なお先の異方増分関係との比較もあわせ行っている．

2．弾塑性応力ひずみ関係式

その基本的な考え方や式の誘導については，既報3｝

4L5）に詳しいので，ここでは主応力増分軸の回転を伴う最も一般的な弾塑性応力ひずみ関係式を掲げるにと

どめる．

｛4ε｝＝L℃ L｛4σ｝f （1）

ここに

｛4ε｝ご＝｛ゴεエ 4ε〃 4ε9 4γンど 4γ2己τ げγエ3｝

｛4σ｝＝伽。4σ、4σz4τ。、ゴτ㍑4τ。。｝

c ＝

2／12／13 2422／23 2432433 422433十423432

／32！13十／33／12

／i2／23十／13／22

ここにんは固有方程式14砺一4σ1＝0の固有ベクトル（主応力増分軸の方向余弦）であり，固有値（主応力増分値）を4σf（∫＝1，2，3）とすると次式で与えられる．

ユ

ん＝±S、，／｛S、12＋∫、22＋S、32｝7

一［∴震：＝

一は；＝響

CII C12C23 0 0

C31 C22 C23 0 0 C31 CI2 C33 0 0

0 0 02（C22−C23） 0

000 0 2（C33−C31）

0 0 0 0 0

C11＝｛（Sc十3Ss）十源S、f｝／9 C22＝（5c十3Sε）／9 C33＝｛（Sc十35s）一㌔／25d｝／9 C，3＝｛（25。一35、）一2》侮5、｝／18 C31・＝｛（2Sc−35δ）一十一2㍉／2Sα｝／18 C12＝（2Sc−3Ss）／18

0 0 0 0 0 2（C11−C12）

2！11！13 2／11！12 2／23／21 2！21／22 2／33／31 2！31／32 423431十121433 421432＋422431

！33．〜11十131／13 ！31！12十／32，〜11 ／13／21＋ん／23 んん＋112！21

一［響∴］

なお上壷中のS，，Sd， S、は全ひずみに関する正八面体異方変形係数であり，それぞれ圧縮による体積ひずみび。，ダィレタンシー〃ゴ，正八面体せん断ひずみγd 各増分のフレキシビリティーを意味している．S。，

5d， S、の代わりに弾性変形係数5cθ， Sdθ， S。e，塑性変形係数S〜，Sdρ， S。ρを代入すれば（1）式はそれぞれ弾性，塑性ひずみテンソルの増分関係になる．砂の具体的な弾塑性変形係数式は次章で与える．

降伏条件式は

(3)

圧縮に対して ξ＝ξη

せん断に対して η＝伽（2）

ここにξは平均有効主応力ρを大気圧ρ。＝98KN／m2 で除した量，ηは正八面体せん断応力σをρで除した量すなわち正八面体応力比であり，ξ贋，伽はそれぞれ応力履歴によりいままでに経験したξ，ηの最大値を意味する．

したがってξ＝ξ。，かつ4ξ＞0のときのみ，圧縮による塑性体積ひずみ増分4z／2が生じ，η＝伽かつ4η＞0 のときにのみ塑性ダィレタシシー増分如dρ，塑性せん断ひずみ増分4γdρが生じる．上記の条件を満足しない場合は弾性ひずみ増分4び。θ，ぬdθ，4γdεのみ生じる．

なお本報告における応力はすべて有効応力を意味し，

応力・ひずみともに圧縮を正と約束する．

3 ミ

λ1

8 RD Test

eo＝0．846

eo葛0．608

●

eo＝0。781

●

A2

1

｛a1

3．砂の具体的な変形係数の決定法

砂の具体的な弾塑性正八面体変形係数の式の誘導，

および提案式に用いるパラメーターの決定方法を以下

に示す．

i）応力制御，排水条件で飽和砂の除荷・再載荷過程を含む等方圧縮誠験（以下RCテスト）と車均主応カ一定試験（以下RDテスト）を行う．

ii）Hertzの理論的考察6）をはじめ，砂の圧縮による体積ひずみ〃，は平均主応力ρの指数関数となることが既往の実験によっても認められているのでRC テスト結果からρ一〃。関係を再対数紙にプロットし（3）1式の5，に用いる2つのパラメ一画ーレ1，レ2 を決定する（Fig．1）．

0

1・0 2・0 3・0

。ctah。d，al shea， st，ai。 δd（。1。）

ρ

ε 霧聾

2

署竃蓉

RD Test

o

1

M

3

● 唖

N

●

eo＝0．787

eo＝0．684

8 8 9

焉蕩

魯

5

雪

葦

勢、

lb

RC Test

eo80．884 ^{eo 30．645}

晩 109「1 1

1．O 10．o

mean principal stress p （x984kN／m2）

Fig．1 Diagram to determine parametersレ1 andレ2．

θ，＝ン1ργ2

S，＝4・鋤＝レ1ソ，ργ・一1 （3）l iii）正八面体せん断ひずみγdはFig．2（c）からも明らかなようにηの双曲関数で近似できる．RDテストの結果からγd／η一γd関係をプロットし，S、項に関

一1．0

9 ド

§ 鶉ゆ

霧d

寒冒茗

一〇，5 0 0．5 1．O

incremental strain ratio 一｛dM」！dδと｝

lCl

@

RD Test

・潤≠O．608

6dP

1・0 6de 2・。 ^3．0

陀 octahedral shear strain 6dl％｝

Fig．2 Diagrams to determine parametersλ1，

λ2，MandN．

する2つのパラメーターλ1，んをFig．2（a）に従い決定する．

γd＝λ1η／（1一λ2η）

Sε＝ゴγd／4σ＝ノh／（1一！λ2η）2 （3）2

iv）正八面体面上においてストレスダィレタンシー式の成立を認め7L 8）， RDテストの結果からη一（ぬd／

4γd）関係をプロットし，直線近似から（3），式のSd項に関する2つのパラメーター〃，2＞をFig．2（b）に従い決定する．

η＝〃一N（4〃d／げγd）

s4＝4〃d／4｛7＝｛（ル1一η）／ノ〉｝・（（タγd／4｛7）

＝λ1（ル1一η）／｛2＞（1一λ2η）2｝（3）3

(4)

v）RCテストの除荷・再載荷過程において生じるヒステリシスループを一本の直線で近似し，Scθに用いるパラメーターレ3を決定する（図省略）．

びce＝レ3ρ

5cε＝ぬ。ε／の、＝レ3 （3）、

vi）弾性正八面体せん断ひずみγ！はFig．2（c）に示すようにη一γd関係の初期立ち上がり匂配1μ1とヒステリシスループの中線との間に平行性が認められるのでγdθはλ1ηで表わされ，正八面体せん断ひずみの弾性変形係数S、θは（3）5式で与えられる．

γdρ＝λ1η

Ssθ＝4γ！／4（7＝（4γdθ／4η）。（4η／4（1）＝λ1／ρ （3）5

vii）ダィレタンシーは本来土の非可逆的な変形に伴い生じるものとされているから7），ダィレタンシーの弾性成分伽dρはゼロとみなしてよい．

ηde＝0

5、ρ＝ゴzノ。ρ／吻＝0 （3）、

以上，砂の具体的な弾塑性正八面体変形係数の式（3＞1

〜（3）6を行列表示で整理すると次式となる．

糠

［

5csd

O ss

瞭

e

ρ

：・

茎

18 書

o

o O O

o OO

M2−0316e♂0795

。 0。

o o

レ3 0 0 λ1加

レ1レ2ρツ2嘗1−L／3 （〃一η）λ1／｛ムτ・1）（1一ノ12η）2｝

0 λ1Zカ（1一λ2η）2一λ1∠ρ

ヨア

5c Sd Sf 5ゴ十

〇Ss OS，

（4＞

vi）の（3），式を認めると，平均主応カー定試験は二二再載荷過程を含む必要がなく，所要の試験がさらに簡単になり（Dテスト）実用的である．現場における初期間際比ε。を有する試料に対し，RCテストとDテスト各一回でFig．1，2の整理方法により，提案式に所要の 7個のパラメーターレ1，レ2，レ3，λ1，λ2，〃，ノ〉が決定できる．（1）〜（4）式を用いて任意の応力履歴をうける任意の応力径路に沿う砂の弾塑性応力ひずみ挙動を計算することができる．また（1）式は主応力（増分）軸の回転を許すテンソル増分関係だから，既存のFEM増分法のプログラムに組み入れ容易に砂地盤の変形解析を行うことが可能である．

検証用に用いた試料は豊浦砂（G、＝2．65，σ．＝1．46）

であるが，各パラメーターと初期間際比θ。のと相関はあまりよくない．一例としてパラメーター〃とε。のと相関を示すとFig．3のようである．とりあえず本報告では各パラメーターをθ。の一次式で近似した．

豊浦砂のそれを（5）式に示す．

O，6 0．65 0．7 075

initial void ratio eo

0．8

Fig．3 Correlation between parameter M and

1nitial void ratio（ヲ。．

レ1＝0．681eo−0．044 レ2＝一〇．022θo十〇。587 レ3＝0．118

／11＝1．094 λ2＝1．979召。−0．3q5 ル1＝一〇．316εo→一〇．795 ノ〉＝2，372θo−0．863

（5）

4．計算値と実測値の比較新旧増分関係の比較

（a）D字型径路試験

Fig．4の湾曲した径路Path 2と直線径路Path 1の応力ひずみ曲線をそれぞれFig．5（a），（b）に示す．図中黒のプロット点は実測値，2点鎖線は先の異方増分関係，実線は本提案式の計算：値である．特に体積ひずみに注目すると，（aXb）両鐙ともに本提案式が旧増分関係のダィレクシーを過大評価する傾向を改善しているのが読みとれる．

o

J

げ

G

e 口3

@ 9

@ の

@ ρ ε

@ 芝9

@ ぎ。．器

Path−1

@ ピ ^ε

b D Path−2

寸

U6

^C

o ．5

』

h ㍉ 6￠

6 B

A 9

9

、・

0

1．0 2ρ 3．0 4．0 50

0邑（x984 kN m2）

Fig．4 D−shaped stress pathes，

(5)

層N ε3

／

^≦

＼＼

ε1 覧

Φ ㌦▲

k宰 N gL竃ミ￥u Z鴇モ＼

γ

@ ／ ●．／●▲

增F臨

2 圏一 x o

シ切・創・・nst．・

い｝ r冒

蝉葦6Ω．：ン一一一・Qi・ul・t・d・Ql・お籾previous eq．

@ ／

一10 −05 1．0 2．0！

PGth 2 ^5trαln ε ^{@ ／} ^0図OL／

05 ト・，／

eo＝0．788

ぴ｛a，

10 σ1

0

！

／〆ぐ

＼ θ

、＼＼＼

＼＼＼^r，〜

／、／

／

space diagonal

α〜、

octahedral plane

碗

．奪3 ≧▲ モε3 器▲ こ，

̲ 63

● @．．ン／ ^{怐@ ．／}

Dε・／／

E／7／．／

＼婚＼▲。 d

ノ／

／

／ εlo・・1・

一LO −0．5

oqth 1

㌔、一一 ^D1・。

D・卸 @ 3 o

0．5

eo・0．603

^｛b¹⁰

Fig．5 Stress strain behaviour along with D・shaped stress pathes．

（b）多軸試験

Fig．6に示すように正八面体面上を半径方向に直線的に変化させる平均主応カー定径路を採用した．θ はσ1軸の正八面体面への投影から時計まわりに測ったふれの角である．θ＝0．は三軸圧縮，θ＝30．は中間主応カー定，θ＝60．は三軸伸張各試験に対応する．計算値をFig．7（a）〜（e）に示す．計算はρ＝98 KN／m2，θ。

＝0．620の条件で行い，実線，二点鎖線がそれぞれ新・

旧増分関係の計算値である．松岡ら9）の行った豊浦砂の実測結果をFig．8（a）〜（e）に示す．ただし松岡らの実測はρ＝196KN／m2であり，縦軸には主応力比σ1／σ3 を採用しており定量的な比較はできない．なお図中の実線は松岡らの提唱するSMP面上の関係式に基づく

計算値である9）．

旧増分関係では平面ひずみ状態すなわち中間主ひずみε2がゼロとなるのはθ＝30．であった．一方本提案式ではθ＝15．ではε、は負，θ＝30cでは正，したがって平面ひずみ状態はθ＝15〜30．の問に存在すること

E

○（σ1＞02；σi3｝

0 150

σ1 300（σセ＝const．｝

θ 450

600 （Oi＝σ》碗）

！＼

！、！＼ノ！、 1／＼、

σ21！＼、σ3

！、

Fig．6 Radial stress pathes on the octahedral plane．

になり，市原ら10｝の平面ひずみ試験の実測結果や，松岡らの実測とも一致している．またθ＝45。のとき，旧増分関係ではダィレタンシー過大評価のためε2がηの増大に従い負になろうとする傾向がみられるが，本提案式では正に単調増大しFig．8（6＞の実測の傾向をよく話明している．以上から本提案式の方が旧増分関係より，ダィレタンシー量評価の点で優れていると結論づけてよいと考える．

提案式の検証

（c）φ字型径路試験

本提案式が砂の弾塑性挙動を説明しうるかを吟味するために，Fig．9に示す複雑な応力履歴をうけるφ字型の径路試験を行った．なお図中AFは側圧一定三軸圧縮の径路であり，B点をひずみ原点としている．Fig．

9の下段に示した6種類の径路のうち，Path 2〜5につ

いてせん断ひずみの挙動をγ一η関係でプロットした

のがFig．10（a）〜（d）である．図中白丸を細実線で結ん

だのが実測値，太実線が計算値である．いつれもせん

断ひずみの硬化およびリバウンドの特性を計算値が適

(6)

｛司

＼

＼、、

ε夢ε3＼

、覧

＼

、、

P「Vlous eq．

new停onst eq・

．1

0．5 ε1

P昌98kWm2

．eo＝0．620

一1，0 rO．5 0 0．5 1．O

P・incip・1・t・ai・ ε（。ノ。）

●

q窃 o ・曹n

∈3

7654

∈1

O l．

o

一一塵櫓幽需一，

く I

＝t

3

（㌔・196kN，m2

r5．一一3 −2 −1 0 1 2

『

3 5

｛bl

＼・、ε2

、＼

＼ξ、§＼、

＼＼＼、

＼、＼、

殴、、

e電150

05

^ε1

温1．0 −0。5 0．5 1．O

P・i・cip・1・t・ai・．ε（。1。）

∈3

∈2 q｝

V一σ3 ^O ^・≠P5

∈l o

ﾒ

0 @ 0

黹ﾐ F

O 一

o

・一

ρ．

《

b》＿ _σh．196kN _詔

一5 ，4 −3 購2 −1 0 1 2 3 4 5

1cl

＼

、

＼＼＼＼＼ ε3 ＼

む

＼

、

1

ε2

∈1

一1．0 −0．5 0

principal strain

0．5 1．0 ε（。ノ。）

σ1

ﾐ5．7 o ・≠R0

∈3 ∈2

W

ε1

一 L

D．＿一Ω＿

o 0

⁶⁵

4

o

cl

3

Ch。196LN ，詔

層5 −4 −3 02 ．1 0 1 2 3 4 5

1d｝

＼

^、、

＼、、 ε3

＼ 0．5 ＼、、

＼、

、

1 ＼ε

l I

F ε1

1

0．5 1．0 ε（。ノ。）

q◎き一7

o

∈3 ∈2 ∈1

e＝45

o o

0 0

6543

◎o

o

一．，

o

《d

^■，

σh。196kM，評

一s −4 −3 −2 噌1 0

一1．O −0」5 0

principal strain

1 2 3

4

5

1o》

＼、

＼

＼ε3 α5

＼こ、

し

P。98kN，m・＼，

eo＝0．620 、

『

ノ

f

／ε1＝ε2

一1，0 −0。5 0．5 1．O

P・imip。1，t，ai．．ε（o 。）

Culculated values of the．「principal strains under the conditi6n of Fig．6．．

q一

ﾐき＿7 e昌6ぴ

o

∈3

^∈1

@ 0 o

6543

o

（e》

σ而．196kMr3

Fig．7

一5 4 −3 −2 −1． 0 ∈31。◎｝

Fig．8

1． 2 3

4

∈1｛。1。1 5

Observed values of the princincipal

st重ains（after Nakai， Matsuoka母．al・）

(7)

q F

口

Ex．

Path−4

oド

D ゆ6

ε

、Z」q

P

町頃

E C

o㎝

o ぜ』

B

_㌻、

・． 6肖

喰、

◎や

！ 9

6 一、

0 10 幼 ^3．0 ^{4．0 5．}

：

；磐

18 1苫

田

8 十：observed values

｛a｝

6 ：calculated values

o

O 2．0 4．0 6．O

octahedra邑 shear strain 〜∫ o！o｝

Path 2

eo＝0629

0…（．9巳・1kN m2）

Path−1：0ABPDF 四 2：・ CDPBEDF 岬 3：餌 EDF ・ 4：・・ EDP8CDF ・・ 5＝・・ PDC8EDF 仰 6：・・ PDEBCDF

Fig．9 φ。shaped stress pathes．

喜亭

1；

1巴

葦讐

100 200 300

0 ㎜

一一ｭ）冒一一； observed values

一： calculated values

9 『 8 ^ε

廻

器8

聲

2ま

署

￡さ

暑

O o

80

｛b［

Path 2 eo＝0．629

Path 3 eo＝O．615

principal stress difference σ1一σ3 kN1m2｝

Fig．11 Behaviour of volumetric strain along with Path−2．

r．9 ε切

望

詔旨

ε

署 2苫

旧き

暑

o

0 2ρ 40 ，6ρ． 8ρ

。。t、h。d，al、h。、， st，ai。 δ1・！。｝

｛Cl

Path 4 eo雷0．619

0 2．0 4．0 6．0 8．0

。。t。h。d，al、hea， st，ai。す｛・ノ・｝

確に把えているのがうかがえる．特にPath 4では実測のヒステリシスループがねじれる現象を計算値がよく説明しており興味深い．最後に紙数の都合上，一例と

してPath 2に関してのみ，軸差応力・体積ひずみ関係

（Fig．11）と，一般表現の応力ひずみ挙動すなわち（σ1 一σ3）一ε1，ε3関係とε1−0関係を同時にプロットした図（Fig．12）を示しておく． Fig．11からせん断ひずみに較べて多少精度がおちるが，体積ひずみの複雑な弾塑1生挙動の特徴をよく卜えているのが読みとれる．

5．あとがき

簡単な室内三軸論罪であるRCテストとDテスト各1回で，このような砂の複雑な弾塑性挙動，すなわち応力履歴依存性や硬化・リバウンド特性を本提案式が忠実に把えていることは，本提案式の工学的な利用価値を高めるものと考えられる．

今後，複雑な履歴を径る多軸応力下の径路試験を行い，本提案式の妥当性についてさらに検討を加えて行

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一一i）一一； observed values

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Path 5 eo＝ 0．588 0

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Fig．10 Behaviour of the octahedral shearstra−

ins along withφ一shaped stress pathes．

きたい．また現在，本提案式の砂地盤の変形解析への

適用例を計算中であり，いずれ機会を改めて報告する予

定である．末筆ながら本研究に対し貴重な助言を頂い

た本学松原茂教授，同伊勢田哲也教授，同落合英俊助

教授に感謝の意を表します．なお本研究の計算と図化

には九州大学大型計算機センターFACOM−M200と

長崎大学情報処理センターFACOM M−180 AD IIを

(8)

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砂 の 弾 塑 性 挙 動 に つ い て